人教版数学高二年级《椭圆中点弦的斜率公式及应用》教学设计[1]
高中二年级上学期数学《椭圆及其标准方程(二)》教学设计
3、例题2的教学。通过本例深化求曲线方程的一般方法，加深对椭圆几何特征的认识以及对椭圆定义的理解，通过本例强调：求出的方程应该检验与曲线是否等价.
5分钟
4、例题3的教学。本题是教材上113页例题6。在这里的作用是巩固求轨迹方程的常见方法—直接法，同时告诉学生，椭圆定义的生成有多种方式，充分感受椭圆蕴含着丰富的，奇妙的性质。
6分钟
总结
用坐标法研究与椭圆有关问题一般思路：
第一步，根据已知条件建立椭圆方程；
第二步，通过研究椭圆方程，研究椭圆的几何性质；
第三步，用椭圆及其§3.1.1椭圆及其标准方程（2）》微课教学设计
教学重难点
重点是：运用坐标法求曲线的轨迹方程。
难点是：针对不同的问题，选择恰当的求轨迹的方法。
教学过程
主体内容
1、温故知新，通过两个练习题，总结已知椭圆上两点求标准方程的简单方法，得到不确定焦点位置的椭圆标准方程的一般形式。
4分钟
2、例题1的教学。通过本地明确求轨迹方程就是求曲线上任意一点的坐标（x,y）所满足的等量关系。掌握用相关点代入法求解轨迹问题的题型特征和基本思路与方法。明确椭圆与圆的压缩和拉伸关系，具有挑战性和探究性。
课题名称
§3.1.1椭圆及其标准方程（第二课时）
学科
数学
视频长度
20分钟
主讲人
赵
知识点来源
学段：高中二年级上
教材版本：人教A版
章节：选择性必修一第三章第一节
知识点描述
教学目标
1、在能直观认识椭圆的图形特征、掌握椭圆的概念、熟悉椭圆标准方程的基础上，明确求曲线方程的一般步骤：
2、探求求轨迹方程的常见方法，发展类比比较，数学运算，逻辑推理的数学素养！
人教版高中数学优质教案2：2.1.1 椭圆及其标准方程(二) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（二）教学目标：明确圆锥曲线的概念.理解并掌握椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程及其推导方法.教学重点：椭圆的定义及其标准方程.教学难点：椭圆标准方程应用和求法.教学过程：一、课前复习：椭圆的定义及其标准方程.二、讲解新课典例[解析]例1根据下列条件，求椭圆的标准方程.①坐标轴为对称轴，并且经过两点A （0，2）和B （3,21）. ②经过点（2，-3）且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点.解：①设所求椭圆的方程为n y m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，∵椭圆过A （0，2），B （3,21）， ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+41:,1341140n m nm n m 解得，∴所求椭圆方程为：x 2+42y =1。
②∵椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为（0，±5），则可设所求椭圆方程为：522++m y m x =1(m ＞0)将x =2,y =-3代入上式得：1594=++m m ，解得：m =10或m =-2（舍去），∴所求椭圆的方程为：151022y x +=1 指出：①小题中所求椭圆方程设为ny m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为2222by a x +=1（a ＞b ＞0）或2222a y b x +=1(a ＞b ＞0)去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.②小题中的设法也不失为一种好的设法.因已知椭圆的焦点为（0，±5），如若能注意到方程522++m y m x =1(m ＞0)表示的是其焦点F 1（0，-5）、F 2（0，5）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x ，因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有4)2(22=+y x ，即1422=+y x ，所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x 。
椭圆中点弦斜率公式推导过程
椭圆中点弦斜率公式推导过程椭圆是椭圆方程及其图象的统称：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (1)中心在坐标原点的椭圆，其中a和b分别为长轴和短轴，长轴a>=短轴b>0。
将方程(1)改写为标准形式：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ (2)将椭圆(2)绕着圆心P(h，k)旋转α角度，椭圆(2)就变成了椭圆：$\frac{(x-h\cos{\alpha}-k\sin{\alpha})^2}{a^2}+\frac{(y-h\sin{\alpha}+k\cos{\alpha})^2}{b^2}=1$ (3)以上椭圆(3)可以看作一个新的坐标系，把原来的坐标系(x,y)变换成了新的坐标系($x'$,$y'$)，其中$h\cos{\alpha}+k\sin{\alpha}$为新坐标系$x'$轴，$h\sin{\alpha}+k\cos{\alpha}$为新坐标系$y'$轴。
以椭圆上任一点$(x,y)$为圆心，椭圆上其他点坐标为$(x\pma,y)$和$(x,y\pm b)$，以椭圆上的任一点$(x,y)$为圆心，椭圆上其他点坐标可以经过新旧坐标系的坐标变换得到：$(x\pm a ,y) \Rightarrow (x'\pm a\cos{\alpha} \pmb\sin{\alpha}，y'\pm a\sin{\alpha}\pm b\cos{\alpha})$ $(x,y\pm b) \Rightarrow (x'\pm b\cos{\alpha}\pma\sin{\alpha}，y'\pm b\sin{\alpha}\pm a\cos{\alpha})$在新坐标系中，椭圆上任一点$(x'，y')$到过它的对称点$(x'\pm 2a\cos{\alpha}\pm 2b\sin{\alpha}，y'\pm 2a\sin{\alpha}\pm2b\cos{\alpha})$之间形成的直线与$x'$轴的夹角α为点斜率。
高二数学椭圆与双曲线中点弦问题
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练习巩固: 3.(随堂通 P58 第 2 题)
x2 y2 1 的弦被点 (4, 2) 平分, 则此弦所在直 若椭圆 36 9 线的斜率为( D ) 1 1 (A)2 (B)-2 (C) (D) 3 2 4.(随堂通 P74 例 4)
2 y 1 上的两点 , 点 N (1, 2) 是 设 A 、B 是双曲线 x 2 2 线段 AB 的中点. ⑴求直线 AB 的方程; y x 1 ⑵如果线段 A点是否共圆?为什么? 共圆
所以所求中点 P 的轨迹方程是 2 x 2 4 x y 2 y 0
作业:自学随堂通 P49 例 2、 P71 例 4
椭圆与双曲线的中点弦问题
思考:(课本 P67 B 组第 2 题)
2 y 1 , 过点 P (1,1) 能否作一 已知双曲线 x 2 2 B 两点,且点 P 是线段 条直线 l , 与双曲线交于 A 、 y P AB 的中点? B l A
分析:画出草图,审题 能否问题,一般考虑能,尝试看能否求出. 首先需要大胆设相关量(直线的方程,点的坐标等) 然后进行分析尝试: 一是韦达定理法(弦长和中点问题常用); 二是点差法(中点和斜率的问题常用).
2 y 1 交于 M、N 两 3. 过点 A(2 ，1) 的直线与双曲线 x 2 2 点，求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.
解：设 M ( x1 ，y1 ) ， N ( x2 ，y2 ) ，
2 2 y y 2 2 1， 则 x12 1 1，x 2 2 2 y1 y2 x1 x2 两式作差并整理，得 2 x1 x2 y1 y2 设弦 MN 的中点 P( x0 ，y0 ) ，又 k MN k AP ， y0 1 x0 且 x1 x2 2 x0 ，y1 y2 2 y0 。 则 2 x0 2 y0
高中数学：中点弦问题
⾼中数学：中点弦问题
⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：
这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，
因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求
出相关的斜率，常⽤结论如下：
⼆、利⽤导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。
那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。
所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。
高二数学｜椭圆及其标准方程的教学设计与学习指导.doc
高二数学｜椭圆及其标准方程的教学设计与学习指导一、教材分析在学习本课《椭圆及其标准方程》之前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一定的了解。
同时，对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
从思想上说，本节课是运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例；从内容上说，本节课是运用坐标法研究几何问题的实际演练，也是研究椭圆几何性质的基础。
同时，也为进一步研究另外两种圆锥曲线——双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
所以，教材把对椭圆的研究放在了重点，它对知识起到了承上启下的作用，在高考中也是重点考察的内容之一。
先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线具有重要意义。
在本节课之前，教材前言部分简单地将圆锥曲线的知识与日常生活和科学研究中的一些问题联系起来，使得学生了解到数学与现实生活的紧密联系，并对圆锥曲线有了大概的印象。
教材有两个特点：一是概念性强；二是凸显了坐标法在研究几何问题时的重要作用。
《椭圆》这一节所体现出的学习方法对本章其他内容的学习具有导向和引领作用。
但由于本章节难度较大，对于缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题的学生来说，学习起来较困难。
二、学习对象分析1.学习对象本节课是高二学生学习的《椭圆》内容，经过之前的学习，学生已具备探究有关点轨迹问题的知识基础和学习能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
同时，由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。
如：由于学生对用坐标法解决几何问题这一知识点掌握还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍。
另外，本节内容较抽象，对学生的抽象、分析能力要求较高，再加上学生理解、运算能力及基础参差不齐，这进一步增加了学生学习本节内容的难度。
(高二数学教案)椭圆及其标准方程1高中二年级教案
椭圆及其标准方程1高中二班级教案教学目标1．把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能依据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3．通过对椭圆概念的引入教学，培育同学的观看力量和探究力量；4．通过椭圆的标准方程的推导，使同学进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的力量；5．通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发同学学习数学的乐观性，培育同学的学习爱好和创新意识．教学建议教材分析1．学问结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是把握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要争辩的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的争辩放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然．学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是格外重要的．〔1〕对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以比照圆的定义来理解．另外要留意到定义中对“常数〞的限定即常数要大于．这样规定是为了防止消灭两种特殊状况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹〞．这样有利于集中精力进一步争辩椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特殊状况，以保证对椭圆定义的精确性．〔2〕依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方．应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让同学认真领悟．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是同学的难点．要留意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，〞方程的解为坐标的点都在椭圆上〞．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．〔3〕两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．〔4〕教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向同学说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使同学知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议〔1〕使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发同学的学习爱好．为激发同学学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要争辩的问题，使同学对所要争辩的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。
椭圆点差法中点弦斜率公式推导
椭圆点差法中点弦斜率公式推导椭圆点差法是一种重要的分析方法，用来研究平面曲线的几何特性，而它的基本公式正是点弦斜率公式。
椭圆点差法中点弦斜率公式推导，不仅仅是一个数学问题，还涉及到几何图像分析、几何原理和数学模型等，因此非常有价值。
椭圆点差法中点弦斜率公式的推导，可以用数学的方法进行分析。
首先，建立一个关于椭圆的方程：$$ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $$其中 $(a,b) $为椭圆的长半轴和短半轴，这个方程表示了一个椭圆。
接下来，建立椭圆上任意两个点 $(x_1,y_1) $ $(x_2,y_2) $，现在我们需要用它们推导出一种中点弦斜率的表达式。
要做到这一点，首先我们需要确定这两点的中点 (x,y) 。
根据中点的定义，我们可以得到：$$x=frac{x_1+x_2}{2}$$$$y=frac{y_1+y_2}{2} $$知道了中点的位置，接下来我们可以给出点弦斜率的表达式：$$m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$将上面的方程代入到椭圆方程，我们可以得到：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $$$$ frac{x_1^2}{a^2}+frac{y_1^2}{b^2}=1 $$$$ frac{x_2^2}{a^2}+frac{y_2^2}{b^2}=1 $$求解上述方程，我们可以得到：$$m=frac{a^2(y_2-y_1)}{b^2(x_2-x_1)} $$以上就是椭圆点差法中点弦斜率公式的推导过程。
推导出椭圆点差法中点弦斜率的公式，有助于我们更深入地了解椭圆的几何特性，也可以加深我们对椭圆方程的理解。
此外，它还可以帮助我们分析更多曲线的特性，如圆、抛物线、双曲线等，因为它们的方程也可以用椭圆点差法来推导。
总之，椭圆点差法中点弦斜率公式的推导不仅仅是一个数学问题，而是在数学上探索几何图像分析和几何原理，解决实际问题的一种方法，有助于更深入地了解椭圆方程和曲线结构的内在含义，也是数学的重要方法之一。
高二年级数学教案
高二年级数学教案一、教学内容本节课选自高二数学教材第三章《圆锥曲线》的第三节“椭圆的标准方程与简单性质”。
具体内容包括：1. 椭圆的定义及标准方程；2. 椭圆的简单几何性质，如顶点、焦点、实轴、虚轴等；3. 椭圆的离心率及其与焦点、顶点的关系。
二、教学目标1. 让学生掌握椭圆的定义及标准方程，能够识别并运用椭圆的相关性质；2. 培养学生运用椭圆的几何性质解决实际问题的能力；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：椭圆标准方程的推导，椭圆的几何性质的理解与运用。
教学重点：椭圆的定义，椭圆标准方程及其几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：椭圆模型，多媒体教学设备；2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中椭圆形物品，如鸡蛋、地球仪等，引导学生观察并思考椭圆的特点。
2. 教学内容讲解（1）椭圆的定义及标准方程通过椭圆模型，引导学生发现椭圆的定义，即到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴长）的点的轨迹。
在此基础上，推导椭圆的标准方程。
（2）椭圆的简单几何性质介绍椭圆的顶点、焦点、实轴、虚轴等概念，并给出相关性质。
（3）椭圆的离心率讲解离心率的定义，及其与焦点、顶点的关系。
3. 例题讲解结合教材例题，讲解椭圆相关性质的应用，如求椭圆的长轴、短轴、焦距等。
4. 随堂练习设计相关练习题，让学生巩固所学知识，并及时解答学生疑问。
5. 课堂小结六、板书设计1. 椭圆的标准方程与简单性质2. 定义：到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹3. 标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0）4. 几何性质：顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等5. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目（1）已知椭圆的长轴长为10，短轴长为6，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的焦点坐标为（4,0）和（4,0），求椭圆的离心率；（3）判断下列椭圆的几何性质：长轴、短轴、顶点、焦点等。
椭圆中点弦斜率公式推导过程
椭圆中点弦斜率公式推导过程椭圆是平面上的一个几何图形，具有两个特点：对于给定的两点F1和F2，任意一点P到这两点的距离之和是一个常数2a；任意一点P到这两点连线的中点M，以及此线段的延长线与椭圆长轴的交点N，有MP/MN=NF1/NF2=e。
其中a是椭圆的半长轴，e是椭圆的离心率。
椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a>b>0。
我们可以将椭圆的方程转化为参数方程：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中θ为参数。
我们需要推导椭圆中点弦斜率的公式。
假设椭圆上有两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，其连线的中点为M(xm, ym)。
我们要求的是两点连线的斜率k，即 k = (y2-y1)/(x2-x1)。
由于椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，我们可以将P1和P2的坐标代入方程得到两个方程：(x1/a)^2+(y1/b)^2=1和(x2/a)^2+(y2/b)^2=1我们将这两个方程相减，得到(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)/b^2=0，进一步化简可得(x1^2-x2^2)/a^2=(y2^2-y1^2)/b^2我们知道椭圆上两点连线的中点坐标为M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]，我们可以将这个点的坐标代入上面的方程中，得到(x1^2-x2^2)/a^2=((y1+y2)/2)^2-(y1-y2)^2/4再进一步化简可得(x1^2-x2^2)/a^2=((y1+y2)^2-(y1-y2)^2)/4我们可以使用椭圆标准方程将 x1 和 x2 转换成 a 和θ 的表达式：x1 = a*cosθ1，x2 = a*cosθ2代入上式可得((a*cosθ1)^2 - (a*cosθ2)^2)/a^2 = ((y1+y2)^2 - (y1-y2)^2)/4进一步化简可得(cosθ1)^2 - (cosθ2)^2 = (y1+y2)^ 2/a^2 - (y1-y2)^2/a^2利用三角恒等式cos^2θ = (1 + cos(2θ))/2，可得 (1 +cos(2θ1))/2 - (1 + cos(2θ2))/2 = (y1+y2)^ 2/a^2 - (y1-y2)^2/a^2化简可得cos(2θ1) - cos(2θ2) = (y1+y2)^ 2/a^2 - (y1-y2)^2/a^2根据半角公式 cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB，我们可以进一步化简得到cos(θ1+θ2)cos(θ1-θ2) = (y1+y2)^ 2/a^2 - (y1-y2)^2/a^2我们知道(θ1+θ2) 是两点连线的斜率k1的角度，(θ1-θ2) 是斜率k1的角度与x轴的夹角。
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椭圆中点弦的斜率公式及应用
山东高密市第三中学 任志勇 单秀丽
二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效
果．
定理 设有二次曲线的方程为,122nymx Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原
点，则mnkkOMAB．
证明 设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为（2,22121yyxx）．
∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，
∴,12121nymx12222nymx
两式相减得：021222122nyymxx
整理得mnxxyy21222122，
又1212xxyykAB，2121xxyykOM
m
n
kkxxyykkOMABOMAB,
212
2
212
2
．证毕．
注 特别地，当nm＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有1OMABkk．
例１ 过椭圆14922yx内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点
Ｍ
的轨迹方程．
解 设动点Ｍ的坐标为（x,y），则1,xykkxykDMABOM
由定理得941xyxy
整理得049422xyx
这就是点Ｍ的轨迹方程．
例２ 设椭圆122byax与直线1yx相交于Ａ、Ｂ两点，且22AB，又ＡＢ的中点Ｍ与
—2—
原点Ｏ的连线的斜率为22，求a、b的值．
解 由定理得（－１）·22＝－abba2, （１）
将xy1代入椭圆方程整理得：012)(2bbxxba
设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则babxxbabxx1,22121
∴babbabAB14)(2112，∴2)(2222baabba
即0)()(2abbaba （２）
由（１）、（２）解得.32,31ba