《数列的极限》教学设计
高中数学教案——数列的极限
课题：2.2数列的极限教学目的：1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限教学难点：数列极限的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)，它有两个方面的意义.教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子²天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝12n(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-12n(尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4²(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =nn 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n 101二、讲解新课：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn三、讲解范例：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 解：（1）1，21，31，…，n1，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n1＝0. （2）21，32，43，…，1+n n，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1+n n ＝1. （3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即lim n →∞(-2)＝-2.（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n )1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(-｝的极限是0，即lim n →∞n)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(-｝无极限四、课堂练习：1．下列命题正确的是（ ）①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④答案：D2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91，…，21n，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…，答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3 答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|nn 2)1(1--－0|=n 21可以任意小.故选B.4.下列数列，不存在极限的是…( )A. ,)1(,,271,81,131n n --- B. ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n nC.－1，1，－1，1，…，(－1)n，… D. ,1,,34,23,2nn + 答案：C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1. 五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.设等比数列{qn －1}(|q |＞1)的前n 项和为S n ，则∞→n limnn S S 2+的值是 A.21q B.41qC.q 2D.q 42.已知a ＞b ＞1，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是A. －abB.a1C.－bD.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n，f (x )中x 2的系数为T n ，则∞→n l i mnn T n23+等于 A.31B.61C.1D.25.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞→n limnnS S 2}，则N 等于 A.{0，1}B.{1，21 } C.{0，21} D.{0，1，21} 6. ∞→n lim )11(--+n n n 等于A.1B.0C.21 D.不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.无穷数列{2312++k k }（k =1,2,3,……）的各项和是___________. 8.在数列{a n }中，若∞→n lim (3n －1)a n =1,则∞→n lim na n =___________.9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.10.已知∞→n lim （112++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (x )=422+x (x ＞0),设a 1=1,且a n +12²f (a n )=2(n ∈N *)， 求(1)数列{a n }的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a nbb ⨯+--13.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；（Ⅱ）求∞→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.14.设数列{a n }满足a 1+3232a a ++…+na n =a 2n－1,{a n }的前n 项和为S n (a ＞0,a ≠1,n ∈N *). (1)求a n ; (2)求∞→n limna S nn)1(2-； （3）求证：(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2参考答案：一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a 1≤23,且a 1≠1. 三、12.解：（1）由a n +12²f (a n )=2,得a n +12²422+n a =2∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或13.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，nn n n r r r r +---11=sin30°=21 ∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π 91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n －1²a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.14.解（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a 2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2) a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2²22++n a n ∵2²1212+--+++n a n a n a n n n =2³1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a2－1)²a2n－2(2a4－1－a2)=(a2－1)2²a2n－2(2a2+1)＞0 ∴原不等式成立.。
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
数列极限的教学设计方案
1. 知识与技能：掌握数列极限的定义、性质及运算；能够运用数列极限解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索数列极限的概念；通过实例讲解，帮助学生理解数列极限的运算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力；激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的感悟。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数列极限的定义、性质及运算。
2. 教学难点：数列极限的定义的理解和应用，以及数列极限运算的技巧。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾数列的概念，引导学生思考数列的极限是什么。
（2）通过实例展示数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）数列极限的定义：讲解数列极限的定义，结合实例进行说明。
（2）数列极限的性质：介绍数列极限的性质，通过实例讲解，让学生理解这些性质。
（3）数列极限的运算：讲解数列极限的运算方法，包括和、差、积、商的运算。
3. 课堂练习（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）引导学生运用数列极限解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质及运算。
（2）引导学生思考数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的作业题，让学生巩固所学知识。
（2）布置一些与实际生活相关的数列极限应用题，提高学生的实际应用能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对数列极限的理解程度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对数列极限的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后与学生的交流，了解学生对数列极限的困惑和需求，及时调整教学策略。
五、教学反思1. 教学过程中，注重引导学生自主探索数列极限的概念，培养学生的逻辑思维能力。
2. 结合实例讲解数列极限的运算方法，提高学生的实际应用能力。
数列极限教案
课题数列的极限一、教育目标(一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。
(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明．(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述．2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1)n101,…,(1) 1,21, 41, …, n 21, …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图)2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1-n101｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：︱（1-4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=5101< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n101< 0.001 恒成立。
人教版高中数学数列的极限教案2023
人教版高中数学数列的极限教案2023（注：本文为某位高中数学老师为2023年准备的一份数列极限教案，供参考学习之用。
）人教版高中数学数列的极限教案2023第一节：教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解数列的概念和基本性质；2.掌握求数列极限的方法，并能运用所学方法解题。
第二节：教学重点1.数列极限的定义和性质；2.极限与数列的关系；3.常用的数列极限定理。
第三节：教学方法1.教师讲授法：结合丰富的例题，引导学生熟悉并理解数列的概念和性质，掌握求数列极限的方法。
2.微课堂法：以教师录制的微课为主要教学方式，让学生在课前学习相关内容，课堂上加强练习和提问。
第四节：教学内容1.数列的概念和性质（1）概念：数列是按照一定顺序排列的一系列数。
（2）性质：①有限项数列和无限项数列；②数列有通项公式；③数列有公比或公差。
2.极限与数列的关系（1）定义：若存在一个常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到某一项之后的所有项，使其与常数a的距离小于ε，则称常数a是该数列的极限，记作lim an=a(n→∞)。
（2）性质：①数列极限唯一；②收敛数列有界；③有界数列必有收敛子数列。
3.常用的数列极限定理（1）夹逼定理：设数列{an}，{bn}，{cn}，如果an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a，那么{bn}的极限存在且等于a。
（2）单调有界定理：单调递增有上界（下界）的数列必收敛，单调递减有下界（上界）的数列也必收敛。
第五节：教学后记通过本节课的学习，学生对数列及其极限有了更深入的了解，能够掌握求解数列极限的方法，并能够运用所学方法解决实际问题。
同时，通过微课堂的教学方式，学生的主动学习能力得到了锻炼，教学效果得到了提升。
大学微课数列的极限教案
课时：1课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，能够运用数列极限求解相关问题。
2. 过程与方法：通过微课教学，培养学生自主学习、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学内容：1. 数列极限的定义2. 数列极限的性质3. 数列极限的运算法则4. 数列极限的应用教学过程：一、导入1. 利用生活中的实例，引导学生思考数列极限的概念。
2. 提出问题：如何判断一个数列的极限存在？如何求解数列的极限？二、新课讲授1. 数列极限的定义- 通过动画演示，展示数列极限的定义过程。
- 强调数列极限存在的条件：数列中所有项无限趋近于同一个数。
- 举例说明数列极限的概念。
2. 数列极限的性质- 介绍数列极限的性质，如：有界性、单调性、收敛性等。
- 通过实例讲解数列极限的性质，让学生理解并掌握。
3. 数列极限的运算法则- 介绍数列极限的运算法则，如：四则运算法则、夹逼准则等。
- 通过实例讲解数列极限的运算法则，让学生掌握并运用。
4. 数列极限的应用- 举例说明数列极限在数学问题中的应用，如：求解极限、证明数列收敛等。
- 引导学生思考数列极限在实际问题中的应用价值。
三、课堂练习1. 给学生布置数列极限的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。
2. 引导学生总结数列极限在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 布置数列极限的相关练习题，巩固所学知识。
2. 要求学生在课后复习数列极限的定义、性质和运算法则，为下一节课做好准备。
教学反思：1. 本节课通过微课教学，使学生更好地理解数列极限的概念和性质。
2. 在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、解决问题。
3. 课后作业的设计有助于巩固所学知识，提高学生的数学能力。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
33教学设计：《数列极限》
“三角函数的引诱公式( 第一课时 ) ”教课方案一、教课内容与内容分析“三角函数的引诱公式”是一般高中课程标准实验教科书人教 A 版必修 4 第一章第三节，其主要内容是三角函数的引诱公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质 . 学生在前方已经学习了引诱公式一和随意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，持续学习公式二至公式四 . 三角函数的引诱公式是圆的对称性的“代数表示” ，利用对称性，让学生自主发现终边分别对于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”获取密切联合，成为一个整体 . 经过简单问题的提出、引诱公式的发现、问题的解决，领会由未知到已知的转变，为此后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．引诱公式的主要用途是把随意角的三角函数值问题转变为求 0°～ 90°角的三角函数值 . 引诱公式的推导过程，表现了“数形联合”和复杂到简单的“转变”的数学思想方法，反应了从特别到一般的归纳思想形式．对培育学生的创新意识、发展学生的思想能力，掌握数学的思想方法拥有踊跃的作用 . 引诱公式的学习和推证过程还表现了三角函数之间的内部联系，是定义的延长与应用，在本章中起着承前启后的作用 .本节课的要点是引诱公式的研究，运用引诱公式进行简单函数式的求值与化简，提升对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在详细数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式表现出来，使学生更为明确这些方法，并能在此后的学习中存心识地使用它们.二、教课识题诊疗剖析在教师的组织和指引放学生以自主研究、着手实践、合作沟通的方式进行学习 . 在学习中认识和体验公式的发生、发展过程，让学生领悟到引诱公式是前方三角函数定义、单位圆对称性等知识的持续和拓展，应用迁徙规律，指引学生联想、类比、归纳推导公式 .在教课中可能会碰到以下几个问题：1．在利用多媒体指引学生从特别到一般的学习过程中，部分学生以为只需记着公式，会做题就能够，对公式的推导重视不够. 为了尽量防止这类状况的出现，我采纳小组议论制，考虑到学生的个体差别，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长看管采集议论的结果，记录采集每一阶段的过程资料.2．角的随意性，如何向学生交代清楚是这节课我向来思虑的问题. 为认识决这个问题我自己利用几何画板制作教课课件，经过用角终边的随意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生理解角不限制为第一象限的角，它拥有随意性，进而打破了难点.3．公式的记忆也是个难点. 特别是十字口诀更是理解不深. 对于幻灯片中的公式，教师比较几何画板课件逐字逐句的剖析，让其理解公式中的角是随意的，而记忆时将其当作锐角. 此外，反省学习过程时，领会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有益于公式的记忆.三、目标和目标分析（一）教课目的1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出引诱公式 , 会利用引诱公式进行简单的三角函数式的求值与化简 .2.经过引诱公式的推导过程，领会数形联合及转变思想的运用.3.培育学生由特别到一般的归纳意识，学会用联系的看法对待问题.（二）目标分析在初中学生已经学习过对于原点、x 轴以及y 轴对称的点的坐标的内在联系，而且前方学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于随意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或许只有一点模糊的感性认识．数学课程标准重申：“学生要获取必需的数学基础知识和基本技术，理解数学结论的本质，认识看法、结论等产生的背景、应用，领会此中所包含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．经过不一样形式的自主学习、研究活动，体验数学发现和创建的历程．”因此，依据课程标准、教材的特色、对本节课的教课要求以及学生的认知水平，从三个不一样的方面确立了教课目的．依据教课内容的构造特色及教课目的，本节课采纳了“问题——发现——归纳——类比” 的教课方法和“自主研究——小组合作” 的学习方式 . 由问题驱动，经过引诱公式二至四的研究，归纳获取引诱公式的特色，提升对数学内部关系的认识，理解求随意角三角函数值所表现出来的化归思想，培育学生的研究能力.教课目的实现过程：1．利用已有知识导出新的问题，创建问题情境，惹起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.2．由特例(18030 ) 与30° (360 30 ) 与30°， (18030 ) 与30°的关系提出问题，启迪学生的思想，指引他们剖析角的终边对称关系，利用定义进行推导获取公式二，再利用多媒体动向演示，使学生对“ 为随意角”的认识自然合理 .以后依样画葫芦公式三、四，经过联想，类比、方法迁徙，学生很轻松的发现公式，每小组踊跃讲话而且经过实物展台展现沟通，发现随意角与(180) ，， (180) 三角函数值的关系，领会了从特别到一般的归纳推理过程，使学生的思想获取科学训练，有助于培育学生的归纳能力和创新能力.3．采纳问题设疑，察看演示，步步深入，逐层指引，研究合作的教课方法，旨在让学生充足感觉和理解知识的产生和发展过程 . 在教师合时的启迪点拨下，学生在类比、归纳的过程中踊跃主动地去研究、发现数学规律（公式），培育学生的创新意识和创新精神 . 经过指引学生研究并发现公式，将发现与证明合为一体，表现了“数形联合”的思想方法 .4．经过例 1 和变式，把引诱公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思想能力和计算能力 . 例 2 的扩展让学生认识到公式的适用性和学习的必需性 .本节课的教课方案力争表现“问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为协助手段，采纳教师为主导学生为主体的启迪式与研究式相联合的方法，使学生快乐地学习 .三、教课支持条件剖析在进行本节课的教课时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教课时应充足注意利用这一有益条件，指引学生多进行归纳与归纳. 此外，信息技术的使用也为打破教课难点、启迪学生思想、增添讲堂容量供给了有力的支持 .五、教课过程设计（一）创建问题情境师生活动：教师发问，学生思虑、回答，学生口述的同时，教师加以指引并用幻灯片展现．问题 1：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只议论正弦、余弦、正切）（2）随意角的三角函数的定义是什么？（3）公式一的内容与作用是什么？问题2: 已知 sin301 ,如何求sin 210 ,sin330,sin150的值 . 2教师指引：可否再把 0°～ 360°间的角的三角函数，化为我们熟习的0°～ 90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.【设计企图】经过复习旧知，为新知识的学习打下基础 . 特别是各象限三角函数的符号，对于引诱公式记忆起要点作用 . 提出的新问题，指引学生进一步思虑，激起学生们的兴趣 .( 二) 研究开发新结论教师指引：为认识决以上问题，我们采纳各个击破的方法. 第一看 210 30 180，假如我们知道一个随意角与( π＋ ) 三角函数值的关系，问题就解决了 .研究一：随意角与(π＋) 三角函数值的关系 .问题 3：①与 ( π＋) 角的终边关系如何？（互为反向延长线或对于原点对称）②设与( π＋) 角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点 P1与 P2地点关系如何？（对于原点对称）③设点 P1( x， y) ，那么点 P2的坐标如何表示？（ P2( －x，－ y) ）④sin与sin(π＋) ， cos与cos(π＋) ，tan与tan(π＋) 的关系如何？经过研究，归纳成公式sin πsincos πcos------公式二tan πtansin 210 sin(30 180 )sin30 1 .2【设计企图】公式二的三个式子中， sin( π)sin 是第一个解决的问题，因为方法及思路都是未知的，因此采纳教师指引，师生合作共同达成方法．经过脚手架式的层层发问，指引学生自主推导引诱公式二，让学生体考证明猜想的乐趣，突显学生学习的主体地位. 同时，试图经过环环相扣的问题给学生传达“由宏观到微观考虑问题”的思想习惯，进而达到“授人以渔”的目的 . 后两个均由学生类比议论达成．学生活动：小组议论，代表讲话沟通．问题 4：公式中的角仅是锐角吗？【设计企图】课前发问的问题是以 30 引入的，以后的议论不过用代数方法换成了一般形式的角，有些同学一定会有这样的疑问，因此这个问题的解决好，就是打破难点的要点 . 指引学生相互议论，沟通能够使学生记忆更深刻 .师生活动：演示几何画板课件，第一作出第一象限的随意角，以后获取相应的三角函数值，拖动其终边上随意点，再让学生察看每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，进而考证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．【设计企图】经过多媒体演示，发现变化规律，进而总结出三角函数的引诱公式．类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后边的两个问题. 察看330360 30，由公式一知 330 的终边与 30 的终边同样，因此我们一定知道一个随意角与 (- ) 三角函数值的关系 .研究二：随意角与(-) 三角函数值的关系 .问题 5：①与( －) 角的终边地点关系如何？( 对于 x 轴对称 )②设与( －) 角的终边分别交单位圆于点P1，P2点 P1与 P2地点关系如何 ( 关于 x 轴对称 )③设点 P1( x，y) ，则点 P' 的坐标如何表示？ [P 2( x，－ y) ］④sin与sin(－) ，cos与cos(－) ，tan与tan(－) 关系如何？经过研究，归纳成公式sin sincos cos-------------公式三tan tansin330 sin(360 30 )sin( 30 )sin 30 1 .2【设计企图】经过学生自主研究与合作沟通，达成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充足调换学生学习的踊跃性和激发学生的参加、研究和体验的欲念，让他们既动脑又着手，让学生参加教课活动. 让学生体验数与形的关系，试试自主研究的乐趣 .教师指引：那150 180 30 ，我们须知与(π－) 的三角函数值的关系，同学们持续发挥聪慧才华解决它吧！研究三：与(π－) 的三角函数值的关系．问题 6：①π) 角的终边地点关系如何？ ( 对于 y 轴对称 )与 (－②设与(－) 角的终边分别交单位圆于点P，P 点 P 与 P 地点关系如π1212何？ ( 对于 y 轴对称 )③设点 P1( x， y) ，则点 P' 的坐标如何表示？ [P 2(- x， y) ］④sinπ)，cosπ) ，tan与 tan(π与 sin( －与 cos(－－ )关系如何？经过研究，归纳成公式sinπsincos πcos ------公式四tanπtansin150sin(180 30 )1 sin302【设计企图】与研究二的教法同样，学生疏组议论，试试推导公式，教师巡视，实时反应、改正、讲评．采纳合作学习有助于察看的多种方式的表现，通过学生多角度的察看所获取结论的沟通，让学生感觉数学美和发现规律（公式）的愉悦，激发学生更踊跃地去找寻规律、认识规律. 同时让学生感觉到只需做个居心人，发现规律并责难事 .( 三 ) 总结归纳新结论师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成就记忆牢靠，师生共同高声朗诵这四组公式 .三角函数的引诱公式公式一： sin(2k π) sin ,cos( 2k π) cos ，tan( 2k π) tan (k Z),公式二： sin()sin ，cos( ) cos ，tan( ) tan .公式三： sin(π) sin ，cos(π ) cos ，tan(π )tan .公式四： sin(π)sin ，cos(π )cos ，tan(π ) tan .说明：公式中的指派公式两边存心义的随意一个角．问题 7：你能用一句话归纳公式一、二、三、四吗？为了让学生更好的记忆公式， 经过幻灯片展现， 猜想考证，假如把角 当作锐角，2k π,π , π , 分别位于第一、二、三、四象限，由课前发问各象限内三角函数值的符号，学生能够试着表达 .师生活动： 总结归纳公式一、二、三、四：2k π (k Z) , π , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前方加上一个把当作锐角时原函数值的符号 . 公式特色：“函数名不变，符号看象限”【设计企图】逐渐理解十字口诀含义，而且训练学生的归纳能力.( 四) 稳固应用结论例 1 求以下三角函数值：师生活动： 学生板书，教师巡视，纠正错误．（1） cos225 ；（ 2） sin 11π；（ 3） 16π ；（ ） cos( 2040 )3 sin() 43剖析：先将不是 0～ 2π范围内角的三角函数，转变为 0～ 2π范围内的角的三角函数（利用引诱公式一）或先将负角转变为正角而后再用引诱公式化到 0 ～π范围内角的三角函数的值 . 2解：（1） cos 225 cos(180 45 )cos452 ．211πππ3．（2）sin sin(4)sin2333（3）sin(16π16πsin(5 ππ( sinπ3．)sin))2 3333（4）cos(2040 )cos2040cos(6360120 )=cos120cos(18060 )cos60 1 ．2问题 8：用引诱公式可将随意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生勇敢说，相互议论）①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于 2π的正角的三角函数为0～ 2π内的三角函数；③化 0～ 2π内的三角函数为锐角的三角函数．变式：已知是第三象限的角且sin 1 ，求sin(π) ，sin(π)（学生3口答）【设计企图】在获取引诱公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般状况下， 1、2 小题都能很快解决，不过到了第 3、4 小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思想阻碍，需实时指引他们去进行角的转变，在实践中领会引诱公式在解题过程中的应用，使随意一个角都转变为他们所熟知的锐角，领会从未知到已知的化归思想，进而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔 . 变式是为了让学生进一步理解公式中角的随意性而建立 .例 2化简 cos(180) sin360．sin(180 ) cos( 180)（学生板书）解： sin(180 )sin(180)sin(180)( sin ) sin ，cos( 180) cos (180)cos(180)cos，因此原式 =cos sin1．sin (cos)变式：已知 sin( π)1，求 sin(5π) 的值.636【设计企图】在例题的选用与设计上，主要表现“由易到难，由简单到复杂，层层推动”的想法，例 1 表此刻求值上，例 2 主要表此刻化简上，使学生理解公示的应用所在 . 变式需要利用引诱公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导. 练习是递进，表现化归思想、整体思想、使学生思想获取锻炼，体验学习的乐趣，进而达到初步掌握知识应用的目的.( 五) 讲堂小结问题 9 ：经过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面（由学生达成）1．四组引诱公式及公式的记忆方法2．求随意角的三角函数的步骤：随意负角的用公式随意正角的三角函数三或一三角函数用公式一锐角的三角用公式0~的三角2π函数二或四函数上述过程表现了由未知转变为已知的化归思想.3．公式中的的随意性.【设计企图】经过发问的形式，指引学生归纳归纳已有知识，发现知识规律及其构造特色，形成知识系统；深入对引诱公式内涵和本质的理解，发掘知识形成过程中所表现归纳和转变的思想方法，形成知识网络和方法网络，培育学生的抽象归纳能力，．（六）作业部署：1．思虑题给定一个角，终边与角的终边对于直线y x 对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？可否证明？2．27 页练习 2、 3【设计企图】经过训练，稳固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的33教课方案：《数列极限》能力；思虑题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的. 教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提升与拓展.。
高等数学教案 1.2 数列的极限
§1.2 数列的极限【教学内容】：1、数列的定义2、数列极限的定义3、收敛数列极限的性质【教学目的】：1、理解数列的极限概念2、掌握收敛数列的极限性质：唯一性，有界性【教学重点】：收敛数列的性质 极限运算法则【教学难点】：数列的极限概念【教学设计】：首先介绍古代数学家刘徽的割圆术引入极限思想（10分钟），然后介绍数列的概念及其数列的极限定义——N ε-定义以及利用N ε-定义进行简单数列极限的证明（35分钟）；然后介绍数列极限的性质及性质的证明（35分钟）及其数列极限的四则运算法则（10分钟），最后课堂练习（10分钟）。
【教学过程】：问题的引入：割圆术问题：中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率π。
“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
”这句话明确的表达了极限思想。
正六边形的面积1A正十二边形的面积2A 正162n -⨯形的面积n A123,,,,,n A A A A S ⇒一、数列的定义定义:按自然数1,2,3,...编号依次排列的一列数 12,,,,n x x x (1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{}n x .例如：()()()()1111123{}234112482{2}11111{}248221111{1}11142 {}23n n n n n n n n n n n n n n n n++--++---+-+-，，，，，； ，，，，； ，，，，，； ，，，，，； ，，，，，注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取12,,,,.n x x x2.数列是整标函数().n x f n =二、数列的极限问题: 当n 无限增大时, nx 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?例如：1(1),1 1.n n n x n--=+当无限增大时无限接近于 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.我们来观察⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的情况。
数列的极限教案
证明：若 q 0 ，结论是显然的，现设 0 q 1，对 0 ，（因为 越小越好，不妨设 1），要使得 qn1 0 ，即 q n1 ，只须两
边 放 对 数 后 ， (n 1) ln q ln 成 立 就 行 了 。 因 为 0 q 1 ， 所 以
ln q 0 ，所以 n 1 ln n 1 ln 。
x2 ，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数 n 有一个确定的数
xn ，那么，这列有次序的数
就叫做数列。
x1，x2，x3，，xn，
数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 xn 叫做数列的一般项。例如：
(1) 1 ，2，3， ， n ， ； 2 3 4 n1
(3) 1 ，1 ，1， ，1 ， ； 2 4 8 2n
【例 2】证明 lim n2 a2 1。
n
n
证明：对 0，因为 n 1 1 1 ,因为
n
n
n2 a2 1
a2
a2
n
n( n2 a2 n) n
（此处不妨设 a 0 ，若 a 0 ，显然有 lim n2 a2 1）
n
n
所以要使得 n2 a 2 1 ，只须 a 2 就行了。
从
第
10001
项开始，以后的项
x10001
10002 10001
,
x10002
10003, 都满足不 10002
等式
xn
1 1 ，或说，当 n 10000时，有 10000
n 1 1 1
n
10000
。一
般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数 N ，当 n N 时，有
n 1 1 。这就充分体现了当 n 越来越大时， n 1 无限接近 1 这一事
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《数列的极限》教学设计
南海市桂城中学 邝满榆
(一)教材分析
数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内
容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导
数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微
积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数
极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε
－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学
习高等数学打下基础。
(二)教学对象
学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍
增加时，多边形的周长Pn不断增大，并越来越接近于圆的周长C。
在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都
为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代
数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，
又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困
难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也
最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清
“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并
讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。
(三)教学媒体：投影仪
(四)教学目标
⑴掌握数列极限的定义。
⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到
简单数列的极限。
⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯
物主义的教育。
(五)重点、难点
理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。
(六)教学方法：启发分析，讲练结合。
(七)教学过程
一、 定义的引进
1. 复习提问
⑴ |a| 的几何意义：表示数a的点与原点的距离。
⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x的点及数A的点之间的距离。
⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解
集。
A-ε A A+ε
X
2. 启发引导：当学生按照上述结果回答完问题后，指出满不
等式 |x-A|<ε的点x全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x与
点A的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出
ε是一个任意小的正数。
3. 定义的引进
本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国
古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家
庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天
取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数
列：
把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：
①
0
从图形容易看出，不论项数n怎样大， 永不为0，只是0
的近似值，但当n无限增大时，数列 的项就无限趋近于0。
即当n→∞时， →0。
再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……， ，……
如图由,||AxAAx
)"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列
n
32
1
16181412
1
n
2
1
n
2
1
n
10
1
1
n
2
1
0 0.9 0.99 1
当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n→∞时，
→1。
“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？
让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会：
① 定义中的数列 {an} 是什么数列？
②“存在一个常数A”是什么意思？
③“无论预先指定多么小的正数ε”，这个ε具有什么特征？
④找出一项aN，这个项数N是否存在，有多少个？
⑤ |an-A|<ε恒成立，这里的绝对值是什么意思？
学生回答后，教师用下列表格小结：(用投影仪打出)
极限定义中一些字母和记号的特性如下表：
{an} A ε N an
无穷数列 唯一常数 (1)任意性 (2)给定性 存在而不唯一 存在而不
唯一
然后指出数列{an}的极限是A，是数列{an}无限变化趋近于
A的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近
于A，只有当项数n趋于无穷时，量变到质变，引起质的飞跃，
得到了极限A。
二、应用
1. 例题：
⑴写出这个数列的各项与0的差的绝对值；
⑵第n项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.1？都小于
0.001？都小于0.0003？
⑶第n项后面的所有项与0的差的绝对值都小于任何预先的
正数ε？
⑷ 0是不是这个数列的极限？
n
10
1
1
,......1)1(,......,41,31,21,1:11nn已知数列例
⑴计算 |an-1|；
⑵第n项后的所有项与1的差的绝对值都小于 ？都小于
任意指定的正数ε？
⑶确定这个数列的极限。
讲例1、2前先让学生在数轴上表示出这两个数列的前n项，
由数列的变化趋势找到它们的极限。
教师讲解例1，然后小结：
当给定任意小的正数ε以后，要找N，一般可以通过解不等
式 |an-A|<ε找出N0，大于N0的N1都可作为N。确定极限的存
在关键是对任给的ε>0，保证N的存在。
例1的(3)实际上就是用定义证明了数列 的极
限是0。
例2由学生阅读，然后让学生总结用定义证明数列极限的步
骤：
① 由证题者给出任意小的正数ε>0；
② 使 |an-A|<ε，找出N，当n>N时有 |an-A|<ε。
例3：求常数数列 –7,-7,-7,…… 的极限。
证明：对任意小的正数ε，任取自然数N，当n>N时不等式
|-7-(-7)|=0<ε恒成立。
n→∞
小结：任何一个常数数列的极限都是这个常数本身。
2.练习：(用投影仪打出)
Ⅰ. 是非题：
⑴数列极限定义中的ε是一个很小很小的正数。
⑵数列极限定义中的N有无穷多个，但只要找一个就够了。
⑶一个数列如果有极限，那么极限是唯一的。
⑷与 |an-A|<ε等价的是an∈(A-ε,A+ε)。
⑸ (1-ε,1+ε)内存在有穷多项，(1-ε,1+ε)外存在无穷多
项。
⑹无穷数列都有极限。
⑺有穷数列一定没有极限。
,......1,......,43,32,21:2nn已知数列例
100
1
nn1)1(
1
7)7lim(
Ⅱ. 观察下列数列的变化趋势找出它们的极限：
可见：数列{an}趋近于极限A有三种情况：an大于A而趋向
于A；an小于A而趋向于A；an时而小于A时而大于A而趋向
于A。
三、本节内容小结
一些常用简单数列的极限
数列极限的定义 记作 lim an=A
n→∞
数列极限的判断
四、作业：
课本P72习题十九1,2。
⑴求证：这两个数列的极限分别是5和1；
⑵作一个无穷数列使它各项为这两个数列的对应项的和，验
证所得数列的极限等于这两个数列极限的和。
为下节四则运算作好铺垫。
1)1()1()1(nn
nn)1(
)2(
n
n)1()3(
nn1)1(1
)4(
2)5(n
n
2,......,53,42,3125,......,515,410,35:nnn
n
和已知数列思考题