布尔代数公理及其他常用逻辑运算
数字电路 第二章 逻辑代数基础.
⒊ 表达式 逻辑代数中“ 逻辑关系用“ 逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运 算描述。 运算又称逻辑乘， 算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符 两变量的“ 运算可表示为： 为“⋅” ，两变量的“与”运算可表示为： F＝A ⋅ B 简写为： 简写为：F＝AB 读作： 等于 等于A与 读作：F等于 与B
⒊ 表达式 逻辑代数中“ 逻辑关系用“ 逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算 描述。 运算又称逻辑加， 描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为 两变量的“ 运算可表示为： “＋” 。两变量的“或”运算可表示为： F＝A＋B 读作： 读作：F 等于 A 或 B
三、“非”运算（逻辑非） 运算（逻辑非）
例：如 AB + AC + BC = AB + ( A + B )C = AB + ABC = AB + C 则 ( A + B) ⋅ ( A + C ) ⋅ ( B + C ) = ( A + B) ⋅ C
例: 证明包含律：(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)· (A+C) 证明包含律： 证: 已知 AB ＋A C＋BC=AB＋AC ＋ ＋ 等式两边求对偶： 等式两边求对偶：(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)· (A+C) 证毕
量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。 量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。 逻辑状态： 完全对立、截然相反的二种状态， ⒋ 逻辑状态： 完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、 好坏、 美丑、真假、有无、高低、开关等。 美丑、真假、有无、高低、开关等。 逻辑变量： ⒌ 逻辑变量： 代表逻辑状态的符号， 代表逻辑状态的符号，取值 0 和 1。不表示数 。 逻辑函数： 量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 ⒍ 逻辑函数： 量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 输出是输入条件的函数。 输出是输入条件的函数。
逻辑运算
三维图形
作用
效果 组成部分
作用
Boolean（布尔运算）通过对两个以上的物体进行并集、差集、交集的运算，从而得到新的物体形态。系统 提供了4种布尔运算方式：Union（并集）、Intersection（交集）和Subtraction（差集，包括A-B和B-A两种） 。
效果
物体在进行布尔运算后随时可以对两个运算对象进行修改操作，布尔运算的方式、效果也可以编辑修改，布 尔运算修改的过程可以记录为动画，表现神奇的切割效果。
表示方法
"∨"表示"或" "∧"表示"与". "┐"表示"非". "="表示"等价". 1和0表示"真"和"假" (还有一种表示,"+"表示"或", "·"表示"与"）
基本概念
基本概念
1.逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样， 也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑常量的取值只有两个，即0和1， 而没有中间值。
组成部分
Boolean（布尔运算）的参数面板可分成三部分。 布尔运算练习模型:骰子 Pick Boolean（拾取布尔运算对象）卷展栏 该卷展栏用来拾取运算对象B。 在布尔运算中，两个原始对象被称为运算对象，一个叫运算对象A，另一个叫运算对象B。在建立布尔运算 前，首先要在视图中选择一个原始对象，这时Boolean按钮才可以使用。进入布尔运算命令面板后，单击Pick Operand B命令按钮来选择第二个运算对象。 ·Pick Operand B（拾取运算对象B）：单击该按钮，在场景中选择另一个物体完成布尔合成。其下的4个 选项用来控制运算对象B的属性，它们要在拾取运算对象B之前确定。 ·R e f e r e n c e （ 参 考 ） ： 将 原 始 对 象 的 参 考 复 制 品 作 为 运 算 对 象 B ， 以 后 改 变 原 始 对 象 ， 也 会 同 时 改 变 布 尔 物体中的运算对象B，但改变运算对象B，不会改变原始对象。 ·Copy（复制）：将原始对象复制一个作为运算对象B，而不改变原始对象。当原始对象还要作其他之用时 选用该方式。
第2章逻辑代数基础
同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
布尔代数与逻辑函数
布尔代数与逻辑函数布尔代数是一种由英国数学家乔治·布尔于19世纪中期发展起来的代数体系，它在计算机科学和逻辑学中起着重要的作用。
布尔代数通过对逻辑函数的运算和推理，描述了逻辑关系和逻辑推理的规则。
本文将介绍布尔代数的基本概念和运算规则，以及它与逻辑函数的关系。
一、布尔代数的基本概念布尔代数是一种由逻辑数学中的一元逻辑和二元逻辑运算构成的代数系统。
它由两个基本元素组成，分别是真值和逻辑变量。
真值表示一个命题的真假，通常用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
逻辑变量则表示一个命题中的可变部分，可以取0或1两个值。
二、布尔代数的运算规则布尔代数具有以下几种基本的运算规则：1. 与运算（AND）：表示逻辑与关系，用符号“∧”表示，在数字电路中常用乘号“*”代替。
2. 或运算（OR）：表示逻辑或关系，用符号“∨”表示，在数字电路中常用加号“+”代替。
3. 非运算（NOT）：表示逻辑非关系，用符号“¬”表示，在数字电路中常用上划线“-”表示。
4. 异或运算（XOR）：表示逻辑异或关系，用符号“⊕”表示。
5. 同或运算（XNOR）：表示逻辑同或关系，用符号“⊙”表示。
这些运算规则在布尔代数中可以通过真值表或逻辑公式进行演算。
三、逻辑函数的定义与应用逻辑函数是布尔代数中的重要概念，它是一个或多个逻辑变量与运算符的组合，得到一个布尔值的函数。
逻辑函数在计算机科学和电子工程中有广泛的应用，特别是在数字电路和逻辑设计中。
逻辑函数可以通过真值表或逻辑表达式来描述。
真值表是逻辑函数的一个常用表示方法，它列出了函数在所有可能输入组合下的输出结果。
逻辑表达式则是通过逻辑运算符和逻辑变量的组合来表示逻辑函数。
四、逻辑函数的简化与优化在实际的逻辑设计中，逻辑函数往往需要进行简化和优化，以减少电路的复杂度和功耗。
常用的逻辑函数简化方法包括代数运算、卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基算法等。
这些方法通过对逻辑函数进行等价变换和合并，找出最简逻辑表达式，从而实现逻辑电路的最优设计。
使用布尔逻辑运算
使用布尔逻辑运算布尔逻辑运算是一种基于二进制的运算，它由逻辑与（AND）、逻辑或（OR）和逻辑非（NOT）三种基本运算构成。
通过对不同的输入值进行这些运算，可以得到不同的输出结果。
下面将详细讨论这些运算及其应用。
1.逻辑与（AND）：逻辑与运算是指在给定的输入值中，只有当所有的输入都为真（true）时，输出才为真。
逻辑与运算的公式为：A AND B = C。
其中，A和B是输入的布尔值，可以是真或假；C是输出的布尔值，只有当A和B都为真时才为真。
逻辑与运算的应用场景：-条件的判断：在编程中，经常需要根据一组条件判断来执行不同的操作。
使用逻辑与运算，可以将多个条件连接起来，只有当所有条件都满足时，才执行相应的操作。
-条件的筛选：在数据库查询中，通过使用逻辑与运算，可以筛选出符合多个条件的数据记录。
-逻辑判断的组合：在数学和计算机科学中，逻辑与运算可以用来构建复杂的逻辑表达式，从而实现更复杂的逻辑判断。
2.逻辑或（OR）：逻辑或运算是指在给定的输入值中，只要有一个输入为真，输出就为真。
逻辑或运算的公式为：AORB=C。
其中，A和B是输入的布尔值，可以是真或假；C是输出的布尔值，只需要A或B中的一个为真即可。
逻辑或运算的应用场景：-组合条件：与逻辑与运算相反，逻辑或运算可以将多个条件连接起来，只需要满足其中一个条件即可。
-范围判断：在实际问题中，经常需要判断一个值是否在一些范围内。
使用逻辑或运算，可以将多个范围条件连接起来，只需要满足其中一个条件即可。
-选择操作：在编程中，逻辑或运算可以用于选择操作。
当多个条件中有一个为真时，执行相应的操作。
3.逻辑非（NOT）：逻辑非运算是指将输入的布尔值取反。
逻辑非运算的公式为：NOTA=B。
其中，A是输入的布尔值，可以是真或假；B是输出的布尔值，A为真时，B为假；A为假时，B为真。
逻辑非运算的应用场景：-条件翻转：在编程中，经常需要根据一些条件的否定来执行相应的操作。
基本逻辑运算
1
1
0
1
1
0
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
=1 L
国 外
A B
L *
10
4、同或逻辑
(1) 逻辑式: L=A⊙B (2) 真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 0 0 1
L AB AB
只有两变量 参与运算
同入出1 异入出0
同或门 表示反相 L
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
*
4
2、或逻辑（逻辑加）
(1)定义：在决定事物结果的诸条件中只要任何一个满 足，结果就会发生。 A (2)逻辑式：L= A + B
B + _
(3)真值表
设 开关闭合为 1，断开为 0 灯亮为 1，熄灭为 0
A 0 0 B 0 1 L 0 1
L
当逻辑变量A、B中任何一 个为1时，逻辑函数L等于1。 （低低得低）
只有输入A、B同时为0时，输 出L才为1 有1出0 全0出1
或非门 表示反相 L 表示反相
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
1
国 A 外 B
L *
9
3、异或逻辑
(1) 逻辑式: L A B (2) 真值表
A 0 0 B 0 1 L 0 1
L AB AB
只有两变量 参与运算
同入出0 异入出1
分配律
B A.B B.A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1
*
13
2、常用恒等式
AB AC BC AB AC
含A的 原变量 含A的 反变量 含除A以外的 其余因子
冗余 项
如何证明？
检验等式两边的真值表 是否相等
布尔代数化简
布尔代数化简布尔代数是一种数学分支，主要研究逻辑运算以及与之相关的代数结构。
它在计算机科学、电子工程和数理逻辑等领域有重要应用。
在布尔代数中，有一种重要的操作称为布尔化简，它可以将复杂的逻辑表达式化简为简单的形式，以便进行更方便的计算和分析。
本文将详细介绍布尔化简的方法和步骤。
我们来了解一下布尔代数中的基本运算。
布尔代数的运算基础是与（AND）、或（OR）和非（NOT）三种基本逻辑运算。
与运算表示两个逻辑值同时为真时结果为真，否则为假。
或运算表示两个逻辑值中至少有一个为真时结果为真，否则为假。
非运算表示逻辑值的取反，即真变为假，假变为真。
布尔代数中常用的运算规则有德摩根定律、吸收定律、分配律等。
德摩根定律表明对于任意逻辑值x和y，有NOT（x AND y）等于（NOT x）OR（NOT y），以及NOT（x OR y）等于（NOT x）AND（NOT y）。
吸收定律表明对于任意逻辑值x和y，有x OR（x AND y）等于x，以及x AND（x OR y）等于x。
分配律则是表示对于任意逻辑值x、y和z，有x AND（y OR z）等于（x AND y）OR（x AND z），以及x OR（y AND z）等于（x OR y）AND（x OR z）。
在进行布尔化简时，首先需要根据给定的逻辑表达式构建逻辑电路图或真值表。
然后，根据逻辑运算的规则和定律进行逐步化简。
下面，我们来通过一个例子来演示布尔化简的具体步骤。
假设有一个逻辑表达式F=（（A AND B）OR C）AND（D OR E）。
我们可以根据分配律将F化简为（（A OR C）AND（B OR C））AND（D OR E）。
接下来，我们继续应用分配律，将上述表达式化简为（（A AND B）OR（A AND C））OR（（B AND C）OR（D AND E））。
然后，我们可以再次应用分配律和吸收定律，将上述表达式进一步化简为（A AND B) OR (A AND C) OR (B AND C) OR (D AND E)。
逻辑布尔运算
逻辑布尔运算
【实用版】
目录
1.逻辑布尔运算概述
2.逻辑布尔运算的基本运算符
3.逻辑布尔运算的规则
4.逻辑布尔运算的应用实例
正文
逻辑布尔运算，又称为布尔代数，是一种基于数学家乔治·布尔（George Boole）的布尔代数理论的逻辑运算方法。
逻辑布尔运算主要应用于计算机科学和逻辑推理领域，它是计算机程序设计中的基础概念之一。
逻辑布尔运算的基本运算符包括三个：与（∧）、或（∨）和非（）。
其中，与运算表示两个命题同时成立；或运算表示两个命题中至少有一个成立；非运算表示对一个命题的否定。
逻辑布尔运算遵循以下规则：
1.与运算：p ∧ q 为真，当且仅当 p 为真且 q 为真；p ∧ q 为假，当且仅当 p 为假或 q 为假。
2.或运算：p ∨ q 为真，当且仅当 p 为真或 q 为真；p ∨ q 为假，当且仅当 p 为假且 q 为假。
3.非运算：p 为真，当且仅当 p 为假；p 为假，当且仅当 p 为真。
逻辑布尔运算在实际应用中具有重要价值。
例如，在计算机科学中，逻辑布尔运算被广泛应用于条件判断、逻辑推理和算法设计等领域。
逻辑布尔运算还可用于电路设计，布尔代数与逻辑门电路密切相关。
此外，逻辑布尔运算在数理逻辑、哲学、语言学等领域也有重要应用。
总之，逻辑布尔运算是一种重要的逻辑运算方法，它不仅在计算机科学领域具有广泛的应用，还与其他学科领域密切相关。
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布尔代数公理及其他常用逻辑运算
在 1933 年，美国数学家 Edward Vermilye Huntington (1874-1952)
展示了对布尔代数的如下公理化：
交换律：x + y = y +
x。
结合律：(x + y) + z = x + (y + z)。
Huntington等式：n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x。
一元函数符号 n 可以读做‘补’。
Herbert Robbins 接着摆出下列问题： Huntington等式能否缩短为
下述的等式，并且这个新等式与结合律和交换律一起成为布尔代数的
基础? 通过一组叫做 Robbins 代数的公理，问题就变成了：是否所
有的 Robbins 代数都是布尔代数?
Robbins 代数的公理化：
交换律： x + y = y + x。
结合律： (x + y) + z = x + (y + z)。
Robbins等式： n(n(x + y’) + n(x + n(y))) = x。
这个问题自从 1930 年代一直是公开的，并成为 Alfred Tarski 和
他的学生最喜好的问题。
在 1996 年，William McCune 在 Argonne 国家实验室，建造在
Larry Wos、Steve Winker 和 Bob Veroff 的工作之上，肯定的回答
了这个长期存在的问题： 所有的 Robbins 代数都是布尔代数。这项
工作是使用 McCune 的自动推理程序 EQP 完成的。