全国初中数学竞赛试题及答案(2014年)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，错误！未找到引用源。则x y +的可能的值有（ C ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ） A ．

47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，

则错误

！

未

找

到

引

用

源

。

＝

（ B ）

A B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）

A ．

12 B ．25 C ．23 D ．34

5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足3

3118x x +

=，则1

{}{}x x

+= （ D ）

A ．12

B ．3

C ．1

(32

D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。，1AC =，D 在BC 上，

E 在AB 上，使得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为

（ A ）

A ．4-

B ．2

C ．1

1)2

D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，111

1a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则abc =__0__．

2．使得不等式

981715

n n k <<+错误！未找到引用源。对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ．

3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠=

48︒

．

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = 36 ．

第二试 （A ）

一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求22

11

a b +的值．

解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.

设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分

若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以

2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．

证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分

又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以

ED CD AB

DF AF AF

==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故

DFE AFB ∠=∠. ……………………25分

三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3

3

3

3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.

解 取1x =，0y z ==，可得333

11003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .

取2x y ==，1z =，可得333

52213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分

F

B

D

为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则

33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++

2221

()()2x y z x y z xy yz zx =

++++--- 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 222

1()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①

……………………10分

不妨设x y z ≥≥，

如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .

因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到

3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，

即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分

第二试 （B ）

一．（本题满分20分）同（A ）卷第一题.

二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .

解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得

NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分

又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分

延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==. ……………………15分 N