分式不等式的解法
高中数学 必修5 简单分式不等式的解法
课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。
相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。
含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f ( x) g ( x)
0
f (x) g ( x)
g(x) 0
0
例4：解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
0 问：如果不等式是
x2 3x2 x2 2x3
该如何解？
例题2：解不等式
x2 2x 24 x2 7x 12 2
解：移项通分得
3x2 16x x2 7x 12
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3 x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0
x
5
0
即原不等式的解集为
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
分式不等式解法课件
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$，分子为正数，分母为 负数，解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中，是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来，形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中，需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$，可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$，从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______．
答案
$(- infty ， - 3) cup lbrackfrac{5}{2}， + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号，然后根据不等式的性质 求解。
分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母
分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。
一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。
然后因式分解找零点，用穿针引线法。
分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。
1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。
分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。
解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。
高一数学分式不等式及其解法
专题讲解 分式不等式及其解法资料编号:20190725分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解; （3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解; （4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f . 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.例1. 解不等式012<-+xx . 解:原不等式可化为:012>-+x x ,它的同解不等式为:()()012>-+x x 解之得:1>x 或2-<x ∴原不等式的解集为{}21-<>x x x 或.例2. 解不等式21-+x x ≤2. 解:原不等式可化为:25--x x ≥0,它的同解不等式组为:()()⎩⎨⎧≠-≥--02052x x x解之得:x ≥5或2<x ∴原不等式的解集为{}25<≥x x x 或.例3. 解不等式51372>++x x . 解: ()()0125101275012750513751372222222<+--⇒<++-⇒>+-+-⇒>-++⇒>++x x x x x x x x x x x x x ∵012>+x∴原不等式的同解不等式为:()()0251<--x x解之得:152<<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<152x x . 习题1. 解下列不等式:（1）xx -+32≥0; （2）14312>--x x .习题2. 若集合{}3121≤+≤-=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02x x x B ,则=B A ____________. 习题3. 不等式xx 1+≤3的解集为____________. 例4. 解不等式0322322<--+-x x x x . 解:原不等式可化为:()()()()03121<-+--x x x x 它的同解不等式为:()()()()03211<---+x x x x由标根法解之得:11<<-x 或32<<x ∴原不等式的解集为{}3211<<<<-x x x 或.提示:分式不等式经过等价变形后,如果是高次不等式,应结合序轴标根法求解. 注意:（1）未知数的系数化为正数;（2）奇穿偶不穿.习题4. 解不等式:32532-+-x x x ≥2.含参数的分式不等式的解法举例例5. 解关于x 的不等式:02<--a x a x . 解:原不等式的同解不等式为:()()02<--a x a x当2a a >,即10<<a 时,原不等式的解集为{}a x a x <<2;当2a a =,即0=a 或1=a 时,原不等式的解集为∅;当2a a <,即1>a 或0<a 时,原不等式的解集为{}2a x a x <<.习题5. 解关于x 的不等式:01>+-x x a .例6. 解关于x 的不等式:()121>--x x a )1(≠a . 解:原不等式可化为:()()[]0212>-+--a x a x当1>a 时,原不等式可化为:()0122>⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x ∵01122>-=---a a a a ,∴122-->a a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧--<>122a a x x x 或; 当1<a 时,原不等式可化为:()0122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x①若122-->a a ,即0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212x a a x ; ②若122--=a a ,即0=a 时,原不等式的解集为∅; ③若122--<a a ,即10<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122a a x x . 习题6. 解关于x 的不等式:12>-x ax .例7. 已知关于x 的不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,求不等式()()b x a xc x ---≤0的解集. 解:∵不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴3,1,2=-==b a c 或1,3,2-===b a c ∴()()b x a x c x ---≤0即()()312-+-x x x ≤0 解之得:1-<x 或2≤3<x ∴不等式()()b x a x c x ---≤0的解集为{}321<≤-<x x x 或.。
分式不等式求解
分式不等式求解：1.一般分式不等式求解：ax−bcx−d>0(仅针对ac≠0的情况)解法一：ax−b>0 或ax−b<0cx−d>0 cx−d<0解法二：（ax−b）（cx−d）>0等价于函数：y=（ax−b）（cx−d）图像（曲线）在x轴上方时候x的取值范围。
y=ac x2- (ad + cb )x+ bd[1]ac>0时，不等式解集为（x1，x2），x1=min{ba ,dc}; x2=max{ba,dc};[2]ac>0时, 不等式解集为（-∞, x1）U ( x2 , +∞），x1=min{ba ,dc}; x2=max{ba,dc};2.易错题型及其解法：ax−bcx−d>m(m≠0)正确解法：先移项后通分再求解。
ax−bcx−d>m步骤一：ax−bcx−d−m>0步骤二：ax−bcx−d −m cx−dcx−d>0ax−b−m（cx−d）cx−d>0解法如1所示。
错误解法：ax−b>mcx−d解：ax−b>m(cx−d)并以此求解，属于错误解法。
错误原因：无法确定(cx−d)的正负性，若(cx−d)为正数，则ax−b>m(cx−d)成立；若(cx−d)为负数，则ax−b>m(cx−d)不成立，需改为ax−b<m(cx−d)。
因为从ax−b>mcx−d转化为：ax−b>m(cx−d) ax−b<m(cx−d)或等价于方程左右两边同时乘以(cx−d)，此时若(cx−d)为正数不等号无需改变，若(cx−d)为负数，需改变不等号。
>1例如：x−42x−5>1；错误解法：因为x−42x−5所以x-4>2x-5明显不大于1，故而答案错误。
可得：x<1（错误）例如x=0时，45>1正确解法：x−42x−5-1>0解：x−42x−51−x>02x−5（1−x）（2x−5）>0因为-1x2=-2<0所以解集为（-∞, 1）U ( 2.5, +∞）。
分式不等式的解法
x 1 x 2 x 6 5、不等式 0 2 x 3
1 7、不等式 0 x 1 x
x x 3 0 6、不等式 9 x2 a x 1 1 8. 不等式 x2
11. 不等式
x2 x 0 的解集是 x2 x 6
3x x 2 的解集是 x x 1
x2 2 x 1 0 x2
9. 不等式
2x 3 2 的解集是 3x 4
10. 不等式
x2 1 2 的解集是 ( x 2 1)( x 1)
x2 x 1 的解集是 2x 1 1 1 的解集是 ( x 3)2
x3 1 的解集是 x2 1 2 5 的解集是 x 1 4 x
分式不等式的解法 （1）
f x 0 f x g x 0 g x
（2）
f x f x g x 0 0 g x g x 0
解不等式： 1、不等式
x3 0 2 x
29 x x 2 1 的解集是 5. 不等式 5x 2
2
12. 不等式
13. 不等式
14. 不等式
x 2 3x 2 0 9. 不等式 2 x 7 x 12
x 2 9 x 11 7 10. 不等式 2 x 2x 1
15. 不等式
(2 x 3)(3 x 4) 0 的解集是 ( x 2)(2 x 1)
3x 1 1 的解集是 3 x
x2 1 的解集是 19. 不等式 2 x 4 x 21
2. 不等式
20. 不等式
x2 1 的解集是 ( x 1) 2 ( x 2)
1. 不等式
分式不等式解法
x
x
4 3
或x
5
小结2：对 f ( x) k 型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
原不等式解集为
x x 3或1 x 2
解法总结：
解分式不等式的基本思路是将其转化 为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不 去分母，而是将其转化为 f (x) 0或 f (x) 0 等形式，再实施同解变形 g(x) g(x)
作业：
练习册28页例一及变式题１，２
望奎一中：郭 宏
2007 . 6 . 20
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 或x 3
5
7
2x 1
例5: 解不等式
1
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x2 x2
2x 24 7x 12
分式不等式解法公式
分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。
首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。
$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。
接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。
根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。
因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。
$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。
例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。
首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。
因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。
以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。
-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。
-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。
对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。
-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。
综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。
例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。
我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。
首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。
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2）当m-3≠0时，
ⅰ.若方程的解是正数
ⅱ.若方程的解是负数
16课堂练习：书上习题
巩固技能
学生练习
17教师：今天我们研究了分式不等式的解法，在做的时候我们特别要注意保证分式是有意义的，那解分式不等式的最基本的思想是什么？
教师：我们在解分式不等式的时候就应牢牢把握住这点，并对于一些注意点要特别小心。
且(cx+d)≠0
≥0 (ax+b)(cx+d)≥0
且(cx+d)≠0
讲解技能
（总结）
学生听讲
12教师：下面我们在总结了以上内容后，一起来做一道例题，在做的时候请同学们与前几题进行一下比较。
板书：例五：
出示例题
学生观察
13提问1：这道题和前几题有何不同？
提问2：那有什么手段可以让它变为零吗？
板书：移项通分后
教师：这道题讨论的x的解，所以我们应该先把x的解用m表示出来，然后再来讨论。
解：移项
提问1：可以直接得出 吗？
提问2：那应该怎么办？
提问技能（让学生自己得出）
学生回答1：不可以，因为不确定m-3是否为零。
学生回答2：分别讨论m-3=0的时候和m-3≠0的时候x的解.
1）当m-3=0时，m=3
左边=0右边=9
总结
学生：转化为整式不等式。
市南中学
闵佳
学生：得出解集
（- ，-1）∪（ ，+ ）
8教师：那我们把例二中的符号改一下，那又怎么解呢？前面的方法还有效吗？
例三： ＜0
提问技能
（引导学生进行类比）
学生：（x+1）(3x-2)＜0
解集为
9教师：但我们平时在题目中往往不仅要求分式大于零或小于零，而要大于等于零，那怎么办呢？
板书：例四： ≤0
教师：根据前面几题的经验，只要
学生回答1：不等式的右边不是零。
学生回答2：通过移项通分。
学生回答3：如果未知数前的系数是负的应先把它变为正的。
学生回答4：(x-2)(3x-4)≤0
且分母3x-4≠0
解集为
14教师：通过对例五的研究，我们可以了解我们在做分式不等式的时候要注意哪几点呢？
学生完成练习例一中的不等式
提问技能（让学生自己总结）
课题：分式不等式的解法
闵佳
教学目标：1.了解分式不等式的定义；
2.掌握把分式不等式转化为整式不等式来求解；
3.学会转化与类比的思想
教学构思：对于高一的学生来说接触不等式的时间并不长，分式不等式也没接触过，所以在解决分式不等式解法的时候可以启发他们用刚学过的整式不等式的解法，应该说这也是他们唯一的工具了。当然转化的方法还是需要老师的提示与引导。然后对于其他的分式都可以提示他们通过同样的方法来做，当然要把注意点穿插其中，最后进行总结。
教师的教授行为
（讲解、提问等）
应用的教学技能
学生的学习行为
（预想的回答等）
1教师：出示一道应用题内容是关于生活中实际问题。例一：某船从甲地沿河顺流航行1.5小时达到乙码头，停留30分钟后再逆流航行126千米到达丙地。假设水速每小时4千米，要在5小时内完成航行任务，则船速每小时至少需要多少千米？
提示：设船速每小时至少需要x千米（x≧4）
学生：1.若分式不等式的右边不为零可以通过移项通分将它变为零；
2.若分式中未知数前的系数是负的应将不等式左右两端同时乘以-1将系数化为正的，但要注意不等号要变号；
3若分式不等式的不等号为“≤”或“≥”，要注意保证分母不为零。
15.板书：例六：当m为何值时，关于x的方程 的解是正数？当m为何值时，方程的解是负数？
提问技能
（启发、引导）
学生：x+1和3x-2同号。
6教师：根据两个数的商与积同号，我们可以知道他们的乘积的符号吗？
提问技能
（启发、引导）
学生：他们的乘积也大于零。
7板书：（x+1）(3x-2)>0
教师：这样我们就把分式不等式转化为一个我们已经学过的整式不等式来解，同学们可以得出解集了吗？
提问技能
（探察）
板书：分式讲授概念
4教师：那我们怎么解这种不等式呢？今天我们要来解决这个问题。
板书：二.解分式不等式
出示习题：例二： ＞0
引入解法
5教师：这是一道最基本的分式不等式，对于这种不等式我们怎么来解呢？我们可否化为我们已经学过的整式不等式来解呢？x+1和3x-2的商大于零，那说明他们之间有何关系呢？
提问3：又发现什么不同吗？我们在做整式不等式的时候第一步是干什么？
教师：由于我们在做分式不等式的时候是把他转化为整式不等式来做，为了保证整式不等式的未知数前的系数是正的，我们在做分式不等式时也需做这一步。
板书：
提问4：接下来的步骤我请同学来回答。需要注意的一点是什么？
提问技能
（引起学生思考，让学生自己得出注意点）
整个路程要控制在5小时之内，甲到乙的时间是，在乙码头停留30分钟，乙到丙的时间可以根据时间= 求得
导入技能
（引起注意，引出新概念）
学生：列出不等式
甲
+ + <5
整理得 <3
2提问：那我们刚才得出的不等式和前几天接触的有何不同？
提问技能
（引入概念）
回答：在分母上也有未知数。
3教师：这种形式的不等式就是今天我们要来研究的，这种在分母上也有未知数的不等式我们称作分式不等式。
（让学生把分式不等式与整式不等式进行比较）
学生：分母不为零。
学生：3x-2≠0
解集为 ∪（ ，+ ）
11教师：下面我们来总结一下。我们以ax+b和cx+d分别表示含有未知数x的分子和分母的表达式。
板书： ＜0 (ax+b)(cx+d)＜0
＞0 (ax+b)(cx+d)＞0
≤0 (ax+b)(cx+d)≤0
（x+1）(3x-2)≤0就可以了吗？
提问技能
（引发学生的进一步思考）
学生：思考
10教师：我们今天研究的是分式不等式，要使这个不等式成立，我们是不是首先应保证这个分式有意义呢？
教师：那如果仅保证（x+1）(3x-2)≤0的情况下，分母3x-2会不会等于零呢？所以我们应该再附加一个什么条件呢？
提问技能