大学物理第2章质点动力学

第2章 质点动力学

2．1 牛顿运动定律

一、牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使

它改变这种状态为止。

二、牛顿第二定律

物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，

方向与合外力的方向相同。表示为 a m f =

说明:

⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。

∑=+++==n

i n i f f f f f 121 力的叠加原理

⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式

x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式

t t ma f = n n ma f =

⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。 v m p =

动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt

p d dt v d m a m f === 当0=f 时，

0=dt p d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结论成为质点动量守恒定律。

三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲

基本量与基本单位

导出量与导出单位

五、常见的力

力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用

用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：

（1）隔离物体，受力分析。

（2）建立坐标，列方程。

（3）求解方程。

（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题

例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体

通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每

一物体的加速度a 及绳子的张力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。

解 分别取1m 和2m 为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程： a m F g m T 22=-

a m g m F o T 1130sin =-'

绳子张力T T F F '=

代入数据解方程组得加速度98.0=a m ·s 2-，张力64.17=T F N 。

例2-2 如图所示，长度为l 的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一

端拴一个质量为m 的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求

小球的速率和绳的张力。

m

mg

解：dt

d l v α= 牛顿方程的切向和法向分量式 dt dv m ma mg t ==αcos （切向） l

v m ma mg T n 2

sin ==-α（法向） 把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以dt d l α和v ，即

αcos g ·dt

dv dt d l =α·v 约去dt 得 vdv d gl =ααcos

对上式积分，注意角度从0增大到α的同时，速率从0增大到v ，有

⎰⎰=v vdv d gl 00cos ααα， 22

1sin v gl =α 得小球的速率为 αsin 2gl v =

代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力 ααsin 3sin 2

mg mg l

v m T =+= 可看出,当2πα=时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。

例2-3 质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与

其运动速率成正比，即kv f =τ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为B,求小

球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。

y

解、小球受重力P 、粘滞力τf 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正

方向。如图所示，根据牛顿第二定律得

ma B f P =--τ

即 dt dv m

ma B kv mg ==-- 或 m

dt B kv mg dv =-- 两边取定积分 ⎰⎰=--t v m dt B kv mg dv 00 得 m B mg B kv mg k 1)]ln()[ln(1=----- 由此求得：)1(t m k

e k B mg v ---= 当∞→t 时，k B mg v -→

------小球的终极速度，匀速下降。 2．2 动量和动量守恒定律

一、质点和质点系的动量定理

1．冲量和质点动量变化定理

● 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。

⎰=2

1t t f d t I ● 质点动量变化定理

根据牛顿第二定律，上式可写为

p d dt f I d ==

表明，在dt 时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增

量。

将上式从1t 到2t 对时间积分，得

⎰⎰-===212

112t t p p d dt f 表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增

量。称为质点动量变化定理。

应用质点动量变化定理的实例

在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念。

1

212121221t t p p t t t t dt

f f t t --=-=-=⎰ 例 质量为3000=m k

g 的重锤，从高度5.11=

h m 处自由落下，打击被

锻压的工件后弹起的高度1.02=h m 。设作用时间01.0=∆t s ，求重锤对工件的平

均冲击力。

解：设竖直向上为正方向。

重锤与工件刚接触时的速度，等于从5.11=h m 处自由落下的末速度。

112gh v -=

重锤与工件作用01.0=∆t s 后，弹起的速度等于竖直上抛1.02=h m 高度的初

速度。

222gh v = 以f '代表在t ∆时间内工件对 重锤的平均反冲力，按动量变化定

理 12)(mv mv t mg f -=∆-' 工件

)12

(21+∆+='t

h h g mg f 重锤对工件的平均冲力

63101.2)101

.01.05.18.92(

8.9103⨯-=++⨯⨯⨯⨯-='-=N

2．质点系的动量定理 由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系。