2018年高三数学(文)第二轮复习规范滚动训练1

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2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题三三角函数及解三角形 1-3-2

限时规范训练九三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14 C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABπ－2B＝ABsin 2B＝AB2sin B cos B＝AB233sin B，所以AB＝4.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题二函数不等式导数1-2-3(含答案)

限时规范训练六导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)．而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 28．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝2x ＋3－x ＋2x ＋1.(1)求证：当x ＝0时，f (x )取得极小值；(2)是否存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ＞－12时，f ′(x )＝2－2－x ＋x ＋2＝8x 2＋8x ＋x ＋x ＋2.设F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)，则f ′(x )＝F x x ＋2.当x ＞－12时，y ＝8x 2＋8x ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2是单调递增函数，y ＝2ln(2x ＋1)也是单调递增函数．∴当x ＞－12时，F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)单调递增．∴当－12＜x ＜0时，F (x )＜F (0)＝0，当x ＞0时，F (x )＞F (0)＝0.∴当－12＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值．(2)由(1)知f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，若存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]，则f (m )＝m ，f (n )＝n ，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n .∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n . 设H (x )＝2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)，则 H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1.当x ＞0时，2x ＋1＞0,8x 2＋18x ＋5＞0， ∴H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1＞0.∴H (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，即当x ≥0时，H (x )≥H (0)＝3. ∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上没有实数根． ∴不存在满足条件的实数m ，n .11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m ＞0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x ＞0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －m x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点．当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0；1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．当0＜m ＜1时，0＜x ＜m 或x ＞1时，F ′(x )＜0；m ＜x ＜1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m ＜0，所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )＞0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 12．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，∴f ′(x )＝1x＋2a x －2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x x －2.∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下：∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1 ①，设直线l 与曲线h (x )＝e x相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0②，由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一．由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题二函数、不等式、导数 1-2-4 Word版含答案

限时规范训练七导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝ 2x －1 2x ＋1x， ∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′ x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx －1，f ′(x )＝e xx －1 x2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x 2＝－ x －122x 2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意．当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2；当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1 －f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________．解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1 －f 0 ≤e－1，f －1 －f 0 ≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m 4－x 2 4 x 2＋4 2＝m 2－x 2＋x4 x 2＋42， ①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减，从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增，从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。

2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测试卷(一)有答案

一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”B ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0”C ．“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0”D ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于() A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥－1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1≤x <1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1) 10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M；(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1，故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解若p 正确，即f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]．当t ＝－32，即log 3x ＝－32，即x ＝39时，f (x )min ＝－14；当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14. 综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a <0，取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0，即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1，∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)．由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值．令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]．。

【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练函数、不等式、导数 1

A．f(x)＝(x－1)2
B．f(x)＝ex)
解析选c根据条知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；
对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；
对于c，f(x)＝1x在(0，＋∞)上单调递减，c正确；
故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．
6．下列函数为奇函数的是( )
A．＝x3＋3x2
B．＝ex＋e－x2
c．＝xsin x
D．＝lg23－x3＋x
解析选D依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，＝2；当x＝1时，＝4，因此函数＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，＝1≠0，因此函数＝ex＋e－x2不是奇函数．对于选项c，注意到当x＝－π2时，＝π2；当x＝π2时，＝π2，因此函数＝xsin x不是奇函数．对于选项D，由3－x3＋x＞0得－3＜x＜3，
c．2 016D．2 018
解析选D令x＝＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1×1－1＋2＝2，
令＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018故选D
3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )
2018高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练函数、不等式、导数1
c限时规范训练四函数的图象与性质
限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数＝lg x＋1 x－2的定义域是( )

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题三三角函数及解三角形 1-3-2 Word版含答案

限时规范训练九三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34 D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2. 所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c . 由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝AB sin π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ，所以AB ＝4.。

【精品】2018届高三数学：阶段滚动检测(二) 含答案

一、选择题1．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)2．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．∀x ∈N ，x 3>x 2C ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 D ．若a >b ，则a 2>b 23．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)4．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,xx x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则f (f (12))等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．15．函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为()6.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－27．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．0或18．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋tan x 在区间[－1,1]上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59．设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<010．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上，f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则a 的取值范围为( ) A ．(2,4) B ．(2,22) C ．(6，22)D ．(6，10)11．若曲线C 1：y ＝ax 2(x >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 12．定义全集U 的子集P 的特征函数f P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈P ，0，x ∈∁U P .已知P ⊆U ，Q ⊆U ，给出下列命题：①若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有f P (x )≤f Q (x )； ②对于任意x ∈U ，都有f ∁U P (x )＝1－f P (x )； ③对于任意x ∈U ，都有f P ∩Q (x )＝f P (x )·f Q (x )； ④对于任意x ∈U ，都有f P ∪Q (x )＝f P (x )＋f Q (x )．其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④二、填空题13．设全集为R ，集合M ＝{x |x 2≤4}，N ＝{x |log 2x ≥1}，则(∁R M )∩N ＝________.14．已知函数f (x )＝e x，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．15．设a ，b ∈Z ，已知函数f (x )＝log 2(4－|x |)的定义域为[a ，b ]，其值域为[0,2]，若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ＋1＝0恰有一个解，则b －a ＝________.16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e －x(x －1)．给出以下命题： ①当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)； ②函数f (x )有五个零点；③若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则实数m 的取值范围是f (－2)≤m ≤f (2)； ④对∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|<2恒成立．其中，正确命题的序号是________．三、解答题17．已知集合A 是函数y ＝lg(20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B . (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若綈p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18．设命题p ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 对∀x ∈(－∞，－1)恒成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，求证f (x )≥a (1－1x)．20．定义在R 上的单调函数f (x )满足f (2)＝32，且对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x)＋f (3x－9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．21.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m 米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y 万元．(1)试写出工程费用y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y 最小？并求出其最小值．22．已知函数f(x)＝e x－ax2(x∈R)，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求实数a的取值范围．答案精析1．C [由题意知x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．C [对于A ，因为Δ＝22－12<0，所以不存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋3＝0，所以选项A 错误；对于B ，当x ＝1时，13＝12，所以选项B 错误；对于C ，x >1可推出x 2>1，x 2>1可推出x >1或x <－1，所以x >1是x 2>1的充分不必要条件，所以选项C 正确；对于D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2<b 2，所以选项D 错误．]3．A [因为函数是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又函数在[0，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)，选A.] 4．B [f (12)＝2＋124＝2＋2＝4，则f (f (12))＝f (4)＝12log 4＝12log (12)－2＝－2.]5．D [由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ；当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B.]6．A [因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)，因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎛a(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 4＋13ax 3⎪⎪⎪a ＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)．]7．C [因为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，则f (x )在R 上是增函数，所以不存在极值点．]8．C [因为f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋tan x ，所以f (－x )＝1＋2·2－x2－x ＋1＋tan(－x )＝1＋21＋2x －tan x ，则f (x )＋f (－x )＝2＋2·2x2x ＋1＋21＋2x ＝4.又f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋tan x 在区间[－1,1]上是一个增函数，其值域为[m ，n ]，所以m ＋n ＝f (－1)＋f (1)＝4.故选C.]9．A [依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，且函数g (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2.于是有f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0，所以g (a )<0<f (b )．故选A.]10．D [由f (x －4)＝f (x )，知f (x )的周期为4，又f (x )为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与y ＝log a x 的图象如图所示，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6<2，log a 10>2，解得6<a <10，选D.]11．C [根据题意，函数y ＝ax 2与y ＝e x的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝exx2(x >0)．设f (x )＝exx2(x >0)，则f ′(x )＝x 2e x －2x e xx 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝exx2在区间(0,2)上是减函数；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝exx2在区间(2，＋∞)上是增函数．所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e24.故选C.]12．A [令U ＝{1,2,3}，P ＝{1}，Q ＝{1,2}．对于①，f P (1)＝1＝f Q (1)，f P (2)＝0<f Q (2)＝1，f P (3)＝f Q (3)＝0，可知①正确；对于②，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f ∁U P (1)＝0，f ∁U P (2)＝1，f ∁U P (3)＝1，可知②正确；对于③，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f Q (1)＝1，f Q (2)＝1，f Q (3)＝0，f P ∩Q (1)＝1，f P ∩Q (2)＝0，f P ∩Q (3)＝0，可知③正确；对于④，有f P (1)＝1，f P (2)＝0，f P (3)＝0，f Q (1)＝1，f Q (2)＝1，f Q (3)＝0，f P ∪Q (1)＝1，f P ∪Q (2)＝1，f P ∪Q (3)＝0，可知④不正确．]13．(2，＋∞)解析由M ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}＝[－2,2]，可得∁R M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又N ＝{x |log 2x ≥1}＝{x |x ≥2}＝[2，＋∞)，则(∁R M )∩N ＝(2，＋∞)． 14．2＋ln 2解析显然m >0，由e x＝m ，得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m ，得x ＝212em -，则|AB |＝212em -－ln m . 令h (m )＝212em -－ln m ，由h ′(m )＝212em -－1m ＝0，求得m ＝12. 当0<m <12时，h ′(m )<0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当m >12时，h ′(m )>0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．所以h (m )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋ln 2，因此|AB |的最小值为2＋ln 2. 15．5解析由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋a ＋1＝0恰有一个解，得a ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |>0，1≤4－|x |≤4，解得－3≤x ≤3，所以b ＝3.所以b －a ＝3－(－2)＝5. 16．①④解析当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝e x(－x －1)＝－f (x )，所以f (x )＝e x(x ＋1)，故①正确；当x <0时，f ′(x )＝e x(x ＋1)＋e x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝－2，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，而在(－∞，－1)上，f (x )<0，在(－1,0)上，f (x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上仅有一个零点，由对称性可知，f (x )在(0，＋∞)上也有一个零点，又f (0)＝0，故该函数有三个零点，故②错误；因为当x <0时，f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，且当x <－1时，f (x )<0，当－1<x <0时，f (x )>0，所以当x <0时，f (－2)≤f (x )<1，即－1e 2≤f (x )<1，由对称性可知，当x >0时，－1<f (x )≤1e 2，又f (0)＝0，故当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )∈(－1,1)，若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则－1<m <1，且对∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|<2恒成立，故③错误，④正确．17．解 (1)由题意得A ＝{x |－2<x <10}，B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．若A ∩B ＝∅，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥10，1－a ≤－2，解得a ≥9，a >0，∴a 的取值范围为a ≥9.(2)易得綈p ：x ≥10或x ≤－2.∵綈p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x ≥10或x ≤－2}是{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧10≥1＋a ，－2≤1－a ，a >0，其中两个等号不能同时成立，解得0<a ≤3， ∴a 的取值范围为0<a ≤3.18．解令f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a －2.∵二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零， ∴f (0)<0，即a －2<0，∴a <2. ∴命题p 为真时，有a <2. ∵x ∈(－∞，－1)，∴由不等式2x 2＋x >2＋ax ，可得a >2x －2x＋1.令g (x )＝2x －2x＋1，∴g ′(x )＝2＋2x2>0，∴g (x )在x ∈(－∞，－1)单调递增，且g (－1)＝1， ∴g (x )∈(－∞，1)．又不等式2x 2＋x >2＋ax 对∀x ∈(－∞，－1)恒成立， ∴命题q 为真时，有a ≥1.依题意，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则有 ①若p 真q 假，得a <1； ②若p 假q 真，得a ≥2.综上可得，所求实数a 的取值范围为(－∞，1)∪[2，＋∞)．19．证明要证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x >0)，只需证f (x )－a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ≥0(x >0)，即证a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x－1≥0(x >0)．∵a >0，∴只需证ln x ＋1x －1≥0(x >0)．令g (x )＝ln x ＋1x－1(x >0)，即证g (x )min ≥0(x >0)． ∴g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2(x >0)．令g ′(x )＝0，得x ＝1.∴当0<x <1时，g ′(x )<0，此时g (x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴[g (x )]min ＝g (1)＝0≥0，即ln x ＋1x－1≥0成立，故有f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 成立．20．(1)证明 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，①令x ＝y ＝0，代入①式，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 令y ＝－x ，代入①式，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )是奇函数．(2)解 f (2)＝32>0，即f (2)>f (0)，又f (x )在R 上是单调函数，所以f (x )在R 上是增函数．又由(1)知f (x )是奇函数，f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2,32x －(1＋k )·3x＋2>0对任意x ∈R 恒成立．令t ＝3x>0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴t ＝1＋k 2.当1＋k 2<0，即k <－1时，g (0)＝2>0，符合题意；当1＋k2≥0时，对任意t >0，g (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 21．解 (1)设需要新建n (n ∈N *)个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， ∴n ＝mx－1(n ∈N *)．∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎪⎫mx－1＋mx(2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )．(2)由(1)得，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m2x 2(32x －512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，∴x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，此时，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64≤x <640时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间[64,640)内为增函数．∴函数f (x )在x ＝64处取得极小值，也是其最小值．∵m ＝640，∴n ＝m x －1＝64064－1＝9.此时，y min ＝8 704(万元)．故需新建9个桥墩才能使工程费用y 取得最小值，且最少费用为8 704万元． 22．解 (1)由题设，得f ′(x )＝e x－2ax ，∴f ′(0)＝1， ∴f (x )在点P (0,1)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，即y ＝x ＋1.(2)依题意，知f ′(x )＝e x－2ax ≥0(x ∈R )恒成立， ①当x ＝0时，有f ′(x )≥0恒成立，此时a ∈R .②当x >0时，有2a ≤e xx ，令g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x(x －1)x2，由g ′(x )＝0，得x ＝1且当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0.∴g (x )min ＝g (1)＝e ，则有2a ≤g (x )min ＝e ，∴a ≤e2.③当x <0时，有2a ≥exx，∵exx<0，则有2a ≥0，∴a ≥0.又a ＝0时，f ′(x )＝e x≥0恒成立．综上，若函数f (x )为R 上的单调递增函数，所求a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题五立体几何 1-5-2 Word版含答案

限时规范训练十三空间中的平行与垂直一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．(·高考山东卷)已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选.因为直线和直线相交，所以直线与直线有一个公共点，而直线，分别在平面α、β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线与直线可能相交、平行、异面．故选.．(·高考全国卷Ⅲ)在正方体中，为棱的中点，则( )．⊥．⊥．⊥．⊥解析：选.根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，项，若⊥，那么⊥，很显然不成立；项，若⊥，那么⊥，显然不成立；项，若⊥，那么⊥，成立，反过来⊥时，也能推出⊥，所以成立，项，若⊥，则⊥，显然不成立，故选.．设α，β是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且⊂α，⊂β( )．若⊥β，则α⊥β．若α⊥β，则⊥．若∥β，则α∥β．若α∥β，则∥解析：选.选项中，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；选项中，当α⊥β时，，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项中，∥β时，α，β可以相交；选项中，α∥β时，，也可以异面．．已知α，β为两个平面，为直线，若α⊥β，α∩β＝，则( )．垂直于平面β的平面一定平行于平面α．垂直于直线的直线一定垂直于平面α．垂直于平面β的平面一定平行于直线．垂直于直线的平面一定与平面α，β都垂直解析：选.由α⊥β，α∩β＝，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故不正确；垂直于直线的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故不正确；垂直于平面β的平面与的关系有⊂β，∥β，与β相交，故不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线的平面一定与平面α，β都垂直，故正确．．设，，表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) ．⊥α，若⊥β，则α∥β．⊂α，⊄α，若∥α，则∥．⊂β，若⊥α，则β⊥α．，⊂α，∩＝，⊥，⊥，若α⊥β，则⊂β解析：选.利用排除法求解．的逆命题为：⊥α，若α∥β，则⊥β，成立；的逆命题为：⊂α，⊄α，若∥，则∥α，成立；的逆命题为：⊂β，若β⊥α，则⊥α，不成立；的逆命题为：，⊂α，∩＝，⊥，⊥，若⊂β，则α⊥β，成立，故选.．(·江西六校联考)已知，是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若⊥α，⊥β，⊥，则α⊥β；②若∥α，∥β，⊥，则α∥β；③若⊥α，∥β，⊥，则α∥β；④若⊥α，∥β，α∥β，则⊥.其中所有正确命题的序号是( )．①④．②④．①．④解析：选.借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图()所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图()所示，故③不正确；对于④，由⊥α，α∥β可得⊥β，因为∥β，所以过作平面γ，且γ∩β＝，如图()所示，所以与交线平行，因为⊥，所以⊥，故④正确．综上，选.二、填空题(本题共小题，每小题分，共分)．如图，四棱锥的底面是直角梯形，∥，⊥，＝，⊥底面，为的中点，则与平面的位置关系为．解析：取的中点，连接，，在△中，.又因为∥且＝，所以，所以四边形是平行四边形，所以∥.又因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面.答案：平行．(·山师大附中模拟)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)①若直线⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线平行的直线；②若直线⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线垂直；③若直线⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线垂直的直线；④若直线⊂α，则在平面β内，一定存在与直线垂直的直线．解析：对于①，若直线⊥α如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线平行的直线，故①错误；对于②，若直线⊥α，则直线垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线垂直，故②正确；对于③，④，若直线⊂α，则在平面β内，一定存在与直线垂直的直线，故③错误，④正确．答案：②④．(·沈阳三模)如图，已知四边形为矩形，⊥平面，下列结论中正确的是．(把正确结论的序号都填上)①⊥；②⊥平面；③⊥；④∥平面.解析：对于①，因为⊥，⊥，∩＝，所以⊥平面，所以⊥，则①正确；对于②，⊥，当⊥时，⊥平面，但与不一定垂直，故②不正确；对于③，因为⊥，⊥，∩＝，所以⊥平面，所以⊥，则③正确；对于④，因为∥，⊄平面，⊂平面，所以∥平面，则④正确．故填①③④.答案：①③④三、解答题(本题共小题，每小题分，共分)．(·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，＝＝，∠＝∠＝°.()证明：直线∥平面；()若△的面积为，求四棱锥的体积．解：()证明：在平面内，因为∠＝∠＝°，所以∥.又⊄平面，⊂平面，故∥平面.()如图，取的中点，连接，.由＝＝及∥，∠＝°得四边形为正方形，则⊥.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面∩平面＝，所以⊥，⊥底面.因为⊂底面，所以⊥.设＝，则＝，＝，＝＝，＝＝＝.如图，取的中点，连接，则⊥，所以＝＝＝.因为△的面积为，所以××＝，解得＝－(舍去)或＝.于是＝＝，＝，＝.所以四棱锥的体积＝××＝.．(·山东潍坊模拟)如图，在四棱台中，⊥平面，底面是平行四边形，＝，＝，∠＝°.()证明：⊥；()证明：∥平面.证明：()因为⊥平面，且⊂平面，所以⊥.又因为＝，∠＝°，在△中，由余弦定理得＝°)＝＝，所以＋＝，即⊥.又∩＝，所以⊥平面.又⊂平面，所以⊥.()连接，.设∩＝，连接，因为四边形为平行四边形，所以＝.由棱台定义及＝＝知，∥且＝，所以四边形为平行四边形，因此∥.又因为⊂平面，⊄平面.所以∥平面.．(·吉林调研)如图①，在直角梯形中，∥，∠＝，＝＝＝，是的中点，是与的交点．将△沿折起到图②中△的位置，得到四棱锥.()证明：⊥平面；()当平面⊥平面时，四棱锥的体积为，求的值．解：()证明：在题图①中，因为＝＝＝，是的中点，∠＝，所以⊥.即在题图②中，⊥，⊥，从而⊥平面，又∥，所以⊥平面.()由已知，平面⊥平面，且平面∩平面＝，又由()，⊥，所以⊥平面，即是四棱锥的高．由题图①知，＝＝，平行四边形的面积＝·＝.从而四棱锥的体积为＝××＝××＝，由＝，得＝.。

2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：阶段滚动练8(对应1～18练)Word版含解析

阶段滚动练8(对应1～18练)(建议时间：100分钟)一、选择题1.(2017·安徽池州联考)已知集合A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＜－45，则A ∩B 等于( )A.{x |x ≤－1}B.{x |x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－54D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54≤x ＜－1答案 A解析 A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，A ∩B ＝{x |x ≤－1}，故选A.2.已知i 是虚数单位，z ＝2－i 2＋i －i 2 017，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析 z ＝2－i 2＋i －i ＝(2－i )25－i ＝35－95i ⇒z ＝35＋95i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限.3.(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则|a －2b |等于( )A.1B.3C.2D.32答案 A解析根据条件a ·b ＝1×12×12＝14，∴(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1，∴|a －2b |＝1，故选A.4.已知命题p ：“关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，若綈p 为真命题的充分不必要条件为a ＞3m ＋1，则实数m 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 答案 B解析命题p ：a ≤4，綈p 为a ＞4，又綈p 为真命题的充分不必要条件为a ＞3m ＋1，故3m＋1＞4⇒m ＞1.5.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋6≥0，3x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( )A.0B.－1C.－3D.－5 答案 D解析作出可行域：所以当过B 时目标函数取得最小值－4－1＝－5.6.如果执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A.A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数答案 C解析不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3，则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3，故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.7.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n 等于( ) A.10n －2B.10n －1C.1210n -D.122n -答案 D解析因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n ＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝122n -.8.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1(如图(2))，其中O 1A 1＝3，O 1C 1＝1，则该几何体的侧面积及体积为( )A.24，24 2B.32，8 2C.48，24 2D.64，64 2答案 C解析由三视图可知，该几何体为一个四棱柱：因为它的俯视图的直观图是矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为62，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为3×4×4＝48，体积为62×4＝24 2.9.已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2等于( )A.－52B.－92C.－112D.－132答案 B解析由题意可知， f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，由最小正周期为π，可得ω＝1，又f (θ)＝12代入可得，52sin(2θ＋φ)＝52⎝⎛⎭⎫tan φ＝－43，sin(2θ＋φ)＝1，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－52sin(2θ＋φ)－2＝－92. 10.若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54 D.74 答案 C解析若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0对称，则圆心⎝⎛⎭⎫32，2在直线ax －by ＝0上，所以32a －2b ＝0，即b a ＝34，所以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝54，故选C.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＋5，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，eB.⎣⎡⎭⎫12，eC.⎝⎛⎤12，e eD.⎝⎛⎫12，ee 答案 D解析作出函数图象如图所示.又直线f (x )＝kx －12恒过点B (0，－0.5)，当直线经过点A 时恰好有三个交点，此时斜率k ＝0.5，当直线与ln x 相切时为第二个临界位置，设切点为(x 0，ln x 0)，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，过(0，－0.5)得x 0＝e ⇒k ＝ee，故选D. 12.设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数f (x )＝log 2(4x ＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞B.(0，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫0，14 答案 D解析 ∵函数f (x )＝log 2(4x ＋t )是定义域上的单调增函数，由题意得，若函数为“优美函数”，则f (x )＝x 至少有两个不相等的实数根，即log 2(4x ＋t )＝x ，整理得4x ＋t ＝2x ，∴(2x )2－2x ＋t ＝0有两个不相等的实根， ∵2x ＞0，令λ＝2x (λ＞0)，∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14，即t ∈⎝⎛⎭⎫0，14，故选D. 二、填空题13.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝________. 答案－32解析由正弦定理根据边化角可得， 2sin A sin B ＝3sin B ⇒sin A ＝32⇒A ＝π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝－32. 14.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 [－52，1]解析方法一因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52). 因为A (－12，0)，B (0，6)，所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x ，6＋50－x 2).因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤50－x 2.当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立.当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，得x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1].方法二设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y ). ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在 EDF上. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0，得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析分别作出函数y ＝f (x )和y ＝－3m 的图象(略)可知，当0＜－3m ＜1时有三个交点，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2且S n ＋2－3S n ＋1＋2S n ＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n (n ∈N *)，若(n ＋6)λ≥T n 对n ∈N *恒成立，则λ的最小值为________. 答案 16解析 S n ＋2－3S n ＋1＋2S n ＋a n ＝S n ＋2－S n ＋1－2(S n ＋1－S n )＋a n ＝a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，即 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }为首项为1，公差为2－1＝1的等差数列， a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， T n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1，由(n ＋6)λ≥T n 得λ≥2n (n ＋1)(n ＋6)＝2n ＋6n＋7， ∵当n ＝2或n ＝3时，2n ＋6n ＋7有最大值16，∴λ≥16，即λ的最小值为16.三、解答题17.(2017·衡水中学押题卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1sin A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和S n .解 (1)由正弦定理可得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)设{a n }的公差为d ，因为a 1sin A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 1＝1sin A＝2，且a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，且d ≠0，解得d ＝2，所以a n ＝2n ，所以4a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ADC ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值. (1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC . ∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC . 在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2，∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 2＋4－x 222＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 19.已知函数f (x )＝(bx －1)e x ＋a (a ，b ∈R ).(1)如果曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，求a ，b 的值；(2)若a ＜1，b ＝2，关于x 的不等式f (x )＜ax 的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝b e x ＋(bx －1)e x ＝(bx ＋b －1)e x .因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f ′(0)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，b －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)当b ＝2时，f (x )＝(2x －1)e x ＋a (a ＜1)，关于x 的不等式f (x )＜ax 的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(2x －1)e x ＋a －ax ＜0的整数解有且只有一个. 构造函数F (x )＝(2x －1)e x ＋a －ax ，x ∈R ，所以F ′(x )＝e x (2x ＋1)－a .①当x ≥0时，因为e x ≥1，2x ＋1≥1，所以e x (2x ＋1)≥1，又a ＜1，所以F ′(x )＞0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增. 因为F (0)＝－1＋a ＜0，F (1)＝e ＞0，所以在[0，＋∞)上存在唯一的整数x 0＝0使得F (x 0)＜0，即f (x 0)＜ax 0.②当x ＜0时，为满足题意，函数F (x )在(－∞，0)内不存在整数使F (x )＜0，即F (x )在(－∞，－1]上不存在整数使F (x )＜0. 因为x ≤－1，所以e x (2x ＋1)＜0. 当0≤a ＜1时，函数F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，－1)上为减函数，所以F (－1)≥0，即32e≤a ＜1；当a ＜0时，F (－1)＝－3e ＋2a ＜0，不符合题意.综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32e ，1.20.F 为抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，直线x ＝4与抛物线C 交于点Q ，与x 轴交于点P ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点M ，过点M 作抛物线C 的切线，切点为D (异于原点)，求证：2k DF ＝k DA ＋k DB .(1)解设Q (4，m )，代入x 2＝2py ，得m ＝8p ，由抛物线定义得p 2＋m ＝54m ，因此p 2＋8p ＝54·8p ，解得p ＝2(舍去p ＝－2)，即抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明设l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，代入x 2＝4y 化简得x 2－4kx －4＝0⇒x 1＋x 2＝4k ，令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，设D ⎝⎛⎭⎫t ，t 24，则12t ＝t 24－0t －⎝⎛⎭⎫－1k ⇒t ＝－2k，D ⎝⎛⎭⎫－2k ，1k 2， 2k DF ＝21k 2－1－2k －0＝k －1k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k DA ＋k DB ＝x 214－t 24x 1－t ＋x 224－t 24x 2－t ＝x 1＋t 4＋x 2＋t 4＝4k ＋2t 4＝k －1k ，因此2k DF ＝k DA ＋k DB .。

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专题一规范滚动训练(一)
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A .
(1)求角C 的大小；
(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ＋b 的值．
解：(1)由题意得3a 2c ＝sin A ，由正弦定理得3sin A 2sin C ＝sin A ，
又sin A ≠0，∴sin C ＝32，又0°＜C ＜90°，
∴C ＝60°.
(2)∵S △ABC ＝12ab sin 60°＝3，∴ab ＝4.
又c ＝2，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，
即4＝a 2＋b 2
－2ab ·12，即4＝(a ＋b )2－2ab －ab ， ∴(a ＋b )2＝4＋3ab ＝16，∴a ＋b ＝4.
2．已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．
(1)求φ的值及图中x 0的值；
(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16个单位长度，再将所得图象上各点的横
坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos 2φ
2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos πx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ2－1－sin
πx ·sin φ
＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)．
由题图可知，cos φ＝32，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.
又cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，所以x 0＝53.
(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位长度得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx ＋π3的图象．因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3. 所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；
当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.
3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .
(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；
(2)求y ＝1－2cos 2A 1＋tan A
的值域．解：(1)由已知，m ∥n ，则2b cos C ＝2a －c ，
由正弦定理，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－sin C ，
即2sin B cos C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，
在△ABC 中，sin C ≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝π3.
又b 2＝ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
因而ac ＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即(a －c )2＝0，
所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．
(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A
＝1－2(cos 2A －sin 2A )1＋sin A cos A
＝1－2cos A (cos A －sin A )
＝sin 2A －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4，由已知条件B ＝π3知A ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，2π3. 所以，2A －π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，3π4. 因而所求函数的值域为(－1，2]．
4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)在△ABC 中，若A ＝π4，c ＝2，且锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 2＋π6＝12，求△ABC 的面积S .
解：(1)由题意得，
f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.
(2)由(1)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，所以sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.
由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin π4sin π6
＝2212＝2，又c ＝2，所以a ＝2 2. 又sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×22×2×6＋24＝1＋ 3.。

2018年高三数学(文)第二轮复习 规范滚动训练1

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题三 三角函数及解三角形 1-3-2