立体几何向量法证明共面

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第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

C.P( — 4, 4, 0)D.P(3,— 3, 4)解析逐一验证法，对于选项 A , MP = （1, 4, 1）, ••MfP n = 6— 12 + 6 = 0,.・MP Jn,• ••点P 在平面a 内，同理可验证其他三个点不在平面 a 内. 答案 A4. （2017西安月考）如图，F 是正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱CD的中点.E 是BB 1上一点，若D 1F 丄DE,则有（）A.B 1E= EB第7讲立体几何中的向量方法（一）――证明平行与垂直、选择题 1•若直线I 的方向向量为a = （1 , 0, 2）,平面a 的法向量为n = （— 2, 0,—4）, A.I // aB.l J aC.l? aD.I 与a 相交解析 V n = — 2a,/a 与平面a 的法向量平行，.・.|丄a 答案 B 2若:CD + QE,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析 ••• AB= CD +Q E ,/A B , C D , CE共面. 则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案 D 3.已知平面a 内有一点M （1,—1, 2）,平面a 的一个法向量为则下列点P 中，在平面a 内的是（）2 (6,— 3, 6),A. P(2, 3, 3)B.P(— 2, 0, 1)6aB.B1E = 2EBC.B i E = I E BD.E与B重合解析分别以DA, DC, DD i为X, y, z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2,则D(0, 0, 0), F(0, 1, 0), D i(0, 0, 2),设 E(2, 2, z), D i F = (0, 1,- 2), Dl= (2, 2, Z),・.D1FDI=0X 2 + iX 2— 2z= 0, •'z= i ,「B i E答案 A5.如图所示，在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i中，点M , P,Q分别为棱AB, CD, BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A i M //D i p；③A i M //平面 DCC i D i；④A i M //平面 D i PQB i.以上说法正确的个数为（A.1B.2C.3D.4解析 A i M = AA+A M=A i A+ 2AB, D7P= D i D + DP=A i A+ 2AB,/A1M /DP,所以A i M D i P,由线面平行的判定定理可知，A i M //面DCC i D i,A i M //面D i PQB i.①③④正确.答案 C、填空题6.(20i7武汉调研)已知平面a内的三点A(0, 0, i), B(0, i, 0), C(i, 0, 0),平面p的一个法向量n= （— i,— i,— i）,则不重合的两个平面 a与p的位置关系是解析设平面a的法向量为m=（X, y, z）,由m AB = 0,得 X 0+ y— z= 0? y=z,由m AC = 0,得 X— z= 0? x=z,取 x= 1,.■m= (1, 1, 1), m= —n,/m ll n,^a//p.答案all P7.(2016 青岛模拟)已知A B= (1, 5,— 2), BC= (3, 1, z),若AB丄BC, BP= (x —1, y,— 3),且BP丄平面ABC,则实数x+ y=「3+ 5 — 2z= 0, l3(X— 1)+ y — 3z= 0,解析由条件得｛X— 1 + 5y+ 6= 0, 解得X=4°, y=-15, z= 4,40 15 25 •x+ y= 7 —7 = 7.答案258.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB= (2,— 1,— 4),A D = (4, 2, 0), AP= (— 1, 2, — 1).对于结论：①AP丄AB;②AP丄AD;③AP 是平面ABCD的法向量；④APlI BD.其中正确的序号是解析•••A B A P=0, A D A P=0,••ABIAP, AD lAP,则①②正确.又AB与AD不平行,••AP是平面ABCD的法向量，则③正确.由于 BD = A D—AB= (2, 3, 4), AP= (— 1, 2,— 1),••BD与AP不平行，故④错误.答案①②③ 三、解答题19.如图，四边形 ABCD为正方形，PD丄平面ABCD, PD ll QA, QA=AB = 2PD.证明：平面PQC丄平面DCQ.证明如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线 DA, DP , DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D — xyz则D Q =（1, 1, 0）, DC=（0, 0, 1）, PQ=（1,— 1, 0）. ••• PQ • D Q =0, PQ • DC=0. 即 PQ 丄 DQ , PQ 丄 DC,又 DQ n DC = D ，二 PQ 丄平面 DCQ , 又PQ?平面PQC,.・.平面PQC 丄平面DCQ.10. (2017郑州调研)如图所示，四棱锥P — ABCD 的底面是边长为1的正方形, PA 丄CD, FA= 1, PD =V 2, E 为 PD 上一点，PE= 2ED.(1)求证：PA 丄平面ABCD;(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF //平面AEC?若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由. (1)证明 ••• PA=AD = 1, PD = V 2, ••• PA 2+ AD 2= PD 2,g 卩 PA 丄AD. 又 PA 丄CD , ADn CD = D, ••• PA 丄平面 ABCD.⑵解以A 为原点，AB, AD, AP 所在直线分别为x 轴，y 总p依题意有Q （1, 1,轴,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0, 0, 0), B(1 , 0, 0), C(1, 1, 0), P(0, 0, 1),E ^0 , 3， 3) AC=(1 , 1 , 0),AE — (0 , 2 ,号设平面AEC 的法向量为n — (x , y , z), 则!n 心0,即严汁0,[n A I= 0 ,即+ z — 0，令 y= 1,贝U n= (- 1, 1,— 2).假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF = ?CP （0＜疋1）, 使得 BF //平面 AEC ，贝U BF • n = 0.又••• B F = BC+C F = (0, 1, 0)+(―入一入入)=(—人 1—入 •/ BF • n — + 1 — — 2 — 0，•/ 入-1 , •••存在点F ，使得BF //平面AEC,且F 为PC 的中点.又O 是正方形ABCD 对角线交点, ••M 为线段EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0 , 0 , 1) , F (V 2 , 72 , 1).11.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB= 迈，AF= 1, M 在EF 上，且AM//平面BDE.则M 点的坐标为A.(1 , 1, 1)B. D. W 2 13， u ，解析设AC 与BD 相交于O 点，连接OE,由AM //平面BDE, 且 AM?平面 ACEF,平面 ACEFn 平面 BDE= OE, /AM /EO,由中点坐标公式，知点 M 的坐标f gg, ¥，i ]答案 C 12.（2017成都调研）如图所示，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中, 棱长为a, M , N 分别为A i B 和AC 上的点，A i M = AN^^, 则MN 与平面BB i C i C 的位置关系是（） A.相交 B.平行 C.垂直解析分别以C i B i , C i D i , C i C 所在直线为X, 建立空间直角坐标系，如图，• A i M = AN =老a,…（2 a 、 /2a 2a 、则 M p 3a，3丿，N （J ，E ，弓俪-3,0,3a )又 C i (0，0，0)，D i (0, a ，0),••c7b i = (0, a, 0),.・MiN C i D i = 0,/M N xTb i .••C i D i 是平面BB i C i C 的法向量，且 MN?平面BB i C i C ••MN //平面BB i C i C. 答案 B i3.如图，正方体ABCD — A i B i C i D i 的棱长为i ，E ，F 分别是棱BC, DD i 上的点，如果B i E 丄平面ABF,则CE 与DF 的和的值为 ______________.争— 1/A 解析以D i A i , D i C i , D i D 分别为X, y, z 轴建立空间直角坐标系，设CE = X ，DF = y ，则易知 E(x ，i ，i)，B i (i, i ，0)，F(0, 0, i — y)，B(i, i, i)， ••BE= (X— i, 0, i),-FB= (i, i, y), 由于B i E 丄平面ABF,所以 FB B1E= (1, 1, y) (•- 1, 0, 1)= 0?x+ y= 1.答案1 14.(2014湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD — A1B1C1D1中，E, F,M , N分别是棱AB, AD, A1B1, A1D1的中点，点P, Q分别在棱DD1, BB1 上移动，且DP = BQ= X0< &2).冲,(1)当后1时，证明：直线 BC1//平面EFPQ;(2)是否存在入使平面EFPQ丄平面PQMN ?若存在，求出实数入的值；若不存在，说明理由.(1)证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2, 2, 0), C1(0, 2, 2), E(2, 1, 0), F(1, 0, 0), P(0, 0,入),M(2, 1, 2), N(1, 0, 2), BC1= (—2, 0, 2), F P = (—1, 0,入),F E = (1, 1, 0), M N = (—1,—1, 0), NP= (— 1, 0,入—2).当 A 1 时，FP= (— 1, 0, 1),因为北1 = (— 2, 0, 2),所以紀仟2FP ,即 BC1 // FP.而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直线BC1 //平面EFPQ⑵解设平面EFPQ的一个法向量为n = (x, y, z),!F E - n= 0, 仅+ y= 0,则由i 可得5 于是可取n=(入一入1).占n 0I—X+入缶0.L FP - n= 0,同理可得平面PQMN的一个法向量为m=(入一2, 2—入1). 则m n=(入一2, 2-入 1)(入一入 1) = 0,即 X— 2)- )(2- ?) + 1 = 0,解得后1±22.故存在 =1普，使平面EFPQ丄平面PQMN.。

高中数学《立体几何中的向量方法(一)》课件

抓住3个考点
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⇔_v_∥__u_.
③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔_u_1⊥__u__2
⇔u__1·_u_2＝__0__＝0.
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3．点面距的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，
n
为平面
α
的法向量，则 →
B
到平面
α
|AB·n|
的距离 d＝___|n_|___.
→→ 故 cos〈B→E，C→D〉＝|BB→EE|·|CC→DD|＝
3 2 12＋h2× 5
＝ 10＋3 20h2，
所以
10＋3 20h2＝cos
30°＝
3， 2
解得
h＝
1100，即
AE＝
10 10 .
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用向量法解答这类题要做到以下几点： ①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线，如果图中没有现成的，就需进行垂直转化；②求点的坐标及有关计算要准确无误，这就需要在平时加强训练；③步骤书写要规范有序．
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解取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC，又∵BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，建立空间直角坐标系 O－xyz，则 B(0,2 3，0)，C(－ 2，0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)，N(0， 3， 2)． ∴C→M＝(3， 3，0)，M→N＝(－1,0， 2)，M→B＝(－1， 3，0)．

精品导学案：空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法

精品导学案：§3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB ＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC →= 0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE是平面A 1D 1F 的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE 是平面A 1D 1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12. .D 1＝(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)． 1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1,0,0)． ∵AE ·1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－12＝0， AE ·A 1D 1→＝0，∴AE ⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴ AE 是平面A 1D 1F 的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明方法一 ∵1B C =1A D ，∴ B 1A D ∉∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥面ODC 1.方法二 ∵1B C =11B C +1B B=1B O +1OC +1D O +OD =1OC +OD .∴1B C ，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C ＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， 1OC ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C ⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1.【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.求证：AE ∥平面DCF.证明如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE ＝(0，b,0)，所以CB ·AE →= 0，CB ·BE = 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB ⊥平面ABE.因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF.故AE ∥平面DCF.知识点三利用向量方法证明垂直关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M （2，2，m ），则EF =（-1，1，0），B 1E →=（0， -1， -2）， 1D M =（2，2，m -2）.∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ， ∴1D M ·EF = 0且1D M ·B 1E →= 0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩∴m ＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.证明建立空间直角坐标系C 1—xyz ，设AB ＝a ，CC 1＝b. 则A 1⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b ， C 1(0,0,0)．于是1A B =⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b 1B C =（0，- a ，b ），1AC ＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a2，－b .∵B 1C ⊥A 1B ，∴ 1B C ·1A B ＝－a 22＋b 2＝0,而1A C ·1A B ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2＝0∴ 1A C ⊥1A B 即AC 1⊥A 1B.课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(4)根据法向量定义建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0b·n ＝0. (5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB ＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．一、选择题1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB 按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0) D ．(－2，－2,0) 答案 BAB ＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定答案 C解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31) 答案 B解析，设B （x ，y ，z ），AB =（x -2，y+1，z -7）=λ（8，9，- 12），λ>0.故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，又（x -22+（y+12+（z -72 = 342，得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.∴x = 18,y = 17,z =-17, 即B （18，17，- 17）.4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则有23＝4x ＝5y ，解方程得x ＝6，y ＝152. 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ． D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵u ＝－2a ， ∴a ∥u ，∴l ⊥α.二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23，23或⎝⎛⎭⎫－13，－23，－23 解析，AB =（1，2，2），|AB | = 3 . 模为1的方向向量是±||ABAB , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案 (1,4，－5)(答案不唯一)解析设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为n 1，n 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，则有n ＝(1,4，－5)．三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)， C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC =（0，2，1），DA =（2，0，0），AE =（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量, 则n 1 ⊥ DA， n 1⊥AE，即 1,11·2·2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩11n n 得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩ 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.（2）∵11C B =（2，0，0），设n 2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量. 由n 2⊥FC 1→,n 2⊥11C B ,得21222112·20,·20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩得得2220,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F. 10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AP ＝BQ ＝b (0<b<1)，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(3)若b ＝12，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值．解以D 为原点，射线DA 、DC 、DD ′分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D —xyz ，由已知得DF ＝1－b ，故A(1,0,0)，A ′(1,0,1)，D(0,0,0)，D ′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．(1)，证明在所建立的坐标系中,可得PQ = (0,1,0),PF = ( -b , 0, -b),PH = (b -1,0,1 -b),'AD = ( -1,0,1),AD = ( -1,0, -1), 因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PF= 0，所以'AD 是平面PQEF 的法向量. 因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PH =0，所以'AD 是平面PQGH 的法向量.所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直.(2)证明，因为EF = (0, -1,0),所以EF ∥PQ , |EF | = |PQ |,又PF ⊥PQ ,所以四边形PQEF 为矩形, 同理四边形PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得|PH | = (1-b), |PF | = b,所以|PH | + |PF |,又|PQ | = 1,所以截面PQEF 和截面PQGH 是定值. (3)解由(1)知'AD ＝(－1,0,1)是平面PQEF 的法向量．由P 为AA ′的中点可知，Q 、E 、F 分别为BB ′、BC 、AD 的中点．所以E （12，1，0,），'D E ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，因此D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos 〈AD ′→,'D E > ＝22.。

2020年高考数学(理)二轮专题学与练 13 立体几何中的向量方法(考点解读)(原卷版)

专题13 立体几何中的向量方法空间向量及其应用一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行→线面垂直与平行→面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主．1．共线向量与共面向量(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .2．两个向量的数量积向量a 、b 的数量积：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．向量的数量积满足如下运算律： ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一有序实数组{x ，y ，z }，使p ＝xa ＋yb ＋zc .推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.4．空间向量平行与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 5．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23.(2)距离公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 |AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(3)平面的法向量如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α. 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量． 6．空间角的类型与范围 (1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.7．用向量求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线l 1、l 2的方向向量分别为a 、b ，平面α、β的法向量分别为n 、m . ①异面直线l 1与l 2所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |.②直线l 1与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|a ·n ||a ||n |.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |. (2)求空间距离①直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离．点P 到平面α的距离：d ＝|PM →·n ||n |(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点)．②设n 与异面直线a ，b 都垂直，A 是直线a 上任一点，B 是直线B 上任一点，则异面直线a 、b 的距离d ＝|AB →·n ||n |.高频考点一向量法证明平行与垂直1．(2019·高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC ＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．【举一反三】如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面P AD；(3)平面PCD⊥平面P AD.【变式探究】如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.【方法规律】利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．【变式探究】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD . 高频考点二、向量法求空间角例2、(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B EC C 1的正弦值．【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE∥平面P AB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．【方法技巧】(1)利用空间向量求空间角的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系．②求出相关点的坐标，写出相交向量的坐标．③结合公式进行论证、计算．④转化为几何结论．【变式探究】(2017·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．高频考点三探索性问题要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由，这类问题常用“肯定顺推”的方法．例 3、如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝6.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D 的余弦值为14.【举一反三】如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【方法技巧】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．【变式探究】如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 的线段AA 1上．(1)当AE EA 1＝12时，求证：DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D BE A 等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B EC C 1的正弦值．2. (2019·高考天津卷)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E BD F 的余弦值为13，求线段CF 的长．3．(2019·高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．1. (2018年浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．(Ⅱ)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．2. (2018年天津卷)如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.3. (2018年北京卷)如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．(Ⅱ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值；(Ⅱ)证明：直线FG与平面BCD相交．4. (2018年江苏卷)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．5. (2018年江苏卷)在平行六面体中，．求证：(1)；(2)6. (2018年全国I卷理数)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．7. (2018年全国Ⅱ卷理数)如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．(1)证明：平面平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．8. (2018年全国Ⅱ卷理数)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．。

高中数学必修二立体几何角的问题-学生版(含几何法和向量法)

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010例2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（） A.3 B.22 C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

立体几何中的向量方法：平行与垂直讲解

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点·难点·疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量.2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量.(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.(2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法:设法向量(),,,z y x u =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,00n b n a 得⎩⎨⎧=++=++,00321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=⇔⇔ 即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线．线线垂直：;0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直．线面平行：;0//=⋅⇔⊥⇔u a u a l α 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=⇔⇔⊥α即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．面面平行：;,////R k v k u v u ∈=⇔⇔βα 即：两平面平行⇔两平面的法向量共线．面面垂直：.0=⋅⇔⊥⇔⊥v u v u βα即：两平面垂直两平面的法向量垂直．问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示1. 设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则线线平行：().,,////212121R k kc c kb b ka a b k a b a m l ∈===⇔=⇔⇔2. 设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =，线面平行：.00//212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔c c b b a a u a u a l α3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==，面面平行：().,,,////212121R k kc c kb b ka a v k u v u ∈===⇔=⇔⇔βα问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示1.设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则线线垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a b a b a m l2.设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =，线面垂直：().,,,//212121R k kc c kb b ka a u k a u a l ∈===⇔=⇔⇔⊥α3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==，面面垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a v u v u βα【点拨思维·方法技巧】一．求平面的法向量例1已知平面α经过三点()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，试求平面α的一个法向量．【思维分析】先求出,,AC AB ，设出平面α的法向量为()z y x u ,,=，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题. [解析]()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，()(),3,4,2,4,2,1-=--=∴AC AB ，设平面α的法向量为()z y x u ,,=，依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC u ABu即⎩⎨⎧=--=--0342042z y x z y x ，解得⎩⎨⎧==02z y x .令2,1==x y 则.∴平面α的一个法向量为()0,1,2=u ．【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可．变式训练１．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是DCBB ,1AEF D A 11的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1,0,21,1,1,0,0,1AE E A ,图3-2-1()(),01,1,0,21,0,01,011=⎪⎭⎫⎝⎛=A F D()0,0,1,1,21,0111-=⎪⎭⎫⎝⎛-=D A F D ．0,02121111=⋅=-=⋅D A AE F D AE ，111,D A AE F D AE ⊥⊥ , 又1111D D A F D = ，⊥∴AE 平面FD A 11AE ∴是平面F D A 11的法向量.．二.证明平行问题例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：C B 1∥平面1ODC . 【思维分析】在平面内找与向量C B 1平行的向量D A 1，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.也可建立空间直角坐标系，求C B 1的方向向量和平面1ODC 的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.证明方法一1B C =1A D ，又D A B 11∉,D A C B 11//∴,又⊂D A 1平面1ODC ， C B 1∴∥平面1ODC .方法二建系如图，设正方体的棱长为1，则可得()()()1,1,0,1,21,21,0,1,0,1,1,111C O C B ⎪⎭⎫⎝⎛，图3-2-2()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--=0,21,21,1,21,21,1,0,111OC OD C B .设平面1ODC 的法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001OC n OD n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=---0212102121y x z y x ，令1=x ，得1,1-==z y ，()1,1,1-=n ．()()01110111=-⨯-+⨯+⨯-=⋅∴n C B ， n C B ⊥∴1，C B 1∴∥平面1ODC .【评析】向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．变式训练2．已知正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别在C D DB 1,上，且a F D DE 321==，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面C C BB 11. 证明如图所示，建立空间直角坐标系xyz D -，则,32,3,0,0,3,3⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a F a a E 故⎪⎭⎫⎝⎛--=3,0,32a a EF ，又()0,,0a AB =显然为平面C C BB 11的一个法向量，而()03,0,320,,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⋅a aa EF AB ，图3-2-3∴AE ⊥EF .又∉E 平面C C BB 11，因此EF ∥平面C C BB 11. 三.证明垂直问题例3.已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 上的动点．（1）求证：BD E A ⊥1；（2）若平面⊥BD A 1平面EBD ，试确定点E 的位置．【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1），110A E BD A E BD =⇒⊥；对于（2），利用已知条件平面⊥BD A 1平面EBD ，通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E 的位置；取BD 的中点O ，易证OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，利用向量数量积证明10AO EO =即可．[解析]以1,,DD DC DA 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a ．（1）()()()()()a a C a a A a C a a B a A ,,0,,0,,0,,0,0,,,0,0,11，设()m a E ,,0，则()()0,,,,,1a a BD a m a a E A --=--=，22100A E BD a a =-+=，所以BD E A ⊥1，即BD E A ⊥1．（2）法一：设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭⎫⎝⎛0,2,2a a O ，所以()0,,,,2,2a a BD m a a OE --=⎪⎭⎫⎝⎛-=，因为BCE ∆≌DCE ∆,所以EB ED =，所以BD OE ⊥,图3-2-4又⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，因为平面⊥BD A 1平面EBD ，所以21π=∠OE A ，所以10OA OE =，即2,04422a m am a a =∴=+--．故当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ．法二：E 为1CC 的中点，证明如下：由E 为1CC 的中点得⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,0a a E ，设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭⎫⎝⎛0,2,2a a O ，所以()0,,,2,2,2a a BD a a a OE --=⎪⎭⎫⎝⎛-=，则0O EB D =，BD OE ⊥，即BD OE ⊥．又⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，因为22210442a a a OA OE =--+=，所以OE OA ⊥1，故OE OA ⊥1,即21π=∠OE A ，所以平面⊥BD A 1平面EBD ．所以当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ．【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体几何问题或结论．变式训练3．在正棱锥ABC P -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB ∆的重心，F E ,分别为PB BC ,上的点，且2:1::==FB PF EC BE . 求证：平面GEF ⊥平面PBC . 证明 (1)方法一如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点P 为原点，建立空间直角坐标系．令3===PC PB PA ，则()()()()1,2,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3E C B A , ()()()0,0,0,0,1,1,0,1,0P G F ．()()0,0,1,0,0,3==∴FG PA ， FG PA FG PA //,3∴=∴ .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又⊂FG 平面GEF ，∴平面GEF ⊥平面PBC . 方法二 :同方法一，建立空间直角坐标系，则()()()0,1,1,0,1,0,1,2,0G F E ,()(),1,1,1,1,1,0--=--=EG EF设平面GEF 的法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EG n EF n ，得0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩，令1=y ，得0,1=-=x z ，()1,1,0-=n ．而显然()0,0,3=PA 是平面PBC 的一个法向量. 又PA n PA n ⊥∴=⋅,0，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量互相垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC . 【课后习题答案】练习（第104页）1.(1)答案：平行.提示：()()a b 32,1,236,3,6=--=--=.（2）答案：垂直.提示：()()()()02232212,3,22,2,1=⨯-+⨯+-⨯=-⋅-=⋅b a ,b a ⊥. （3）答案：平行.提示：()()a b 31,0,033,0,0-=-=-=.图3-2-52.提示：（1）.,,0βα⊥∴⊥∴=⋅v u v u （2）.//,//βα∴v u （3）u 与v 不垂直，也不平行，α∴与β相交.【自主探究提升】夯实基础1.已知()(),5,6,2,,3,8b n a m ==若m ∥n ，则b a +的值为( ) A.0 B.25 C.221 D.8答案:C . 提示：m ∥n ,()(),5,6,2,3,8b k a =∴即ka k bk 5,63,28===21=∴k 故8,25==b a ,221825=+=+b a .2. 已知()(),2,2,,2,5,1+=-=a a n m 若⊥m n ，则a 的值为( ) A.0B.6C.-6D.±6答案:B. 提示： ⊥m n ,()022251=+⨯-⨯+⨯∴m m ,6=∴m .3．平面α的一个法向量为()0,2,1，平面β的一个法向量为()0,1,2-，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定答案: C.提示： ()()00,1,20,2,1=-⋅ ， ∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．4．已知()()y x b a ,,3,5,4,2==分别是直线21,l l 的方向向量，若1l ∥2l ，则( ) A ．15,6==y x B ．215,3==y xC ．15,3==y xD ．215,6==y x答案:D提示：1l ∥2l ，b a //∴，则有yx 5432==，解方程得215,6==y x .5. 在正三棱柱111C B A ABC -中，B A C B 11⊥. 求证：B A AC 11⊥.证明: 建立空间直角坐标系xyz C -1，设b CC a AB ==1,，则()(),0,,0,,,0,0,2,23,,2,2311a B b a B a a A b a a A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛()()0,0,0,,0,01C b C ， ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴b aa ACb a C B b a a B A ,2,23,,,0,,2,23111. B A C B 11⊥ ，022211=+-=⋅∴b a B A C B ,而022211=-=⋅b a B A AC , B A AC 11⊥∴,即B A AC 11⊥.拓展延伸6．下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g答案：D. 提示：2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒而零向量与任何向量都平行.7．若直线l 的方向向量为()2,0,1=a ，平面α的法向量为()4,0,2--=u ，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．α⊂lD ．l 与α斜交图3-2-6答案： B. 提示：()()a u 22,0,124,0,2-=-=--= ，a u //∴，l ∴⊥α.8．已知()()1,3,2,1,1,1B A -，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．答案:⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32,31,32,32,31 . 提示：()3,2,2,1==AB AB , 直线AB 的模为1的方向向量是()2,2,131±=±AB AB. 9．已知平面α经过点()0,0,0O ，且()1,1,1=u 是α的法向量，()z y x N ,,是平面α内任意一点，则z y x ,,满足的关系式是________________．答案: 0=++z y x . 提示：由题意()()0,,1,1,1=⋅=⋅z y x ON u ，即0=++z y x .10．若直线b a ,是两条异面直线，它们的方向向量分别是()1,1,1和()2,3,2--，则直线b a ,的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案:()5,4,1- (答案不唯一).提示：设直线b a ,的公垂线的一个方向向量为()z y x u ,,=，b a ,的方向向量分别为b a ,，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00b u a u ,即⎩⎨⎧=--=++02320z y x z y x , 令1=x ，得5,4-==z y ，()5,4,1-=∴u .11．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________.答案:2:3:(4)-. 提示： 77(1,3,),(2,1,),0,0,44AB AC AB AC αα=--=---== 2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y ⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩12.若非零向量()(),,,,,,222111z y x b z y x a ==则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.C.充要条件D.不充分不必要条件答案:A.212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.13.如图3-2-7(a)所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，090=∠=∠CEF BCF ，2,3==EF AD .求证：AE ∥平面DCF.证明: 如图3-2-7（b ）所示，以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz C -.设c CF b BE a AB ===,,，则()()()0,0,3,,0,3,0,0,0B a A C ， ()()0,,0,0,,3c F b E , ()()(),0,,0,0,0,3,,,0b BE CB a b AE ==-=∴0,0=⋅=⋅∴BE CB AE CB ，BE CB AE CB ⊥⊥∴,.⊥∴CB 平面ABE ，又⊥CB 平面DCF ，∴平面ABE ∥平面DCF ，故AE ∥平面DCF .14. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一图3-2-7（a ） (b)点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .解析：建立空间直角坐标系x y z D -，设正方体的棱长为2，则()()()()2,2,2,2,0,0,0,2,1,0,1,211B D F E ．设()m M ,2,2，则()()()2,2,2,2,1,0,0,1,111-=---=-=m M D E B EF , ∵M D 1⊥平面1EFB∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥E B1,0,0111=⋅=⋅∴E B M D EF MD于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩()1,2,2,1M m ∴=∴,即M 为棱1BB 的中点.图3-2-8。

立体几何常见结论

立体几何常见结论1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（3）。

证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2。

空间直线。

(1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线:共面没有公共点;异面直线：不同在任一平面内,无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等。

（×)（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

(不在任何一个平面内的两条直线）（2). 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）。

(直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离:公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面）垂直和异面垂直.[注］：21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内。

高中数学第43讲立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明配套课件理新人教B版

[答案] (1) × (2)√
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第43讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直
的证明

双向
[解析] (1)只要是与直线平行的非零向量都是直线的方向
固基础
向量． (2)∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，l1∥l2.
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第43讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直
的证明

双向
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第43讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
双向
固
基础
1．直线的方向向量
l 是空间一直线• —，—A，知B 是识直梳线理l —上—任意两点，则称A→B
• 为直一线、直l 的线的方方向向向向量量，与与平A面→B的_平_法_行向_的_量任__的意_非确_零_定_向_量__________也是
方法二：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C＝12(D→1A1－D→1D)
3.利用空间向量解决探索性问题
解答(2)
2012年福建T18(B)， 2012年北京T16(B)
• • • 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2012年
课标地区真题卷情况．
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第43讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
点• ► 探例究1点一[2012利·福用州空二间模向] 量如证图明7－平4行3－问1题，在正方体 ABCD
固基
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1
础与l2重合) ⇒__v_1_∥__v_2_．
2．设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共
线向量 v1 和 v2 ，则 l∥α 或 l⊂α⇒ 存在两个实数 x ， y ，使 _v_＝__x_v_1_＋_y_v_2______．

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立体几何向量法证明共面
立体几何向量法证明共面
一、引言
在立体几何中，共面是一个非常重要的概念。

在实际问题中，很多时候需要判断一些点或者直线是否共面。

其中，向量法是一种比较常用的方法。

本文将通过向量法来证明三个点是否共面。

二、基本概念
1. 向量：表示大小和方向的物理量，通常用箭头表示。

2. 向量加法：将两个向量首尾相接，并且按照顺序进行连接，得到一个新的向量。

3. 向量数乘：将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的向量。

4. 向量内积：两个同维度的向量进行内积运算时，得到一个标量。

5. 三维坐标系：通常用笛卡尔坐标系来表示三维空间中的点和直线。

三、立体几何中的共面问题
在立体几何中，如果有三个点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)，那么如何判断它们是否共面呢？下面就是通过向量法来证明这一问题。

四、立体几何中的向量法证明
1. 建立坐标系
首先，在三维空间中建立一个直角坐标系，可以将点A、B、C分别表示为向量a、b、c，如下图所示。

2. 求出两个向量
接着，我们可以求出向量AB和AC。

向量AB可以表示为b-a，向量AC可以表示为c-a，如下图所示。

3. 求出向量积
然后，我们可以求出向量AB和AC的向量积n。

n的大小等于以AB
和AC为邻边所构成的平行四边形的面积，n的方向垂直于AB和AC
所在平面并且按右手法则确定。

公式如下：
n= AB × AC
其中，“×”表示叉乘运算符。

4. 判断共面
最后，我们只需要判断点A、B、C是否共面即可。

如果n=0，则说明三个点共面；如果n≠0，则说明三个点不共面。

五、实例分析
下面通过一个实例来演示如何使用立体几何中的向量法来证明三个点
是否共面。

假设有三个点A(1,2,3)、B(4,5,6)和C(7,8,9)，那么如何判断它们是否
共面呢？
首先，在三维空间中建立一个直角坐标系，并将点A、B、C分别表示为向量a=(1,2,3)、b=(4,5,6)、c=(7,8,9)，如下图所示。

接着，我们可以求出向量AB和AC。

向量AB可以表示为b-a=(3,3,3)，向量AC可以表示为c-a=(6,6,6)，如下图所示。

然后，我们可以求出向量AB和AC的向量积n。

n的大小等于以AB 和AC为邻边所构成的平行四边形的面积，n的方向垂直于AB和AC 所在平面并且按右手法则确定。

公式如下：
n= AB × AC
= (3,3,3) × (6,6,6)
= (-18, 36,-18)
最后，我们只需要判断点A、B、C是否共面即可。