简单分式不等式的解法

解： 转化为 整理，得 即 故，解集为
2004年10; 2 > 0, −3 x + 2 −7 x + 5 > 0, −3 x + 2
(7 x − 5)(3 x − 2) > 0,
2 5 −∞, U , +∞ 3 7
解法小结2 解法小结2
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m＝3，那么原方程无解.
2004年10月21日 2004年10月21日
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax + b > 0 ⇔ ( ax + b)(cx + d ) > 0 cx + d
(ax + b)(cx + d ) ≥ 0 ax + b ≥0⇔ cx + d cx + d ≠ 0
2004年10月21日 2004年10月21日
解法小结1 解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax + b < 0 ⇔ ( ax + b)(cx + d ) < 0 cx + d
(ax + b)(cx + d ) ≤ 0 ax + b ≤0⇔ cx + d cx + d ≠ 0
2004年10月21日 2004年10月21日
试解不等式：
( x + 1)( x − 3) ≥ 0
试解不等式：
x +1 > 0. 3x − 2
分析：当且仅当分子 分析：当且仅当分子 x + 1与分母 3 x − 2 同号时， 同号时， 上述不等式成立，而两个数的商与积同号 上述不等式成立，而两个数的商与积同号. 因此，上述不等式可转化为 整式不 等式 ( x + 1)( 3x − 2 ) > 0 所以，原不等式的解集为
解：
整理后得，
( x − 1)( x + 2) ≥0 ( x − 1)( x + 3)
( x + 2)( x + 3) ≥ 0,
( x − 1)( x + 3) ≠ 0.
所以解集为
(−∞, −3) U [−2,1) U (1, +∞).
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解法小结3 解法小结3
x + 1 > 0, (1) 3 x − 2 > 0; x + 1 < 0, ( 2) 3 x − 2 < 0.
或
2 ( , +∞) ，不等式组(2)的解集是 (−∞, −1) 不等式组(1)的解集是 3
2 所以，原不等式的解集为 (−∞, −1) U ( , +∞). 3
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思路总结
分式不等式
同解 变形
整式不等式
化 归
未知
等价 变换
已知
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练习
解：
移项，得 即
x 2 − 2 x − 24 > −2 2 x − 7 x + 12
3 x 2 − 16 x >0 2 x − 7 x + 12
x( x − 3)( x − 4)(3x − 16) > 0
整理可得，
某地铁站上，甲乙两人为了赶 地铁，分别从楼梯和运行中的 自动扶梯上楼（楼梯和自动扶 自动扶梯上楼（楼梯和自动扶 梯的长度相同） 梯的长度相同）.如果甲的上楼 速度是乙的2 速度是乙的2倍，他俩同时上 楼，且甲比乙早到楼上. 楼，且甲比乙早到楼上. 问： 甲的速度至少是自动扶梯运行 速度的几倍？
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m 3，那么原方程的解是 x = 方程的解是正数，即
m+6 > 0, m−3
m+6 , m−3
得解集
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(−∞, −6) U (3, +∞).
应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
( x − 1)( x + 2) >0 ( x − 1)( x + 3)
x+2 >0 x+3
x −1 ≠ 0
即
( x + 2)( x + 3) > 0 x −1 ≠ 0
所以解集为
(−∞, −3) U (−2,1) U (1, +∞).
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改为如下不等式又如何？
定义
s s . < v v +v 0 2
v是未知数， 且在分母中
• 分子、分母都是整式，并且分母含有未知 分子、分母都是整式， 都是整式
数的不等式叫做分式不等式. 数的不等式叫做分式不等式.
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试解不等式：
x +1 > 0. 3x − 2
分析： 分析：当且仅当分子 x + 1与分母 3 x − 2 同号时， 同号时， 上述不等式成立. 上述不等式成立. 因此
简
思考：不等式
解：
⇔
x +1 ≥ 0的解 3x − 2
x +1 ≥0 3x − 2
( x + 1)(3x − 2) ≥ 0
3x − 2 ≠ 0
所以，原不等式的解集为
2 ( −∞, −1] U , +∞ . 3
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解法小结1 解法小结1
解：
移项、通分得
x +1 ≥2 3x − 2 −5 x + 5 ≥ 0. 3x − 2
(5 x − 5)(3x − 2) ≤ 0, 3x − 2 ≠ 0.
所以
解得
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2 x | < x ≤ 1 . 3
试解不等式：
解：
约分，得
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分析与解
设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的 运行速度为 v0 . 于是甲上楼所需的时间为 乙上楼所需的时间为 由题意，得
s s < . v v +v 0 2
v > 2v0 .
2004年10月21日 2004年10月21日
s , v
s v v0 + 2 ,
0 3 4
16 3
解集为
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16 (−∞, 0) U (3, 4) U ( , +∞). 3
作业和练习
• 练习册第10页11题 练习册第10页11题 • 研读《导引》29～34页 研读《导引》29～34页
下 课！
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的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
原方程可化为
(m − 3) x = m + 6,
如果m 3，那么原方程的解是 x = 方程的解是负数，即
m+6 < 0, m−3
m+6 , m−3
得解集
2004年10月21日 2004年10月21日
(−6,3).
解法综述
• 对于分子、分母可约分的分式不等
式，先约去公因式，再把它等价转 换成前面讨论过的情形。
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应用
• 当m为何值时，关于x的方程m(x-1)=3(x+2) 为何值时，关于x 方程m 1)=3(x
的解是正数？ 为何值时，方程的解是负数？ 的解是正数？m为何值时，方程的解是负数？
• 解分式不等式的基本思路是将其转化 解分式不等式的基本思路 基本思路是将其转化
为整式不等式。在此过程中，等价性 尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是先将它化归为 f ( x) > 0 g ( x) 等形式，再实施同解变形. 等形式，再实施同解变形.
f ( x) > 0 ⇔ f ( x) ⋅ g ( x) > 0 g ( x) f ( x) ⋅ g ( x) ≥ 0 f ( x) ≥0⇔ g ( x) g ( x) ≠ 0
简单分式不等式的解法
上海· 上海·格致中学 郑仲义
问题
• 某地铁站上，甲乙两人为了赶地铁，分别
从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和 从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和 自动扶梯的长度相同） 自动扶梯的长度相同）.如果甲的上楼速度 是乙的2 是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到 楼上. 楼上. 问：甲的速度至少是自动扶梯运行速 度的几倍？
ax + b (a ' x + b ') >k ⇔ >0 cx + d (cx + d )
ax + b (a ' x + b ') <k ⇔ <0 cx + d (cx + d )
移项、通分、化整式
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试一试： 试一试：
x +1 ≥ 2. 3x − 2