(完整版)简单的三角恒等变换练习题
高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）
简单的三角恒等变换(二)（45分钟 100分）一、选择题(每题6分，共30分)15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )=π2=π4 =π3 =π6 3.已知tan α2=3，那么cos α= ( )A.45 45 35 D.35 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )B.±√3 或√3或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，那么tan 2α= .7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)√2+2cosx (180°<x<360°).10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形面积表示为θ的函数.(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.答案解析1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.2.【解析】选(x)=cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.当cos θ=-1时，有sin θ=0；当cos θ=12时，有sin θ=±√32.于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.6.【解析】sin3αsinα=sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=135，因此cos 2α=45，又α是第四象限角，因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-34 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.【解析】f(x)=1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π6)，当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32. 答案：328.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，因此sin 2x=-2√23，sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−2√23)×13=-4√29. 答案：-4√299.【解析】原式=(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)√4cos 2x 2=2cos x2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，因为180°<x<360°，cos x2<0， 因此原式=−cos x 2cosx−cos x2=cosx.10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ，θ∈(π4,π2). (2)由(1)知，S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，那么S=4t t 2+2t +5=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+12时，面积S 取最大值√5−12.【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−12]， 又因为0°<θ<60°，故当θ=30°时，S 取得最大值√36R 2.11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1=√3sin 2x+2cos 2x-1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)，因此f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π3， 因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.【拓展提升】三角函数求值域的方式(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。
《简单的三角恒等变换》三角函数简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换xx年xx月xx日•三角函数基本概念•三角恒等变换的基本法则•三角恒等变换的应用目录•常见三角恒等变换技巧•三角恒等变换的注意事项•练习题与解答01三角函数基本概念$\sin x = \frac{y}{r}$正弦函数$\cos x = \frac{x}{r}$余弦函数$\tan x = \frac{y}{x}$正切函数三角函数的定义周期性$2k\pi, k\in Z$振幅$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$相位$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线余弦函数$y=|\cos x|$，波动曲线正切函数$y=\tan x$，曲线不连续，无界01020302三角恒等变换的基本法则和差角公式公式二$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$应用用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。
公式一$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$\sin x\cosy=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$积化和差公式公式一$\cos x\siny=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$公式二用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。
应用公式一$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$公式二$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$应用用于计算半角的角度，适用于解三角形等问题。
半角公式03三角恒等变换的应用利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。
高考一轮作业：4-5简单的三角恒等变换(含答案)
时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·温州模拟)设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝1－cos50°2，则有( )A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 答案：D2．已知函数f(x)＝cos2(π4＋x)－cos2(π4－x)，则f(π12)等于( )A.12B．－12C.32D．－32答案：B3．已知x∈(2kπ－34π，2kπ＋π4)(k∈Z)，且cos(π4－x)＝－35，则cos2x的值是( )A．－725B．－2425C.2425D.725答案：B4．(2018·青岛模拟)已知cos2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A.1318B.1118C.79D．－1答案：B5．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为( )A．4 3 B.83 3C．4 D．8答案：D6．(2018·湖南模拟)函数f(x)＝sin x－cos(x＋π6)的值域为( )A．[－2,2] B．[－3，3]C．[－1,1] D．[－32，32]解析：∵f(x)＝sinx－cos(x＋π6)＝sinx－cosxcos π6＋sinxsinπ6＝sinx－32cos x＋12sinx＝3(32sinx－12cosx)＝3sin(x－π6)(x∈R)，∴f(x)的值域为[－3，3]．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2018·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5(sin x·15－cos x·25)＝5sin(x－φ)，其中cos φ＝15，sin φ＝25，由题知θ－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴cos θ＝cos(φ＋π2＋2kπ)＝－sin φ＝－255. 答案：－2558．已知sin(π4－x2)＝35，x∈(0，π2)，则tanx＝________.解析：∵sin(π4－x2)＝35，∴cos(π2－x)＝1－2sin2(π4－x2)＝1－2×925＝725.即sinx＝725，又x∈(0，π2)，∴cosx＝2425，∴tanx＝724.答案：7249．已知α是第三象限角，且sinα＝－2425，则tanα2＝________.解析：∵α是第三象限角且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－－24252＝－725， ∴tan α2＝1－cos αsin α＝－43.答案：－4310．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014. 答案：2 014三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255. 因为α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210；同理可得sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.12．(2018·郑州质检)已知α为第二象限角，sin α＝35，β为第一象限角，cos β＝513.求tan(2α－β)的值．解：tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β，因为α为第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， β为第一象限角，cos β＝513，∴sin β＝ 1－cos 2β＝1213，tan β＝125， ∴tan(2α－β)＝－247－1251＋－247125＝204253.13．(2018·广州珠海区综合测试)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π6)＋cos(2x －π6)＋2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[－π3，π3]上的最大值和最小值，并求此时x 的值． 解：(1)f(x)＝cos(2x ＋π6)＋cos(2x －π6)＋2sinxcosx ＝cos2xcos π6－sin2xsin π6＋cos2xcos π6＋sin2xsin π6＋ 2sinxcosx ＝2×32cos2x ＋sin2x ＝3cos2x ＋sin2x ＝2(32cos2x ＋12sin2x) ＝2(sin π3cos2x ＋cos π3sin2x)＝2sin(2x ＋π3)∴f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x ＋π3)， 由－π3≤x≤π3，得－π3≤2x＋π3≤π， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)取得最大值2；当2x ＋π3＝－π3，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－ 3.。
第三章 3.2简单的三角恒等变换(一)
2019-2020学年高一数学必修四校本作业 课题：3.2 简单的三角恒等变换（一）班级_______姓名________座号________一、选择题1．已知tan θ－1tan θ＝m ，则tan2θ＝( )A ．－1mB ．－2mC ．2m D.2m2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.2553．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．24．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( )A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有() A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a6．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为() A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 10．求值：sin50°(1＋3tan10°) ＝________．11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．三、解答题12．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π4，π4]上的值域．14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13 B ．5 C ．－5或13 D ．－13或5 15．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换一、选择题：1. 下列等式成立的是（ ）1.c o s 80c o s 20s i n 80s i n 202A -= 1.sin13cos17cos13sin172B -=2.sin 70cos 25sin 25sin 202C +=3.sin140cos 20sin 50sin 20D +=2．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ） A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3. 某物体受到恒力是(1,3F =，产生的位移为()sin ,cos s t t =-，则恒力物体所做的最大功是（ ） A ．1B.2C.4. 若-2π<α<-23π，则2)cos(1πα--等于( )A ．sin 2α B ．cos 2α C ．-sin 2αD ．-cos 2α5.221tan 1tan αα--+= ( )A.2tan 2α- B. 2tan 2αC.cos2αD.tan 2α6．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A ．12B ．32 C ．3 D ． 2二、填空题： 7. 化简cos2α＋6sin 22α-8sin42α的结果是________。
8. 化简sin 2sin cos 2cos 1θθθθ+++=_________。
9. 函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是________。
10．函数22sin cos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是________ 。
三、解答题： 11.已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期;（2）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合. 12．化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）222sin cos 52tan cos 44ααππαα-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭简单的三角恒等变换的同步练习答案详解一、选择题：1.D2.C3.B4.D5.B6.C 答案提示： 1.sin140cos 20sin50sin 20cos50cos 20sin50sin 20cos30o +=+=。
简单的三角恒等变换
①当α是第一象限角时，sin . (2)求f(x)的单调递减区间.
2 2 又∵a∈(0,1),∴- <θ<0,∴tan θ∈(-1,0)，
1cos ∴tan θ= .
2
②对任意角α， 都成立. tan 因为59°<60°<61°，所以sin 59°<sin 60°<sin 61°，
2 1cos ∴cos 2θ= .
所以cos
1cos
11 3
6.
2
2
23
3.化简 sin2cossin等于(
cos 2
A.-sin α
B.-cos α
) C.sin α
D.cos α
【解析】选C. s in2 c o s s in ＝ 2 s in c o s2 s in
c o s 2
c o s 2
＝ s in 2 c o s2 1＝ s in c o s2 ＝ s in .
1.利用三角公式进行化简后研究函数的性质是高考考
查的热点
考情 播报
2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结
合命题
3.题型以解答题为主,属中低档题
【知识梳理】 1.半角公式
2sin2α
2α
1 2sin 2 2
2cos2α
α
2cos2 1 2
1-cos 2
1+cos 2
1 cos 1+cos
的化又【图简∵解a象 后 题∈向研视(0左究点,1)平单】,∴移调(-1)性m利<(、θm用1<对＞0倍,称0∴角c)t个a性o2公n单s式θ位∈2化长 (简-1度, .0后)，c，o所s得2 到的[s图in象2关于y轴12(12sin2)]
三角恒等变换-简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础知识1.升幂公式：ααα22sin 211cos 22cos -=-=2.降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+= 3.积化和差公式：[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=；[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=； [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=；[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=； 4.和差化积公式：2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-； 5.辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中ab =ϕtan 。
题型一：辅助角公式的应用例1.已知函数23cos 2y x x =-。
（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与sin y x =之间的关系。
【过关练习】1.已知函数2()sin cos f x x x x =+。
（1）求25()6f π的值；（2）设(0,)απ∈，1()24f α=-，求sin α。
2. 设函数()()R x wx wx wx wx x f ∈+-⋅+=λ22cos cos sin 32sin 的图像关于直线π=x 对称，其中λω，为常数，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21ω（1）求函数()x f 的最小正周期（2）若()x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π，求函数()x f 的值域。
题型二 恒等变换的应用例1.求证：2212sin cos tan()cos sin 4ααπααα-=--。
例2.已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑴求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【过关练习】1．cos 2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.242．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425 D.7253．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4题型三：与三角函数综合题【例1】已知函数2()2sin sin cos (0)f x a x x x a b a =-++>的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求常数,a b 的值。
4-4简单的三角恒等变换答案
简单的三角恒等变换常考题型题型一 三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ .(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)4－3310 解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. (1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝ . (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718 答案 (1)－1 (2)D解析 (1)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6)＝3×(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 题型二 三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ .答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝1－(17)2＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. (2)(2015·广东)已知tan α＝2.①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4. (2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－(13)2＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . (2)(2016·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.5π4 C.5π4或7π4 D.3π2答案 (1)268(2)A 解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268. (2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]， 又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010， 因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22， 又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A. 题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 ． 答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 题型四．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．[12分] 课后作业1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )答案 C A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．42．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )答案 DA.725B.15 C ．－15 D ．－7253．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )答案 D A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( )答案 AA ．－255B ．－3510C ．－31010 D.2555．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )答案 B A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， 由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )答案 C A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ．答案 8 解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ .答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ .答案 －4 3 解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23(12sin 12°－32cos 12°)cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是 ．答案 3－1 解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x )＝2sin(23x ＋π6)－1，又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π，∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1. 11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)． 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620. 12．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.。
3.2简单的三角恒等变换(一)
讲解范例： 讲解范例： 例4.
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系， 的各个角之间的联系，这是三角式恒等变 换的重要特点． 换的重要特点．
讲解范例： 讲解范例： 例5. 已知函数
讲解范例： 讲解范例： 例6. 若函数 f ( x) = 3 sin2x + 2cos2 x + m π 上的最大值为6， 在区间[0, ]上的最大值为 ，求常数 2 m的值及此函数当 ∈R时的最小值及 的值及此函数当x∈ 时的最小值及 的值及此函数当 取得最小值时x的集合 取得最小值时 的集合. 的集合 练习. 教材P.142练习第 题. 练习第4题 练习 教材 练习第
讲解范例： 讲解范例： 变式
在直径AB=1的半圆上移动 过点 的半圆上移动,过点 点P在直径 在直径 的半圆上移动 过点P 作圆的切线PT,且 作圆的切线 且PT=1 记∠PAB＝α，求当角α ＝ T 取何值时，四边形ABTP的 取何值时，四边形 的 面积最大？ 面积最大？并求出这个 P 最大面积. 最大面积
2 2
= a2 +b2 ( sin xcosϕ + cos xsinϕ)
= a2 +b2 sin( x +ϕ)
复习引入 2. 三角函数的倍角公式 三角函数的倍角公式: 倍角公式
cos 2α = 2cos α −1
2
讲授新课
思考： 思考：
讲解范例： 讲解范例： 例1.
讲解范例： 讲解范例：
α
A
B
讲解范例： 讲解范例：
练习. 把一段半径为R的圆木锯成横截面 练习 把一段半径为 的圆木锯成横截面 为矩形的木料， 为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的 面积最大？（分别设边与角为自变量） 面积最大？（分别设边与角为自变量） ？（分别设边与角为自变量
3.2简单的三角恒等变换(1)
结论：将同角的弦函数的和差化为:
“一个角”的 “一个名”的弦函数.
10
感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
a 2 b2
a
b
a sin x b cos x
a b a b sin x cos x 2 2 2 2 a b a b
以从右边着手 sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
1 sin cos sin sin 2
3 2 sin cos sin 3
3 sin 2 6 6 3 由于0 , 所以当 2 , 即 时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 6 3 6
1
1 3 1 cos 2 sin 2 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 1 3 1 3 sin 2 cos 2 2 3 2 6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
练习
sin x cos x sin x cos x 1.函数 f ( x) 2 sin 2 x
4 4 2 2
2
1
4．若
2 sin cos 2 2
，则 f (
12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan________________
2．已知sinθ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan的值为___________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=54，sinβ=1312，则cos的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于________________
二、解答题
6．化简2cos2sin12cos2sin1．
7．求证：2sin（4π－x）·sin（4π+x）=cos2x．
8．求证：tan1tan1sincoscossin2122a．
9．在△ABC中，已知cosA=BbabBacoscos，求证：babaBA2tan2tan22．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1．
12． 求证：1+2cos
2
θ－cos2θ=2．
13． 求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．
14． 设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos2x的值．
15． 已知sinα=1312，sin（α+β）=54，α与β均为锐角，求cos．
参考答案
一、填空题
1． 215． 2．－3 4． 65657 5．－21a
二、解答题
6．解：原式=2cos2sin12cos2sin1
=22cos2cossin21sin21cossin21
=22cos2cossin2sincossin2
=)cos(sincos2sincossin2
=tanθ．
7．证明：左边=2sin（4π－x）·sin（4π+x）
=2sin（4π－x）·cos（4π－x）
=sin（2π－2x）
=cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=22sincoscossin21
=)sin(cos)sin(coscossin2sincos22
=)sin)(cossin(cos)sin(cos2
=sincossincos
=tan1tan1
=右边，原题得证．
9．证明：∵cosA=BbabBacoscos，
∴1－cosA=BbaBbacos)cos1()(，
1+cosA=BbaBbacos)cos1()(．
∴)cos1()()cos1()(cos1cos1BbaBbaAA．
而2tan2cos22sin2cos1cos1222ABAAA，
2tancos1cos12BBB
，
∴tan2)()(2babaA·tan22B，即babaBA2tan2tan22．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=4264)26(43482322231230cos12，
cos15°=4264)26(43482322231230cos12，
tan15°=30cos130cos1=2－3．
11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜＜－4π5，cos＜0．
又由诱导公式得cos（α－π）=－cosα，
∴cos12)πcos(1=－cos．
12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ=1+2·22cos1－cos2θ=2=右边．
13．证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·2cos2=2sinθ·（1+cosθ）
=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，
所以sinx=2524或sinx=－1．
又因为x是第二象限角，
所以sinx=2524，cosx=－257．
又2x是第一或第三象限角，
从而cos2x=±225712cos1x=±53．
15．解：∵0＜α＜2π，∴cosα=135sin12．
又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π，
∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π，
∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．
故2π＜α+β＜π．∴cos（α+β）=－53．
∴cosβ=cos［（α+β）－α］
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=－53·54135·65331312，
∵0＜β＜2π，
∴0＜2＜4π．
故cos656572cos1．