(浙江版)2018年高考数学复习： 专题4.7 解三角形及其应用举例(讲)
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(11大核心考点)-2024年高考数学二轮复习讲练测
5．（2021•浙江）在中，∠ = °， = ，是的中点， = ，则 = ；
∠ = ．
6．（2022•甲卷）已知中，点在边上，∠ = °， = ， = ．当 取得最小值时，
，得 = 2或 =
∈ 0, ，得sin = 1
7
− 2（舍），
− cos 2
2
2
15
4
=
=
2sin⋅cos
3 15
．
4
3
3
= sin，所以 = 6cos．
在 △ 中，再由余弦定理得 cos =
所以 6 =
15
，
4
所以△ 的面积 = 1 sin = 1 × 3 × 2 ×
2
=
3
= 0, ∴ ∠ = ， =
2
2
3
7
1+4−2
7
，解得AD为
9
1
+
16
3
2
− )=
=
3
，cos∠
3
129
12
4
3 3
，sin∠ =
，
43
43
3
1
, sin∠ = ，
2
2
7 3
+ ∠) = 2 43，
cos∠ = −cos∠ = −
cos∠ = cos(
（2）在△ 中，由正弦定理得sin = sin ⇒ sin2 = sin ⇒
16+2 −9
2×4×
，解得 = 21．
2 + 2 − 2
2⋅
数学-解三角形大题解析版
解三角形大题(1)证明：sinsin BD ABDC ACαβ⋅=⋅；(2)若D为靠近B的三等分点，在ABC 中，由余弦定理得：2222b a c =+-a b c h AE +=+≥ ，即(c h +41123h c ∴<+≤1413tan2C ∴<≤，3tan 42C ∴≤222sincos 2tan22sin sin cos 1tan 22C C C C C ==++设tan2C t =，3,14t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1t t +1252,12t t ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，即1tan tan 2C +24sin 125C ∴≤<9．在ABC 中，3,AB AC ==(1)若3BC =，求CD 与AD ；因为AD 平分BAC ∠，所以因此32BD CD =，又3BC =，所以在ABC 中，3,AB BC AC ==在ACD 中，由余弦定理可得（2）如下图所示：因为AD 平分BAC ∠，DAC ∠所以60,120B C θθ=︒-=︒-()()sin 120sin 60AB ACθθ=︒-︒-展开并整理得333cos sin 22θ-10．ABC 中，,D E 是边BC (1)若3BC =，求ABC 面积的最大值；则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，则2222(3)3x y x y -+=⨯+，整理得到：即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭圆心，故ABC 的BC 边上的高的最大值为在APC △中，由正弦定理可得故133cos 22α⎛- ⎝因为α为锐角，故故P 存在且sin ABP ∠法二：如图，设∠同理30PCA ∠=︒-而3sin sin CPAPC α=∠在PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：4cos =所以24cos 4sin α+整理得到：38tan =但α为锐角，故tan 故P 存在且sin ABP ∠11．在ABC 中，内角（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠【答案】（1）5sin 5C =；（2）tan DAC ∠【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠(sin ADC =∠在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos ,sin 5ADE ∠=∠在Rt ADE △中，5,sin 3AE AD DE ADE ===∠由（1）知5sin 5C =，所以在Rt CDG △中，11515AG AC CG =-=．［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为设BDC α∠=，则(5cos B 从而2(05cos )AB α=-+cos sin 1cos ADB α∠==-（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，225(22)2522=+-⨯⨯［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．19．在锐角△ABC 中，角（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 【答案】（I ）3B π=；（II ）【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角(1)求cos C及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．【答案】(1)1cos4C=，BC(2)3158【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出（2）求出15sin4C=，即可求出【详解】（1）由题意在ABC【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用25．ABC中，sin2A－sin（1）求A；（2）若BC=3，求ABC【答案】（1）23π；（2）3【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出（2）方法一：利用余弦定理可得到而2b ac =，即sin sin ADB ∠=故有ADB ABC ∠=∠，从而∠由2b ac =，即b c a b =，即CA CB 故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos c a b ABC +-==∠由2AD DC =，得,3c DE EC =在BED 中，2(3cos BED =∠在ABC 中2cos 2a BC c A +=∠因为cos cos ABC BED ∠=-∠所以22222()(332223a c a c b a ac ++-=-⋅由（1）知，3BD b AC ===设()(),33B x y x -<<，则2x 由2b ac =知，BA BC AC ⋅=即222(2)(1)x y x y ++⋅-+联立⑤⑥解得74x =-或72x =代入⑥式得36||,2a BC c ==由余弦定理得cos a ABC ∠=则11sin 122ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得35．记ABC 的内角,,A B C (1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c--=+，求【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出【详解】（1）因为22a b =+37．如图，在锐角ABC 中，角(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段【答案】(1)934(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出（2）根据2AD DB =得到13CD CA = 求出222222442||1⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a b ab a CD a b ab b a 角形，得到311,32⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭b m t a ，从而利用基本不等式，求出线段【详解】（1）由余弦定理得：cos 60︒所以222212992+-⋅=⇒=+a b ab a b ∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时取“=”∴1393sin 244==≤△ABC S ab C ab ，∴ABC 面积的最大值为934.（2）由2AD DB =，可得：23AD AB =(1)求角A ；(2)若D 为线段BC 延长线上一点，且∠【答案】(1)3A π=(2)963--【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos B C A A B A C +--即sin cos cos sin sin cos cos B A B A C A -+-故()()sin sin 0B A C A -+-=，则有sin 又()(),,,B A C A ππππ-∈--∈-，故有。
专题08 解三角形(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题08解三角形考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：正余弦定理综合应用2023年天津高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年北京高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2022年新高考天津数学高考真题高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．考点2：实际应用2024年上海夏季高考数学真题2022年新高考浙江数学高考真题考点3：角平分线、中线、高问题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题考点4：解三角形范围与最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：周长与面积问题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题考点6：解三角形中的几何应用2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：正余弦定理综合应用1．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知39,2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．【解析】（1）由正弦定理可得，sin sin a b A B =392sin120sin B = ，解得：13sin 13B =（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．（3）由正弦定理可得，sin sin a c A C =395sin120sin C =，解得：513sin 26C =，而120A =o，所以,B C 都为锐角，因此2539cos 15226C =-，139cos 11313B =-，()133********sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+【解析】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．3．（2023年北京高考数学真题）在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A ．10πB ．5πC ．310πD ．25π【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．23913B ．3913C ．72D ．31313【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则7sin sin A C +=.故选：C.6．（2024年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 11616B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =7sin 4A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则237sin 144A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知57sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以273cos 144A ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 116B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯=7．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知16,2,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.【解析】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以215sin 1cos 4A A =-sin sin a b AB =，所以152sin 104sin 46b AB a==（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又215sin 1cos A A =-所以11515sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin 104B =26cos 1sin 4B B =-，故15671010sin(2)sin 2cos cos 2sin 84848A B A B A B ⎛-=-=-+= ⎝⎭．考点2：实际应用8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)【答案】7.8︒【解析】设,90BCA ACD θθ∠=∠=- ，在DCA △中，由正弦定理得sin sin CA CDD CAD=∠，即()sin 37.0sin 1809037.0CACD θ-=⎡⎤-+⎣⎦’即()sin 37.0sin 9037.0CACDθ=-+①在BCA V 中，由正弦定理得sin sin CA CBB CAB=∠，即()sin16.5sin 18016.5CACB θ=⎡⎤+⎦-⎣，即()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+ ，②因为CD CB =，②①得()()sin 9037.0sin 37.0sin16.5sin 16.5θθ-+=+，利用计算器即可得7.8θ≈ ，故答案为：7.8 .9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =．234【解析】因为222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以242312342442S ⎡⎤+-⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯234考点3：角平分线、中线、高问题10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【解析】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，3310sin 1010A ∴==（2）由（1）知，10cos 1010A =，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin ()210105A C A C =+==由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255521022b =，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 210610h b A ∴=⋅==.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =．【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：2313323312b AD b ==++．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =62sin 60sin sin b B C ==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1362+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．考点4：解三角形范围与最值问题12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．31/13-【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-==-+++++()1244233211m m ≥--+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =.31.[方法二]：建系法令BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （13，B （-t,0）()()()22222221344412443324131113,31t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习29---三角函数与解三角形热点问题
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第29讲三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2022·全国Ⅰ，7；2022·全国Ⅲ，16；2022·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15直观想象、逻辑推理三角恒等变换2022·全国Ⅰ，9；2022·全国Ⅱ，2；2022·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4逻辑推理、数学运算解三角形2022·全国Ⅰ，16；2022·全国Ⅲ，7；2022·北京，17；2022·天津，16；2022·新高考山东，17；2022·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北逻辑推理、数学运算京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17三角函数的图象与性质(必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值．题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数．2．把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1,1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.三角函数与平面向量【例题】(2021·湘赣十四校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3，cos x )，且函数f (x )＝m ·n .(1)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (x )＝23，求sin x 的值；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝7，△ABC 的面积为332，且f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ，求△ABC 的周长．[自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝(sin x ，－1)·(3，cos x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵f (x )＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝13.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝223.∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝13×32＋223×12＝3＋226. (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ， ∴2sin A ＝73b sin C ，即6sin A ＝7b sin C ． 由正弦定理可知6a ＝7bc . 又∵a ＝7，∴bc ＝6.由已知△ABC 的面积等于12bc sin A ＝332，∴sin A ＝32. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝7，故b 2＋c 2＝13， ∴(b ＋c )2＝25，∴b ＋c ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化． 2．这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”．【尝试训练】(2021·沧州质检)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解 f (x )＝a ·b ＋|b |2＝53cos x sin x ＋2cos 2x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x ) ＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴1≤5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72≤172. ∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.解三角形【例题】(12分)(2022·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [规范解答]解 (1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①2′由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12. 用余弦定理化边为角4′因为0<A <π，所以A ＝2π3.6′ (2)由正弦定理及(1)得AC sin B＝AB sin C＝BC sin A＝23，8′从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ． 故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 两角和正弦公式的逆用10′又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 三角函数性质的应用12′❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A <π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B <π3也是如此．❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ，第(2)问中ACsin B＝AB sin C＝BC sin A＝23等．❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A ＝－12，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分．……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化……由三角函数值及角的范围求角……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换……利用角的范围和三角函数性质求出最值……检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】(2022·浙江卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b sin A －3a ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A . 由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 .由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.1．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ， 3c sin B ＝4a sin C ． (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ．又由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 ＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.3．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3. 又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ， ∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4．(2021·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2tan A ＝a 2tan B ，2sin 2A ＋B 2＝1＋cos 2C .(1)求角A 的大小； (2)若点D 为AB 上一点，满足∠BCD ＝45°，且CD ＝32－6，求△ABC 的面积． 解 (1)由2sin 2A ＋B2＝1＋cos 2C 得1－cos(A ＋B )＝2cos 2C ，即2cos 2C －cos C －1＝0， 解得cos C ＝－12(cos C ＝1舍去)，故C ＝120°. 因为asin A ＝bsin B ，b 2tan A ＝a 2tan B ，所以sin 2B sin A cos A ＝sin 2A sin B cos B， 即sin A ·cos A ＝sin B cos B ，故sin 2A ＝sin 2B ，因此A ＝B 或A ＋B ＝90°(舍去)，故A ＝30°.(2)由(1)知△ABC 为等腰三角形，设BC ＝AC ＝m ，由S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 得12m 2·sin 120°＝12m · CD ·sin 45°＋12m ·CD ·sin 75°，整理得32m＝CD⎝⎛⎭⎪⎫22＋2＋64＝()32－6×32＋64，解得m＝23，故S△ABC＝12m2·sin 120°＝3 3.5．(2021·郑州调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2＋c2－a24.(1)若a＝6，b＝2，求cos B；(2)求sin(A＋B)＋sin B cos B＋cos(B－A)的最大值．解(1)∵S＝b2＋c2－a24，∴12bc sin A＝b2＋c2－a24，即sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π4.由正弦定理asin A ＝bsin B，得622＝2sin B，∴sin B＝66，又a>b，∴cos B＝1－16＝306.(2)由第(1)问可知，A＝π4，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＋sin B cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4 ＝22sin B ＋22cos B ＋sin B cos B ＋22cos B ＋22sin B ＝2(sin B ＋cos B )＋sin B cos B ，令t ＝sin B ＋cos B ，则t 2＝1＋2sin B cos B ，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝2t ＋12(t 2－1)， 令y ＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，t ∈(0，2]， ∴当t ＝2，即B ＝π4时， sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )取得最大值52.。
高考一轮复习理科数学课件：第四单元 三角函数与解三角形 第29讲 正弦定理与余弦定理42
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4．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，A＝60°，则 sin B＝__ __，c＝__ _.
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解：(1)如图，由正弦定理sina A＝sinb B，
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(2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C. 又 B＝π－(A＋C)， 故 sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C＝0.
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又 C 为△ABC 的内角，故 sin C≠0， 则 sin A＋cos A＝0，即 tan A＝－1. 又 A∈(0，π)，所以 A＝34π. 从而 sin C＝ 22sin A＝ 22× 22＝21. 由 A＝34π知 C 为锐角，故 C＝π6.
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D．2 5
(2)(2017·全国卷Ⅲ·文)△ABC 的内角 A，B，
C 的对边分别为 a，b，c.已知 C＝60°，b＝ 6，c
＝3，则 A＝________．
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解：(1)因为 cosC2＝ 55， 所以 cos C＝2cos2C2－1＝2×( 55)2－1＝－35. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C ＝52＋12－2×5×1×(－53)＝32， 所以 AB＝ 32＝4 2.
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测三 解三角形的实际应用举例 含解析 精品
课时跟踪检测（三） 解三角形的实际应用举例层级一 学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 n mile/hB ．34 6 n mile/h C.1722n mile/hD ．34 2 n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )A.a sin α·sin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin α·cos βsin (β－α) D.a cos α·sin βcos (α－β)解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β，又因为在Rt △ABD 中，BD ＝x tan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a 1tan α－1tan β＝a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin βsin (β－α)，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A.1507 min B.157 hC ．21.5 minD ．2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝514时，CD 2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是1507 min ，故选A.6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°，设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°，又DA ＝BD ·cos 45°＝100×22＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×133－50 2＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10639.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 千米，AC ＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．解：由∠ADC ＝150°知∠ADB ＝30°，由正弦定理得1sin 30°＝AD sin 120°，所以AD ＝ 3. 在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 150°，即32＝(3)2＋DC 2－2·3·DC cos 150°，即DC 2＋3·DC －6＝0，解得DC ＝－3＋332≈1.372 (千米)，∴BC ≈2.372 (千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.层级二 应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时．5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ.设CO ＝x ，则OP ＝33x . 在Rt △ABC 中，AB ＝15，AC ＝25，所以BC ＝20. 所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625.故tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝⎛⎭⎫25x －452＋925 .当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 答案：5396．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120° ＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a (n mile) 答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4， 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°. 因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24， 则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x＝25x ， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， ∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421千米． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第7讲 正弦定理和余弦定理及应用讲义 文 新人教版
C＋cos Asin C＝35×153＋45×1123＝6635.
63 则由sina A＝sinb B，得b＝assiinnAB＝635＝1231.
5
[答案]
21 13
题型二 利用正余弦定理判断三角形的形状(重点保分题，共同所对的边分别为a，b，c，若
c b
【针对补偿】 1．(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算 圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了 “割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多 年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6 ＝________.
[解析] 将正六边形分割为6个等边三角形，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
[答案] A
(2)(2018·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，
b，c，若sin2B2＝c－2ca，则△ABC的形状一定是________． [解析] 由题意，得1－c2os B＝c－2ca，即cos B＝ac，又由余弦定
理，得
a c
＝
a2＋c2－b2 2ac
[答案] 1
考向二 与面积有关的三角形问题 3．(2017·课标Ⅱ)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b， c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2， (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
[解析] (1)由题设及A＋B＋C＝π，sin B＝8sin2B2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝1175.
2．(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝
第08讲 正余弦定理解三角形(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第08讲正余弦定理解三角形（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
1.正弦定理（1）基本公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）（2）变形C B c b C A c a B A b a C B A c b a R C cB b A a sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin ++=++=++=++++====CB A c b a sin :sin :sin ::=2.三角形中三个内角的关系π=++C B A ，A ＋B 2＝π2－C2A CB sin )sin(=+∴，AC B cos )cos(-=+，AC B tan )tan(-=+2cot22πtan 2tan(,2sin 22πcos 2cos(,2cos 22πsin )2sin(C C B A C C B A C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴3.余弦定理（1）边的余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a c cos 2222-+=（2）角的余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=4.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C p=，则B Ð=（ ）A ．10pB ．5pC ．310pD ．25p 2．（2024·湖南永州·三模）已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=-，π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos A B -=.3．（2024·四川凉山·二模）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+，则A = ．4．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．1．（2024·江西九江·三模）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=，则B =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在ABC V 中，记角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin =+B c B ．(1)求角C ；(2)已知点D 在AC 边上，且2AD DC =，6BC =，BD =，求ABC V 的面积．1．（2023·浙江·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若π,43B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是（ ）A ．()+¥B ．()C ．()0,4D ．()42．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，则能使同时满足条件π,66A b ==的三角形不唯一的a 的取值范围是（ ）A ．()36,B ．()3,+¥C ．()0,6D ．()0,33．（2023·广东茂名·三模）（多选）ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .以下结论中正确的有（ ）A ．若40,20,25a b B ===o ，则ABC V 必有两解B ．若sin2sin2A B =，则ABC V 一定为等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形D ．若π,23B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是)+¥1．（23-24高二下·浙江·期中）在ABC V 中，π,4,3A AB BC a Ð===，且满足该条件的ABC V 有两个，则a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．(2,C ．()2,4D ．()42．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在ABC V 中，60AB B ==o ，若满足条件的三角形有两个，则AC 边的取值可能是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.83．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且已知2a =，则（ ）A ．若45A =o ，且ABC V 有两解，则b 的取值范围是(2,B ．若45A =o ，且4b =，则ABC V 恰有一解.C ．若3c =，且ABC V 为钝角三角形，则b 的取值范围是D ．若3c =，且ABC V 为锐角三角形，则b 的取值范围是1．（2023·北京·高考真题）在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C Ð=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2021·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1B C D ．33．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，60,2,BAC AB BC Ð=︒==BAC Ð的角平分线交BC 于D ，则AD =．4．（2023·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC V 面积．1．（2021·安徽安庆·二模）在ABC V 中，a b c ，，分别是A Ð，B Ð，C 的对边.若2b ac =，且22a c ac +=+，则A Ð的大小是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·安徽合肥·一模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （ ）A ．1B C D ．23．（2023·广东广州·三模）在ABC V 中，点D 在边BC 上，AB =，3CD =，45B =︒，60ADB Ð=︒，则AC 的长为．4．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.1．（22-23高三·吉林白城·阶段练习）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·阶段练习）在ABC V 中，角,,A B C 对边为,,a b c ，且22cos2Ac b c ×=+，则ABC V 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．（2024高三·全国·专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c=+，tan2B ba c =+，则△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形1．（2024高三·全国·专题练习）在ABC V 中，若cos cos a A b B =，则ABC V 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin22A c bc-=，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．30A =︒的三角形3．（22-23高三·阶段练习）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b c a ca =+-，且sin 2sin A C =，则ABC V 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（2023·四川凉山·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．命题221tan cos()2:01tan2Ab A C p A a -++=+，命题:q ABC V 为等腰三角形．则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.2．（2022·浙江·高考真题）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC V 的面积．3．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC V的面积为3c ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC V中，sin 2C C =．(1)求C Ð；(2)若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长．1．（2024·北京大兴·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c，cos a B =，sin 1b A =.(1)求B Ð的大小；(2)若b =ABC V 的面积.2．（2024·福建莆田·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()cos 12cos b C c B +=-.(1)证明：2a b c +=.(2)若6a =，9cos 16C =，求ABC V 的面积.3．（2024·浙江·模拟预测）已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知23,sin ABC c S b C ==V .(1)求a 的取值范围；(2)求B Ð最大时，ABC V 的面积.4．（2024·安徽滁州·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos 2a b c b C c a -=．(1)求B 的大小；(2)若3a =，且AC ABC V 的面积．1．（2024·贵州六盘水·三模）在ABC V 中，2AB =，3AC =， π3A Ð=，则ABC V 外接圆的半径为（ ）A B C D 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ，B ，C ，D 构成的四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围；(2)若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.3．（2023·湖北·二模）已知在ABC V 中，其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且满足cos sin b C C a c =+．(1)若b =ABC V 的外接圆半径；(2)若a c +=，且6BA BC ×=uuu r uuu r，求ABC V 的内切圆半径1．（2024·河南信阳·模拟预测）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知9,8,5a b c ===，则ABC V 的外接圆的面积为（ ）A ．225π11B ．125π11C ．123π6D ．113π62．（2024·辽宁大连·一模）在ABC V 中,π,3,23A AB AC Ð=== (1)求点A 到边BC 的距离:(2)设P 为边AB 上一点，当22PB PC +取得最小值时，求PBC V 外接圆的面积.3．（2024·山西晋城·一模）在ABC V 中，AB =AC =，BC =．(1)求A 的大小；(2)求ABC V 外接圆的半径与内切圆的半径．4．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A BA B ××=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC V 内切圆半径取值范围．1．（2024·福建泉州·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos c B b C a b -=-，点D 是BC 上靠近C 的三等分点(1)若ABC V 的面积为AD 的最小值；(2)若π6BAD Ð=，求sin 2B ．2．（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在ABC V 中，D 为BC 边的中点．(1)若AC =π6ACD DAC Ð=Ð=，求AB 的长；(2)若π2BAD ACD ÐÐ+=，0AC AB ¹×u u r uu r uu，试判断ABC V 的形状．4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=︒，设DAC Ðq =.(1)若2AD =，求BD 的长；(2)若15ADB Ð=︒，求tan q .1．（2024·河北沧州·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2a c c b =+．(1)求证：3πB C +=；(2)若ABC Ð的角平分线交AC 于点D ，且12a =，7b =，求BD 的长．2．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q =，求AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且sin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15o ，30o ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC Ð=o ，求AD ．1．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan A =πsin 2sin()3b C C =+．(1)求c ；(2)若点D 在边BC 上，且13BD a =，AD =ABC V 的面积．1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD 中，2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.2．（2024·河北·二模）已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为,2S a b =.(1)若S ABC =V 为等腰三角形，求它的周长；(2)若3sin 5C =，求sin sin A,B .1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2cos b a b C =-．(1)求证：2C B =；(2)求2sin cos sin C B B +-的最大值．2．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D ，E 都是边BC 上且与B ，C 不重合的点，且点D 在B ，E 之间，AE AC BD AD AB CE ××=××．(1)求证：sin sin BAD CAE =∠∠．(2)若AB AC ^，求证：222221sin AD AE BD CE DAE+=-Ð．3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B --=．(1)证明：22πA B +=．(2)求22a c的取值范围．1．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是边BC 上一点，BAD Ð=a ，CAD b Ð=，AD d =，且2sin 2sin 3ac ab bc a b +=．(1)若5π6A =，证明：3a d =；(2)在（1）的条件下，且2CD BD =，求cos ADC Ð的值．2．（22-23高一下·山东枣庄·期中）ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin sin cos sin cos a A b C A c A B =+.(1)求sin sin AC的值；(2)若BD 是ABC Ð的角平分线.（i ）证明：2··BD BA BC DA DC =-；（ii ）若1a =，求BD AC ×的最大值.3．（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F ．(1)试证明：sin sin BD AB BADDC AC DACÐ=Ð(2)若P 为重心，5,4,3AD BE CF ===，求ABC V 的面积．1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．´+表高表距表目距的差表高B ．´-表高表距表目距的差表高C ．´+表高表距表目距的差表距D ．´-表高表距表目距的差表距2．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m 高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B C 、两点(B C 、与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o 和15o ，则B C 、两点之间的距离为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B ，测得AB =，在点A 处测得点C ，D 的仰角分别为30︒，60︒，在点B 处测得点D 的仰角为30︒，则塔高CD 为 m ．1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为1 1.00m a =，之后将小镜子前移 6.00m a =，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为20.60m a =，已知人的眼睛距离地面的高度为5m 1.7h =，则钟楼的高度大约是（ ）A ．27.75mB ．27.25mC ．26.75mD ．26.25m2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ） 1.732»，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台，A 在B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北q 方向发射炮弹，B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B 炮台与弹着点M 的距离为（ ）A ．7公里B ．8公里C ．9公里D ．10公里一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若tan 3A =，π4B =，bc ==a （ ）A ．2B ．3C ．D ．2．（2024·重庆·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222π,6,33B b a c ac ==+=，则ABC V 的面积为（ ）A B ．94C D ．92二、多选题3．（2024·重庆·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边为,,,a b c 若2,6b c C p ===，则ABC V 的面积可以是（ ）A B ．3C ．D ．三、填空题4．（2024·山东威海·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 4b c +=，cos C =．则sin A = ．5．（2024·北京西城·三模）在ABC V 中，若2c =，a =π6A Ð=，则sin C = ，b = .四、解答题6．（2024·陕西西安·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b c =.(1)若cos sin B C =，求tan B ；(2)若3cos ,4A a =，求ABC V 的面积.7．（2024·河北·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a b c +=．(1)求角C 的大小；(2)若1b =，2cos c b B =，求ABC V 的面积．8．（2024·贵州黔东南·二模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin sin 02A Cb A Bc ++-=.(1)求B ；(2)若5,8b a c =+=，求ABC V 的面积.9．（2024·江西新余·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积()2221sin 2S a c b B =+-.(1)求角B ；(2)若ABC Ð的平分线交AC 于点D ，3a =，4c =，求BD 的长.10．（2024·陕西西安·一模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，πsin sin 02c A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.(1)求角C ；(2)若=c ，求ABC V 的周长.一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin()sin ,2B C A b -+=，则角C =（ ）A ．π6B ．π3C ．π4D ．π22．（2024·陕西·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin sin c A C a b A B -=-+，若ABC V 3b ，则AC 边上的高为（ ）A B C D ．二、多选题3．（2024·江苏宿迁·三模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若2cossin 2A Cb C +=，且边AC 上的中线BD ）A ．π3B =B ．b 的取值范围为[2,C ．ABC V 面积的最大值为D ．ABC V 周长的最大值为三、填空题4．（2024·湖北武汉·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4cos a bC b a+=．且tan tan tan tan tan tan B A B C A C +=，则cos A = ．5．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2b =，22cos cos cos a cC B C=+，则2a c +的最大值为.四、解答题6．（2024·福建泉州·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数．(1)证明：2tan 1tan tan B A C -=；(2)设AC 的中点为D ，求CDB Ð的余弦值．7．（2024高三下·全国·专题练习）在①()()()sin sin sin sin b A B c a C A +=+-，②tan tan B C +=sinsin 2A Bc B +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角C 的大小；(2)已知7c =，D 是边AB 的中点，且CD CB ^，求CD 的长．8．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222222b b c a c b a c b +-=-+-．(1)求A ；(2)若D 为AB 的中点，且6CD =，求cos ACB Ð．9．（2023·黑龙江佳木斯·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos c C B b C C A +=.(1)求∠A ；(2)若A ABC CB =Ð∠，满足3BD =，2CD =，四边形ABDC 是凸四边形，求四边形ABDC 面积的最大值．10．（2024·河北·二模）若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA q Ð=Ð=Ð=，则称点P 为ABC V 的布洛卡点，q 为ABC V 的布洛卡角．如图，已知ABC V 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，q 为ABCV 的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC Ð的大小．(2)若ABC V 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBq =++ÐÐÐ．（ⅱ）若PB 平分ABC Ð，证明：2b ac =．1．（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒ÐÐ，则BCA Ð= (精确到0.1度)2．（2024·北京·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A Ð为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2024·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法S =a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =．5．（2022·天津·高考真题）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.6．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+7．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC V 的周长．8．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．9．（2021·天津·高考真题）在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．10．（2021·北京·高考真题）在ABC V 中，2cos c b B =，23C p=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC V 的周长为4+条件③：ABC V 11．（2021·全国·高考真题）记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC Ð.1．1．12．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =.13．（2020·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．14．（2020·北京·高考真题）在ABC V 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC V 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．15．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020·山东·高考真题）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC V ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C p=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．18．（2020·全国·高考真题）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC V 的面积；（2）若sin A C ，求C .19．（2020·全国·高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A p ++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．20．（2020·全国·高考真题）ABC V 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC V 周长的最大值.。
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
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第07节 解三角形及其应用举例
【考纲解读】
考 点 考纲内容 5年统计 分析预测
正弦
定理和余
弦定理
掌握正弦定理、余弦定理
及其应用
2013浙江文18；
2014浙江文18；
理10，18；
2015浙江文16；
理16；
2016浙江文16；
理16；
2017浙江14.
1.测量距离问题；
2.测量高度问题；
3.测量角度问题.
4.备考重点：
（1）掌握正弦定
理、余弦定理；
（2）掌握几种常
见题型的解法.
（3）理解三角形
中的有关术语.
【知识清单】
1. 测量距离问题
实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，
在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．
对点练习：
【浙江宁波模拟】如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两
条街道，某公园P位于商业中心北偏东角33tan,20，且与商业中心
O的距离为21公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于B，A
两处,当商业中心O到B，A两处的距离之和最小时，BA,的距离为 公里．
【答案】33．
2
2
333
63322AB
2. 测量高度问题
余弦定理：2222cosabcabC ， 2222cosbcaacA ，
222
2coscabacB
.
变形公式cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，os C＝a2＋b2－c22ab
对点练习：
【2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处
时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山
顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.
【答案】6100
【解析】依题意，30BAC，105ABC，在ABC中，由
180ACBBACABC
，