湖南师大附中2011-2012学年高一上期期末考试数学试题

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2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2022-2023学年湖南省师大附中高一上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

故选：C 4、D
【解析】函数
与
互为反函数，然后可得答案.
【详解】函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线轴对称
故选：D
5、B
【解析】选项 A 、B 先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项 C
先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项 D 直接利用正切
(Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密
密钥为 y kx3 ，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ 1 ”，则解密后得到的明文是（） 256
1
1
A.
B.
2
4
1
C.2
D.
8
7．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为 x2 y2 6
y＝ 2 2 ＝2，
输出 y＝2 选 B. 11、C 【解析】根据题意，分别判断四个选项中的函数的最小正周期和奇偶性即可，其中 A、C 选项中的函数先要用诱导公式化简.
【详解】A
选项：
y
sin
2x
2
cos
2x
，其定义域为
R
，
cos
2x
cos
2x
，
y
sin
2
x
2
为偶函数，其最小正周期为
A.20
B.24
C.28
D.32
8．将函数 f x sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数

2022-2023学年湖南师大附中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

【详解】由于函数为上的奇函数，则，，
所以，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，
令，可得，则函数在区间上的零点之和为函数与函数在区间上图象交点横坐标之和，如下图所示：
由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点对称，
因此，函数在区间上的所有零点之和为 .
“ ”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14、8
【解析】在同一坐标系中，分别画出函数，及函数的图像，如图所示：
由图可知，两个函数的图象共有8个交点
故答案为8
点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．
15．已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点成中心对称；
③函数的图象关于直线成轴对称；
④函数在区间上单调递增.
其中，所有正确命题的序号是___________.
16．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
，解得．且f（0）＝1． c=1
∴f（x）＝x2﹣x+1
(2)不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化为x2﹣3x﹣4＞0
化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1
∴原不等式的解集为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.

湖南师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析

湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期末考试一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}lg 1A x y x ==+,{}24xB x =>，则()A B =R（ )A. ()2,+∞B. (]1,2- C 。

()1,2- D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的性质以及指数函数的单调性求出集合A 、B,然后再利用集合的交补运算即可求解。

【详解】由题知()1,A =-+∞，()2,B =+∞,从而得到()(]1,2R A B =-. 故选：B 。

【点睛】本题考查了集合的交补运算,同时考查了对数型函数的定义域以及利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题。

2.已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ) A 。

1 B 。

2 C 。

4 D 。

1或4【答案】C 【解析】因为扇形弧长为4,面积为2，所以扇形的半径为：12×4×r=2，解得：r=1，则扇形的圆心角的弧度数为41=4．故选C ．3。

已知ABC ∆中,5BC =,4AC =，6C π=，则BC CA ⋅=（ )【解析】【分析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可.【详解】5cos 6a BC CA b π⋅=⨯⨯542⎛=⨯⨯-=- ⎝⎭。

故选：B .【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角,属于基础题。

4。

在平面直角坐标系中，角β的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)P a，若300β=︒，则a =（）A.1B. 3-C.13D 。

12【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的定义1cos 2β==即可求解。

【详解】由三角函数的定义得1cos 2β==,解得3a =±,从而3a =-。

故选：B .【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是确定终边所在的象限，属于基础题.5。

湖南师大附中2022-2021学年高一上学期期中考试数学(必修1) Word版含答案

湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题答要不内线封密号位座____________ 号场考____________ 号学____________ 名姓____________级班____________ 级年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学命题：高一数学备课组审题：高一数学备课组时量：120分钟满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2}，则∁U (A ∪B)＝A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}2．已知a ＝0.67，b ＝70.6，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a3．下列各组函数中，f(x)与g(x)为相同函数的是 A ．f(x)＝x ，g(x)＝x 2 B ．f(x)＝x ，g(x)＝(x)2C ．f(x)＝x 2，g(x)＝x 3x D ．f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x<04．已知函数f(x)＝x ＋1x ，g(x)＝2x ＋12x ，则下列结论正确的是A ．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数B ．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数C ．f(x)和g(x)都是偶函数D ．f(x)和g(x)都是奇函数5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1ln x ，x>1，e 为自然对数的底数，则f[f(e )]＝A ．0B ．1C ．2D ．eln 26．已知幂函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 A ．－14 B .14C ．－4D ．47．函数f(x)＝(2)x ＋3x 的零点所在的区间是A ．(－2，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，2) 8．函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2(0<a<1)的单调递增区间是A .⎝⎛⎭⎫－∞，32B . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C .⎝⎛⎭⎫－∞，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 9．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是10．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＞f (－2)的解集是A.⎝⎛⎭⎫1100，100 B ．(100，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫1100，＋∞D.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(100，＋∞) 11．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案12．已知100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝__________．13．函数f(x)＝11－2x的定义域是__________．14．若函数f(x)＝|2x －2|－m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)(1)计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34；(2)已知0＜x ＜1，且x ＋x －1＝3，求x 12－x －12的值．已知A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x－b＝0}，且A∩B＝{2}．(1)求a，b的值；(2)设全集U＝A∪B，求(∁U A)∪(∁U B)．已知函数f(x)＝b·a x (a ＞0，且a ≠1，b ∈R )的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)设g (x )＝1f （x ）＋3－16，确定函数g (x )的奇偶性；(2)若对任意x ∈(－∞，1]，不等式⎝⎛⎭⎫a b x ≥2m ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．设全部被4除余数为k(k＝0，1，2，3)的整数组成的集合为A k, 即A k＝{x|x＝4n＋k，n∈Z}，则下列结论中错误．．的是()A. 2022∈A0B．－1∈A3C. 若a∈A k，b∈A k，则a－b∈A0D. a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A219．若函数f(x)＝lg(ax－1)－lg(x－1)在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数y＝log2f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对任意x∈R，都有f(x)≥0成立，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严峻．市环保争辩所对近期每天的空气污染状况进行调查争辩后发觉，每一天中空气污染指数f (x )与时刻x (时)的函数关系为：f (x )＝|log 25(x ＋1)－a |＋2a ＋1，x ∈[0，24]，其中a 为空气治理调整参数，且a ∈(0，1)．(1)若a ＝12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)规定每天中f (x )的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调整参数a 应把握在什么范围内？22.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x2＋9，g(x)＝ax－3.(1)当a＝1时，确定函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x)成立，求实数a的取值范围．湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2022－2021学年度高一第一学期期中考试数学参考答案第Ⅰ卷(满分100分)11.A【解析】设投资x万元经销甲商品，投资(20－x)万元经销乙商品，总利润为y，则y＝P＋Q＝x4＋a2·20－x，0≤x≤20.令y≥5，则x4＋a2·20－x≥5，即a20－x≥10－x2，即a≥1220－x对0≤x≤20恒成立．而f(x)＝1220－x的最大值为5，所以a min＝5，选A.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．113. (－∞，0)14．(0，2)【解析】令|2x－2|－m＝0，则|2x－2|＝m.据题意，函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝m有两个不同的交点，得0＜m＜2.三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】(1)原式＝(33)23－3×log22－3＋log23×log322＝9－3×(－3)＋2＝20.(4分)(2)由于x＋x－1＝3，则⎝⎛⎭⎫x12－x－122＝x＋x－1－2＝1.(6分)由于0＜x＜1，则x12－x－12＝x－1x＝x－1x<0，所以x12－x－12＝－1.(8分)16．【解析】由于A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B.(3分)所以8＋2a＋2＝0，且4＋6－b＝0，得a＝－5，b＝10. (5分)(2)由于A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}．(7分)则U＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，∁U A＝{－5}，∁U B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，(9分)所以(∁U A)∪(∁U B)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(10分)17．【解析】(1)由已知，f(1)＝6，f(3)＝24，则⎩⎪⎨⎪⎧a·b＝6b·a3＝24，(1分)解得a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2分)由题设，g(x)＝13·2x＋3－16＝16⎝⎛⎭⎪⎫22x＋1－1＝16·1－2x2x＋1.(3分)明显g(x)的定义域为R，又g(－x)＝16·1－2－x2－x＋1＝16·2x－11＋2x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．(6分)(2)设h(x)＝⎝⎛⎭⎫abx＝⎝⎛⎭⎫23x，则当x ∈(－∞，1]时，h (x )≥2m ＋1恒成立，所以h (x )min ≥2m ＋1. (8分)由于h (x )在R 上为减函数，则当x ∈(－∞，1]时，h min (x )＝h (1)＝23.(10分)由2m ＋1≤23，得m ≤－16，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－16.(12分) 第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．D19.⎝⎛⎭⎫12，1 【解析】由于f(x)＝lg ax －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －1x －1在[2，＋∞)上是增函数，则y ＝a ＋a －1x －1在[2，＋∞)上是增函数，所以a －1＜0，即a ＜1.又f(x)在[2，＋∞)上有意义，则当x ∈[2，＋∞)时， ax －1＞0恒成立，即a>1x恒成立，所以a>⎝⎛⎭⎫1x max ＝12. 故a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)f(x)＝(x ＋2a)2＋2a ＋6－4a 2.(1分) 据题意，f(x)的最小值为4，则2a ＋6－4a 2＝4，(3分) 即2a 2－a －1＝0，即(2a ＋1)(a －1)＝0，所以a ＝1或－12.(5分)(2)由于f(x)≥0恒成立，则Δ＝16a 2－4(2a ＋6)≤0，(6分)即2a 2－a －3≤0，即(2a －3)(a ＋1)≤0.所以－1≤a ≤32.(7分)g(a)＝2－a|a ＋3|＝2－a(a ＋3)＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174.(9分)由于g(a)在区间⎣⎡⎦⎤－1， 32单调递减，所以g(a)max ＝g(－1)＝4, g(a)min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝－194.(11分) 所以函数g(a)的值域是⎣⎡⎦⎤－194，4.(12分) 21．【解析】(1)由于a ＝12，则f(x)＝|log 25(x ＋1)－12|＋2≥2.(2分)当f(x)＝2时，log 25(x ＋1)－12＝0，得x ＋1＝2512＝5，即x ＝4.(3分)所以一天中晚上4点该市的空气污染指数最低．(4分) (2)设t ＝log 25(x ＋1)，则当0≤x ≤24时，0≤t ≤1.(6分) 设g(t)＝||t －a ＋2a ＋1，t ∈[0，1]，则g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋1，0≤t ≤at ＋a ＋1，a ≤t ≤1.(7分)明显g(t)在[0，a]上是减函数，在[a ，1]上是增函数，则f(x)max ＝max {g(0)，g(1)}. (8分) 由于g(0)＝3a ＋1，g(1)＝a ＋2，法一：由g(0)－g(1)＝2a －1>0，得a>12.所以f(x)max ＝⎩⎨⎧a ＋2，0<a ≤123a ＋1，12<a<1.(10分)当0<a ≤12时，2<a ＋2≤52<3，符合要求；(11分)当12<a<1时，由3a ＋1≤3，得12<a ≤23.(12分) 故调整参数a 应把握在⎝⎛⎦⎤0，23内．(13分) 法二：由题：⎩⎨⎧g （0）≤3g （1）≤3a>0即⎩⎨⎧3a ＋1≤3a ＋3≤3a>0解得0<a ≤23故调整参数a 应把握在⎝⎛⎦⎤0，23内． 22．【解析】(1)当a ＝1时，h(x)＝x 2＋9－x ＋3.设x 1＞x 2＞0，则h(x 1)－h(x 2)＝x 21＋9－x 1－x 22＋9＋x 2＝x 21＋9－x 22＋9－(x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋9＋x 22＋9－(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9－1. (2分) 由于x 21＋9>x 21＝x 1，x 22＋9>x 22＝x 2，则x 21＋9＋x 22＋9>x 1＋x 2，得x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9<1，即x 1＋x 2x 21＋9＋x 22＋9－1<0.(4分)又x 1－x 2＞0，则h(x 1)－h(x 2)<0，即h(x 1)<h(x 2)，所以h(x)在(0，＋∞)上是减函数．(5分)(2)当x ∈[0，4]时，x 2∈[0，16]，则x 2＋9∈[9，25]，所以f(x)的值域是[3，5]．(6分)当x ∈[－2，2]时，设函数g(x)的值域为M. 据题意，[3，5]M.(8分)①当a ＝0时，g(x)＝－3，不合题意．(9分)②当a ＞0时，g(x)在[－2，2]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）≥5g （－2）≤3，即⎩⎨⎧2a －3≥5－2a －3≤3a>0，解得a ≥4. ③当a ＜0时，g(x)在[－2，2]上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）≥5g （2）≤3，即⎩⎨⎧－2a －3≥52a －3≤3a<0，解得a ≤－4.(12分) 综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(13分)。

湖南省师大附中高一数学下学期入学试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为上是减函数，则实数b的取值X围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值X围即可选出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数，∴函数f（x）=x2﹣bx在上是减函数，∴，解得b≥4故选D点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解答：解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9．已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值X围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分45分）12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）（1）求m的值；（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．考点：圆的标准方程；待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB 的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．解答：解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，∴k l=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），∴k PQ=﹣1，即=﹣1，解得m=1；（2）∵m=1，∴直线l方程为：x﹣y+1=0，∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，记线段AB的中点为C（x，y），则，∴C点坐标为：C（，﹣），∵k AB==﹣3，∴直线AB的中垂线的斜率为，又直线AB的中垂线过C（，﹣），∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），整理得：x﹣3y﹣3=0，联立，解得，即圆心为E（﹣3，﹣2），半径为|EB|=2+3=5，∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．点评：本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值．解答：解：（1）如图所示，Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴CO⊥AO，BO⊥AO；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，即∠BOC=90°，∴CO⊥BO；又AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB；又∵CO⊂面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，∴DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；在Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，∴CE==；又DE=AO=，∴tan∠CDE==，即异面直线AO与CD所成角的正切值是．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点（1）若△ABC为正三角形，求m的值；（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．解答：解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），半径为r=，由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，即为=•，解得m=；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），即有=，解得m=﹣．则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R（1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值X围（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值X围，并证明2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由3∉{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值X围；（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值X围，得出所求证明．解答：解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，又3∉{y|y=f（x），x∈R}，∴a＞0时，＞3，解得a＜﹣，不合题意，舍去；a=0时，也不合题意，应舍去；a＜0时，＜3，解得a＜﹣，∴a的取值X围是{a|a＜﹣}；（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；因为g（x）在（0，1]上是单调函数，所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，则x1x2=﹣，这与题设矛盾；因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；又x2∈（1，2），得2＜+＜4．点评：本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．。

2020-2021学年湖南师大附中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷1.已知集合M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2.命题“”的否定是()A. B.C. ∀x>0,xx−1≤0 D. ∀x<0,0≤x≤13.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．()A. 5730B. 11460C. 22920D. 458404.下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A. f(x)=x−1，g(x)=x2−1x+1B. f(x)=√x33，g(x)=(√x)2C. f(x)=1，g(x)=(x+1)0D. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−15.下列说法正确的是()A. a>b⇒ac2>bc2B. a>b⇒a2>b2C. a>b⇒a3>b3D. a2>b2⇒a>b6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是()A. 0B. −2C. −52D. −37.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为()A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x，则有()A. f(x)=12(e x−e−x) B. g(x)=12(e x+e−x)C. f(2)<g(0)<f(3)D. g(0)<f(2)<f(3)9. 设函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0则f(f(−1))的值为．10. 已知p ：x 2−8x −33>0，q ：|x −1|>a(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为． 11. 化简求值．(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+eln2．12. 已知函数f(x)=ae x +1+1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f(x)在R 上是增函数； (2)求不等式f(t 2)+f(2t −3)≤0的解集．13. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)+f(y)=f(x +y)，且x >0时，f(x)<0．(1)求证：f(x)在R 上是奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．14. 已知函数f(x)=x 2+bx +c(b,c ∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1,2]．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)，其中m ∈R ．15. 设f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)16. 已知函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是( )A. [25,3)B. (25,3]C. (−∞,3)D. [25,+∞)17. 下列命题中正确的有( )A. |x|2+|x|−2=0有四个实数解B. 设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，则ac >0C. 若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1D. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4√x 2+4的最小值为218. 设函数f(x)=x|x|+bx +c ，给出如下命题，其中正确的是( )A. c =0时，y =f(x)是奇函数B. b =0，c >0时，方程f(x)=0只有一个实数根C. y =f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0最多有两个实根19. 已知f(x)=e x−1+e 1−x +2a 只有一个零点，则a = ．20. 设关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0，(a ∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为．21. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)=411+3kx+b (x ≥0)．树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米． (1)求f(x)的解析式；(2)问从种植起，第几年树木生长最快？22. 已知函数f(x)=e 2x +(t +1)e x +t ．(1)当t =−e 时，解不等式f(x)≥0的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，求t 的最大值； (3)对于函数g(x)，若∀a ，b ，c ∈R ，g(a)，g(b)，g(c)为某一三角形的三边长，则称g(x)为“可构造三角形函数”，已知函数g(x)=f(x)(e x +1)2是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行交集的运算即可．【解答】解：∵M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，∴M∩N={−1,0,1}．故选：B．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定，属于中档题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．【解答】>0即x>1或x<0，解：xx−1>0”的否定是“”，故命题“∀x>0,xx−1故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可．【解答】解：由题可知，碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据定义域相同，对应关系也相同，即可判断两函数为同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，f(x)=x−1，定义域为R，g(x)=x2−1x+1=x−1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)=√x33=x，定义域为R，g(x)=(√x)2=x，定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)=1，定义域为R，g(x)=(x+1)0=1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f(x)=|x+1|={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质．【解答】解：选项A，当c=0时，由a>b，不能推出ac2>bc2，故错误；选项B，当a=−1，b=−2时，显然有a>b，但a2<b2，故错误；选项C ，当a >b 时，必有a 3>b 3，故正确；选项D ，当a =−2，b =−1时，显然有a 2>b 2，但却有a <b ，故错误．故选：C ．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．由题意可得−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立，求得最小值，令−a 不大于最小值即可．【解答】解：不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立，即有−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立．由于y =x +1x ，当0<x <1时，函数y 递减．则当x =12时，y 取得最小值且为52，则有−a ≤52，解得a ≥−52．则a 的最小值为−52．故选：C ．7.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．求出二次函数的对称轴方程，可知当m =2时函数有最小值，再由x =0时y =−4，结合二次函数的对称性可得m 的可能取值．【解答】解：函数y =x 2−4x −4的对称轴方程为x =2，当0<m ≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x =0时取最大值−4，x =m 时有最小值m 2−4m −4=−8，解得m =2．则当m >2时，最小值为−8，而x =0时y =−4，由对称性可知，x =4时y =−4，故m ≤4．综上，实数m 的取值范围为2≤m ≤4． ∴实数m 的值可能为2，3，4．故选：ABC ．8.【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，与f(x)−g(x)=e x 联立，解可得f(x)与g(x)的解析式，进而求出f(2)、f(3)、g(0)的值，比较可得其大小，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算．【解答】解：根据题意，函数f(x)，g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，①则f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，②，联立①②可得：f(x)=12(e x −e −x )，g(x)=−12(e x +e −x )，故A 正确，B 错误；则f(2)=12(e 2−e −2)，g(0)=−12×(1+1)=−1，f(3)=12(e 3−e −3)，则有g(0)<f(2)<f(3)，故C 错误，D 正确；故选：AD ．9.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f(−1)=1，进而可得f(f(−1))=f(1)，计算可得答案．本题考查分段函数的函数值求解，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0，则f(−1)=−(−1)=1，则f(f(−1))=f(1)=1+1=2；故答案为：210.【答案】(0,4]【解析】【分析】根据不等式的解法求出p ，q 的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，为一般题．【解答】解：由x 2−8x −33>0得(x +3)(x −11)>0得x >11或x <−3，由|x −1|>a(a >0)得，x −1<−a 或x −1>a ，得x >1+a 或x <1−a ，若p 是q 的充分不必要条件，则{1+a ≤111−a ≥−3即{a ≤10a ≤4得a ≤4，又a >0，则0<a ≤4，即实数a 的取值范围是(0,4]，故答案为(0,4]．11.【答案】解：(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6=8+1−8+22×33=109．(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2 =lg2lg 14+lg(16×58)+2 =−12+1+2=52．【解析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．12.【答案】解：(1)∵f(x)=ae x+1+1是奇函数，定义域为R，∴f(0)=a2+1=0，则a=−2，f(x)=−2e x+1+1，证明：任取x1,x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−2e x1+1+1+2e x2+1−1=2(e x1−e x2)(e x1+1)(e x2+1)，由x1<x2，可得e x1<e x2，则e x1−e x2<0，e x1+1>0,e x2+1>0∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由(1)可知f(x)为R上单调递增的奇函数，不等式f(t2)+f(2t−3)≤0可化为f(t2)≤−f(2t−3)=f(3−2t)，∴t2≤3−2t，即t2+2t−3≤0，解得−3≤t≤1，故不等式的解集{t|−3≤t≤1}．【解析】(1)根据奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后结合函数单调性的定义即可证明；(2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为t2≤3−2t，解之即可得结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．13.【答案】(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0得f(0)=0，令y=−x得f(−x)=−f(x)，∴f(x)在R上是奇函数；(2)证明：在R上任取x1>x2，则x1−x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1−x2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数．(3)解：∵f(x)是R 上减函数，∴f(x)在[−3,3]上也是减函数，∴f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，而f(3)=3f(1)=−2，f(−3)=−f(3)=2，∴f(x)在[−3,3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力．(1)由于f(x)+f(y)=f(x +y)，分别令x =y =0，可求得f(0)=0，再令y =−x ，即可证得f(x)在R 上是奇函数；(2)任取x 1>x 2，利用单调函数的定义法，作差f(x 1)−f(x 2)后转化，利用x >0时，f(x)<0即可证得f(x)在R 上是减函数；(3)利用(1)(2)知，奇函数f(x)为R 上的减函数，再利用f(1)=−23，即可求得f(x)在[−3,3]上的最大值为与最小值;14.【答案】解：(1)因为f(x)≤0的解集为[−1,2]，所以x 2+bx +c =0的根为−1，2，所以{−1+2=−b −1×2=c；解得，b =−1，c =−2；所以f(x)=x 2−x −2．(2)mf(x)>2(x −m −1)，即(mx −2)(x −1)>0，所以当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)，当m ≠0时，方程(mx −2)(x −1)=0的根为2m ,1，所以当m <0时，不等式的解集为(2m ,1)，当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)，当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)，当m >2时，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及应用，考查了含参数的一元二次不等式解法，用到分类讨论的思想方法，属于拔高题．(1)由不等式的解集，可知二次函数的根，由韦达定理可得解析式；(2)对m 进行分类讨论，解不等式即可．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．易判断f(x)在(−∞,0)上的单调性及f(x)图象所过特殊点，作出f(x)的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上递减，∴f(x)在(0,+∞)上递减，由f(−2)=0，得f(−2)=−f(2)=0，即f(2)=0，由f(−0)=−f(0)，得f(0)=0，作出f(x)的草图，如图所示：由图象，得xf(x)>0⇔{x <0f(x)<0或{x >0f(x)>0，解得−2<x <0或0<x <2，∴xf(x)>0的解集为(−2,0)∪(0,2)，故选：D ．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，分段函数的应用．由一次函数、二次函数的性质，得不等式，解出即可．【解答】解：函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数， ∴函数f(x)是R 上的增函数，∴3−a >0，解得：a <3，且当x =1时，(3−a)−4a ≤1，解得：a ≥25，综上a 的取值范围是：[25,3)．故选：A ．17.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，考查基本不等式，方程的解，不等式的基本性质的判断．通过解方程可得|x|=1，判断A 的正误；由二次方程ax 2+bx +c =0无实根可得a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，判断B 即可；利用不等式的基本性质判断C 即可；利用基本不等式成立的条件，判断选项D 即可．【解答】解：|x|2+|x|−2=0解得|x|=1或|x|=−2舍去，所以x =±1，故方程有2个实数解，所以A 不正确；设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，可知a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，可得ac >0，所以B 正确；a >b ，因为c 2+1>0，所以a c 2+1>b c 2+1，所以C 正确；若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4 ≥2√√x 2+4⋅√x 2+4=2，当且仅当x 2+4=1时取等号，等式显然不成立，所以选项D不正确．故选：BC．18.【答案】ABC【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性判断A的正误；利用函数的零点判断B；函数的图象的对称性判断C；举例通过零点的个数判断D．本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题．【解答】解：当c=0时，f(x)=x|x|+bx，此时f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c，若x≥0，f(x)=0无解，若x<0，f(x)=0有一解x=−√c，B正确；因为y=x|x|+bx是奇函数，关于原点对称，f(x)=x|x|+bx+c可由y=x|x|+bx经过上下平移得到，所以y=f(x)的图象关于点(0,c)对称，故C正确；当b=−1，c=0时，f(x)=x|x|−x，方程f(x)=0，即x|x|−x=0，解得x1=−1，x2=0，x3=1，故D不正确．故选：ABC．19.【答案】−1【解析】【分析】原问题可转化为方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，构造函数g(x)=e x−1+e1−x，利用基本不等式的性质求出其最小值即可得解．本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：∵函数f(x)=e x−1+e1−x+2a只有一个零点，∴方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，令g(x)=e x−1+e 1−x ≥2√e x−1⋅e 1−x =2，当且仅当e x−1=e 1−x ，即x =1时，等号成立，∴−2a =2，解得a =−1．故答案为：−1．20.【答案】−10【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定a 的值，求出相应一元二次不等式的解集．先确定a <0，再利用0为其中的一个解，a ∈Z ，求出a =−1或−2，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．【解答】解：当a =0时，显然不符合题意；当a ≠0时，设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16，其图象为抛物线．关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0整数解只有有限个，所以a <0．因为0为其中的一个解可以求得a ≥−167，又a ∈Z ，所以a =−2，−1．当a =−2时，不等式为−2x 2−8x +2≥0，解得−√5−2≤x ≤√5−2，此时不等式的整数解为：−4，−3，−2，−1，0；当a =−1时，不等式为−x 2+9≥0，解得−3≤x ≤3，此时不等式的整数解为：−3，−2，−1，0，1，2，3；综上所述，全部不等式的整数解的和为−10．故答案为：−10．21.【答案】解：(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，由题意，f(0)=12，f(1)=4128，得{12=411+3b 4128=411+3k+b ，解得k =−1，b =4． ∴f(x)=411+34−x (x ≥0)；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，则g(x)=f(x +1)−f(x)=411+33−x −411+34−x =82⋅33−x (1+33−x )(1+34−x )．令33−x =u(0<u ≤27)，则ℎ(u)=82u (1+u)(1+3u)=82u 3u 2+4u+1=823u+1u +4．令φ(u)=3u +1u ，则φ(u)在(0,√33)上单调递减，在[√33,27]上单调递增， ∴当u =√33时，φ(u)有最小值，得ℎ(u)有最大值，由33−x =3−12，得x =72，又x ∈N ，故x 的值可能为3或4，又g(3)=414，g(4)=414，g(3)=g(4)，因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于拔高题．(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，结合f(0)=12，f(1)=4128列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，则f(x)的解析式可求；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，求得g(x)=f(x +1)−f(x).利用换元法及函数的单调性求最值得答案．22.【答案】解：(1)当t =−e 时，不等式f(x)≥0，即(e x +1)(e x −e)≥0，即e x ≥e ，解得x ≥1，故不等式的解集是[1,+∞)；(2)不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，即e 2x +(t +1)e x +t <e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，所以t <1(e x +1)2−4(e x +1)对任意x ∈R 恒成立，记ℎ(x)=1(e x +1)2−4(e x +1)(x ∈R)，因为当x ∈R 时，1e x +1∈(0,1)，所以ℎ(x)=(1e x +1−2)2−4∈(−3,0)，所以t ⩽−3，故t 的最大值为−3；(3)由于函数g(x)=f(x)(e x+1)2=e x+te x+1=1+t−1e x+1是“可构造三角形函数”，首先，必有t≥0才能保证g(x)>0，其次，必需g(x)max<2g(x)min，所以当0≤t<1时，函数g(x)是R上的增函数，则g(x)的值域是(t,1)，由1≤2t，得12≤t<1，当t=1时，g(x)=1，符合题意，当t>1时，函数g(x)是R上的减函数，则g(x)的值域是(1,t)，由t≤2，得1<t≤2，综上实数t的取值范围为t∈[12,2]．【解析】(1)代入t的值，问题转化为(e x+1)(e x−e)≥0，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为t<1(e x+1)2−4(e x+1)对任意x∈R恒成立，记ℎ(x)=1(e x+1)2−4(e x+1)，根据二次函数的性质求出t的最大值即可；(3)问题转化为必需g(x)max<2g(x)min，通过讨论t的范围，求出函数的值域，得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了解不等式问题，不等式恒成立问题，函数的新定义，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。

湖南师大附中 2023-2024 学年度高一第一学期第一次月考数学试卷

湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<<，则A B =（）A ．{}23x x <≤ B ．{}23x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x <<2．命题：“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（）A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x=C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =3．一元二次不等式2144x x −≥的解集是（）A ．72,4⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．7,24⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．74,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．7,42⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4．已知2x >，则442x x +−的最小值是（） A ．4B ．8C ．12D ．165．设()22M a a =−，()()13N a a =+−，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤6．已知{}31,M x x m m ==−∈Z ，{}32,N x x n n ==+∈Z ，{61P x x p ==−，}p ∈Z ，则下列结论正确的是（）A ．M PN = B ．P M N = C ．M N P ⊆ D ．N M P⊆7．命题“[]1,2x ∀∈，1120ax x+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≥− B ．2a ≥− C ．3a ≥− D ．4a ≥− 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中高一(12月)月考数学试卷(含答案)

师大附中2011级（高一）12月份月考试卷·数学时间120分钟满分150分班级学号姓名一、选择题（每小题5分，共50分）1、一次函数326y x y x =+=-+与的图象的交点组成的集合为（）A.14x y =⎧⎨=⎩ B.{}1,4x y == C.(){}1,4 D.{}1,4 2、下列命题正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台320)a >经过计算可得到（） A.a4、下列说法正确的有（）○1集合{}{}|21,|21,A x z x k k z B x x k k z =∈=+∈==-∈与集合是相等集合；○2设集合{}{}{}2|(3)()0,,|540,1,3,4,A x x x a a R B x x x A B a =--=∈=-+== 则；○3函数11x y x +=-在区间[2，6]上的最大值为3；○4函数21y x =在定义域上是减函数。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如图，空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且1,2PQ QR PR ===，那么异面直线BD 和PR 所成的角是（）A.90度B.60度C.45度D.30度6、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长l 与底面半径r 之间满足的关系式为（）A.12l r = B.2l r = C.2l r = D.l =7、下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.四边形确定一个平面C.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面D.两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条也平行于这个平面8、如图，正方形123SG G G 中，E 、F 分别是1223,G G G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记作G ，则四面体S EFG -中必有（）A.SG EFG ⊥ 所在平面B. SD EFG ⊥ 所在平面C. GF SEF ⊥ 所在平面D. GD SEF ⊥ 所在平面9、已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,a b ，则下列四个命题中为真命题的是（）A.//,,//a b b a αα⊂若则B. ,a αβαββ⊥⊥⊥ 若,=b,a b 则C. ,,//,//,//a b a b ααββαβ⊂⊂若则D. //,,,//,//a a a a αβαβαβ⊄⊄若则10、已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠且的图象如图所示，则实数,a b 满足的关系是（）A.101a b -<<<B. 101b a -<<<C. 101b a -<<<D. 1101a b --<<< 二、填空题（每小题5分，共40分）11、设全集为{}{}(),|17,|102,R R A x z x B x x x A B =∈<<=≥≤= 或则ð 。

2023-2024学年湖南师大附中高一期末数学试卷答案

即 m = π − kπ ， k Z ，所以 k = 0 时，正数 m 有最小值 π .
18 3
18
故答案为： π 18
14．[1, 2] （答案不唯一）
【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为 t ，分别判断外函数 y = ( 1 )t 和 2023
内函数 t = x2 − 2024x 的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子
33 “ A = B ”是“ sin A = sin B ”的充分不必要条件，故 B 错误；
由全称命题的否定知，“ x, y R ， x2 + y2 0 ”的否定是“ x0 , y0 R ， x02 + y02 0 ”，故 C 正确；
因为
y
=
1
x2
=
x
，定义域为[0, +) ， y
=
2
x4
所以区间[0,1] 与区间1, 2 ，区间[−2, −1] 与3, 4 关于 x = 1 对称，
由函数 f ( x) 在区间1, 2 上是减函数，可知函数在[0,1] 上是增函数，
又函数 f ( x) 是偶函数，所以函数 f ( x) 在[−2, −1] 上是增函数，
所以函数 f ( x) 在3, 4 上是减函数，
B
错误；
由 2x + π = π + kπ (k Z) ，得 x = π + kπ (k Z) ，
42
82
所以点
−
π 8
,
0
不是函数的对称中心，选项
C
错误；
由 2x + π = kπ (k Z) ，得 x = − π + kπ (k Z) ，当 k = 0 时， x = − π ，

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的倾斜角为600，则直线l的斜率为

A．3 B．－3

C．33 D．33
2．下列命题中，错误的是
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

3. 正方体1111DCBAABCD的对角线1AC的长为3cm，则它的体积为

A．34cm B． 38cm
C．372112cm D．333cm

4．下列直线中，斜率为43，且不经过第一象限的是
A．0743yx B．0734yx
C．0234yx D．0243yx
5. 直线01343yx与圆1)2()1(22yx的位置关系是
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 无法判定
6. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，
则棱锥的体积与原长方体的体积之比为
A. 1﹕3 B. 1﹕4
C. 1﹕5 D. 1﹕6
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7．设,,为两两不重合的平面，nml,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则//；②若m，n，//m，//n，则//；③
若//，l，则//l； ④若l，m，n，//l，则//mn．其
中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

8．若直线bxy与曲线21yx有且只有一个交点，则b的取值范围是
A．2||b B．11b
C．211bb或 D．以上答案都不对
选择题答题卡

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
答案

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上
9．若经过点(-２, a)和点(a,４)的直线斜率不存在,则a= ．
10. 在z轴上与点A（－4，1，7）和点B（1，5，－2）等距离的点C的坐标为_________．

11．垂直于直线053yx且经过点P(—1，0)的直线的一般式方程是_____________。
12. 用一平面去截球所得截面的面积为2cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体
积是 cm3.
13．圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线20xy相切，则圆C的标
准方程是 ___．
14．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
其中正确结论的序号是________．
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三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．(本小题满分10分)
如图为一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积和体积．

17. (本小题满分12分)
如图，正方体1111DCBAABCD中， E是1DD的中点．
（1）求证：1BD∥平面AEC；
（2）求1BC与平面11AACC所成的角.

18. (本小题满分12分)
已知圆22:()(2)4(0)Cxaya及直线:30lxy. 当直线l被圆C截得的弦长

第Ⅱ卷（选考部分：共50分）
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且
CD=2AB．
（1）若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为45，
①求四棱锥P－ABCD的体积；
②求二面角P－CD－B的大小；
（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明
理由．

20．(本小题满分12分)
如图，A，B两地相距10km，A（–5，0），B（5，0）．有一种商品，A、B两地均有出售且
价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的3倍．问
该地居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)

21．(本小题满分13分)
已知方程22240xyxym．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线240xy相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），
求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

22．(本小题满分13分)
如图，在平面直角坐标系中，方程为022FEyDxyx的圆M的内接四边形ABCD
的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；

数学参考答案
一、选择题


2
3

2
3
2
1332VVVVcm



柱
柱锥
－

由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC=AO:CO =1:2
∴PA∥EO …………………………10分
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD内，

∴平面EBD垂直于平面ABCD …………………………12分

2
1.解：（1）22240xyxym ， 2D，4E，Fm．
22
42040DEFm
， 5m，则m的取值范围是(,5)．…………2分（2）

22
240(1)240(2)xyxyxym


由（1）得yx24代入（2）并整理得： 081652myy．……4分
…
…………………3分

（2）四边形ABCD的面积S=1||||2ACBD,因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.
……………………4分