广西2019届高考数学二轮复习专题对点练123.1-3.3组合练
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练10三角函数与三角变换20181224295
专题对点练10 三角函数与三角变换1.(2018上海,18)设常数a∈R,函数f(x)=a sin 2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f+1,求方程f(x)=1- 在区间[-π,π]上的解.2.已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.3.设函数f(x)=cos2x-x cos x+.(1)求f(x)的最小正周期及值域;(2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b+c=3,求△ABC的面积.4.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求ω的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间-上存在零点,求实数k的取值范围.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且b sin A cos C+c sin A cos B= a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tan A sin ωx cos ωx-cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)图象,求函数g(x)在区间-上的值域.6.已知f(x)=sin(π+ωx)·sin--cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.(1)求f的值;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cos B=b cos C,求角B的大小以及f(A)的取值范围.7.已知函数f(x)=2cos2x+2sin x cos x+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.8.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式,并求函数f(x)在-上的值域;(2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin 2B.专题对点练10答案1.解 (1)∵f(x)=a sin 2x+2cos2x,∴f(-x)=-a sin 2x+2cos2x.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴-a sin 2x+2cos2x=a sin 2x+2cos2x,∴2a sin 2x=0,∴a=0.(2)∵f+1,∴a sin+2cos2=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin 2x+2cos2x=x+cos 2x+1=2sin+1.∵f(x)=1-,∴2sin+1=1-,∴sin=-,∴2x+=-+2kπ或2x+π+2kπ,k∈Z,∴x=kπ-或x=kπ+,k∈Z.∵x∈[-π,π],∴x=-或-或或.∴所求方程的解为x=-或-或或.2.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤ x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.3.解 (1)f(x)=cos2x-sin x cos x+=cos+1,∴f(x)的最小正周期为T=π.∵x∈R,∴- ≤cos≤故f(x)的值域为[0,2].(2)由f(B+C)=cos)+1=,得cos-.又A∈(0,π),得A=.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos=(b+c)2-3bc,又a=,b+c=3,∴3=9-3bc,解得bc=2,∴△ABC的面积S=bc sin×2×.4.解 (1)原函数可化为f(x)=sin 2ωx+cos sin 2ωx+·cos 2ωx=sin.∵函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为,∴f(x)的最小正周期为2×=π.∴=π,∴ω=1.(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin,将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=sin=sin=cos 2x的图象,再将函数y=cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cos x的图象.∴g(x)=cos x.∵x∈-,∴g(x)=cos x∈-.∵函数y=g(x)-k在区间-上存在零点,∴k∈-.∴实数k的取值范围为-.5.解 (1)∵b sin A cos C+c sin A cos B=a,∴由正弦定理可得sin B sin A cos C+sin C sinA cos B=sin A,∵A为锐角,sin A≠0,∴sin B cos C+sin C cos B=,可得sin(B+C)=sin A=,∴A=.(2)∵A=,可得tan A=,∴f(x)=sin ωx cos ωx-cos 2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx=sin-,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得T=2×,解得ω=1,∴f(x)=sin-,∴将y=f(x)的图象向左平移个单位,图象对应的函数为y=g(x)=sin-=sinπ3,∵x∈-,可得2x+,∴g(x)=sin.6.解 (1)f(x)=sin(π+ωx)·sin--cos2ωx=ωx·cos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin-.∵最小正周期为T=π,∴=π,ω=1.∴f(x)=sin-.∴f=sin-.(2)∵(2a-c)cos B=b cos C,∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C,2sin A cos B=sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A.∵sin A>0,∴cos B=,∵B∈(0,π),∴B=.∴A∈,2A--,∴sin--.即f(A)的取值范围为-.7.解 (1)f(x)=2cos2x+2·sin x cos x+a=cos 2x+1+sin 2x+a=2sin+a+1,∵x∈,∴2x+,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin+3.由2kπ-≤ x+≤ kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为- (k∈Z).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin-+3,由g(x)=4可得sin-,∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+(k∈Z),解得x=或x=(k∈Z),∵x∈,∴x=或x=,∴所有根之和为.8.解 (1)由题图知,T=,∴T=π.∴=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵点在函数f(x)的图象上,∴sin=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin.∵-≤x≤,∴ ≤ x+.∴ ≤sin≤ ∴ ≤f(x)≤ 即函数f(x)在-上的值域为[0,2].(2)∵f(A)=2sin=1,∴sin.∵<2A+,∴2A+,∴A=.在△ABC中,由余弦定理得BC2=9+4-2×3×2×=7,∴BC=.,由正弦定理得sin sin故sin B=.又AC<AB,∴角B为锐角,∴cos B=,∴sin 2B=2sin B cos B=.。
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练92.1~2.4组合练201812242120
专题对点练9 2.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f (x )= x 2+1,x ≤1,ln x ,x >1,则f (f (e))=( )A .0B .1C .2D .ln(e 2+1)2.设a=60.4,b=log 0.40.5,c=log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a<b<c B .c<b<a C .c<a<b D .b<c<a3.已知函数y=log a (x+c )(a ,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( )A .a>1,c>1B .a>1,0<c<1C .0<a<1,c>1D .0<a<1,0<c<14.(2018全国Ⅲ,文9)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )5.函数y=1+log 0.5(x-1)的图象一定经过点( ) A .(1,1) B .(1,0) C .(2,1) D .(2,0)6.若函数f (x )= cos x ,x ≤a ,1x,x >a 的值域为[-1,1],则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,-1]C .(0,1]D .(-1,0)7.已知函数f (x )=x 12,则( ) A .∃x 0∈R ,使得f (x )<0 B .∀x ∈(0,+∞),f (x )≥0 C .∃x 1,x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0 D .∀x 1∈[0,+∞),∃x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)>f (x 2)8.已知函数f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )为增函数,则“65<x<2”是“f [log 2(2x-2)]>f log 1223 ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知f (x )= a x 2+x ,x >0,-x ,x ≤0,若不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的最大值为( ) A .916B .-1C .-12D .1二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知x ≥0,y ≥0,且x+y=1,则x 2+y 2的取值范围是 .11.已知二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞),则9a +1c的最小值为 .12.(2018天津,文14)已知a ∈R ,函数f (x )= x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞),f (x )≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 . 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f (x )=a e x-ln x-1. (1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间;(2)证明:当a ≥1e时,f (x )≥0.14.已知函数f (x )=e x -ax 2-2x (a ∈R ). (1)当a=0时,求f (x )的最小值;(2)当a<e 2-1时,证明不等式f (x )>e2-1在(0,+∞)上恒成立.15.(2018浙江,22)已知函数f (x )= x -ln x.(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.专题对点练9答案1.C 解析 f (e)=ln e =1,所以f (f (e))=f (1)=12+1=2.故选C .2.B 解析 ∵a=60.4>1,b=log 0.40.5∈(0,1),c=log 80.4<0, ∴a>b>c.3.D 解析 ∵函数单调递减, ∴0<a<1,当x=1时,y=log a (1+c )<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a (x+c )=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D .4.D 解析 当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=- 12 4+ 12 2+2>2.排除C .故选D .5.C 解析 ∵函数y=log 0.5x 恒过定点(1,0),而y=1+log 0.5(x-1)的图象是由y=log 0.5x 的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C .6.A 解析 函数f (x )= cos x ,x ≤a ,1x ,x >a 的值域为[-1,1],当x ≤a 时,f (x )=cos x ∈[-1,1],满足题意;当x>a 时,f (x )=1x∈[-1,1], 应满足0<1x≤1,解得x ≥1.∴a 的取值范围是[1,+∞).7.B 解析 由函数f (x )=x 12,知在A 中f (x )≥0恒成立,故A 错误,B 正确;又f (x )=x 12在[0,+∞)上是递增函数,故C 错误;在D 中,当x 1=0时,不存在x 2∈[0,+∞)使得f (x 1)>f (x 2),故D 不成立. 故选B .8.D 解析 由f (x )是偶函数且当x ≤0时,f (x )为增函数,则x>0时,f (x )是减函数, 故由f [log 2(2x-2)]>f log 1223 ,得|log 2(2x-2)|< log 1223 =log 232, 故0<2x-2<32,解得1<x<74,故“65<x<2”是“1<x<74”的既不充分也不必要条件,故选D .9.B 解析 作出函数f (x )和f (x-1)的图象,当a ≥0时,f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 不恒成立(如图1).图1图2当a<0时,f (x-1)过定点(1,0)(如图2),当x>0时,f (x )=ax 2+x 的两个零点为x=0和x=-1a , 要使不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则只需要-1a ≤1,得a ≤-1,即a 的最大值为-1.10. 12,1 解析 x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1,x ∈[0,1],所以当x=0或1时,x 2+y 2取最大值1;当x=12时,x 2+y 2取最小值12.因此x 2+y 2的取值范围为 12,1 .11.6 解析 二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞), 可得判别式Δ=4-4ac=0,即有ac=1,且a>0,c>0,可得9a +1c ≥2 9a c=2×3=6,当且仅当9a =1c ,即有c=13,a=3时,取得最小值6. 12. 18,2 解析 当x>0时,f (x )≤|x|可化为-x 2+2x-2a ≤x ,即 x -12 2+2a-14≥0,所以a ≥18; 当-3≤x ≤0时,f (x )≤|x|可化为x 2+2x+a-2≤-x ,即x 2+3x+a-2≤0.对于函数y=x 2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-32.因为当-3≤x ≤0时,y ≤0,所以当x=0时,y ≤0,即a-2≤0,所以a ≤2.综上所述,a 的取值范围为 18,2 .13.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x-1x . 由题设知,f'(2)=0,所以a=12e 2.从而f (x )=12e 2e x-ln x-1,f'(x )=12e 2e x-1x .当0<x<2时,f'(x )<0;当x>2时,f'(x )>0.所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)当a ≥1e 时,f (x )≥e xe -ln x-1. 设g (x )=e xe -ln x-1, 则g'(x )=e xe −1x.当0<x<1时,g'(x )<0;当x>1时,g'(x )>0.所以x=1是g (x )的最小值点. 故当x>0时,g (x )≥g (1)=0.因此,当a ≥1e时,f (x )≥0.14.(1)解 a=0时,f (x )=e x -2x ,f'(x )=e x-2, 令f'(x )>0,解得x>ln 2, 令f'(x )<0,解得x<ln 2,故f (x )在(-∞,ln 2)递减,在(ln 2,+∞)递增,故f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2.(2)证明 ∵f'(x )=e x-2ax-2,∴f'(1)=e -2-2a>e -2-2 e2-1 =0,f'(0)=-1<0,故存在x 0∈(0,1),使得f'(x 0)=0,令h (x )=e x -2ax-2,则x ∈(0,+∞)时,h'(x )=e x -2a>e x+2-e >0, 故h (x )在(0,+∞)递增且h (x 0)=0,故x=x 0是h (x )的唯一零点,且在x=x 0处f (x )取最小值f (x 0)=e x0-x 0(ax 0+2), 又h (x 0)=0,即e x 0-2ax 0-2=0, 得ax 0+1=e x 02,故f (x 0)=e x0 1-x 02 -x 0,构造函数g (t )=e t1-t2-t , 则g'(t )=e t12-t 2 -1,[g'(t )]'=e t-t2, 故t ∈(0,1)时,[g'(t )]'<0,g'(t )在(0,1)递减,故t ∈(0,1)时,g'(t )<g'(0)<0,故g (t )在(0,1)递减,故f (x 0)在(0,1)递减, 故f (x )min =f (x 0)>e 11-12 -1=e2-1,原结论成立.15.证明 (1)函数f (x )的导函数f'(x )=12x −1x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2x 1x 1=2x 1x 2, 因为x 1≠x 2,所以x x =12.由基本不等式,得12 x 1x 2= x 1+ x 2≥2 x 1x 24,因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f (x 1)+f (x 2)= x 1-ln x 1+ x 2-ln x 2=12 x 1x 2-ln(x 1x 2).设g (x )=12 x -ln x , 则g'(x )=14x ( x -4), 所以所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2, 即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2. (2)令m=e-(|a|+k ),n=|a|+1k2+1,则f (m )-km-a>|a|+k-k-a ≥0,f (n )-kn-a<nn an -k ≤nn<0,所以,存在x 0∈(m ,n ),使f (x 0)=kx 0+a.所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有公共点. 由f (x )=kx+a ,得k= x-ln x -a x.设h (x )=x-ln x -a x,则h'(x )=ln x - x2-1+ax2=-g (x )-1+ax2.其中g (x )= x 2-ln x.由(1)可知g (x )≥g (16).又a ≤3-4ln 2,故-g (x )-1+a ≤-g (16)-1+a=-3+4ln 2+a ≤0, 所以h'(x )≤0,即函数h (x )在(0,+∞)上单调递减. 因此方程f (x )-kx-a=0至多1个实根.综上,当a ≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.。
2019年高考数学二轮复习专题7解析几何3.3圆锥曲线中的定点定值与存在性问题课件理
考向一 考向二 考向三
解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可 把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论, 即证明了直线或曲线过定点.
考向一 考向二 考向三
对点训练 2 已知椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的离心率为 36,以原 点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半径的圆与直线 2x- 2y+6=0 相切.
O
为坐标原点,e
为椭圆
的离心率.
(1)求E的方程; (2)设过F且斜率不为零的直线l与E交于M,N两点,过M作直线 m:x=a2的垂线,垂足为M1,证明:直线M1N恒过一定点,并求出该定点 的坐标.
考向一 考向二 考向三
解:
(1)设椭圆
E
的半焦距为
c,依题意得1������
+
1 ������
=
������(������������-������),
M1N
的方程为
y=2y1(x-2)+y1=2y1 x-32 ,
故直线 M1N 恒过定点 32,0 .
考向一 考向二 考向三
解题心得证明直线或曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般 可根据已知条件表示出直线或曲线的方程,然后根据方程的形式确 定其过哪个定点;如果得到的方程形如f(x,y)+λg(x,y)=0,且方程对参 数的任意值都成立,则令 ������(������,������) = 0, 解方程组得定点.
即 m=73,此时������������ ·������������=m2-6=-59为定值,定点 E 为
7 3
,0
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练8导数与函数的零点及参数范围
专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f (x )=x 3-a (x 2+x+1).13(1)若a=3,求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )只有一个零点.2.已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a-b (a ,b ∈R ,a>1),e 是自然对数的底数.(1)当a=e,b=4时,求函数f (x )零点个数;(2)若b=1,求f (x )在[-1,1]上的最大值.3.已知函数f (x )=x ln x ,g (x )=-x 2+ax-2(e 为自然对数的底数,a ∈R ).(1)判断曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与曲线y=g (x )的公共点个数;(2)当x ∈时,若函数y=f (x )-g (x )有两个零点,求a 的取值范围.[1e,e ]4.(2018天津,文20)设函数f (x )=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3),其中t 1,t 2,t 3∈R ,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列.(1)若t 2=0,d=1,求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)若d=3,求f (x )的极值;(3)若曲线y=f (x )与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点,求d 的取值范围.3专题对点练8答案1.解 (1)当a=3时,f (x )=x 3-3x 2-3x-3,f'(x )=x 2-6x-3.13令f'(x )=0,解得x=3-2或x=3+2.33当x ∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x )>0;33当x ∈(3-2,3+2)时,f'(x )<0.33故f (x )在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.3333(2)由于x 2+x+1>0,所以f (x )=0等价于-3a=0.x 3x 2+x +1设g (x )=-3a ,则g'(x )=≥0,仅当x=0时g'(x )=0,所以g (x )在(-∞,+∞)单调递x 3x 2+x +1x 2(x 2+2x +3)(x 2+x +1)2增,故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.又f (3a-1)=-6a 2+2a-=-6<0,f (3a+1)=>0,故f (x )有一个零点.13(a -16)2-1613综上,f (x )只有一个零点.2.解 (1)由题意f (x )=e x +x 2-x-4,∴f'(x )=e x +2x-1,∴f'(0)=0,当x>0时,e x >1,∴f'(x )>0,故f (x )是(0,+∞)上的增函数;当x<0时,e x <1,∴f'(x )<0,故f (x )是(-∞,0)上的减函数.f (1)=e -4<0,f (2)=e 2-2>0,∴存在x 1∈(1,2)是f (x )在(0,+∞)上的唯一零点;f (-2)=+2>0,f (-1)=-2<0,∴存在x 2∈(-2,-1)是f (x )在(-∞,0)上的唯一零点.1e 21e ∴f (x )的零点个数为2.(2)当b=1时,f (x )=a x +x 2-x ln a-1,∴f'(x )=a x ln a+2x-ln a=2x+(a x -1)ln a ,当x>0时,由a>1,可知a x -1>0,ln a>0,∴f'(x )>0;当x<0时,由a>1,可知a x -1<0,ln a>0,∴f'(x )<0;当x=0时,f'(x )=0,∴f (x )是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数.∴当x ∈[-1,1]时,f (x )min =f (0),f (x )max 为f (-1)和f (1)中的较大者.而f (1)-f (-1)=a--2ln a ,1a 设g (x )=x--2ln x (x>0).1x ∵g'(x )=1+≥0(当且仅当x=1时等号成立),1x 2-2x =(1x -1)2∴g (x )在(0,+∞)上单调递增,而g (1)=0,∴当x>1时,g (x )>0,即当a>1时,a--2ln a>0,1a ∴f (1)>f (-1).∴f (x )max =f (1)=a+1-ln a-1=a-ln a.3.解 (1)f'(x )=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1.又f (1)=0,所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.由得x 2+(1-a )x+1=0.{y =-x 2+ax -2,y =x -1,由Δ=(1-a )2-4=a 2-2a-3=(a+1)(a-3),可知:当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点;当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点;当Δ<0,即-1<a<3时,没有公共点.(2)y=f (x )-g (x )=x 2-ax+2+x ln x ,由y=0,得a=x++ln x.2x 令h (x )=x++ln x ,则h'(x )=.2x (x -1)(x +2)x 2当x ∈时,由h'(x )=0,得x=1.[1e ,e ]所以h (x )在上单调递减,在[1,e]上单调递增,[1e ,1]因此h (x )min =h (1)=3.由h +2e -1,h (e)=e ++1,(1e )=1e 2e 比较可知h >h (e),所以,结合函数图象可得,(1e )当3<a ≤e ++1时,函数y=f (x )-g (x )有两个零点.2e 4.解 (1)由已知,可得f (x )=x (x-1)(x+1)=x 3-x ,故f'(x )=3x 2-1.因此f (0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y-f (0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(2)由已知可得f (x )=(x-t 2+3)(x-t 2)·(x-t 2-3)=(x-t 2)3-9(x-t 2)=x 3-3t 2x 2+(3-9)x-+9t 2.故t 22t 32f'(x )=3x 2-6t 2x+3-9.令f'(x )=0,解得x=t 2-,或x=t 2+.t 2233当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x (-∞,t 2-)3t 2-3(t 2-,t 2+)33t 2+3(t 2+,+∞)3f'(x )+0-0+f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数f (x )的极大值为f (t 2-)=(-)3-9×(-)=6;函数f (x )的极小值为f (t 2+)=(33333)3-9×=-6.333(3)曲线y=f (x )与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x-t 2+d )(x-t 2)(x-3t 2-d )+(x-t 2)+6=0有三个互异的实数解.令u=x-t 2,可得u 3+(1-d 2)u+6=0.33设函数g (x )=x 3+(1-d 2)x+6,则曲线y=f (x )与直线y=-(x-t 2)-6有三个互异的公共点等价于函33数y=g (x )有三个零点.g'(x )=3x 2+(1-d 2).当d 2≤1时,g'(x )≥0,这时g (x )在R 上单调递增,不合题意.当d 2>1时,令g'(x )=0,解得x 1=-,x 2=.d 2-13d 2-13易得,g (x )在(-∞,x 1)上单调递增,在[x 1,x 2]上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增.g (x )的极大值g (x 1)=g +6>0.(-d 2-13)=23(d 2-1)3293g (x )的极小值g (x 2)=g =-+6.(d 2-13)23(d 2-1)3293若g (x 2)≥0,由g (x )的单调性可知函数y=g (x )至多有两个零点,不合题意.若g (x 2)<0,即(d 2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x 2,g (|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x 1,g (-2|d|))32103=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g (x )的单调性,可知函数y=g (x )在区间(-2|d|,x 1),3103(x 1,x 2),(x 2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以,d 的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).1010。
新课标广西2019高考数学二轮复习组合增分练2客观题综合练B
x2
x
x
1
13.y=±2x 解析 令 4 -y2=0,得 2 - y 2 + y =0,所以所求渐近线方程为 y=±2x.
1
14.0 解析 由题意,a·b=1×1×cos 60°=2,a2=b2=1,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0.
15.20 6 解析 将圆的方程 x2+y2-6x-8y=0 化为(x-3)2+(y-4)2=25.
如果把这个数列{an}排成下图形状,并
记 A(m,n)表示第 m 行中从左向右第 n 个数,则 A(10,4)的值为 .
0 2 4 8 12 18 24 32 40 50 ……
组合增分练 2 答案
1.C 解析 集合 M={x|x2≤4}=[-2,2],N={x|log2x≤1}=(0,2],则 M∩N=(0,2],故选 C.
图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为( )
A.2
B.4+2 2
C.4+4 2
D.6+4 2
8.若无论实数 a 取何值时,直线 ax+y+a+1=0 与圆 x2+y2-2x-2y+b=0 都相交,则实数 b 的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-6)
yA + yB = (yA + yB)2 - 2yAyB = (yA + yB)2
16m2
1
∴yB
yA
yAyB
yAyB -2= - 4-2=-3-3,
1
∴m2=3,∴|AB|=
1 + m2·
(yA
新课标广西2019高考数学二轮复习组合增分练5解答题组合练A
组合增分练5 解答题组合练A1.在数列{a n }中,a 1=,{a n }的前n 项和S n 满足S n+1-S n =(n ∈N *).12(12)n +1(1)求数列{a n }的通项公式a n ,以及前n 项和S n ;(2)若S 1+S 2,S 1+S 3,m (S 2+S 3)成等差数列,求实数m 的值.2.已知数列{a n }是等比数列,a 2=4,a 3+2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2log 2a n -1,求数列{a n b n }的前n 项和T n .3.如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,D ,E 分别为AC ,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1F ⊥CD ,如图2.(1)求证:DE ∥平面A 1CB ;(2)求证:A 1F ⊥BE ;(3)线段A 1B 上是否存在点Q ,使A 1C ⊥平面DEQ ?说明理由.34.如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明;若不存在,请分析说明理由.5.如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.26.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(-2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.组合增分练5答案1.解 (1)∵a n+1=S n+1-S n =,(12)n +1∴当n ≥2时,a n =.(12)n又a 1=,因此n=1时也成立.12∴a n =,(12)n∴S n ==1-.12(1-12n)1-1212n (2)由(1)可得S 1=,S 2=,S 3=.123478∵S 1+S 2,S 1+S 3,m (S 2+S 3)成等差数列,∴+m =2,解得m=.12+34(34+78)(12+78)12132.解 (1)设数列{a n }的公比为q ,因为a 2=4,所以a 3=4q ,a 4=4q 2.因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项,所以2(a 3+2)=a 2+a 4,即2(4q+2)=4+4q 2,化简得q 2-2q=0.因为公比q ≠0,所以q=2.所以a n =a 2q n-2=4×2n-2=2n (n ∈N *).(2)因为a n =2n ,所以b n =2log 2a n -1=2n-1.所以a n b n =(2n-1)2n .则T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n ,①2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n +(2n-1)2n+1.②①-②得-T n =2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n-1)2n+1=2+2×-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1,4(1-2n -1)1-2所以T n =6+(2n-3)2n+1.3.(1)证明 因为D ,E 分别为AC ,AB 的中点,所以DE ∥BC.又因为DE ⊄平面A 1CB ,所以DE ∥平面A 1CB.(2)证明 由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ,所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D ,DE ⊥CD.所以DE ⊥平面A 1DC.而A 1F ⊂平面A 1DC ,所以DE ⊥A 1F.又因为A 1F ⊥CD ,所以A 1F ⊥平面BCDE.所以A 1F ⊥BE.(3)解 线段A 1B 上存在点Q ,使A 1C ⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A 1C ,A 1B 的中点P ,Q ,则PQ ∥BC.又因为DE ∥BC ,所以DE ∥PQ.所以平面DEQ 即为平面DEP.由(2)知,DE ⊥平面A 1DC ,所以DE ⊥A 1C.又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点,所以A 1C ⊥DP.所以A 1C ⊥平面DEP.从而A 1C ⊥平面DEQ.故线段A 1B 上存在点Q ,使得A 1C ⊥平面DEQ.4.(1)证明 连接BD ,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a ,DA=a ,3所以BD=DC=2a.因为E 为BC 中点,所以BC ⊥DE.又因为PD ⊥平面ABCD ,所以BC ⊥PD.因为DE ∩PD=D ,所以BC ⊥平面PDE.因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE.(2)解 当点F 位于PC 三分之一分点(靠近点P )时,PA ∥平面BDF.连接AC ,BD 交于点O ,AB ∥CD ,所以△AOB ∽△COD.又因为AB=DC ,所以AO=OC.1212从而在△CPA 中,AO=AC ,而PF=PC ,所以OF ∥PA.1313而OF ⊂平面BDF ,PA ⊄平面BDF ,所以PA ∥平面BDF.5.解 (1)把Q (1,2)代入y 2=2px ,得2p=4,所以抛物线方程为y 2=4x ,准线l 的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB 的方程为y=k (x-1),k ≠0.由抛物线准线l :x=-1,可知M (-1,-2k ).又Q (1,2),所以k 3==k+1.2+2k1+1把直线AB 的方程y=k (x-1),代入抛物线方程y 2=4x ,并整理,可得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=1.2k 2+4k 2因为Q (1,2),所以k 1=,k 2=.2-y 11-x 12-y 21-x 2因为A ,F ,B 三点共线,所以k AF =k BF =k ,即=k ,y 1x 1-1=y 2x 2-1所以k 1+k 2==2(k+1),2-y 11-x 1+2-y 21-x 2=2kx 1x 2-(2k +2)(x 1+x 2)+2k +4x 1x 2-(x 1+x 2)+1即存在常数λ=2,使得k 1+k 2=2k 3成立.6.解 (1)(方法1)设椭圆C 的方程为=1(a>b>0),x 2a 2+y 2b 2因为椭圆的左焦点为F 1(-2,0),所以a 2-b 2=4.设椭圆的右焦点为F 2(2,0),已知点B (2,)在椭圆C 上,2由椭圆的定义知|BF 1|+|BF 2|=2a ,所以2a=3=4.2+22所以a=2,从而b=2.2所以椭圆C的方程为=1.x 28+y 24(方法2)设椭圆C 的方程为=1(a>b>0),x 2a 2+y 2b 2因为椭圆的左焦点为F 1(-2,0),所以a 2-b 2=4.①因为点B (2,)在椭圆C 上,2所以=1.②4a 2+2b 2由①②解得a 2=8,b 2=4.所以椭圆C的方程为=1.x 28+y 24(2)(方法1)因为椭圆C 的左端点为A ,则点A 的坐标为(-2,0).2因为直线y=kx (k ≠0)与椭圆=1交于两点E ,F ,x 28+y 24设点E (x 0,y 0),则点F (-x 0,-y 0),所以直线AE 的方程为y=(x+2).y 0x 0+222因为直线AE 与y 轴交于点M ,令x=0得y=,22y 0x 0+22即点M.(0,22y 0x+22)同理可得点N.(0,22y 0x-22)假设在x 轴上存在点P (t ,0),使得∠MPN 为直角,则=0,即t 2+=0,22y 0x 0+22×22y 0x 0-22即t 2+=0.(※)8y 20x 2-8因为点E (x 0,y 0)在椭圆C 上,所以=1,即.将代入(※)得t 2-4=0,解得t=2x 208+y 204y 2=8-x 202y 2=8-x 202或t=-2.故存在点P (2,0)或P (-2,0),无论非零实数k 怎样变化,总有∠MPN 为直角.(方法2)因为椭圆C 的左顶点为A ,则点A 的坐标为(-2,0).2因为直线y=kx (k ≠0)与椭圆=1交于两点E ,F ,x 28+y 24设点E (2cos θ,2sin θ)(0<θ<π),则点F (-2cos θ,-2sin θ).所以直线AE 的方程为y=22(x+2).2sin θ22cos θ+222因为直线AE 与y 轴交于点M ,令x=0得y=,即点M .2sin θcos θ+1(0,2sin θcos θ+1)同理可得点N .(0,2sin θcos θ-1)假设在x 轴上存在点P (t ,0),使得∠MPN 为直角,则=0.即t 2+=0,即t 2-4=0,解得t=2或t=-2.-2sin θcos θ+1×-2sin θcos θ-1故存在点P (2,0)或P (-2,0),无论非零实数k 怎样变化,总有∠MPN 为直角.。
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练7导数与不等式及参数范围2
当 x∈(-1- 2,-1+ 2)时,f'(x)>0;
当 x∈(-1+ 2,+∞)时,f'(x)<0.
所以 f(x)在(-∞,-1- 2),(-1+ 2,+∞)内单调递减,在(-1- 2,-1+ 2)内单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
当 a≥1 时,设函数 h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),
此时 f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.
(2)不妨设 x1≤x2,而 a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),
|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),
令 g(x)=4x-f(x),则 g(x)在(0,+∞)内单调递减,
3.(2018 北京,文 19)设函数 f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 0,求 a; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 a 的取值范围.
4.已知函数 f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论 f(x)的单调性;
4
≥2 (x + 1)·x + 1-5=-1,
4
当且仅当 x+1=x + 1,即 x=1 时,等号成立.
∴a≤-1,
故 a 的取值范围为(-∞,-1].
2.解 (1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.
(新课标)广西2019高考数学二轮复习 专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题
专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列{a n },a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a a2;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.2.已知数列{a n }满足a 1=3,a n+1=3a a -1a a+1. (1)证明:数列{1a a -1}是等差数列,并求{a n }的通项公式;(2)令b n =a 1a 2…a n ,求数列{1a a}的前n 项和S n .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若S 5=3132,求λ的值.4.在数列{a n }中,设f (n )=a n ,且f (n )满足f (n+1)-2f (n )=2n (n ∈N *),且a 1=1.(1)设b n =aa 2a -1,证明数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且(3-m )S n +2ma n =m+3(n ∈N *),其中m 为常数,且m ≠-3. (1)求证:{a n }是等比数列;(2)若数列{a n }的公比q=f (m ),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =32f (b n-1)(n ∈N *,n ≥2),求证:{1a a}为等差数列,并求b n .6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-2,且满足S n =12a n+1+n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 3(-a n +1),求数列{1aa a a +2}的前n 项和T n ,并求证T n <34.7.(2018天津模拟)已知正项数列{a n },a 1=1,a 2=2,前n 项和为S n ,且满足a a +1a a -1+a a -1a a +1=4a a2a a +1a a -1-2(n ≥2,n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式; (2)记c n =1aa ·a a +1,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:13≤T n <12.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,2S n =(n+1)2a n -n 2a n+1,数列{b n }满足b 1=1,b n b n+1=λ·2a a . (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正实数λ,使得{b n }为等比数列?并说明理由.专题对点练14答案1.(1)证明 因为a n =13×(13)a -1=13a,S n =13(1-13a )1-13=1-13a 2,所以S n =1-a a 2.(2)解 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-a (a +1)2.所以{b n }的通项公式为b n =-a (a +1)2.2.解 (1)∵a n+1=3a a -1a a+1,∴a n+1-1=3a a -1aa+1-1=2(a a -1)a a +1,∴1a a +1-1=a a+12(a a-1)=1a a-1+12, ∴1aa +1-1−1aa -1=12.∵a 1=3,∴1a 1-1=12,∴数列{1aa -1}是以12为首项,12为公差的等差数列,∴1a a -1=12+12(n-1)=12n ,∴a n =a +2a. (2)∵b n =a 1a 2…a n ,∴b n =31×42×53×…×aa -2×a +1a -1×a +2a=(a +1)(a +2)2,∴1a a=2(a +1)(a +2)=2(1a +1-1a +2),∴S n =2(12−13+13−14+…+1a +1−1a +2)=2(12-1a +2)=aa +2.3.解 (1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=11-a,a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n , 即a n+1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a a +1a a=a a -1.因此{a n }是首项为11-a ,公比为aa -1的等比数列, 于是a n =11-a (aa -1)a -1.(2)由(1)得S n =1-(aa -1)a . 由S 5=3132得1-(aa -1)5=3132, 即(a a -1)5=132.解得λ=-1.4.(1)证明 由已知得a n+1=2a n +2n,∴b n+1=a a +12a =2a a +2a2a =aa 2a -1+1=b n +1,∴b n+1-b n =1.又a 1=1,∴b 1=1,∴{b n }是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知,b n =aa 2a -1=n ,∴a n =n ·2n-1.∴S n =1+2×21+3×22+…+n ·2n-1,2S n =1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n ·2n,两式相减得-S n =1+21+22+…+2n-1-n ·2n =2n -1-n ·2n =(1-n )2n-1, ∴S n =(n-1)·2n +1.5.证明 (1)由(3-m )S n +2ma n =m+3, 得(3-m )S n+1+2ma n+1=m+3, 两式相减,得(3+m )a n+1=2ma n .∵m ≠-3,∴a a +1a a=2aa +3,∴{a n }是等比数列.(2)由(3-m )S n +2ma n =m+3,得(3-m )S 1+2ma 1=m+3, 即a 1=1,∴b 1=1.∵数列{a n }的公比q=f (m )=2aa +3, ∴当n ≥2时,b n =32f (b n-1)=32·2a a -1a a -1+3,∴b n b n-1+3b n =3b n-1,∴1a a−1aa -1=13.∴{1a a}是以1为首项,13为公差的等差数列,∴1a a=1+a -13=a +23.又1a1=1也符合,∴b n =3a +2. 6.(1)解 ∵S n =12a n+1+n+1(n ∈N *),∴当n=1时,-2=12a 2+2,解得a 2=-8. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12a n+1+n+1-(12a a +a ), 即a n+1=3a n -2,可得a n+1-1=3(a n -1). 当n=1时,a 2-1=3(a 1-1)=-9,∴数列{a n -1}是等比数列,首项为-3,公比为3. ∴a n -1=-3n ,即a n =1-3n . (2)证明 b n =log 3(-a n +1)=n ,∴1aa a a +2=12(1a -1a +2). ∴T n =12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1a -1-1a +1)+(1a -1a +2)]=12(1+12−1a +1−1a +2)<34.∴T n <34.7.(1)解 由aa +1a a -1+a a -1a a +1=4a a2aa +1a a -1-2(n ≥2,n ∈N *),得a a +12+2S n+1S n-1+a a -12=4a a 2,即(S n+1+S n-1)2=(2S n )2.由数列{a n }的各项均为正数,得S n+1+S n-1=2S n ,所以数列{S n }为等差数列.由a 1=1,a 2=2,得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=3,则数列{S n }的公差为d=S 2-S 1=2, 所以S n =1+(n-1)×2=2n-1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n-1)-(2n-3)=2,而a 1=1不适合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,a =1,2,a ≥2.(2)证明 由(1)得c n =1a a·a a +1=1(2a -1)(2a +1)=12(12a -1-12a +1),则T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =12[(1-13)+(13-15)+(15−17)+…+(12a -1-12a +1)]=12(1-12a +1)<12.又T n =12(1-12a +1)是关于n 的增函数,则T n ≥T 1=13,因此,13≤T n <12. 8.解 (1)由2S n =(n+1)2a n -n 2a n+1,得2S n-1=n 2a n-1-(n-1)2a n , ∴2a n =(n+1)2a n -n 2a n+1-n 2a n-1+(n-1)2a n ,∴2a n =a n+1+a n-1, ∴数列{a n }为等差数列.∵2S 1=(1+1)2a 1-a 2,∴4=8-a 2. ∴a 2=4.∴d=a 2-a 1=4-2=2. ∴a n =2+2(n-1)=2n.(2)∵b n b n+1=λ·2a a =λ·4n,b 1=1, ∴b 2b 1=4λ,∴b 2=4λ,∴b n+1b n+2=λ·4n+1,∴a a +1a a +2a aaa +1=4, ∴b n+2=4b n ,∴b 3=4b 1=4.若{b n }为等比数列,则a 22=b 3·b 1,∴16λ2=4×1,∴λ=12. 故存在正实数λ=12,使得{b n }为等比数列.。
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练24圆锥曲线中的定点定值与存在性问题
专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M 恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M 的轨迹方程;(2)动直线l 过点P (0,-2),且与点M 的轨迹交于A ,B 两点,点C 与点B 关于y 轴对称,求证:直线AC 恒过定点.2.已知椭圆Γ:+y 2=1(a>1)与圆E :x 2+=4相交于A ,B 两点,且|AB|=2,圆E 交y 轴负半x 2a 2(y -32)23轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D 的直线交椭圆Γ于M ,N 两点,点N 与点N'关于y 轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ,圆C :x 2+y 2-2ax+a 2-4=0,直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆C 切于点P.(1)当切点P 的坐标为时,求直线l 及圆C 的方程;(45,85)(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M 是x 轴上的一个定点,其横坐标为a (a ∈R ),已知当a=1时,动圆N 过点M 且与直线x=-1相切,记动圆N 的圆心N 的轨迹为C.(1)求曲线C 的方程;(2)当a>2时,若直线l 与曲线C 相切于点P (x 0,y 0)(y 0>0),且l 与以定点M 为圆心的动圆M 也相切,当动圆M 的面积最小时,证明:M ,P 两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M :=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.x 2a2+y 2b 2332(1)求椭圆M 的方程;(2)若圆N :x 2+y 2=r 2上斜率为k 的切线l 与椭圆M 相交于P ,Q 两点,OP 与OQ 能否垂直?若能垂直,请求出相应的r 的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,已知|AB|=|OF|,且△AOB 的x 2a 2+y 2b 23面积为.2(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q ,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解 ∵动点M 到直线y=-1的距离等于到定点C (0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,∴动点M 的轨迹方程为x 2=4y.p2(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx-2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则C (-x 2,y 2).联立化为x 2-4kx+8=0,Δ=16k 2-32>0,解得k>或k<-.{y =kx -2,x 2=4y,22∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8.直线AC 的方程为y-y 2=-(x+x 2),y 2-y 1x 2+x 1又y 1=kx 1-2,y 2=kx 2-2,∴4k-4k (kx 2-2)=(kx 1-kx 2)x+kx 1x 2-k ,x 22化为4y=(x 1-x 2)x+x 2(4k-x 2),∵x 1=4k-x 2,∴4y=(x 1-x 2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC 恒过一定点(0,2).2.(1)解 由题意得A ,B 两点关于y 轴对称,设x B =,则圆心E 到AB 的距离为1,3∴y B =,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a 2=4,∴e=.12(3,12)3a2+1432(2)证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),N'(-x 2,y 2).圆E 交y 轴负半轴于点D ,(0,-12)当直线MN 斜率存在时,设其方程为y=kx-消去y 得(1+4k 2)x 2-4kx-3=0.12,{y =kx -12,x24+y 2=1,∴x 1+x 2=,x 1x 2=,4k1+4k 2-31+4k 2直线MN'的方程y-y 1=(x-x 1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y 轴上,y 1-y 2x 1+x 2令x=0,y=y 1-=-2.x 1(y 1-y 2)x 1+x 2=x 1y 2+y 2x 1x 1+x 2=x 1(kx 2-12)+x 2(kx 1-12)x 1+x 2=2kx 1x 2x 1+x 2-12当直线MN 斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解 由圆(x-a )2+y 2=4,则圆心(a ,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,∴圆的方程为(x-2)2+y 2=4或+y 2=4,(45,85)25(x +25)2当a=2,圆心C (2,0),则直线CP 的斜率k==-,85-045-243由直线l 的斜率为-,则直线l 的方程y-,整理得4y-3x-4=0;1k =3485=34(x -45)当a=-,圆心C ,则直线CP 的斜率k=,25(-25,0)85-045-(-25)=43由直线l 的斜率为-=-,则直线l 的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,1k 348534(x -45)综上可知,直线l 方程为4y-3x-4=0,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4,或直线l 方程为20y+15x-44=0,圆C 的方程为+y 2=4;(x +25)2(2)证明 当a=2时,圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,当l 垂直于x 轴时,则x=4,A (4,4),B (4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l 不垂直于x 轴时,设直线l :y=kx+b (k ≠0),直线l 与圆C 相切,则=2,则4kb+b 2=4,结合图象知kb<b (图略).|2k -0+b|1+k 2则整理得k 2x 2+(2kb-4)x+b 2=0,{y =kx +b,y 2=4x,由Δ=(2kb-4)2-4k 2b 2=-16kb+4(4kb+b 2)=4b 2>0,x 1+x 2=-,x 1x 2=,2kb -4k 2b 2k 2|AB|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k2·(-2kb -4k 2)2-4×b 2k 2=1+k 2·-16kb +16k 2=1+k2·4b2k 2=4(b 2+k 2b 2)k 2=,4(4-4kb +k 2b 2)k2=4-2kb k 2由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x 1+x 2+p=x 1+x 2+2,∴|FA|+|FB|=-+2,2kb -4k 2∴|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,2kb -4k 24-2kbk 2∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解 因为圆N 与直线x=-1相切,所以点N 到直线x=-1的距离等于圆N 的半径,所以点N 到点M (1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N 的轨迹为以点M (1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N 的轨迹方程,即曲线C 的方程为y 2=4x.(2)证明 由题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y-y 0=k (x-x 0),由{y -y 0=k(x -x 0),y 2=4x 得y 2-y-kx 0+y 0=0,k4又=4x 0,所以y 2-y-+y 0=0.y 20k 4k 4y 20因为直线l 与曲线C 相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.(-k4y 20+y 0)2y 0所以直线l 的方程为4x-2y 0y+=0.y 20动圆M 的半径即为点M (a ,0)到直线l 的距离d=.|4a +y 20|16+4y 20当动圆M 的面积最小时,即d 最小,而当a>2时,d=≥2.|4a +y 20|16+4y 2=y 20+4a2y 20+4=y 20+4+4a -42y 20+4=y 20+42+4a -42y 20+4a -1当且仅当=4a-8,即x 0=a-2时取等号,y 20所以当动圆M 的面积最小时,a-x 0=2,即当动圆M 的面积最小时,M ,P 两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M :=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.x 2a2+y 2b 2332得c=,e=,可得a=2,则b=1,3c a=32故椭圆的方程为+y 2=1.x 24(2)设直线l 的方程为y=kx+m ,∵直线l 与圆x 2+y 2=1相切,∴=r ,即m 2=r 2(k 2+1).①|m|k 2+1由可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,{y =kx +m,x 24+y 2=1Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=64k 2-16m 2+16>0,∴m 2<4k 2+1,可得r 2<4.令P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=,-8km1+4k 24m 2-41+4k 2y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,若OP 与OQ 能垂直,则=x 1x 2+y 1y 2=0,∴(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,(1+k 2)+m 2=0,4m 2-41+4k 2+-8k 2m 21+4k 2整理得5m 2-4(k 2+1)=0,把①代入得(k 2+1)(5r 2-4)=0,∴r=,满足r 2<4,∴OP 与OQ 能垂直.2556.解 (1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,已知|AB|=|OF|,且△AOBx 2a 2+y 2b 23,2∴c ,ab=,∴a=2,b=,a 2+b 2=31222∴椭圆方程为=1.x 24+y 22(2)假设直线y=2上存在点Q 满足题意,设Q (m ,2),当m=±2时,从点Q 所引的两条切线不垂直.当m ≠±2时,设过点Q 向椭圆所引的切线的斜率为k ,则l 的方程为y=k (x-m )+2,代入椭圆方程,消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k (mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,∵Δ=16k 2(mk-2)2-4(1+2k 2)[2(mk-2)2-4]=0,∴(m 2-4)k 2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k 1,k 2,则k 1,k 2是方程(m 2-4)k 2-4mk+2=0的两个根,∴k 1k 2==-1,2m 2-4解得m=±,点Q 坐标为(,2)或(-,2).222∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.22。
新课标广西2019高考数学二轮复习组合增分练4客观题综合练D2
组合增分练4 客观题综合练D一、选择题1.设全集U=R,A={x|x2-x-6<0},B={x|y=lg(x+1)},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-3<x<-1}B.{x|-3<x<0}C.{x|-1<x<3}D.{x|x>-1}-=()2.计算-A.-2iB.0C.2iD.23.若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ)=0,则实数λ的值为()A.3B.-C.-3D.-4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面.命题p:若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α;命题q:若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n.则下列命题中的真命题是()A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)5.在利用最小二乘法求回归方程=0.67x+54.9时,用到了如表中的5组数据,则表格中a的值为()A.68B.70C.75D.726.已知x=log52,y=ln 2,z=,则下列结论正确的是()A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x7.某几何体的三视图如图所示,图中四边形都是边长为2的正方形,两条虚线相互垂直,则该几何体的表面积是()A.24+(+1)πB.24+(-1)πC.24-(+1)πD.24-(-1)π8.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=()A.9B.8C.7D.69.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-c)2+y2=4a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距),则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.10.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,若AB=2,PA=1,则此四棱锥的外接球的体积为()A.36πB.16πC.D.11.(2018全国Ⅲ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()A.B.C.D.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f'(x),若对任意实数x都有x2f'(x)>2xf(-x),则不等式x2f(x)<(3x-1)2f(1-3x)的解集是()A.B.C.-D.-二、填空题13.从3男1女4名学生中,随机抽取2名学生组成小组代表班级参加学校的比赛活动,则该小组中有女生的概率为.14.若实数x,y满足约束条件----则z=4x+y的最大值为.15.(2018全国Ⅱ,文15)已知tan-,则tan α= .16.已知数列{a n}是等比数列,其公比为2,设b n=log2a n,且数列{b n}的前10项的和为25,则a1+a2+a3+…+a10的值为.组合增分练4答案1.C解析阴影部分表示的集合为A∩B,而A={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},B={x|y=lg(x+1)}={x|x>-1},故A∩B={x|-1<x<3},故选C.2.B解析∵--=i,-=-i,i4=1,∴--=(i4)504·i+[(-i)4]504·(-i)=i-i=0.故选B.3.C解析∵ =(1,2),=(4,5),∴ =(3,3),λ=(λ+4,2λ+5),又·(λ)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.故选C.4.C解析垂直平面内的一条直线,不能确定直线与平面垂直,所以命题p是假命题;命题q满足直线与平面平行的性质定理,所以命题q是真命题,p是真命题;可得(p)∧q是真命题.故选C.5.A解析由题意可得(10+20+30+40+50)=30,(62+a+75+81+89),因为回归直线方程=0.67x+54.9过样本点的中心点,所以(a+307)=0.67×30+54.9,解得a=68,故选A.6.A解析∵x=log52<log5,1>y=ln 2>ln,z=>1,∴x<y<z.故选A.7.B解析由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一圆锥得到的,该圆锥的底为正方形的内切圆,高为1,∴该几何体的表面积为6×22-π+π×1×=24+(-1)π.故选B.8.D解析设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由,所以AC=8cos θ,在△ABC中,由,可得,所以16cos2θ=9,可得cos θ=,所以AC=8×=6.故选D.9.B解析双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,圆心到双曲线的渐近线的距离为=b,∵渐近线被圆截得的弦长为2b,∴b2+b2=4a2,∴b2=2a2,即c2=3a2,∴e=.故选B.10.C解析把四棱锥P-ABCD补成一个长方体,可知此长方体的对角线为四棱锥P-ABCD的外接球的直径2R.∴(2R)2=22+22+12=9,∴R=,∴此四棱锥的外接球的体积为.故选C.11.C解析由S=-ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=.12.C解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵x2f'(x)>2xf(-x),∴x2f'(x)+2xf(x)>0.设g(x)=x2f(x),∴g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)>0.∴函数g(x)在(0,+)上单调递增.又g(0)=0,g(-x)=x2f(-x)=-g(x),∴函数g(x)是R上的奇函数,∴g(x)是R上的增函数.∵x2f(x)<(3x-1)2f(1-3x),∴g(x)<g(1-3x),∴x<1-3x,解得x<.∴不等式x2f(x)<(3x-1)2f(1-3x)的解集为-.故选C.13.解析从3男1女4名学生中抽取2名学生共有6种不同的基本事件,有女生的事件数为3,所选2人中有1名女生的概率为p=,故答案为.14.14解析由约束条件----作出可行域如图.联立--解得A(3,2),化z=4x+y为y=-4x+z,当直线y=-4x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为14.故答案为14.15.解析∵tan-=--,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.16.解析设首项为a,则a n=a·2n-1,∴b n=log2a n=log2a+n-1,∴b n-b n-1=log2a n-log2a n-1=1(n≥∴数列{b n}是以log2a为首项,以1为公差的等差数列,∴10log2a+-=25,∴a=.∴数列{a n}的首项为,∴a1+a2+a3+…+a10=--,故答案为.。
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专题对点练12 3.1~3.3组合练 (限时90分钟,满分100分) 一、选择题(共9小题,满分45分) 1.已知cos x=34,则cos 2x=( ) A.-14 B.14 C.-18 D.18 2.角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=( ) A.2 B.-4 C.-34 D.-43 3.函数y= 3sin 2x+cos 2x的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=π6,a+b=12,则△ABC面积的最大值为( ) A.8 B.9 C.16 D.21 5.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,则𝑎𝑏等于( )
A.32 B.43 C. 2 D. 3 6.(2018天津,文6)将函数y=sin 2𝑥+π5 的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间 -π4,π4 上单调递增
B.在区间 -π4,0 上单调递减 C.在区间 π4,π2 上单调递增
D.在区间 π2,π 上单调递减 7.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|f 5π8 =2,f 11π8 =0,且f(x)的最小正周
期大于2π,则( ) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 8.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin 2𝑥+2π3 ,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( ) A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z) B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z) C.[6k,6k+3](k∈Z) D.[6k-3,6k](k∈Z) 二、填空题(共3小题,满分15分) 10.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sin β= . 11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则sin2𝐴+sin2𝐵
sin2𝐶= .
12.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分) 13.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P -35,-
4
5 .
(1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.
14.已知函数f(x)=12cos22x+ 32sin 2xcos 2x+1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)当x∈ 0,π4 时,求f(x)的最值.
15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos𝐵𝑏+cos𝐶𝑐=2 3sin𝐴3sin𝐶. (1)求b的值; (2)若cos B+ 3sin B=2,求a+c的取值范围. 专题对点练12答案 1.D 解析 cos 2x=2cos2x-1=2× 34 2-1=18. 2.D 解析 ∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tan θ=2. ∴tan 2θ=2tan𝜃1-tan2𝜃=-43,故选D.
3.C 解析 因为y= 3sin 2x+cos 2x =2 32sin2𝑥+12cos2𝑥 =2sin 2𝑥+
π
6 ,
所以其最小正周期T=2π2=π. 4.B 解析 ∵ab≤ 𝑎+𝑏2 2=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=12ab·sin C≤12×36×12=9,故选B. 5.C 解析 由2bsin 2A=3asin B,利用正弦定理可得4sin Bsin Acos A=3sin Asin B, 由于sin A≠0,sin B≠0,可得cos A=34,又c=2b, 可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-2b·2b·34=2b2,则𝑎𝑏= 2.故选C.
6.A 解析 将函数y=sin 2𝑥+π5 的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin 2 𝑥-
π10 +π5 =sin 2x,该函数在 -π4+𝑘π,π4+𝑘π (k∈Z)上单调递增,在 π4+𝑘π,3π
4+𝑘π (k
∈Z)上单调递减,结合选项可知选A. 7.A 解析 由题意可知,2π𝜔>2π,11π8−5π8≥14·2π𝜔, 所以23≤ω<1.所以排除C,D. 当ω=23时, f 5π8 =2sin 5π8×23+𝜑
=2sin
5π
12+𝜑 =2,
所以sin 5π12+𝜑 =1.
所以5π12+φ=π2+2kπ, 即φ=π12+2kπ(k∈Z). 因为|φ|8.D 解析 曲线C1的方程可化为y=cos x=sin 𝑥+π2 ,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin 2𝑥+π2 =sin 2 𝑥+π4 ,为得到曲线C2:y=sin 2 𝑥+π3 ,需再把得到的曲线
向左平移π12个单位长度. 9.D 解析 由函数与直线y=a(0T=2π𝜔=2 4+82-2+42 ,得ω=π3,
再由五点法作图可得π3·2+42+φ=π2,求得φ=-π2, ∴函数f(x)=Asin
π3𝑥-π
2 .
令2kπ+π2≤π3x-π2≤2kπ+3π2,k∈Z, 解得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[6k-3,6k](k∈Z). 10.13 解析 由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α=13. 11.2 解析 ∵(a2+b2)tan C=8S,∴a2+b2=4abcos C=4ab·𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏,化简得a2+b2=2c2, 则sin2𝐴+sin2𝐵sin2𝐶=𝑎2+𝑏2𝑐2=2.故答案为2. 12. 152 104 解析 如图,取BC中点E,DC中点F, 由题意知AE⊥BC,BF⊥CD. 在Rt△ABE中, cos∠ABE=𝐵𝐸𝐴𝐵=14,
∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC= 1-116= 154. ∴S△BCD=12×BD×BC×sin∠DBC= 152. ∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF为锐角,
∴sin∠DBF= 104. 在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF= 104. 综上可得,△BCD的面积是 152,cos∠BDC= 104. 13.解 (1)由角α的终边过点P -35,-45 ,得sin α=-45, 所以sin(α+π)=-sin α=45. (2)由角α的终边过点P -35,-45 ,得cos α=-35, 由sin(α+β)=513, 得cos(α+β)=±1213. 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.
14.解 函数f(x)=12cos22x+ 32sin 2x·cos 2x+1 =12 12+12cos4𝑥 + 34sin 4x+1
=12sin 4𝑥+π6 +54. (1)f(x)的最小正周期T=2π4=π2. (2)当x∈ 0,π4 时,4x+π6∈ π6,7π6 ,
则sin 4𝑥+π6 ∈ -12,1 . 当4x+π6=7π6时,函数f(x)取得最小值为1,此时x=π4; 当4x+π6=π2时,函数f(x)取得最大值为74,此时x=π12. ∴当x∈ 0,π4 时,函数f(x)的最大值为74,最小值为1. 15.解 (1)△ABC中,cos𝐵𝑏+cos𝐶𝑐=2 3sin𝐴3sin𝐶, ∴𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑏𝑐+𝑏2+𝑎2-𝑐22𝑎𝑏𝑐=2 3𝑎3𝑐,
∴2𝑎22𝑎𝑏𝑐=2 3𝑎3𝑐,解得b= 32. (2)∵cos B+ 3sin B=2, ∴cos B=2- 3sin B,
∴sin2B+cos2B=sin2B+(2- 3sin B)2=4sin2B-4 3sin B+4=1,
∴4sin2B-4 3sin B+3=0,