分式不等式
高中数学解题技巧之分式不等式
高中数学解题技巧之分式不等式分式不等式是高中数学中的一个重要知识点，也是一种常见的解题形式。
在解决分式不等式时，我们需要掌握一些技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，通过分析、说明和举一反三的方式，介绍解决分式不等式的一些常用技巧。
一、简化分式不等式考虑以下的例子：求解不等式$\frac{3}{x+1}>\frac{2}{x}$。
首先，我们可以通过通分的方式，将不等式转化为$\frac{3x}{x(x+1)}>\frac{2(x+1)}{x(x+1)}$。
接下来，我们可以通过消去分母的方式，将不等式转化为$3x>2(x+1)$。
然后，我们可以展开并整理不等式，得到$3x>2x+2$。
最后，我们可以解这个一元一次方程，得到$x>2$。
通过这个例子，我们可以看到，在解决分式不等式时，我们可以通过简化分式、通分、消去分母等步骤，将分式不等式转化为一元一次方程，从而求解不等式的解集。
二、分析分式不等式的定义域考虑以下的例子：求解不等式$\frac{x-2}{x+3}<0$。
首先，我们需要分析不等式的定义域。
对于分式不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$，其中$f(x)$和$g(x)$为多项式，我们需要找到所有使得$g(x)\neq0$的$x$的取值。
在这个例子中，我们需要找到所有使得$x+3\neq0$的$x$的取值，即$x\neq-3$。
接下来，我们可以通过定义域的分析，将不等式分为不同的区间，并在区间上进行讨论。
当$x<-3$时，$x+3<0$，$x-2<0$，所以$\frac{x-2}{x+3}>0$。
当$x>-3$时，$x+3>0$，$x-2<0$，所以$\frac{x-2}{x+3}<0$。
综上所述，不等式的解集为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,2)$。
通过这个例子，我们可以看到，在解决分式不等式时，我们需要先分析分式的定义域，然后将不等式分为不同的区间，并在区间上进行讨论，最终得到不等式的解集。
分式不等式的解法与应用练习
分式不等式的解法与应用练习分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，它由一个分式表达式构成，需要求解使得分式不等式成立的变量范围。
本文将介绍分式不等式的解法与应用，并提供相关的练习题。
一、分式不等式的解法分式不等式的解法包括以下几种常用方法：1. 找零点法：当分式的分子与分母均为线性函数时，我们可以通过找零点的方法求解。
具体步骤如下：（1）将分式不等式化简为分式等式，即分式的分子等于零；（2）求解得到零点，即使分子等于零的解；（3）借助零点将数轴分割成若干个区间；（4）在每个区间内选择一个测试点，代入分式不等式进行判断；（5）根据测试点的结果判断每个区间的解集，最终得到不等式的解集。
2. 变形法：对于一些特殊形式的分式不等式，我们可以通过变形的方法求解。
例如，对于分式不等式$\frac{a}{x} > b$，可以通过以下步骤进行变形：（1）首先将不等式转化成分子与分母同号的形式，即$x > 0$；（2）然后将不等式转化为线性不等式的形式，即$a > bx$；（3）求解得到$x$的范围，即使得线性不等式成立的解；（4）最后将$x$的范围与$x > 0$的条件综合得到分式不等式的解集。
3. 公共倍数法：当分式不等式中含有两个分式项且分母不同的情况下，我们可以通过取两个分母的公共倍数来化简分式，使得不等式的解集更易求解。
二、分式不等式的应用练习以下是一些分式不等式的练习题，供你巩固解题技巧：1. 解方程$\frac{1}{x} > \frac{2}{x-1}$，并求出$x$的取值范围。
2. 解不等式$\frac{4}{x+3} - \frac{2}{x-1} \leq 3$，并求出$x$的取值范围。
3. 已知$\frac{1}{x+2} > \frac{1}{x+1}$，求比$x$大的最小整数范围。
4. 解不等式$\frac{3}{x-4} + \frac{2}{x} > 0$，并求出$x$的取值范围。
分式不等式、高次不等式
高次不等式、分式不等式一、高次不等式1.高次不等式的基本解法是：穿根法；2.穿根法的基本思想：1)画草图；2)因式正负个数的影响。
3.穿根法步骤：1)求根；能否求根是关键；2)确定最高次系数的正负；3)穿根：奇穿偶不穿。
二、分式不等式1.分式不等式的解法基本思想：因式正负个数的影响；2.基本方法：把分式不等式转化为整式不等式；3.转化细节：注意同解变形：分母不能为0。
基本题型解法及易错点一、高次不等式1.因式已经分解好的，直接用穿根法；2.未分解因式的：先分解因式，特别理解下面的分解方法：1)猜根；2)代数式相除。
二、分式不等式的几种类型1.()()f xg x>⇒()g()0f x x⋅>；2.()()f xg x≥⇒()g()0f x x⋅≥且()0g x≠；3.()()()f xh xg x>（含()h x k=）⇒：)()]()()([)()()()()()()(>-⇒>-⇒>-xgxhxgxfxgxhxgxfxhxgxf4.()()()f xh xg x≥（含()h x k=）⇒：)()]()()([)()()()()()()(≥-⇒≥-⇒≥-xgxhxgxfxgxhxgxfxhxgxf且0)(≠xg三、含参的高次、分式不等式1.解含参的不等式：1）参数影响最高次的系数①参数为零优先考虑②参数为正③参数为负2）参数影响几个根之间的大小关系：①解不等式，分情况比出各根的大小关系；②结合参数对最高次系数的影响；③参数出现根的分母中，切记分母不为0。
2.不等式的解确定：1）最高次的系数的正负；2）对应方程的根确定。
例题讲解一、 高次不等式例1：解(1)(2)(3)0x x x --->解：1） 对应方程的根为：1231,2,3x x x ===2） 最高次的系数为：正所以不等式的解为：3x >或12x <<。
例2：解23(2)(3)(1)0x x x ---<解：1） 对应方程的根：1231,2,3x x x ===2） 方程根的重数：22x =二重根，33x =三重根3） 最高次前的系数为：负所以不等式的解为：1x <或3x > 。
分式不等式教案
分式不等式教案教案标题：分式不等式教案教案目标：1. 学生能够理解分式不等式的概念和性质。
2. 学生能够解决包含分式不等式的实际问题。
3. 学生能够运用不同的方法解决分式不等式，并能够正确地表示解集。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔和投影仪。
2. 教师准备分式不等式的例题和练习题。
3. 学生准备纸和铅笔。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 教师通过投影仪展示一个实际问题，其中包含分式不等式。
2. 教师引导学生思考，讨论如何用分式不等式来表示这个问题。
讲解（15分钟）：1. 教师简要介绍分式不等式的概念和性质。
2. 教师通过例题演示如何解决分式不等式。
3. 教师解释不同方法解决分式不等式的优缺点。
练习（20分钟）：1. 学生独立或分组完成练习题。
2. 教师巡视并提供必要的指导和帮助。
3. 学生互相讨论和检查答案。
总结（10分钟）：1. 教师进行总结，强调重点和难点。
2. 教师解答学生提出的问题。
3. 教师布置下节课的预习任务。
教学延伸：1. 学生可以进一步探究分式不等式在实际问题中的应用。
2. 学生可以尝试解决更复杂的分式不等式，并讨论解决方法的有效性。
评估方式：1. 教师可以通过观察学生在课堂上的参与度和练习题的完成情况来评估学生的学习情况。
2. 教师可以设计一个小测验来评估学生对分式不等式的理解和应用能力。
教案反思：在教案中，我尽量简明扼要地介绍了分式不等式的概念和性质，并通过例题演示了解决方法。
我还提供了一些练习题让学生巩固所学知识。
然而，在教学过程中，我可能需要更多的时间和机会让学生进行思考和互动。
在未来的教学中，我将更加注重学生的参与和思考，鼓励他们提出问题和分享解决方法。
分式不等式解法公式(二)
分式不等式解法公式(二)分式不等式解法公式1. 一元一次不等式求解公式•当分子是与x相关的一元一次不等式时，可以通过求解分子中的一元一次方程来求解整个分式不等式。
>3示例：解不等式2x−14=3首先，将不等式转化为方程2x−14解方程得到2x−1=12继续求解得到x=132所以，原不等式的解是x>1322. 一元二次不等式求解公式•当分式的分母是一个一元二次不等式时，可以通过求解分母的一元二次不等式来求解整个分式不等式。
≤0示例：解不等式x+3x2−5x+6首先，分解分母得到x2−5x+6=(x−2)(x−3)然后，列出分母的区间表x−2>0,x−3>0,x−2<0,x−3<解方程得到x>2,x>3,x<2,x<3最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,2)∪(2,3)所以，原不等式的解是x∈(−∞,2)∪(2,3)3. 有理不等式求解公式•当分子和分母都是有理式的不等式时，可以通过将有理式通分后，结合分子和分母的正负性，来求解整个有理不等式。
示例：解不等式x+2x−1−x−1x+2>0首先，通分得到(x+2)(x+2)−(x−1)(x−1)(x−1)(x+2)>0展开并化简得到x 2+4x+4−(x2−2x+1)x2+x−2>0进一步化简得到6x+3x2+x−2>0然后，列出分子和分母的区间表6x+3>0,x2+x−2>0解方程得到x>−12,x>12,x<−2,x<1最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,−2)∪(−12,1)所以，原不等式的解是x∈(−∞,−2)∪(−12,1)4. 绝对值不等式求解公式•当分式中含有绝对值时，可以通过绝对值的性质来求解整个分式不等式。
示例：解不等式|x−2x+1|<2首先，将不等式转化为两个不等式x−2x+1>−2和x−2x+1<2解方程得到x>−32和x<1所以，原不等式的解是x∈(−32,1)以上是几种常见的分式不等式解法公式，可以根据不同问题选择合适的解法公式来解决分式不等式问题。
数学人教A版必修五第三章 3.2 第2课时分式不等式
第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .知识点三 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于x －5x ＋3>0等价于(x －5)(x ＋3)>0，故y ＝x －5x ＋3与y ＝(x －5)(x ＋3)图象也相同．( × )2．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .( × )3．对于ax 2＋3x ＋2>0，当a ＝1时与a ＝－1时，对应的不等式解集不能求并集．( √ ) 4．(ax ＋1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋1)>0.( × )题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，⎩⎭(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.⎩⎭题型二 不等式恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围． 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]， 则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.题型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－x n)，不妨设x1<x2<x3<…<x n.其图象有两个特点：①当x＞x n时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－x n＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)<0)的解集．如第三个不等式解集为(0,1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．典例解不等式x－1x(x＋1)＞0.解x－1x(x＋1)＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，穿针引线：解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[素养评析]穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2. 2．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．[1,2]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 答案 D解析 由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.3．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，2]D ．(－1,2]答案 D解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x－2x＋1≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.4．若不等式x2＋x＋k<0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是．答案(－∞，－2)解析x2＋x＋k<0，即k<－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k<[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k<－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，(x －1)(2x ＋1)≤0，解得－12<x ≤1.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4]答案 D解析 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1<0无解，符合题意． 当a <0时，ax 2－ax ＋1<0解集不可能为空集． 当a ＞0时，要使ax 2－ax ＋1<0解集为空集，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈[0,4]．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅ 答案 A解析 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点， 又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(－3,0) D ．(－1,3) 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.二、填空题9．不等式5－xx ＋4≥1的解集为 ．答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析 因为5－x x ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.10．若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (－1,0]解析 当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．11．(2018·上饶模拟)当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则实数a 的最小值为 ． 答案 －2解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0时，有f (0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2<0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 三、解答题12．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立， 综上所述，－2<a ≤2.13．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由题意可得a <0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a <0,0<α<β， ∴由②得c <0，则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α， 即不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a <0，∴由cx 2＋bx ＋a <0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1β或x ＞1α.14．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ． 答案 [－3,2)解析 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解，∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0.∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ， 又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2)． 15．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在数学学科中，我们经常会遇到分式方程和分式不等式的求解问题。
分式方程是指含有分数形式的方程，而分式不等式则是含有分数形式的不等式。
本文将介绍分式方程和分式不等式的基本解法。
一、分式方程的解法分式方程的解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程中的分式化简为整式，消除分式。
2. 通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程。
3. 求解一元一次方程，得到方程的解。
举例说明：假设我们要解以下分式方程：(2/x) + 1 = 5首先，我们将方程中的分式化简为整式：2/x + 1 = 5然后，通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程：2 + x = 5x接下来，我们求解一元一次方程，得到方程的解：2 = 5x - xx = 1/2因此，原方程的解为x = 1/2。
二、分式不等式的解法分式不等式的解法可以分为以下几个步骤：1. 将不等式中的分式化简为整式。
2. 根据不等式的性质，进行等价变形。
3. 确定不等式的解集。
举例说明：假设我们要解以下分式不等式：(3/x) - 2 ≥ 1首先，我们将不等式中的分式化简为整式：3/x - 2 ≥ 1然后，根据不等式的性质，进行等价变形：3/x ≥ 3x ≤ 1最后，确定不等式的解集：解集为x ≤ 1。
分式方程的解法包括将分式化简为整式、转化为一元一次方程、求解一元一次方程等步骤。
而分式不等式的解法则包括将分式化简为整式、进行等价变形、确定解集等步骤。
掌握这些解法，我们就能够准确地求解各种类型的分式方程和不等式问题。
通过以上的讲解，我们对分式方程与分式不等式的解法有了更深入的理解。
希望本文对您在学习和应用中有所帮助。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$解分式不等式的一般步骤如下：1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。
等式$2x-5y<0$的解。
结论本文简要介绍了分式方程和分式不等式的解法。
对于分式方程，我们通过通分和整理方程，将其转化为整式方程来求解。
对于分式不等式，我们通过通分和整理不等式，将其转化为整式不等式来求解。
分式方程与分式不等式应用题解析
分式方程与分式不等式应用题解析在数学领域中，分式方程和分式不等式是我们经常遇到的两个概念。
它们在实际生活和工作中有着广泛的应用。
本文将深入探讨分式方程与分式不等式的应用题解析，为读者提供全面的理解和解决问题的方法。
一、分式方程的应用题解析分式方程是一个含有分式的方程，其中未知数出现在分母或分子中。
下面我们通过几个应用题来解析分式方程的应用。
应用题1：某地天然气公司按下列电价表收费，计算某用户一月的天然气费用：若使用不超过40立方米，单价为0.8元/立方米；若使用超过40立方米但不超过100立方米，前40立方米单价为0.8元/立方米，超过40立方米的部分单价为0.6元/立方米；若使用超过100立方米，前40立方米单价为0.8元/立方米，40立方米到100立方米的部分单价为0.6元/立方米，超过100立方米的部分单价为0.4元/立方米。
解析：设用户使用天然气的量为x立方米，利用分式方程可以表示用户一月的天然气费用。
根据题意，我们可以列出以下等式：费用 = 单价 ×用量当使用不超过40立方米时，费用为0.8x元；当使用超过40立方米但不超过100立方米时，费用为0.8×40 + 0.6(x-40)元；当使用超过100立方米时，费用为0.8×40 + 0.6×(100-40) + 0.4(x-100)元。
从而得到了这个分式方程的应用题的解析方法。
应用题2：某项工程需要7天由甲、乙两台机器分别工作，由于甲机器工作效率高于乙机器工作效率的1/3，甲机器比乙机器早1天开始工作。
求甲机器和乙机器完成整个工程所需的天数。
解析：设乙机器完成整个工程所需的天数为x天，则甲机器完成整个工程所需的天数为x-1天。
根据题意，我们可以列出以下等式：乙机器每天的工作效率为1/x，甲机器每天的工作效率为1/(x-1)。
根据乙机器完成整个工程所需的天数的效率是甲机器的1/3，我们可以得到以下分式方程：1/x = (1/(x-1)) + 1/3通过解分式方程，可以找到乙机器和甲机器完成整个工程所需的天数的解。
分式不等式解法
x
x
4 3
或x
5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 或x 3
5
7
2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x2 x2
2x 24 7x 12
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分式不等式
1. 不等式222310372xxxx的解集是
2. 不等式3113xx的解集是 (-2，3)
3. 不等式2223712xxxx的解集是
4. 不等式1111xxxx的解集是
5. 不等式229152xxx的解集是
6. 不等式22320712xxxx的解集是
7. 不等式2121xxx的解集是
8. 不等式2112xx的解集是 (1，2)
9. 不等式23234xx的解集是
10. 不等式2212(1)(1)xxx的解集是
11. 不等式2206xxxx的解集是
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12. 不等式2121xxx的解集是
13. 不等式2321xxxx的解集是
14. 不等式211(3)x的解集是
15. 不等式(23)(34)0(2)(21)xxxx的解集是
16. 不等式2311xx的解集是 [-1，2]
17. 不等式1230123xxx的解集是
18. 不等式25214xx的解集是
19. 不等式221421xxx的解集是
20. 不等式221(1)(2)xxx的解集是
21.（1）303202xxxx与
（2）303202xxxx与
22.解不等式：22320712xxxx
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23.解不等式：22911721xxxx
24.解不等式：22560(0)32xxxx
25.解不等式：2121332xxxx
26.解不等式：22331xxx
27.302xx（首相系数化为正，空实心）
28.2113xx（移项通分，右侧化为0）
29.2232023xxxx（因式分解）
30.22102xxx（求根公式法因式分解）
31.3221603xxxx（恒正式，重根问题）