人教版高中数学必修4-1.3链接高考：同角三角函数基本关系式与诱导公式
第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025年高考数学备考
第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)
所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
同角三角函数的基本关系与诱导公式+课件-2025届高三数学一轮复习
可求另外两个.
= ± ,
+ −
=
− −
.因此在解题中已知其中一个
1.已知 =
√
A.
−
，则
B.
解析：选A.因为 =
故选A.
=(
)
C.2
= − ，因为 ∈
,
，
所以 > ， < ，
所以 − > ，所以原式= − ，D正确.
− − −+
2.
−− −−
A.−
=(
B.−
又 − = − = − × = ，
所以 − = − .
< ,
+
+
{−，}
2.已知 =
+
∈ ，则的值构成的集合是_________.
2.三角函数的诱导公式
角
+ (
+
−
−
− ��
+
∈ )
正弦 − ⑤_____− ④______
⑥______
③______
⑦______
余弦
⑫______
− ⑨______
±
= ± .
（2） = ≠ + ,
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
2020年人教版高中数学必修4 第1章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(含高考真题演练)
利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2π（0o到360o）角的三角函数值 .
诱导公式四（II）
sin y ，cos x , tan y
通过诱导公式一 ~ 四，任意角的三角函数值都可以转换 成[0o , 90o]角的三角函数值.
如： sin(11 ) sin(4 ) sin( )
3
3
3
sin（- ） sin
3
3
诱导公式一 IV，－α
例1 利用公式求下列三角函数值： (1) cos 225
cos 225 cos180 45 cos 45 III π+α
r
r
x
x
sin( ) x cos
y
2
r
cos(
)
y
sin
2
r
O
tan(
)
x
cot
2
y
P′ P
α yx
诱导公式六（II）
sin y ，cos x , tan y
r
r
x
P′ x
sin( ) x cos
2
r
cos( ) y sin
2
r
tan(
2
)
x y
cos 45 2 2
例1 利用公式求下列三角函数值：
(2) sin 11
3
sin 11
3
sin
4
3
sin(
)
3
诱导公式一
sin( ) sin 3 IV，－α
3
32
超实用高考数学专题复习教学课件：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
因为(sin θ-cos θ) =1-2sin θcos θ=1-m=1+ 2 ,
2
所以 sin θ-cos θ= 1 +
√3
2
=
2+√3
2
=
4+2√3
4
=
1+√3
.故选
2
B.
解题心得 1.通过平方,对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 之间可建立联
系,若令 sin α+cos α=t,则 sin αcos
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
π
化解题过程.常见的互余关系有3 -α
π
补关系有 -θ
6
5π
π
与 +θ, +θ
6
3
π
π
与6 +α, 3 +α
2π
π
与 -θ, +θ
3
4
3π
与 -θ
4
π
π
与 6 -α,4 +α
等.
π
与 4 -α
又 tan
2tan2 +1
2×( ) +1
2 +sincos-2cos2 tan2 +tan-2
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tபைடு நூலகம்n +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
2021届高考数学(理)考点复习：同角三角函数基本关系式及诱导公式(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习 同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．1．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．34-C ．15-D ．15【答案】C 【解析】sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1αα+=，②， 又α为第二象限的角， sin 0α∴>，cos 0α<，联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5α=-， 则1sin cos 5αα+=-．故选C ．2．（2019•新课标Ⅰ）tan 255(︒= ) A ．23--B ．23-+C ．23D ．23【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒ 231tan 45tan 3033(33)12633231tan 45tan 3033311+︒+︒+++======+-︒︒--⨯故选D ．3．（2015•全国）sin 225(︒= ) A ．2B 2C ．12-D ．12【答案】A【解析】2sin 225sin(18045)sin 45︒=︒+︒=-︒=． 故选A ．4．（2015•福建）若5sin 13α=-，则α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．125- C ．512D ．512-【答案】D 【解析】5sin 13α=-，则α为第四象限角，212cos 1sin 13αα-=， sin 5tan cos 12ααα==-． 故选D ．5．（2017•上海）若1cos 3α=，则sin()2πα-=__________．【答案】13-【解析】1cos 3α=，∴1 sin()cos23παα-=-=-．故答案为：13 -．6．（2016•四川）sin750︒=__________．【答案】1 2【解析】1 sin750sin(236030)sin302︒=⨯︒+︒=︒=，故答案为：12．1．（2020•东湖区校级三模）23tan cos()323πππ+-的值为()A．33B．3C132D132【答案】A【解析】23tan cos() 323πππ+-33( =-33 =．故选A．2．（2020•茂名二模）已知3cos()5πα-=，则3sin()2πα-的值为()A．45±B．45-C．35-D．35【答案】D【解析】因为3 cos()cos5παα-=-=，所以33 sin()cos25παα-=-=．故选D．3．（2020•衡水模拟）已知4cos()5πα+=，则3sin()2πα+的值为()A．35B．35-C．45D．45-【答案】C【解析】因为4cos()cos 5παα+=-=， 所以34sin()cos 25παα+=-=． 故选C ．4．（2020•北京模拟）若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sin α的是( ) A ．cos()2πα-B ．cos()2πα-C ．cos()2πα-+D ．cos()2πα+【答案】D【解析】对于A ，由于cos()cos()sin 22ππααα-=-=，是对于B ，由于cos()sin 2παα-=，是对于C ，cos()sin 2παα-+=，是对于D ，cos()sin 2παα+=-，不是故选D ．5．（2020•梅州一模）31sin (12π= ) A ．1(62)4B ．1(62)4C ．1(26)4D ．1(62)4-【答案】B 【解析】31721326sin sin(2)sin()sin cos cos sin (12124343432πππππππππ+=+=+=+==． 故选B ．6．（2020•运城模拟）2317cos sin (1212ππ-= ) A ．0 B 2C 26-D 26+ 【答案】D 【解析】2317cos sin1212ππ- 3cos(2)sin()12212ππππ=--- coscos1212ππ=+2cos12π=2cos()34ππ=-2coscos2sinsin3434ππππ=+1232222=⨯ 26+=． 故选D ．7．（2020•新疆模拟）已知α是第二象限角，且31cos()24πα+=，则cos (α= ) A ．15B ．14-C ．14D 15 【答案】A 【解析】31cos()sin 24παα+==， 又α是第二象限角， 215cos 1sin αα∴=-- 故选A ．8．（2020•辽宁模拟）已知函数2()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则119cos()sin()sin 222(cos()sin()2ππαααπαπα-++=+-- ) A ．23B ．23-C ．32 D ．32-【答案】B【解析】函数2()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠过定点(2,3)P ，则3tan 2α=． 则1193cos()sin()sin 2cos()sin()sin 22222sin sin cos()sin()2ππππααααααπαααπα-++-++=-+--22sin cos 2sin cos sin cos cos 12sin sin sin tan 3ααααααααααα-+===-=-=---， 故选B ．9．（2020•云南模拟）已知tan()2πα-=，则sin 4(sin(2)2απα=+ )A ．85±B ．85C ．85-D ．65-【解析】tan()tan 2παα-=-=， tan 2α∴=-，∴2222sin 42sin 2cos 24sin cos 4tan 4(2)84sin cos cos 211(2)5sin(2)2sin cos tan ααααααααπααααα⨯-======-+++-+．故选C ．10．（2020•泉州一模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin(2)(2πα-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【答案】D【解析】由已知利用三角函数定义可得2225cos 2(1)α==+-， 故23sin(2)cos22cos 125πααα-==-=．故选D ．11．（2020•吴兴区校级模拟）若1cos()2πα-=-，则( )A ．3sin()α-=B ．3sin()2πα+=C ．1cos()2πα+=D ．1cos()2απ-=-【答案】D【解析】由1cos()cos 2παα-=-=-，可得：1cos 2α=，可得23sin 1cos αα=-，对于A ，3sin()sin αα-=-=3，故错误； 对于B ，1sin()cos 22παα+==，故错误；对于C ，1cos()cos 2παα+=-=-，故错误；对于D ，1cos()cos 2απα-=-=-，故正确．故选D ．12．（2020•咸阳二模）tan(345)(-︒= ) A ．23+B ．23-+C ．23-D ．23【解析】22tan153tan30tan(215)115tan ︒︒=⨯︒=-︒， ∴23156tan1530︒+︒=， ∴解得tan1523︒=tan(345)tan(36015)tan1523∴-︒=-︒-︒=︒=-故选D ．13．（2020•吉林二模）tan 645(︒= ) A ．23-+B ．23--C ．23D ．23【答案】B 【解析】1tan 3013tan 645tan(236075)tan 75tan(4530)231tan 3013+︒+︒=⨯︒-︒=-︒=-︒+︒=-==---︒-故选B ．14．（2020•福州一模）若tan()3cos()2πααπ-=-，则cos2(α= )A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【答案】D【解析】由tan()3cos()2πααπ-=-，得sin()23cos cos()2πααπα-=--， 所以cos 3cos sin ααα=-， 所以cos 0α=或1sin 3α=-，故2cos22cos 11αα=-=-，或27cos212sin 9αα=-=． 故选D ．15．（2020•大观区校级模拟）若3sin()12πα-=，则2sin(2)(3πα-= )A ．12B ．12-C 3D ．3 【答案】A【解析】因为3sin()12πα-=，所以231cos(2)12()62πα-=-⨯=-，所以21sin(2)sin[(2)]cos(2)cos(2)362662πππππαααα-=--=--=--=．故选A ．16．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知31sin()23πα+=，则cos (α= ) A ．13B ．13-C ．223D ．223-【答案】B 【解析】3331sin()sin cos cos sin cos 2223πππαααα+=+=-=， 故1cos 3α=-．故选B ．17．（2020•四川模拟）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点44(sin,cos )33P ππ，则cos()(πα+= ) A 3B ．12 C ．12-D ．3 【答案】A【解析】由题意可得，31()2P -， 故3cos α=， 则3cos()cos παα+=-= 故选A ．18．（2020•邵阳三模）已知3cos()65πα-=，则2sin()(3πα-= )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【答案】C 【解析】3cos()65πα-=，3sin[()]sin()cos()26365ππππααα∴--=+=-=，则223sin()sin()sin()3335πππαπαα-=-+=-+=-， 故选C ．19．（2020•汉阳区校级模拟）已知(,)22ππθ∈-且sin cos a θθ+=，其中(1,0)a ∈-，则tan θ的可能取值是( ) A ．3- B ．3C ．13-D ．13【答案】A【解析】由sin cos a θθ+=，两边平方可得22sin cos 1a θθ=-， 由(1,0)a ∈-及(2πθ∈-，)2π，有sin cos 0θθ<，且cos 0θ>， 所以sin 0θ<； 又sin cos 0a θθ+=<， 所以0cos sin θθ<<-， 所以tan 1θ<-． 故选A ．20．（2020•开封三模）已知A 是ABC ∆的一个内角，且sin cos A A a +=，其中(0,1)a ∈，则关于tan A 的值，以下答案中，可能正确的是( ) A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】A【解析】由0A π<<，得到cos 0θ>， 所以把sin cos A A a+=，两边平方得：22(sin cos )A A a +=，即222sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A a ++=+=，又(0,1)a ∈，所以22sin cos 10A A a =-<， 所以cos 0A <， 又sin cos 0A A a +=>， 所以sin cos 0A A >->，则解得tan 1A <-．比较四个选项，只有A 正确． 故选A ．21．（2020•武汉模拟）已知sin 3αα=，则2sin sin cos 1(ααα++= ) A 43+ B 73+ C ．1 D ．3【答案】B【解析】sin 3αα=， tan 3α∴，22222222sin cos 2tan 1233173sin sin cos 11sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++++⨯+++∴++====++． 故选B ．22．（2020•5月份模拟）若sin cos 1(0)αααπ+=<<，则3sin cos (αα-= ) A ．0 B ．1C ．1-D ．3【答案】D【解析】sin cos 1αα+=，2(sin cos )12sin cos 1αααα∴+=+=， 2sin cos 0αα∴=， 0απ<<，cos 0α∴=，sin 1α=， 3sin cos 3αα∴-=．故选D ．23．（2020•新乡二模）已知3tan 4α=，则sin 2cos (2sin cos αααα-=+ )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】3tan 4α=， ∴sin 2cos tan 212sin cos 2tan 12αααααα--==-++．故选C ．24．（2020•宜昌模拟）已知tan 2θ=-，3(,2)2πθπ∈，则cos (θ= ) A 5B 25C ．5D ．5【答案】A 【解析】sin tan 2cos θθθ==-，可得sin 2cos θθ=-，22222sin cos 4cos cos 5cos 1θθθθθ∴+=+==，可得21cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，可得cos 0θ>， 5cos θ∴=． 故选A ．25．（2020•九江二模）已知sin 21cos αα=+，则tan (α= )A ．43-B ．34C ．43D ．2【答案】A 【解析】sin 21cos αα=+，sin 22cos αα∴=+，∴两边平方，得22sin 48cos 4cos ααα=++，即221cos 48cos 4cos ααα-=++， ∴整理得，25cos 8cos 30αα++=， ∴解得cos 1α=-，或3cos 5α=-；当cos 1α=-时，1cos 0α+=，sin 1cos αα+无意义；∴当3cos 5α=-时，4sin 5α=，sin 4cos 3t n αααα==-． 故选A ．26．（2020•合肥二模）若cos8031m ︒︒=，则(m = ) A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】A【解析】cos8031m ︒︒=， sin10sin1031cos10m ︒∴︒=︒，可得sin10cos103sin10cos100m ︒︒︒-︒=，∴1sin 202sin 202m ︒=︒， ∴122m =，解得4m =． 故选A ．27．（2020•石家庄一模）已知13tan 4((,))tan 2ααππα+=∈，则sin cos (αα+= )A 6B ．6C 6D ．6 【答案】B 【解析】1tan 4tan αα+=，2tan 4tan 10αα∴-+=，解得tan 23α=± 又3(,)2αππ∈，tan 23α∴=sin 0α<，cos 0α<，222sin cos tan 1sin cos 14sin cos tan αααααααα∴===++， ∴213(sin cos )1242αα+=+⨯=， 6sin cos αα∴+=， 故选B ．28．（2020•遂宁模拟）已知a 是第二象限角，12sin 13α=，则cos (α= ) A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】A【解析】α是第二象限角，且12sin 13α=， 22125cos 11()1313sin αα∴=----=-．故选A ．29．（2019•西湖区校级模拟）已知sin 1sin cos ααα=--．（1）求tan α的值；（2）求222sin 2sin cos 3sin cos ααααα++的值．【解析】（1）tan 1tan 1αα=--，1tan tan 1tan 2ααα∴=-+⇒=（2）法一：由（1）知：1tan 2α=，∴5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当5sin α=25cos α2225525()2555575253()()+==+当5sin α=，25cos α= 原式2225525(2((555575253()()+⨯⨯==-+-综上：原式57=法二：原式分子分母同除以2cos α得：原式222222222sin 2sin cos sin sin ()2()tan 2tan cos cos cos cos sin 3sin 3tan 13()11cos cos αααααααααααααααα+++===+++ 2211()2522173()12+⨯==⨯+ 30．（2020•杭州模拟）已知角α为第一象限角，且5sin α=． （1）求cos α，tan α的值； （2）求3sin()2cos()cos()2παπαπα--+-的值．【解析】（1）角α为第一象限角，且5sin α= 225cos 1sin αα∴=-=，sin 1tan cos 2ααα==． （2）3sin()2cos()3sin 2cos 223371sin tan cos()22παπαααπααα--++==+=+=-．31．（2020•河南模拟）已知3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f ππαπαααπαπα---=---（1）化简()f α（2）若α是第二象限角，且1cos()23πα+=-，求()f α的值． 【解析】（1）3sin(3)cos(2)sin()sin cos (cos )2()cos cos()sin()cos sin f ππαπαααααααπαπααα----===----．（2）α是第二象限角，且1cos()sin 23παα+=-=-，1sin 3α∴=，α是第二象限角，∴222()cos 1sin f ααα==--．32．（2019•西湖区校级模拟）已知3tan 4α=-，（1）求2sin cos cos ααα-的值；（2）求15sin(4)cos()213sin()sin()2παπαπαπα----+的值． 【解析】（1）3tan 4α=-，所以22222sin cos cos tan 128sin cos cos sin cos tan 125αααααααααα---===-++． （2）3tan 4α=-，所以215sin(4)cos()sin (sin )tan 32tan 13sin cos tan 4sin()sin()2παπααααααααπαπα----====---+． 33．（2019•西湖区校级模拟）（1）已知tan 2θ=，求22sin 2sin cos 3cos 4θθθθ--+的值． （2）已知sin()cos()tan(3)()3cos()2f x πθπθπθπθ-+-=-，求7()3f π-的值．【解析】（1）tan 2θ=， 22sin 2sin cos 3cos 4θθθθ∴--+2222222sin cos 344sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+ 22222252sin cos 52tan 11sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+；（2）sin()cos()tan(3)()3cos()2f πθπθπθθπθ-+-=-sin (cos )(tan )sin sin θθθθθ--==--．∴773()sin()sin()sin 3333f ππππ-=--=--==34．（2019•西湖区校级模拟）已知角α的终边经过点(,4)P m ，且3cos 5α=-，（1）求m 的值；（2）求sin()sin()2cos()sin()παπααπα-++-+-的值． 【解析】（1）角α的终边经过点(,4)P m ，且3cos 5α=-，22354m =-+解得3m =-；（2）由（1）可得4sin 5α=， 34sin()sin()cos sin 552734cos()sin()cos sin 55παπααααπααα---++-===--+-+-+．35．（2019•西湖区校级模拟）已知α为第三象限角．4cos()5πα+=． （1）由tan α的值；（2）求2sin()3sin()2cos()4cos()2ππααπαα-+--++的值． 【解析】（1）α为第三象限角，且4cos()5πα+=，则4cos 5α-=，4cos 5α=-， 则23sin 15cos αα=---，sin 3tan cos 4ααα∴==；（2）32sin()3sin()232sin 3cos 2tan 39243cos 4sin 14tan 4cos()4cos()1424ππαααααπααααα-+-⨯+++====----++-⨯． 36．（2019•西湖区校级模拟）已知4sin 5α=，若α是第二象限角． （1）求cos α的值 （2）求sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπαααπαπα+--=----的值．【解析】（1）4sin 5α=，且α是第二象限角，23cos 15sin αα∴=--=-． （2）sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπαααπαπα+--=----sin cos (tan )3cos tan sin 5αααααα--==-=-．。
高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。
高考数学复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式
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3．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. 解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tan[ π－( π6－α ) ] ＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
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研透高考·深化提能
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋
ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin
α，cos
α的齐次分式如acssiinn
α＋bcos α＋dcos
αα的问题常采
用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
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(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则cos2α－1 sin2α＝(
)
7
25
A.5
B. 7
7
24
C.25
D.25
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[解析] ∵sin α＋cos α＝15，
∴1＋2sin αcos α＝215，
∴2sin αcos α＝－2245，(cos α－sin α)2＝1＋2245＝4295.
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突破点一 同角三角函数的基本关系
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[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R ) ． (2)商数关系： tan α＝csions ααα≠kπ＋π2，k∈Z .
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2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
高考数学复习考点知识讲解课件19 同角三角函数的基本关系及诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础知识夯实 核心考点突破
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考试要求：1.理解同角三角函数的基本关系：sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx；2.借助单 位圆及三角函数的定义推导出诱导公式π2±α，π±α的正弦、余弦、正切.
— 19 —
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“和积转换”解决求值问题 (1)由同角的三角函数关系可知：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＋(sinα－ cosα)2＝2，(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα，因此已知 sinα＋cosα，sinα－cosα， sinαcosα 三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积转换”． (2)求 sinα＋cosα，sinα－cosα 的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围 进行符号的判断．
A．
2 3
B．－
2 3
C．13
D．－13
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[解析] (1)(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34.∵54π<α<32π，∴cosα>sinα，∴ cosα－sinα＝ 23.故选 B．
(2)∵sinθ＋cosθ＝430<θ<π4， ∴1＋2sinθcosθ＝196，2sinθcosθ＝79. ∴sinθ－cosθ＝－ sinθ－cosθ2 ＝－ 1－2sinθcosθ＝－ 32.故选 B．
＝
5
，
得
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同角三角函数基本关系式与诱导公式
【考纲解读】
1．理解同角三角函数的基本关系式：
xxxxxtancossin,1cossin22
．
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导
公式.
【要点梳理】
1.诱导公式
(1)公式一
sin(+k·2)=sin, cos(+k·2)=cos,
tan(+k·2)=tan,其中kZ.
(2)公式二
sin[(21)]k=sin, cos[(21)]k=cos,
tan[(21)]k=tan.
(3)公式三
sin(-)=sin,cos(-)=cos,tan(-)=tan.
(4)公式四
sin(-)=sin, cos(-)=cos,
tan(-)=tan.
口诀:函数名不变,符号看象限
(5) 公式五
sin(2-)=cos,cos(2-)=sin.
(6)公式六
sin(2+)=cos,cos(2+)=sin.
口诀：函数名改变,符号看象限
2.特殊角的三角函数值：06432、、、、
3.同角三角函数的基本关系式:
平方关系：．22sincos1xx；商数关系：sintancosxxx；倒数关系:tancot1xx.
【例题精析】
考点一 同角三角函数的基本关系式
例1. （2012年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则
cosα=________.
1. (2013年高考福建卷理科3)若tan=3，则2sin2cosa的值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为2sin2cosa=22sincoscosa=2tan6,所以选D.
考点二 诱导公式应用
例2. （ 2012年高考全国Ⅰ卷文科1）cos300( )
(A)32 (B)-12 (C)12 (D) 32
2.（2013年高考重庆卷文科6）下列函数中，周期为，且在[,]42上为减函数