斜面上的平抛运动分类例析

斜面上的平抛运动分类例析

◆ 河南 任付中

一、物体从空中某点水平抛出落在斜面上

例1．将一个小球以速度v 0水平抛出,要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与水平方向的夹角为θ，那么，下列说法中正确的是( )

A ．若保持水平速度v 0不变，斜面与水平方向的夹角θ越大，小球的飞行时间越

B ．若保持水平速度v 0不变，斜面与水平方向的夹角θ越大，小球的飞行时间越短

C ．若保持斜面倾角θ不变，水平速度v 0越大，小球的飞行时间越长

D ．若保持斜面倾角θ不变，水平速度v 0越大，小球的飞行时间越短

解析 将小球垂直打到斜面上的速度v 沿水平和竖直分解，如图1所示，由几何知识知，v 和竖直方向的夹角也为θ，由平抛运动的规律得 gt

v v v y x 0tan ==θ 解得：θ

tan 0g v t = 由上式不难看出，若保持v 0不变，θ越大，小球的飞行时间越短；若保持θ不变，v 0越大，小球的飞行时间越长．所以，本题答案应选BC ． 点评：“小球的末速度v 垂直于斜面”是本题的关键条件，由于本题没有涉及到高度或距离，因此，应想到利用速度和时间的关系式而不用位移和时间的关系式，进而想到应分解速度不分解位移，画好分解图就可看到，θ角架起了速度分解图和斜面相联系的桥梁． 例2．斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，如图2所示，ab ＝bc ＝

cd ，从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜

面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，

则它落在斜面上的( )

A ．b 与c 之间某一点

B ．c 点

C ．c 与d 之间某一点

D ．d 点

解析 本题可采用假设法：假设斜面是一层很薄的纸，小球落上就可穿透且不损失能量，过b 点作水平线交Oa 于a'，由于小球从O 点以速度v 水平抛出时，落在斜面上b 点，则小球从O 点以速度2v 水平抛出，穿透斜面后应落在水平线a' b 延长线上的c'点，如图3所示，因ab ＝bc ，则a ' b ＝bc '，即c'点在c 点的正下方．显然．其轨迹交于斜面上b 与c 之间．所以，本题答案应选A ．

点评 本题部分同学认为平抛的初速度由v 增加到2v ，则水平位移也将变成原来的2倍，则它恰落在斜面上的c 点．该错误是由于没有准确把握平抛运动的规律所造成的，只有落在同一水平线上时，水平位移才与速度成正比．本题若沿斜面比较位移又较烦琐，而变换思考角度，灵活应用假设法和画图法省去了烦琐的计算，使解题过程简洁明快，达到事半功倍的效果．

二、物体从斜面上某点水平抛出又落回斜面上

图1

图3

O 图2

例3 如图4所示，从倾角为θ的斜面上A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点时所用的时间为( )

A ．g v θsin 20

B ．g tg v θ02

C ．g v 2sin 0θ

D ．g tg v 20θ 解析 设小球从抛出至落到斜面上所用时间为t ，其水平位移和竖直

位移分别为x ，y ，如图4所示，由平抛运动的规律得 t v x 0= ①

22

1gt y = ② 由几何关系知 x y =

θtan ③ 由①②③式得 g

tg v t θ02= 所以，本题答案应选B ．

点评：本题由于小球运动的起点和终点都在斜面上，即水平位移和竖直位移的关系与斜面的倾角有关．因此，应利用位移和时间的关系式而不用速度和时间的关系式，再利用θ角的桥梁作用，将位移分解图和斜面联系起来，从而使问题得以解决．

例4. 从倾角为θ的足够长的斜面上A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出，第一次初速度为v 1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度v 2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，若v 2＞v 1，则α1、α2的大小关系为( )

A ．α1＞α2

B ．α1＜α2

C ．α1＝α2

D ．无法确定

解析 设将小球以初速度v 0水平抛出时，经时间t 落在斜面上的速度为v ，其方向与斜面间的夹角为α，将这一速度v 沿水平和竖直分解，如图5所

示，由几何知识知，v 和水平方向的夹角为θα+，则 0

)tan(v gt v v x y ==+θα ① 设物体落在斜面上时，其水平位移和竖直位移分别为x ，

y ，则有

水平方向：t v x 0= ② 竖直方向：22

1gt y =

③ 由几何关系知x

y =θtan ④ 由②③④式得：02tan v gt =θ⑤ 比较①⑤两式得：θθαtan 2)tan(=+

显然，α只由斜面倾角θ决定，而与抛出的初速度无关，即，以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的．所以，本题答案应选C ．

图4

图5

点评：本题既用到了速度和时间的关系式又用到了位移和时间的关系式，因而既需要分解速度又需要分解位移，全面考察了平抛运动的规律．本题的解题过程告诉我们，当涉及到两种情况的比较时，我们可以只研究其中一种情况，从中得出要比较的物理量是由哪些因素决定的，而这些因素往往分布在两种情况之中，找出相同因素（如本题中斜面倾角θ）的和不同因素（初速度v2＞v1），从而使问题得以解决，这是解决物“比较”问题的一般方法．