人教版高中数学必修二：4.2.3《直线与圆的方程的应用》(1)
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高中数学(福建)人教A版必修2课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用
-1-
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典例透析
1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
明目标、知重点
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典例透析
解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领 悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化.
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题型一 题型二
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典例透析
将点 A 的坐标(6,-2)代入①,解得 r=10, 所以圆的方程为 x2+(y+10)2=100.② 当水面下降 1 m 时,设点 A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将 A' 的坐标(x0,-3)代入方程②,解得 x0= 51. 所以水面下降 1 m 后,水面的宽为 2x0=2 51 m.
6 + 6������ + ������ = 0,
������ = -324.
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题型一 题型二
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典例透析
故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0. 将点 P2 的横坐标 x= 6代入上式 ,解得 y=-24 + 12 6≈5. 39(m)( 负值舍去 ). 答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
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解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领 悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新 概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪 些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实 现应用问题向数学问题的转化.
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将点 A 的坐标(6,-2)代入①,解得 r=10, 所以圆的方程为 x2+(y+10)2=100.② 当水面下降 1 m 时,设点 A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将 A' 的坐标(x0,-3)代入方程②,解得 x0= 51. 所以水面下降 1 m 后,水面的宽为 2x0=2 51 m.
6 + 6������ + ������ = 0,
������ = -324.
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故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0. 将点 P2 的横坐标 x= 6代入上式 ,解得 y=-24 + 12 6≈5. 39(m)( 负值舍去 ). 答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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高中数学人教A版必修二全程复习课件 4.2.3 直线与圆的方程的应用
第四页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2).
第五页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
降1m后,水面宽为
m.
第二页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中 心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域.(假设 台风中心不动)已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变 航线,那么它是否会受到台风的影响?
的方程为( )
A.2x-3y-1=0
B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-1=0
D.3x-2y-1=0
【解析】选B.设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),以PO为直径的圆
(x-1)2+(y- )32= 与1圆3 x2+y2=1的公共弦所在直线即为所 求,直线方程为2 2x+34y-1=0,故选B.
所以a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,
化简得(a-c)x=0,
因为a-c≠0,所以x=0,所以D点在y轴上,所以AC⊥BD. 所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,
则该四边形的对角线互相垂直.
第二十九页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
第三十页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
答案： 7 -22
2
【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2).
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设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
降1m后,水面宽为
m.
第二页，编辑于星期日：二十三点 十六分。
2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中 心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域.(假设 台风中心不动)已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变 航线,那么它是否会受到台风的影响?
的方程为( )
A.2x-3y-1=0
B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-1=0
D.3x-2y-1=0
【解析】选B.设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),以PO为直径的圆
(x-1)2+(y- )32= 与1圆3 x2+y2=1的公共弦所在直线即为所 求,直线方程为2 2x+34y-1=0,故选B.
所以a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,
化简得(a-c)x=0,
因为a-c≠0,所以x=0,所以D点在y轴上,所以AC⊥BD. 所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,
则该四边形的对角线互相垂直.
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答案： 7 -22
2
高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》PPT
2k(k 2)
∴x1+x2= k 2 1
得
x y
k(k 2)
2
k2
1
kx
,
1
(k
为参数).
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0,
当 k 不存在时，中点 P(1,0)的坐标也适合方程。
1
5
∴P 的轨迹是以点( 2 ,1)为圆心, 2 为半径的圆.
思维升华
思路一，数形结合,利用平面几何知识等，有时能使求 解过程变得非常简洁。
作业:习题4.2 B组2、3、5。
分析：建立直角坐标系→求出 P2 的纵坐标 →支柱 A2P2 的高度
应用示例
解：建立图 4.2-6 所示的直角坐标系， 则 P（0，4），B（10，0）都在圆上。
设圆的方程为： x2 y b2 r 2
02 4 - b2 r 2
b 10.5
得
10
2
0 b2
r2
解得 r 2
14.52
∴点
P
的轨迹是以点(
1 2
,1)为圆心,
5 2
为半径的圆。
应用示例
思路二:参数法 设 MN 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，P(x，y)，
x 2 y 2 9,
则
y
kx
(2
k),消
y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
思路二,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即
f (x, y) 0,
g(x, y) 0, 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得 解。
(人教A版)必修2课件：4-2-3 直线与圆的方程的应用
第四章 4.2 4.2.3
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设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
第四章 4.2 4.2.3
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几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
第四章 4.2 4.2.3
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圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
第四章 4.2 4.2.3
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第四章 4.2 4.2.3
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这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
第四章 4.2 4.2.3
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用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
第四章 4.2 4.2.3
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设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
第四章 4.2 4.2.3
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几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
第四章 4.2 4.2.3
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圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
第四章 4.2 4.2.3
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这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
第四章 4.2 4.2.3
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用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
第四章 4.2 4.2.3
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人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.3 直线与圆的方程的应用
即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0，即y＝x－r，
由点斜式方程知，直线CP过定点(0，－r)．
题后反思
利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程， 直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标 系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得 结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到 几何问题中，对几何问题作出合理解释．
探究点2
用坐标法解决平面解析几何问题的注意事项
问题3：用坐标方法解决平面几何问题应注意什么？ 【提示】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适 当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
实际问题也可采用这种方法转化.
谢谢大家！
典例精讲：题型二：定点定值问题 证明：以线段 AB所在直线为 x轴，以 AB 中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＝ r2(r 为常数， r>0) ，直径AB位
于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，
则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r)，
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 例3:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 解:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
规律方法 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数
表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几
由点斜式方程知，直线CP过定点(0，－r)．
题后反思
利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程， 直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标 系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得 结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到 几何问题中，对几何问题作出合理解释．
探究点2
用坐标法解决平面解析几何问题的注意事项
问题3：用坐标方法解决平面几何问题应注意什么？ 【提示】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适 当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
实际问题也可采用这种方法转化.
谢谢大家！
典例精讲：题型二：定点定值问题 证明：以线段 AB所在直线为 x轴，以 AB 中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＝ r2(r 为常数， r>0) ，直径AB位
于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，
则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r)，
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 例3:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 解:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
规律方法 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数
表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几
【高中数学必修二】4.2.3直线与圆的方程的应用
几何
代数
几何
练习：教材132页练习中第3题、第4题
4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
A(a,0) B(0, b) C (c,0)
D(0, d )
过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂 线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC， BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得： bd ac (0, b) y y xQ xM B Q N 2 2 a d xE yE ( a , 0 ) (c,0)C M 2 2 O A x N Q 所以， ac a 2 bd d 2 1 2 2 E QE ( ) ( ) b c 2 2 2 2 2 (0, d )D 又
因为P、B都在圆上， 所以它们的坐标（0， 4）、（10，0）满足 方程
解得：b=-10.5
r2=14.52
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程，得y=3.86(y>0)
答：支柱A2P2的长度约为3.86米
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂 直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对 边长的一半
解：如图建立平面直角坐标系，圆心 在y轴上。设圆心的坐标是（0，b）, 圆的半径是r，那么圆的方程是
2019-2020学年高中数学人教a版必修2课件：4.2.3直线与圆的方程的应用
是得到方程组
18.7 (7.2
2 b2 b)2
r2, r2,
解得
b 20.7,
r
2
778.41.
因此，圆拱
桥的拱圆方程近似为 x2+（y+20.7）2＝778.41（0≤y≤7.2）.
◆利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1.审题：认真审题，明确题意. 2.建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从 而在实际问题中建立直线与圆的方程. 3.求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. 4.还原：把代数结果还原为实际问题的解释.
训练题
如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的 直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与 CD相交于H，求证：EF平分CD.
小结
1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要 善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要 有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过 程：
28
＝ 65 ，而半径r＝3，因而d>r，所以直线与圆相
离，所以轮船不会受到台风的影响.
二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求
y x
的最大值和最小值；
解 原方程表示以点(2，0)为圆心，以 3为半径的圆.
设
y x
＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联 想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合 图形的几何量值关系分析、解决问题.
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
人教新课标版数学高一-必修2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
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课堂10分钟达标练
1.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.因为圆心到直线的距离为d==,圆的半径为2. 所以劣弧所对的圆心角为60°.
2.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为________.
【解析】因为圆心到直线的距离为,所以从村庄外围到小路的最短距离为-2.
答案:-2
3.已知x+y+1=0,那么的最小值是________. 【解析】表示点(x,y)与点(-2,- 3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.
答案:2
4.已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求的最大值与最小值.
【解析】如图所示,设M(x,y),则点M在圆O1:(x+2)2+y2=1上.
令Q(1,2),则设k=k MQ=,即kx-y-k+2=0.
过Q作圆O1的两条切线QA,QB,则直线QM夹在两切线QA,QB之间,所以k QA≤k QM≤k QB.又若O1到直线kx-y-k+2=0的距离为1,得=1,即k=,所以的最大值为,最小值为.
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