分式不等式的解法
分式不等式的解法
专题1 分式不等式的解法学习目标：1．掌握通过分式不等式转化为一元二次不等式求解，分母不为零；2．掌握分式不等式含参的分类讨论.预习检测：1.x−3x+7<0 2. 1−2x x+1>0 3. 1x <12 4. 2x+1x−3≥2x+13x−2新课讲授：归纳分式不等式的解法：（1） 化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式 （2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如：f(x)g(x)>0⇔ f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0⇔f(x)g(x)<0()0()f x g x ≥⇔{f(x)g(x)≥0g(x)≠0 ()0()f xg x ≤⇔{f(x)g(x)≤0g(x)≠0 （3）注意：分母不为零，x 系数为正典型例题：1.5−2x 5x+2≤0 2.x 2−9x+11x 2−2x+1≥7 3. (x−k)(x+3)x+2≤x +14. 当m 为何值时，x 2+mx−12x 2−2x+3<1对任意的x ∈R 都成立？ 5. 已知不等式ax+1x−1<0(a ∈R )． （1）当a =2时，解这个不等式；（2）若ax+1x−1≤1−x 对∀x ∈(−∞,0)恒成立，求实数a 的最大值．课后习题：1. 关于x 的不等式1x <1的解集为（ ） A ．{x |x >1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <0或x >1}D ．{x |x <0或0<x <1} 2. 不等式x+26−2x ≥0的解集是（ ）A ．{x|−2≤x <3}B ．{x|x ≤−2或x ≥3}C ．{|23}x x -≤≤D ．{x|x ≤−2或x >3} 3. 解关于x 的不等式：(a−1)x+(2−a)x−2>0 (a ≠1)。
教学知识点解简单的分式不等式
教学知识点解简单的分式不等式分式不等式是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和推理推导中具有广泛的应用。
通过这篇文章，我们将详细介绍如何解简单的分式不等式。
一、基本概念在开始讨论分式不等式之前，我们先回顾一下分式和不等式的基本概念。
1. 分式分式由分子和分母构成，形如a/b的表达式，其中a和b都是实数。
我们通常将分式记作F(x)，其中x为自变量。
2. 不等式不等式是数学中用不等号表示的关系式，表示两个数之间的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
二、分式不等式的解法解分式不等式的关键是找到使得分式取相应值的自变量范围。
接下来，我们将介绍两种常见的解法。
1. 通分法通分法是解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是将不等式中的分式形式转化为通分形式，然后根据分子和分母的正负关系来确定积的正负性。
例如，对于一个简单的分式不等式：(x+1)/3 < 2，我们可以通过将3分母乘以2得到6，然后得到新的不等式：2(x+1)/6 < 2。
接着我们可以进一步将不等式转化为(x+1)/3 < 3的形式，然后解得：-4 < x < 8。
2. 负号判定法负号判定法是另一种解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是根据分子和分母的正负关系来确定不等式的解集。
对于一个简单的分式不等式：(x-1)/(x+2) > 0，我们可以通过分析分子和分母的正负性来确定不等式的解集。
首先，我们可以得出x ≠ -2，因为分母不能为0。
然后，我们可以使用表格法绘制x-1和x+2的正负号：x | -2 | 1 |---|-----|----|x-1| - | + |x+2| 0 | + |从表格中我们可以观察到，当x< -2或1 < x时，(x-1)/(x+2) > 0。
因此，解集为x < -2或1 < x。
三、实例分析在本节中，我们将通过一个具体的实例来演示如何解简单的分式不等式。
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
分式不等式解法公式(二)
分式不等式解法公式(二)分式不等式解法公式1. 一元一次不等式求解公式•当分子是与x相关的一元一次不等式时，可以通过求解分子中的一元一次方程来求解整个分式不等式。
>3示例：解不等式2x−14=3首先，将不等式转化为方程2x−14解方程得到2x−1=12继续求解得到x=132所以，原不等式的解是x>1322. 一元二次不等式求解公式•当分式的分母是一个一元二次不等式时，可以通过求解分母的一元二次不等式来求解整个分式不等式。
≤0示例：解不等式x+3x2−5x+6首先，分解分母得到x2−5x+6=(x−2)(x−3)然后，列出分母的区间表x−2>0,x−3>0,x−2<0,x−3<解方程得到x>2,x>3,x<2,x<3最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,2)∪(2,3)所以，原不等式的解是x∈(−∞,2)∪(2,3)3. 有理不等式求解公式•当分子和分母都是有理式的不等式时，可以通过将有理式通分后，结合分子和分母的正负性，来求解整个有理不等式。
示例：解不等式x+2x−1−x−1x+2>0首先，通分得到(x+2)(x+2)−(x−1)(x−1)(x−1)(x+2)>0展开并化简得到x 2+4x+4−(x2−2x+1)x2+x−2>0进一步化简得到6x+3x2+x−2>0然后，列出分子和分母的区间表6x+3>0,x2+x−2>0解方程得到x>−12,x>12,x<−2,x<1最后，根据分数的正负性得到x∈(−∞,−2)∪(−12,1)所以，原不等式的解是x∈(−∞,−2)∪(−12,1)4. 绝对值不等式求解公式•当分式中含有绝对值时，可以通过绝对值的性质来求解整个分式不等式。
示例：解不等式|x−2x+1|<2首先，将不等式转化为两个不等式x−2x+1>−2和x−2x+1<2解方程得到x>−32和x<1所以，原不等式的解是x∈(−32,1)以上是几种常见的分式不等式解法公式，可以根据不同问题选择合适的解法公式来解决分式不等式问题。
分式不等式的解法与应用
分式不等式的解法与应用分式不等式是指一个或多个分式的大小关系。
解分式不等式需要使用一系列的求解方法和技巧。
本文将介绍分式不等式的解法与应用，并以实际问题为例说明其在实际中的应用。
一、基本概念在解分式不等式之前，我们先了解一些基本概念：1. 严格不等式和非严格不等式：严格不等式使用"<"或">"表示，非严格不等式使用"≤"或"≥"表示。
2. 分母不为0：在分式不等式中，分母不能为0，即分母不等于0。
二、解分式不等式的一般步骤解分式不等式的一般步骤如下：1. 确定不等式的定义域：将分母不等于0的条件列出，得到不等式的定义域。
2. 求解不等式的等价形式：将不等号转化为等号，得到不等式的等价形式。
3. 求解等价形式中的方程：将等价形式中的方程求解，得到不等式的解集。
4. 判断解集的正负情况：根据不等式的定义域和解集的正负情况，确定最终的解集。
三、分式不等式的解法1. 基本不等式的解法：对于一元一次分式不等式，可以使用基本不等式的解法来求解。
将不等式化为一个基本不等式，然后根据基本不等式的解法求解。
2. 分离变量法：对于一些特殊的分式不等式，可以使用分离变量法来求解。
将分式不等式拆分为两个不等式，然后对每个不等式进行求解，并确定最终的解集。
3. 全等变换法：对于某些具有特殊结构的分式不等式，可以使用全等变换法来求解。
通过变换分式不等式的形式，使得求解过程更加简单明了。
4. 图像法：对于一些复杂的分式不等式，可以使用图像法来求解。
绘制函数对应的图像，观察曲线和坐标轴的位置关系，通过图像来推断和确定不等式的解集。
四、分式不等式的应用分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以一个实际问题为例，说明分式不等式的应用：问题：某工人一天加工铁件个数至少为x个，且一小时加工铁件个数不得超过y个。
求出满足这个条件的x和y的取值范围。
分式不等式的解法
分式不等式的解法郭浴琼目标：掌握简单的分式不等式的解法．重难点：简单的分式不等式的解法．一．知识要点1.进行同解变形：()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>；分式不等式转化为整式不等式来解．()()()0()00()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩； 2.有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但必须注意分母不为零．二．例题精讲例1.解关于x 的不等式。
（1）222232x x x x x +-<+-；（2）2251031372x x x x -+≥-+.例2.已知对任意x R ∈，总有222321x tx x x +--<<-+，求实数t 的取值范围． 例3.设1a <，解关于x 的不等式2220x ax a x x a +>+--．例4.设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-，试求不等式()1x f x ≤的解集．例5.若不等式()()0x a x b x c ++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞，求a+b 的值。
例6.已知函数()23x f x x a +=-（x a ≠，a 为非零常数）． （1）解不等式()f x x <；（2）设x a >，()f x 的最小值为6，求a 的值．例7.（1）解关于x 的不等式220ax x a x a --+≤；（2）解关于x 的不等式221ax x +≥+； （3）已知关于x 的不等式()()2226149282120k k x k x k k ⎡⎤⎡⎤++-+--<⎣⎦⎣⎦的解集M 与整数集Z 满足{}1MZ =，求实数k 的取值范围．。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在数学学科中，我们经常会遇到分式方程和分式不等式的求解问题。
分式方程是指含有分数形式的方程，而分式不等式则是含有分数形式的不等式。
本文将介绍分式方程和分式不等式的基本解法。
一、分式方程的解法分式方程的解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程中的分式化简为整式，消除分式。
2. 通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程。
3. 求解一元一次方程，得到方程的解。
举例说明：假设我们要解以下分式方程：(2/x) + 1 = 5首先，我们将方程中的分式化简为整式：2/x + 1 = 5然后，通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程：2 + x = 5x接下来，我们求解一元一次方程，得到方程的解：2 = 5x - xx = 1/2因此，原方程的解为x = 1/2。
二、分式不等式的解法分式不等式的解法可以分为以下几个步骤：1. 将不等式中的分式化简为整式。
2. 根据不等式的性质，进行等价变形。
3. 确定不等式的解集。
举例说明：假设我们要解以下分式不等式：(3/x) - 2 ≥ 1首先，我们将不等式中的分式化简为整式：3/x - 2 ≥ 1然后，根据不等式的性质，进行等价变形：3/x ≥ 3x ≤ 1最后，确定不等式的解集：解集为x ≤ 1。
分式方程的解法包括将分式化简为整式、转化为一元一次方程、求解一元一次方程等步骤。
而分式不等式的解法则包括将分式化简为整式、进行等价变形、确定解集等步骤。
掌握这些解法，我们就能够准确地求解各种类型的分式方程和不等式问题。
通过以上的讲解，我们对分式方程与分式不等式的解法有了更深入的理解。
希望本文对您在学习和应用中有所帮助。
分式不等式的解法
(4)当a<0时,原不等式解集为：
小结：
{x | a 2 < x < 2} a 1
１．本题对 a实施了两次讨论，第一次就“a>1,a<1” 分类讨论，第二 次在“a<1”的前提下，又就与2的关系进行分类讨论。
２．解含字母的分式不等式：
①必须分清对字母分类讨论的依据
练一练：
3x 5 2
x2 2x 3
解：
3x 5 x2 2x 3 2
x
2
3x 5 2x
3
2
0
2x2 x 1 x2 2x 3
0
(2x 1)(x 1) ( x 3)(x 1)3)(x
1)
0
+
-3
o
-
-1 +
- 1/2
Ⅱ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合序轴标 根法求解！注意点:
（1）x的系数必须是正数； （2）分清空实点； （3）奇穿偶不穿。
(1) : ( x 1)( x 2) < 0 2x 1
(2) : ( x 1)( x 2) 0 2x 1
(3) : ( x 1)2 ( x 2)3 0 2x 1
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
例1 ：解不等式
x 1 1 2x 1
解：当2x 1 0，即x 1 时
2
原不等式可化为x 1 2x 1
则x 2 x 1
当2 x
1
<
2
0，X即 ≥-2与xX><-1/2
1 2
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——分式不等式
复习旧知：
x 1 解方程： 2 3x 2
分式方程
概念新授
• 分式方程
f ( x) 形如 （其中 0 f ( x)、g ( x)为整式且g ( x) 0）的方程。 g ( x)
• 分式不等式：
f ( x) f ( x) 形如 0或 （其中 0 f ( x)、g ( x)为整式且g ( x) 0）的不等式。 g ( x) g ( x)
(ax b)( cx d ) 0
cx d 0 ( ax b )( cx d ) 0
一元高次不等式的标根法
2
总结：
ax b 0 cx d ax b 0 cx d ax b 0 cx d ax b 0 cx d
cx d 0 ( ax b )( cx d ) 0
(ax b)( cx d ) 0
cx d 0 ( ax b )( cx d ) 0 cx d 0 ( ax b )( cx d ) 0
2 3 3、解不等式： 3 5x
分式不等式的解法
x8 解不等式： 2 2 x 2x 3
分式不等式的解法应用
• （1）当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)的解是正数？
（2）当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2)的解是负数？
分式不等式的解法应用
x -6 2 - 3x 已知集合A {x | x 4} 、B {x | 0} 、C {x | 1}, 1 x 1 2x 求A B, A C, B C
旧知引入：
请写出下列命题的充要条件： 1、“a<0且b<0”的充要条件是__________. 2、“a>0且b>0”的充要条件是__________. 3、“a、b异号”的充要条件是__________.
发现问题：
x 1 2 • 解不等式： 3x 2
判断下列解题步骤正确与否？ 请给出正确的解题步骤：
解：x 1 2(3 x 2) 5x 5 0 x 1
分析问题：
x 1 0 解不等式： 3x 2
思 考 两 个 不 等 式 之 间 的 关 系 ？
解不等式：( x 1)(3x 2) 0
解等式组： 结论：
x 1 2 解不等式： 3x 2
解：
x 1 20 3x 2 5x 5 0 3x 2
3 x 2 0 ( 5 x 5 )( 3 x 2 ) 0
2 x 1 3 2 原不等式解集为： ( ， 1) 3
练习巩固
x-2 1、解不等式： 0 x3 1- x 0 2、解不等式： 2x 5