太原市2017~2018学年第一学期高三期末考试数学理科试卷及答案
山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3-6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是棱1111,A B BC 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -3cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值； （2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题理
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题理第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合A={x|3x 2 0}，B ={x|(x 1)(x — 3) 0}，则AR B 二( )2 2A. （ - ：：, J）B- （3，=：） C - （-：：,—1）U（，儿a） D - （—1,）3 3 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（）0.8A. 93 B . 123 C . 137 D . 1673. 已知a , b都是实数，那么“ 2a-2b”是“ a2b2”的（）A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4. 对于复数z ,定义映射f : z》zi.若复数z在映射f作用下对应复数2+3i ,则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第四象限B .第三象限 C. 第二象限 D .第一象限5. 等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S3 =9 , S6=36，则a^ （）A. 21 B . 15 C.12 D . 91 36. 已知x （3,1）, a = ln x , b = 21 n x , c = In x，那么（）A. a :: b ； c c a : b C. b ：：ac D .b：c：an JI7.已知sin( )那么cos(— 2 )=( )3 3 3A. 10 B . 12 C.60 D . 651 59. (x • 1)5展开式中的常数项为()xA. 1 B . 21C.31 D. 512的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）16 312.已知函数 f(x)=ln(x+1), g(x)=kx ( k^N )，若对任意的(0,t) (t=0)，恒有55D-2-3-2-3 -B5 - 9 -A8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的 则输出的S 二（）x =5，n =2,依次输入的a 为2,2,5，1・10.已知函数y =3-、1-x •、一 3x • 9的最大值为M，最小值为m ，则M 的值为（A. 1 C D .辽22311.已知一个几何体是由半径为 A.C./ 4/L1 ~z| f (x) -g(x) I ：：： X 2，那么k 的取值集合是( )A {1}B . {2} C. {1,2} D . {1,2,3}第n 卷(共90分)二、 填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)X +113. 已知函数f(x)，x ・[2,5]，贝U f (x)的最大值是x _114. 不共线的三个平面向量 a , b , c 两两所成的角相等，且|a|=|b|=1 , |c|=3，贝U| a b _ c | 二 __________ .15. 已知 f (log 2 x) =x 270，那么 f (0) f (1) ||| f (6) = _________________ . 16. 已知三棱柱 ABC -ABQ 所有棱长均相等，且• BAA , H /CAA , =60，那么异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为 ____________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 二印(2"-1), a 4 =16 , N * .(1)求a 1及数列{a n }的通项公式;18. ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知tan A tan B3 = 3 tan Atan B .(1) 求角C ;(2) 若c =3, ABC 的面积为 4，求 ABC 的周长.219.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 3个球.(1)设•表示摸出的红球的个数，求 •的分布列和数学期望;(2)为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回,(2)设b na n，求数列{b n }的最大项.3个红球和7个白球，这| f (x) -g(x) I：：： X2，那么k的取值集合是( )若规定两次共摸出红球的个数不少于n，且中奖概率大于60%寸，即中奖，求n的最大值.2 [320.如图，在四棱锥P 一ABCD 中，PD _ AB , PD _ BC , AB AD , BAD =30 ." " 3(1)证明：AD _ PB ;(2)若PD 二AD , BC 二CD , . BCD 二60，求二面角A - PB -C 的余弦值•21. 已知函数f(x) 丁 ( m = 0 )有极小值.e(1)求实数m的取值范围；(2)若函数h(x) =x2，e x(lnx-ax 1)在x 0时有唯一零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程=2、、2 COST - 2sin .以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线I的参数方程为(t为参数).y =3(1)写出曲线C的参数方程和直线I的普通方程；(2)过曲线C上任意一点M作与直线l相交的直线，该直线与直线l所成的锐角为30，设交点为A，求|MA |的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M的坐标.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f (x) =| x 1| • |x - 2| g(x) - -X2• 5x-4.(1)求不等式f(x)乞5的解集M ；(2)设不等式g(x) -0的解集为N，当x M「IN时，证明：f(x^ig(x) 3.试卷答案一、 选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11 、12: CA二、 填空题亿由题得 a 4 = S 4 -■& = 8a^ = 16，解得 a^ = 2 , 故 S n =2n 1 —2 , 则 n _ 2 时，a^ S n - S n j = 2，令 n = 1 , a^ 2 成立, 所以数列｛a .｝的通项公式为a . =2n .2 2 2—n -- (n 1) n(2)b n n ， 6 1 - b nnrn2 2 22当1乞n 空2时，—n ・2n 1 0，则b n d b n ，2当 n_3时，—n ，2n • 1 ：：： 0，则 b n 1 ::: b n , 故数列｛b n ｝前3项依次递增，从第 3项开始依次递减,9所以数列｛b n ｝的最大项为b s.818. ( 1)由 tan A tan B 、3 = , 3 tan Atan B 得2兀 兀又0 ：： A B ：：二，则 A B ，故 C -(A B) .33sin A sin B ：，3 sin Asin B另解：由已知得3 =cos A cos Bcos A cos B则 sin(A B) 、,3COS (A B) = 0 ,即卩 tan(A B^ - .3， 又0 ：： A B ：： ■:，13.3 14.4 三、解答题15.2017 16.2_66tan (A B)二tan A tan B 1 -tan Atan B3 tan Atan B - ：.31 -tan Atan B-n 22 n 1 2n 1⑵由余弦定理及（"，得c 2 “2 +b 2 —2ab 吨，则宀b 2 4 = 9 , 1 absin C 2则(a b)2 =a 2 b 2 2ab =ab 9 2ab =27，即 a b =3. 3 , 所以 ABC 的周长为3 3、、3.19.=0,1,2,3,（2）设两次共摸出红球的个数为 ，贝U =0,1,2,3,4,5,620. (1)由 PD _ AB , PD _ BC , AB 门 BC = B ，得 PD _ 平面 ABCD ,从而PD _ AD .又在 ABD 中，又余弦定理得BD 2=AD 2AB 2-2AD|_AB COS 30‘ 二1 AD 2,— 3则有 AD 2 BD 2 二 AB 2，所以 ADB =90，即 AD _ DB , 又 PDp|DB 二 D , 则有 AD _ DB = D ,则'的分布列为的数学期望为 7 217 1E( ) =0123 -244040120 910又 S ABC c 3P ( =0) =3C10玉，P （T ）=Cf_7"40，P ( =3)占C101 1201P( =6), P( =5)=120120 口 2716 □ 〜〜 廿P( =3) , P( =3) ,P('.=1) = 120F20 120^120— 门 1 +42+567 +2716 +5439 则有 P( -2) 60.8% , 42 4^ , P( =4) 120 120 5439567 120 120 ，441120 120则有AD _平面PDB ，故AD _ PB •(2)以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D 一 xyz , 设 AD 「3，则 AC 3,0,0)，P(0,0, . 3)，B(0,1,0)，C(—仝丄0)，2 2£「弓 x -£y=0,令 x=in|_BP - - y . 3z = 0,则有 y = -..3，z = -1，故 n =(1,-、3 -1)，m_n-3 3 所以 cos ：： m, n ：I m n |53由图知，二面角 A - PB - C 的余弦值为5 21.( 1)函数定义域为 R ，f '(x)二 m(x ^1)，令 f '(x) = 0，得 x =1，e当 m • 0时，若 x 1，则 f '(x) • 0 ；若 x : 1，则 f '(x) <0，故 f '(x) ：：： 0 在 x = 1 处取得极 小值，当 m ：：： 0时，若 x 1，贝U f '(x) <0 ；若 x 1，贝U f '(x) 0，故 f '(x) ：：： 0 在 x = 1 处取得极 大值.所以实数m 的取值范围是(0,x ln x +1(2)函数h(x^ x 2 e x (lnx-ax ，1)在x 0时有唯一零点，即方程xa 在e xx 0时有唯一实根，x1 由(1)知函数p(x) x 在x =1处取得最小值-―，eeln x 1八 lnx设 g(x)a , g (x) 厂，令 g '(x) = 0 ,有 x = 1 ,xx设平面PBC 的一个法向量为 n =(x, y,z)，则有设平面APB 的一个法向量为 m=(x,y,z)，则列表如下3，故 X =1 时，g(X )max =g(1) =1 -a , 又 x —. 0时，g(x) )-：： ； x — 时，p(x)r 0 , g(x)r a , x In x 1 1 - 一所以万程 x a 有唯一实根， 1 -a 或-a _ 0 ,此时a 的取值范围为 e x e 1 {a | a = 1 或 a 乞 0} • e 22. (1)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 • y 2 -2、.2x-2y =0 , 表示圆心为CC ，2,1)，半径为r = 3的圆， x =近+ J 3 COS 0 化为参数方程为 (二为参数) y =1 + 巧 sin 日 直线l 的普通方程为.2x-y ・3=0. 1 (2)由题知点 M 到直线l 的距离d | MA |， 2 设点 M (、2 、一3cos^1 ；3sin 力. 则有点M 到直线l 的距离d / -忌阮壮込二| _ |4_3sin d )|当 sin(， ) = -1 即 时，d min 二2其中cos sin 屮= ---- ， 3， 当 sin(二:)=1， 即 - = _ 时, 2 d max7^，|MA|max 14、3 此匕时 cos 31 -sin ’ 卫，sin^cos — 3 f ，M(")；此时cos J - - sin 二一—6，sin - cos = —3，M (0,2).33，综上，点M坐标为(2・、2,0)时，|MA |max 二，点M 的坐标为(0, 2)时，I MA |min323. (1) f (x) <5：= |x ■ 1| • |x 一2|冬5 ,工「一1：：：x：：：2, 工x_2, —则有①或②或③[2x + 4 启0, ^<0, 2x—6兰0,解①得-2乞x乞-1，解②得-1 ：：：x :: 2，解③得2乞x乞3 ,则不等式的解集为M二{x | _2乞x乞3}.2(2) g(x)亠0= x -5x 4 込0，解得1^x込4，则N ={x|1 込x 込4}，所以M "N ={x|1乞x乞3}.当1乞x^2时,5 9 f(x)=3，f (x)「g(x)「3 二x2「5x 4 二(x )2 _2 4由一3冬x—5冬一1，有(x -§)2-9乞0，贝U f(x)乞g(x) 3成立.2 2 2 2 4综上，f(x) 一g(x) 3成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分。
山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题含解析
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则AB =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3- D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x +的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 A.34 B. 74 C. 214 D. 25411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A.56π B.34π C.23πD.35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221nn n S a n N*=-+∈，则其通项公式na= .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S . 18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由. 20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B B C 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -53cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x xf x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈（1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m n m n e e+<+. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市2017届高三模拟考试数学理科试题（一）含答案
⼭西省太原市2017届⾼三模拟考试数学理科试题（⼀）含答案⼭西省太原市2017届⾼三模拟考试（⼀）理科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 已知集合(){}1A x y lg x ==+，}2{B x x =<，则A B ?= （） A ．()2,0- B ．()0,2 C. ()1,2- D ．()2,1--2. 已知2zi i =-，则复数z 在复平⾯内对应的点的坐标是（） A ．()1,2-- B ．()1,2- C. ()1,2- D ．()1,23．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()()135810336a a a a a a ++++=，则11S =（） A ． 66 B ．55 C.44 D ．33 4．已知()()1,,,1a cosa b sina ==，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（）A ．23π B ．34π C. 4π D ．6π 5.函数()cos xf x x=的图像⼤致为（）A ．B ． C. D ．6. 已知圆22:1C x y +=,直线():2l y k x =+,在[]1,1-上随机选取⼀个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发⽣的概率为（）A ．12B7. 执⾏如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。
若输⼊的[],t m n ∈，则实数n m -的最⼤值为（）A ．1B ．2 C.3 D ．48. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为（）A ．61π+ B．(2414π+C. (23142π+ D．(2314π++()1:,,10P x y D x y ?∈++≥ ()2:,,220P x y D x y ?∈-+≤()224:,,2P x y D x y ?∈+≤其中真命题的是（）A ．12,P PB ．23,P P C. 24,P P D ．34,P P10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AOB ?的⾯积为，则AB =（） A ．6 B ．8 C. 12 D ．1611. 已知函数()()0f x sinwx w >=，若⽅程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（）A ．137,62?? ???B ．725,26?? ??? C. 2511,62?? ??? D ．1137,26?? ???12. 设函数()()23202f x x ax a -=>与()2f x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线⽅程相同，则实数b 的最⼤值为（） A ．212e B ．212e C. 1e D ．232e - 第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()()11,,1a b t =-= ，,若()()//a b a b +- ,14. 已知双曲线经过点(1,，其⼀条渐近线⽅程为2y x =，则该双曲线的标准⽅程为．15. 已知三棱锥A -16.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 分别是ABC ?的内⾓,,A B C 所对的边，2,a bcosB b c =≠. （1）证明：2A B = ；（2）若2222a c b acsinC +=+,求A .18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。
山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)
山西省太原市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·闽侯期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·山西月考) 在中，角，，所对的对边分别为，，，若，则（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°4. （2分）(2018·长安模拟) 如果实数满足条件，那么的最大值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 设a=（），b=（），c=log3 ，则a，b，c的大小关系是（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜c＜a6. （2分）(2017·通化模拟) 命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＞3x；命题q：∃x∈（0，+∞），＞x3；则下列命题中真命题是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . （￢p）∨（￢q）D . p∧（￢q）7. （2分）(2014·辽宁理) 将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A . 在区间[ ， ]上单调递减B . 在区间[ ， ]上单调递增C . 在区间[﹣， ]上单调递减D . 在区间[﹣， ]上单调递增8. （2分）(2017·揭阳模拟) 若 =（cos20°，sin20°）， =（cos10°，sin190°），则• =（）A .B .C . cos10°D .9. （2分）(2017·和平模拟) 已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A . [0，4]B . （0，4）C . （4，5）D . （0，5）10. （2分）过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）已知随机变量ξ满足Dξ=2，则D（2ξ+3）=________．12. （1分） (2017高一下·会宁期中) 求值：2log3 +log312﹣0.70+0.25﹣1=________．13. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．14. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．15. （2分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以x+y为其一条渐近线，则双曲线方程为________ 过其右焦点且长为4的弦有________ 条．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．17. （10分） (2016高二下·阳高开学考) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．18. （15分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．19. （10分）四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．20. （10分）(2018·河南模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于不同两点， . 为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.21. （5分） (2017高一下·景德镇期末) 设函数f（x）= ﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2 ， f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在 x1 ，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
【高三数学试题精选】太原市2018届高三数学上学期期末试题(理科有解析)
太原市2018届高三数学上学期期末试题（理科有解析）
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c
1几何证明选讲]
22．如图，四边形ABcD内接于⊙，BA，cD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与cB的延长线交于点F，FG切⊙于G．
（1）求证BE EF=cE BF；
（2）求证FE=FG．
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．已知曲线c1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线c1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）设P为曲线c2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．
[选修4-5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（x）≤x+3+恒成立，求的取值范围．
1几何证明选讲]
22．如图，四边形ABcD内接于⊙，BA，cD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与cB的延长线交于点F，FG切⊙于G．
（1）求证BE EF=cE BF；
（2）求证FE=FG．
【考点】与圆有关的比例线段．。
2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题答案
2017 届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分 36 分）1．已知会合 A={ x| y=lg（ x+1） } ， B={ x|| x| ＜2} ，则 A∩ B=（）A．（﹣ 2，0）B．（0，2） C．（﹣ 1，2）D．（﹣ 2，﹣ 1）【解答】解：由 x+1＞0，得 x＞﹣ 1∴ A=（﹣ 1， +∞），B={ x|| x| ＜ 2} =（﹣ 2，2）∴ A∩ B=（﹣ 1， 2）．应选： C2．已知 zi=2﹣ i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣ 1，﹣ 2）B．（﹣ 1， 2） C．（ 1，﹣ 2）D．（1，2）【解答】解： zi=2﹣ i，∴ z===﹣1﹣2i，∴复数 z 在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣ 2），应选： A．3．已知 S n是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 2（ a1+a3+a5）+3（a8+a10） =36，则 S11=（）A．66 B．55 C．44D．33【解答】解：∵ S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和， 2（ a1 +a3+a5） +3（a8+a10）=36，∴2（ a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得 a1+5d=3．∴ a6=3，∴ S11=6．==11a =33应选： D．4．已知=（ 1， cos α）， =（sin α，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解：=（ 1， cosα）， =（ sin α，1），若，可得? =sin α+cosα=0，即有 tan α==﹣1，由 0＜α＜π，可得α= ．应选： B．5．函数的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解： f（﹣ x）==﹣=﹣ f（ x），∴函数 f（x）为奇函数，则图象对于原点对称，故排A， B，当 x=时，f（）==应选： D6．已知圆 C：x2+y2=1，直线 l：y=k（x+2），在 [ ﹣1，1] 上随机选用一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆 C：x2+y2=1 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1；且圆心到直线 l：y=k（ x+2）的距离为d==，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r ，∴＞1，解得 k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．应选： C．7．履行如图框图，已知输出的s∈[ 0， 4] ，若输入的 t∈ [ m， n] ，则实数 n﹣ m 的最大值为（A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟履行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈0，4，[]当 m=0 时， n∈[ 2，4] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，当 n=4 时， m∈[ 0，2] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，因此实数 n﹣m 的最大值为 4．应选： D．8．某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为21=，2π?1?2 π?1++++应选 D．9．已知 D=，给出以下四个命题：P1： ? （x，y）∈ D， x+y+1≥0；P2： ? （x，y）∈ D， 2x﹣y+2≤0；P3： ? （x，y）∈ D，≤﹣4；P4： ? （x，y）∈ D， x2+y2≤ 2．此中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1： A（﹣ 2，0）点，﹣ 2+0+1=﹣1，故 ? （x，y）∈ D，x+y≥ 0 为假命题；p2： A（﹣ 1，3）点，﹣ 2﹣3+2=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，2x﹣y+2≤0 为真命题；p3： C（ 0， 2）点，=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣ 1， 1）点， x2+y2=2故 ? （x，y）∈ D，x2+y2≤2 为真命题．可得选项 p2，p4正确．应选： C．10．已知抛物线 y2=4x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于A、B 两点，O 为坐标原点，若△ AOB的面积为，则| AB| =（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点为 F（ 1，0），设过焦点 F 的直线为： y=k（x﹣1），由? 可得 y2﹣y﹣ 4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，| y A﹣y B| =△ AOB的面积为，可得：| y A﹣y B| =，，解得 k=| AB| =?， | y A﹣y B| =．应选： A．11．已知函数 f（x）=sin ωx﹣cos ωx（ω＞ 0），若方程 f （x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，] D．（，]【解答】解： f（x） =2sin（ωx﹣），作出 f （x）的函数图象以下图：令 2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣2kπ，或ωx﹣ =2kπ，++∴ x=+，或 x=+k Z，， ?设直线 y=﹣1 与 y=f（ x）在（ 0，+∞）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 x A=，x B=，∵方程 f（x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，∴ x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．应选 B．12．设函数 f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程同样，则实数 b 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设 y=f（x）与 y=g（ x）（x＞0）在公共点 P（x0，y0）处的切线同样、f （′x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意 f（x0） =g（x0），f ′（x0）=g′（x0），即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由 3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有 b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令 h（t） =﹣ t2﹣t2 lnt（ t＞0），则 h′（t） =2t（ 1+lnt ），于是当 2t（1+lnt ）＞ 0，即 0＜t＜时， h′（ t）＞ 0；当 2t（1+lnt）＜ 0，即 t ＞时， h′（t ）＜ 0．故 h（t）在（ 0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是 h（t ）在（ 0， +∞）的最大值为h（）=，故 b 的最大值为．应选 A．二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【解答】解：依据题意，，则 + =（1+t ，0），﹣=（1﹣t ，﹣ 2），若，则有（ 1+t）×（﹣ 2）=（1﹣t ）× 0=0，解可得 t=﹣1；故答案为：﹣ 1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【解答】解：依据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则能够设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有 1﹣=m，解可得 m=﹣ 1，则其方程为： x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣ x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥 A﹣BCD中， BC⊥CD， AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体π ．【解答】解： BC⊥CD， BC=1， CD=，∴ DB=2又因 AB=AD=，∴△ ABD是直角三角形．取 DB 中点 O， OA=OB=OC=OD=1∴ O 三棱外接球的球心，外接的半径R=1，∴ 三棱外接球的体π，故答案：π．16．已知数列 { a n} 中，，其前n和S n=2n+2 4．【解答】解：∵数列 { a n } 中，，∴a2=0，n≥2 ， a n=2a n﹣1 +3n 4，∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1+3，化 a n+1 a n+3=2（a n a n﹣1+3），a2 a1+3=2．∴数列 { a n a n﹣1 +3} 是等比数列，首 2，公比 2．∴a n a n﹣1+3=2n，即 a n a n﹣1 =2n 3．∴a n=（ a n a n﹣1）+（a n﹣1 a n﹣2）+⋯+（ a2 a1）+a1=2n 3+2n﹣1 3+⋯+22 3 1= 3（n 1） 1=2n+13n 2．∴ S n=3×2n=2n+2﹣4﹣．故答案为： 2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知 a，b，c 分别是△ ABC的内角 A， B，C 所对的边， a=2bcosB， b≠ c．（1）证明： A=2B；（2）若 a2+c2=b2+2acsinC，求 A．【解答】解：（1）证明：△ ABC中， a=2bcosB，由，得 sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜ A， B＜π，∴ sinA=sin2B＞ 0，∴ 0＜ 2B＜π，∴A=2B或 A+2B=π，若 A+2B=π，则 B=C，b=c 这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠ π；∴A=2B；（2）∵ a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得 cosB=sinC，∵ 0＜ B， C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（ 1）得 A=2B，∴，∴．18．某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵．某汽车经销商推出 A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采纳上述分期付款的客户进行统计剖析，获取以下的柱状图．已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获取的收益分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购置此品牌汽车一辆．以这100 位客户所采纳的分期付款方式的频次取代 1 位客户采纳相应分期付款方式的概率．（ 1）求甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率；（ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，求 X 的散布列与希望．散布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35， P（ B） ==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率：p=1﹣ [ P（A）?P（A）+P（ B） ?P（B）+P（C）?P（ C） ] =0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，则 X 的可能取值为 2，3，4，5，6，P（X=2） =P（A）P（A）=0.35× 0.35=0.1225，P（X=3） =P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（ A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5） =P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2× 0.45=0.18，P（X=6） =P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴ X 的散布列为：X23456P0.12250.3150.34250.180.04E（X）=0.1225×2 0.315×3 0.3425× 4 0.18× 5 0.04× 6=3.7．++++19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面 ACF⊥平面 BEFD（2）若二面角 A﹣EF﹣ C 是二面角，求直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面 ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴ AC⊥平面 BEFD，∵AC? 平面 ACF，∴平面 ACF⊥平面 BEFD．解：（ 2）设 AC 与 BD的交点为 O，由（ 1）得 AC⊥BD，分别以 OA，OB 为 x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系，∵BE⊥平面 ABCD，∴ BE⊥BD，∵DF∥BE，∴ DF⊥BD，222∴ BD=EF﹣（ DF﹣BE） =8，∴ BD=2 ．设 OA=a，（ a＞ 0），由题设得 A（a，0，0），C（﹣ a， 0， 0），E（0，），F（0，﹣，2），设 m=（x， y， z）是平面 AEF的法向量，则，取 z=2，得=（），设是平面 CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角 A﹣EF﹣ C 是直二面角，∴=﹣ +9=0，解得 a= ，∵BE⊥平面 ABCD，∴∠ BAE是直线 AE与平面 ABCD所成的角，∴ AB==2，∴ tan．∴直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C订交于A、P两点，与 x 轴、 y 轴分别订交于点 N 和 M ，且 PM=MN，点 Q 是点 P 对于 x 轴的对称点， QM 的延伸线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 A1、B1（1）求椭圆 C 的方程；（2）能否存在直线 l，使得点 N 均分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得 a2，2，=4 b =3∴椭圆 C 的方程为．（ 2）假定存在这样的直线l：y=kx+m，∴ M（0，m ），N（﹣，0），∵ PM=MN，∴ P（，2m），Q（），∴直线 QM 的方程为 y=﹣3kx+m，设 A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设 B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴ x2+ =，∴2﹣，x =∵点 N 均分线段 A1 1，B ，∴∴﹣=﹣，∴ k=，∴ P（± 2m，2m），∴，解得m=，∵ | m| =＜b=，∴△＞0，切合题意，∴直线 l 的方程为 y=．21．已知函数 f（x）=2lnx+ax﹣（a∈ R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（ 1）议论函数 f （x）的单一性（ 2）若不等式恒成立，务实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（f x）=2lnx ax﹣（ a∈R），求导 f（′x）= a，++ +当 x=2 时， f ′（ 2） =1+a+f ′（2），∴ a=﹣1，设切点为（ 2，2ln2+2a﹣2f ′（2）），则切线方程y﹣（ 2ln2+2a﹣2f ′（2）） =f ′（2）（ x﹣2），将（﹣ 4，2ln2）代入切线方程， 2ln2﹣2ln2﹣2a+2f （′2））=﹣6f （′ 2），则 f （′2）=﹣，∴ f （′ x）= ﹣ 1﹣ =≤ 0，∴ f（x）在（ 0， +∞）单一递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx）＞ m，+令φ x）=2lnx，（ x＞ 0）求导φ′（x）= ﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，（+∴ φ（ x）在（ 0，+∞）单一递减，由φ（1）=0，则当 0＜x＜1 时，φ（x）＞ 0，当 x＞1 时，φ（ x）＜ 0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数 m 的取值范围（﹣∞， 0] ．四、解答题（共 1 小题，满分 10 分）22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（，此中φ为参数），曲线，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，射线 l：θ=α（ρ≥0）与曲线 C12，C 分别交于点 A，B（均异于原点 O）（ 1）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求OA2OB 2的取值范围．||+||【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线 C1的极坐标方程为，∵ x2+y2﹣ 2y=0，∴曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin；θ2）由（ 1）得，OB222α（ρ||==4sin，∴∵，∴ 1＜ 1+sin2α＜，∴，2∴| OA| 2+| OB| 2的取值范围为（ 2，5）．五、解答题（共 1 小题，满分 0 分）23．已知函数（1）若不等式 f （x）﹣ f（ x+m）≤ 1 恒成立，务实数 m 的最大值；（2）当 a＜时，函数 g（x） =f（x）+| 2x﹣ 1| 有零点，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣ f（x+m ）=| x﹣a| ﹣ | x+m﹣ a| ≤| m| ，∴| m| ≤1，∴﹣ 1≤m≤1，∴实数 m 的最大值为 1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数 a 的取值范围是．。