江苏省淮安市2020届高三5月调研测试数学试题 PDF版含答案
江苏地区淮安市2020年度高三期中联考数学(理科)试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，4}，B ={3,5}，则∁U (A ∩B)=______．2. 已知向量a ⃗=(2,m)，b ⃗⃗=(1,−2)，且a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数m 的值是______．3. 函数y =ln (x +1)+2√2−x 的定义域为______．4. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为120°，则|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|的值是______．5. 已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1=4，a 32=a 5，则该数列的前5项和为______． 6. “a >b ”是“2a >2b ”的______条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一)7. 设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ为常数，且A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ的值为______．8. 在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，那么tanC =______． 9. 已知函数f(x)=x|x −4|，则不等式f(2x)≤f(2)的解集为______． 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且对于任意的都有f(x +4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为______．11. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=______．12.在△ABC中，BC=√3AC，tanA=3tanB，则tan(B+C)=______．213.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n.若S9=S3+2S6，则S6+1取得最小值时，S3 S9的值为______．14.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+(a+12)x+2a，若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题）15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原B(−1,0)，|OC点．，设点D为线段OA上的动点，求|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值；(1)若x=3π4)，向量m⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n⃗⃗=(1−cosx,sinx−2cosx)，求m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗的最小值及(2)若x∈(0,π2对应的x值．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)当θ满足什么条件时，时间T最短．18.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)．(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M，并说明理由；属于集合M，求实数a的取值范围；(2)若f(x)=lg ax2+2(3)若f(x)=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f(x)∈M．19.已知函数f(x)=x3+3|x−a|，a∈R(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)当x∈[−1,1]时，求函数f(x)的最小值；(3)已知a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，求实数a的取值范围20.给定数列{a n}，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n，m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列{a n}为“指数型数列”．(Ⅰ)已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=5×3n−1，b n=4n，试判断{a n}，{b n}是不是“指数型数列”；(Ⅱ)若数列{a n}满足：a1=12，a n=2a n a n+1+3a n+1(n∈N∗)，判断数列{1a n+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅲ)若数列{a n}是“指数型数列”，且a1=a+1a+2(a∈N∗)，证明：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列．21.已知矩阵A=[0123]，B=[2018]，求A−1B22.已知矩阵A=[12−14]，向量a⃗=[53]，计算A5a⃗．23.已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．24.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC⃗⃗⃗⃗⃗⃗．(1)若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1−A1C1−D的大小为60°，求实数λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={1,3，4}，B={3,5}，∴A∩B={3}，则∁U(A∩B)={1,2，4，5}，故答案为：{1,2，4，5}根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵a⃗⃗⊥b⃗⃗；∴a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0；∴m=1．故答案为：1．根据a⃗⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0，从而求出m的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】(−1,2)【解析】解：依题意，{x+1>02−x≠02−x≥0，解得−1<x<2，所以y=ln(x+1)+√2−x的定义域为(−1,2)，故答案为：(−1,2)．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】√7【解析】解：单位向量a⃗⃗,b⃗⃗的夹角为120°，则|a⃗−2b⃗⃗|=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=√1+4×1+4=√7．2故答案为：√7．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】31【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为1×(1−25)=311−2故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要【解析】解：由a>b，利用指数函数的单调性可得2a>2b，反之，由2a>2b，可得a>b．∴“a>b”是“2a>2b”的充要条件．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】π3【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象，可得34⋅2πω=7π12+π6，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3，故答案为：π3．先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．8.【答案】−√15【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=a2+b2−c22ab =4t2+9t2−16t22×2t×3t=−14，∵C∈(0,π)∴tanC=−√1cos2C−1=−√15．故答案为：−√15．由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cos C，结合范围C∈(0,π)，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】{x|x ≤√2+1}【解析】解：∵f(x)=x|x −4|， ∴由f(2x)≤f(2)得，2x|2x −4|≤4， ∴x|x −2|≤1，∴{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解得x ≤√2+1， ∴f(2x)≤f(2)的解集为{x|x ≤√2+1}． 故答案为：{x|x ≤√2+1}．可由f(2x)≤f(2)得出x|x −2|≤1，从而得到{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解不等式组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题． 由题意令x =−2求得f(2)=0，且f(x)的周期为4，再计算f(3)+f(10)的值． 【解答】解：由f(x +4)=f(x)+f(2)，令x =−2，得f(−2+4)=f(−2)+f(2)； 又f(x)为偶函数，∴f(−2)=f(2)， ∴f(2)=0； ∴f(x +4)=f(x)， ∴f(x)的周期为4；又f(1)=4，f (10)=f (2+2×4)=f (2)=0， f (3)=f (3−4)=f (−1)=f (1)=4， ∴f(3)+f(10)=4+0=4． 故答案为4．11.【答案】12【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 因为AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，所以上式化简得：2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos π4，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8+2√2⋅2⋅cos π4=12．故答案为：12．因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，根据向量变换得到|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2，代入AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗求出即可． 考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】2+√3【解析】解：由BC =√3AC ，利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，① 由tanA =3tanB ，可得sinAcosA =3sinB cosB，②由②÷①可得cosA =√33cosB ，③， 由①，③两式平方相加可得sinB =12， 所以B =π6或5π6， 由tanA =3tanB ，知B =5π6应舍去，所以B =π6，代入③式可得A =π3，由三角形内角和定理可得C =π−A −B =π2，可得C 2=π4， 所以tan (B +C2)=tanB+tanC 21−tanBtanC2=√33+11−√33=2+√3．故答案为：2+√3．由已知利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，sinAcosA =3sinBcosB，进而可得cosA =√33cosB ，可求sinB =12，从而求得B 的值，进而可求A ，C ，C 2的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】7√33【解析】解：依题意，因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33， 所以S 9=a11−q(1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q ，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2.当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33，即可得到S 9．本题考查了等比数列的前n 项和，通项公式和前n 项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】[ln 2−102,2ln 4−163)【解析】【分析】推导出f ′(x)=lnx +1，f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e ,+∞)上单调递增，且f(1)=1，f(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，利用数形结合法求出不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【解答】解：f ′(x)=lnx +1，故当x ∈(0,1e )时，f ′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e,+∞)上单调递增，且f(1)=1又g(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是1，2， ∴{f(1)⩽g(1)f(2)≤g(2)f(3)>g(3)，无解，不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，∴，解得ln2−102≤a <2ln 4−163． ∴实数a 的取值范围是[ln 2−102，2ln 4−163). 故答案为：[ln2−102，2ln 4−163). 15.【答案】(本题满分为12分)解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，可得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得：c =2b ， ∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =3b 2， ∴解得：b =√3，c =2√3，∴S △ABC =12bcsinA =12×√3×2√3×√32=3√32【解析】(1)由已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理可得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，即可求得A 的值．(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得c =2b ，又a =3，A =π3，由余弦定理可解得b ，c 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C(−√22,√22)， 所以OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22+t,√22) 所以|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=12−√2t +t 2+12=t 2−√2t +1 =(t −√22)2+12(0≤t ≤1)，所以当t =√22时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，为√22． (2)由题意，得C(cos x ，sin x)， m =BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosx +1，sin x)，则m ⋅n =1−cos2x +sin2x −2sin x cos x =1−cos 2x −sin 2x =1−√2sin (2x +π4)，因为x ∈[0,π2]，所以π4≤2x +π4≤5π4，所以当2x +π4=π2，即x =π8时， sin (2x +π4)取得最大值1，所以m ⋅n 的最小值为1−√2，此时x =π8．【解析】(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，利用二次函数的性质求得它的最小值．(2)由题意得m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=1−√2sin (2x +π4)，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：(1)连接CO 并延长交半圆于M ，则∠AOM =∠COD =π4，故θ≥π4，同理可得θ≤3π4，∴θ∈[π4,3π4].过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG =1，∠GOF =|π2−θ|， ∴OF =1cos |π2−θ|=1sin θ，又AE⏜=θ， ∴T(θ)=θ5v +16v +16vsinθ，θ∈[π4,3π4]. (2)T ′(θ)=15v −cosθ6vsin 2θ=6sin 2θ−5cosθ30vsin 2θ=−6cos 2θ−5cosθ+630vsin 2θ，令T ′(θ)=0可得−6cos 2θ−5cosθ+6=0，解得cosθ=23或cosθ=−32(舍)． 设cosθ0=23，θ0∈[π4,3π4]，则当π4≤θ<θ0时，T ′(θ)<0，当θ0<θ≤3π4时，T ′(θ)>0，∴当θ=θ0，T(θ)取得最小值．故cosθ=23时，时间T最短．【解析】(1)求出小球的运动路程，得出T(θ)的解析式；(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的cosθ的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)当f(x)=3x+2时，方程f(t+2)=f(t)+f(2)⇔3t+8=3t+ 10…(2分)此方程无解，所以不存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)，故f(x)=3x+2不属于集合M.…(4分)(2)由f(x)=lg ax2+2属于集合M，可得方程lg a(x+2)2+2=lg ax2+2+lg a6有实解⇔a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有实解⇔(a−6)x2+4ax+6(a−2)=0有实解，…(7分)若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2−24(a−6)(a−2)≥0，解得12−6√3≤a≤12+6√3，故所求a的取值范围是[12−6√3,12+6√3].…(10分)(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)⇔2x+2+b(x+2)2=2x+ bx2+4+4b⇔3×2x+4bx−4=0，…(12分)令g(x)=3×2x+4bx−4，则g(x)在R上的图象是连续的，当b≥0时，g(0)=−1<0，g(1)=2+4b>0，故g(x)在(0,1)内至少有一个零点；当b<0时，g(0)=−1<0，g(1b )=3×21b>0，故g(x)在(1b,0)内至少有一个零点；故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解，所以对任意实数b，都有f(x)∈M.…(16分)【解析】(1)利用f(x)=3x +2，通过f(t +2)=f(t)+f(2)推出方程无解，说明f(x)=3x +2不属于集合M. (2)由f(x)=lg ax 2+2属于集合M ，推出lg a(x+2)2+2=lg ax 2+2+lg a6有实解，即(a −6)x 2+4ax +6(a −2)=0有实解，若a =6时，若a ≠6时，利用判断式求解即可．(3)当f(x)=2x +bx 2时，方程f(x +2)=f(x)+f(2)⇔3×2x +4bx −4=0，令g(x)=3×2x +4bx −4，则g(x)在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b <0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f(x)∈M ．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：(1)当x >1时，f(x)=x 3+3x −3，f(2)=11.由，得．所以y =f(x)在x =2处的切线方程为y =15(x −2)+11即15x −y −19=0． (2)①当a ≤−1时，得f(x)=x 3+3x −3a ，因为0'/>，所以f(x)在[−1,1]单调递增，所以f(x)min =f(−1)=−4−3a ．②当a ≥1时，得f(x)=x 3−3x +3a ，因为，所以f(x)在[−1,1]单调递减，所以f(x)min =f(1)=−2+3a ． ③当−1<a <1时，f(x)={x 3+3x −3a,a <x <1x 3−3x +3a,−1<x ≤a 由①②知：函数f(x)在(−1,a)单调递减，(a,1)单调递增， 所以f(x)min =f(a)=a 3．综上，当a ≤−1，f(x)min =−4−3a ； 当−1<a <1时，f(x)min =a 3； 当a ≥1时，f(x)min =−2+3a ．(3)当a >0，且任意x ≥1有f(x +a)−f(1+a)≥15a 2lnx ， 即对任意x ≥1有(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3≥0． 设g(x)=(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3，则g(1)=0，．设，因为a>0，x≥1，所以0'/>，所以ℎ(x)在[1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)，即，1当即0<a≤1时，所以恒成立，所以g(x)在[1,+∞)单调递增，此时g(x)≥g(1)=0，满足题意．2当即a>1时，因为0'/>，且在[1,+∞)单调递增，所以存在唯一的x0>1，使得，因此当1<x<x0时；当x>x0时0'/>；所以g(x)在(1,x0)单调递减，(x,+∞)单调递增．所以g(x0)<g(1)=0，不满足题意．综上，0<a≤1．【解析】(1)当x>1时，f(x)=x3+3x−3，f(2)=11.由，得由此利用导数的几何意义能求出y=f(x)在x=2处的切线方程．(2)当a≤−1时，得f(x)=x3+3x−3a，由0'/>，得到f(x)min= f(−1)=−4−3a.当a≥1时，得f(x)=x3−3x+3a，由，得到f(x)min=f(1)=−2+3a.当−1<a<1时，f(x)={x 3+3x−3a,a<x<1x3−3x+3a,−1<x≤a，由此能求出函数f(x)的最小值．(3)当a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，即对任意x≥1有(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3≥0.设g(x)=(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3，则g(1)=0，设，则0'/>，由此利用导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(Ⅰ)解：对于数列{a n}，a n+m=a n⋅a m=53×(5×3n+m−1)≠a n，所以{a n}不是指数型数列．对于数列{b n}，对任意n，m∈N∗，因为b n+m=4n+m=4n⋅4m=b n⋅b m，所以{b n}是指数型数列．(Ⅱ)证明：由题意，{1a n+1}，是“指数型数列”，a n=2a n a n+1+3a n+1，⇒1a n+1=3a n+2⇒1a n+1+1=3(1a n+1)，所以数列{1a n +1}是等比数列，1a n+1=(1a n+1)×3n−1=3n，(1 a n +1)(1a m+1)=3n⋅3m=3m+n=(1a n+m+1)，数列{1a n+1}是“指数型数列”．(Ⅲ)证明：因为数列{a n}是指数数列，故对于任意的n，m∈N∗，有a n+m=a n⋅a m，⇒a n+1=a n⋅a1⇒a n=a1n=(a+1a+2)n，假设数列{a n}中存在三项a u，a v，a w构成等差数列，不妨设u<v<w，则由2a v=a u+a w，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u，当t为偶数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是偶数，(a+1)w−u是奇数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立；当t为奇数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是奇数，(a+1)w−u是偶数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u也不能成立．所以，对任意a∈N∗，2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列．【解析】(Ⅰ)利用指数数列的定义，判断即可；(Ⅱ)利用a 1=12，a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈N ∗)，说明数列{1a n +1}是等比数列，然后证明数列{1a n +1}为“指数型数列”； (Ⅲ)利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键． 21.【答案】解：设A −1=[a b c d ]，∵AA −1=[1001]，∴{c =1d =02a +3c =02b +3d =1，即{ a =−32b =12c =1d =0， ∴A −1=[−321210]， ∴A −1B =[−52420]．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6， 由f(λ)=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]．设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1． ∴A 5a ⃗=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．【解析】令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11].解得m ，n ，即可得出．本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【答案】解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD =1，则各点坐标为A(0,0，0)B(0，2，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，P(0,0，1)，M(0,1，12)(1)因AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−1)， 故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2，所以cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC |⋅|PB |=√105． (2)由题得：平面PMC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−12),PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,1)所以{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 1−z 12=0n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x 1−y 1+z 1=0解得：n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,2)同理设平面AMC 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0)所以{n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 2+z 22=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 2+y 2=0解得：n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,2)故cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23， 即所求锐二面角的余弦值为23．【解析】(1)分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．(2)根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.【答案】解：(1)分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，A 1(0,0，2)，B 1(2,0，2)，C 1(0,4，2)，…(2分)当λ=1时，D 为BC 的中点，∴D(1,2，0)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2,2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2，−2)， 设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x +2y −2z =0，取x =2， 得n⃗⃗=(2,0，1)， 又cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n ⃗⃗>=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗|=43√5=4√515， ∴直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为4√515.…(6分) (2)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴D(2λ+1,4λλ+1,0)， ∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2λ+1,4λλ+1,−2)，设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2λ+1x +4λλ+1y −2z =0，取z =1，得n⃗⃗=(λ+1,0，1).…(8分) 又平面A 1B 1C 1的一个法向量为m⃗⃗⃗=(0,0，1)， ∵二面角B 1−A 1C 1−D 的大小为60°，∴|cos <m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗>|=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=√(λ+1)2+1=12， 解得λ=√3−1或λ=−√3−1(不合题意，舍去)，∴实数λ的值为√3−1.…(10分)【解析】(1)分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．(2)求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题 Word版含解析
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环；则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若1232F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，1232F F =，)222332c a b c a-∴==223230c ac a --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________. 27【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos A B C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 72tan 727236tan 36tan 3B B B B ∴+≥⋅=（当且仅当2tan 736tan B B =，即7tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++27. 27. 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，4747k -+<<， 212222441442111M x x km k k kx k k k +-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+， 4747k -+<<时，()211y k k =+++单调递增，∴()442121y k k=-+++-+在474733⎛ ⎝⎭上单调递减， 1717,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭， 综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为1717---+⎝⎭. 故答案：1717---+⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【答案】（1）3π （2）53【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 31sin sin 22B B B ∴=+，即31cos sin 22B B =，tan 3B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，7b ∴=，由正弦定理得：sin 21sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，27cos A ∴=， 43sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k kk S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则1244t k k≥⋅=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程；（2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间； （3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x x x x x x h x e e--+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k N b q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n N k m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：130k +<< k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n qn --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C 经过点2,4P π⎫⎪⎭，圆心为直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：133sin cos 2ρθθ=， ∴330x y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】 【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，60BAD∠=，E为BC的中点，DE BC∴⊥，又//AD BC，DE AD∴⊥.则以D为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A，()3,2M,()13,4C-，()3,0E，()113,2A M→∴=--，()11,0,4C E→=-，111111734cos,2217A M C EA M C EA M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅，∴异面直线1A M与1C E734.（2）由（1）得：()1,0,2N，()2,0,0A，则()10,0,4A A→=-，()13,2A M→=--，()13,2A N→=--，()0,3,0MN→=-，设(),,m x y z→=为平面1A MA的法向量，则1132040m A M x zm A A z⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y=，则3x0z=，)3,1,0m→∴=；设(),,n p q r→=为平面1A MN的法向量，则130320n MN qn A N p q r⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r=-，则2p=，0q=，()2,0,1n→∴=-；2315cos,25m nm nm n→→→→→→⋅∴<>===⋅∴二面角1A MA N--21510155⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。
2020届高三数学5月二模试题
2020届高三数学5月二模试题本试卷共6页,22小题,满分150分考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。
3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式（其中S为锥体的底面积h为锥体的高）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知α为第四象限角,则，则sinα=2.已知x,集合则xy=A.-13.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=A.2B.3C.5D.64.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.2020届高三数学5月二模试题本试卷共6页,22小题,满分150分考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。
3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式（其中S为锥体的底面积h为锥体的高）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知α为第四象限角,则，则sinα=2.已知x,集合则xy=A.-13.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=A.2B.3C.5D.64.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.。
最新江苏省淮安市六校联盟2020届高三第三次学情调查考试数学(文)试卷(含答案)
绝密★启用前数学试卷（文科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合B＝[0，+∞），则A∩B＝．2．若复数z＝（1+i）（3﹣ai）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝．3．函数y＝的定义域为．4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）5．已知等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，则其公差为．6．已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f （2）＝．7．在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为．8．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，则棱锥A﹣DED1的体积为．9．若曲线C1：y＝ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y＝e x在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为．10．已知正实数x，y满足xy﹣x﹣2y＝1，则x+2y的最小值为．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，＝λ，＝μ．若＝1，?＝﹣，则λ+μ＝．12．已知点A（﹣1，0），B（2，0），直线l：kx﹣y﹣5k＝0上存在点P，使得PA2+2PB2＝9成立，则实数k的取值范围是．13．在三角形ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，若b＝3，2sin2A+sin2B+C，则sinC的最大值是．14．已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝，则方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为．二、解答题（本大题共六小题，15、16、17每题14分，18、19、20每题16分，共90分）15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC；（2）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且∠AOP＝α，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），其中（1）若点P的坐标为，时，求ab的值；（2）若，求b2﹣a2的取值范围．17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝2千米，AN＝2千米．（1）求线段MN的长度；（2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈（，2），求?的最大值．19．（16分）已知数列{a n}和{b n}满足：a1＝λ，a n+1＝+n﹣4，b n＝（﹣1）n（a n﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）证明：当λ≠18时，数列 {b n} 是等比数列；（3）设S n为数列 {b n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n ＞﹣12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．（3）若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥．2019-2020学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查数学试卷（文科）（12月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合B＝[0，+∞），则A∩B＝{1，2} ．【解答】解：∵A＝{﹣3，﹣1，1，2}，B＝[0，+∞），∴A∩B＝{1，2}，故答案为：{1，2}．2．若复数z＝（1+i）（3﹣ai）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝﹣3 ．【解答】解：复数z＝（1+i）（3﹣ai）＝3+a+（3﹣a）i，∵复数z为纯虚数，∴，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．3．函数y＝的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y＝的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的充分条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）【解答】解：x2+3x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣4．∴x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的充分不必要条件．故答案为：充分．5．已知等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，则其公差为 2 ．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4+a6＝10，前5项的和S5＝5，设公差为d．由题意可得 2a1+8d＝10，5a1+＝5，解方程组求得d＝2，故答案为 2．6．已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f （2）＝﹣2 ．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝0﹣f（﹣2）＝﹣log2（2+2）＝﹣2，故答案为：﹣2．7．在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为y＝x ．【解答】解：设双曲线的方程为，∵抛物线y2＝﹣4x中2p＝4∴抛物线y2＝﹣4x的焦点F（﹣1，0），∵双曲线的一个顶点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合∴a＝1，又∵双曲线的一条准线方程为，∴，解得c＝2，∴b2＝4﹣1＝3，即∴双曲线的渐近线方程为y＝x，故答案为：y＝x．8．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，则棱锥A﹣DED1的体积为 1 ．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，∴棱锥A﹣DED1的体积为：＝＝＝1．故答案为：1．9．若曲线C1：y＝ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y＝e x在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为﹣．【解答】解：由y＝ax3﹣6x2+12x，得y′＝3ax2﹣12x+12，∴y′|x＝1＝3a，由y＝e x，得y′＝e x，∴y′|x＝1＝e．∵曲线C1：y＝ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y＝e x在x＝1处的切线互相垂直，∴3a?e＝﹣1，解得：a＝﹣．故答案为：﹣．10．已知正实数x，y满足xy﹣x﹣2y＝1，则x+2y的最小值为4+2．【解答】解：正实数x，y满足xy﹣x﹣2y＝1，xy＝x+2y+1，由基本不等式可得，xy＝x?（2y），当且仅当x＝2y时取等号，∴x+2y+1，∵x+2y＞0解不等式可得，x+2y故答案为：4+211．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，＝λ，＝μ．若＝1，?＝﹣，则λ+μ＝．【解答】解：由题意可得若?＝（+）?（+），＝?+?+?+?＝2×2×cos120°+?μ+λ?+λ?μ＝﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，∴4λ+4μ﹣2λμ＝3 ①．?＝﹣?（﹣）＝?＝（1﹣λ）?（1﹣μ）＝（1﹣λ）?（1﹣μ）＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）＝﹣，即﹣λ﹣μ+λμ＝﹣②．由①②求得λ+μ＝，故答案为：．12．已知点A（﹣1，0），B（2，0），直线l：kx﹣y﹣5k＝0上存在点P，使得PA2+2PB2＝9成立，则实数k的取值范围是[] ．【解答】解：由题意得：直线l：y＝k（x﹣5），因此直线l经过定点（5，0）；设点P坐标为（x0，y0）；∵PA2+2PB2＝9，∴化简得：，因此点p为x2+y2﹣2x＝0与直线l：y＝k（x﹣5）的交点．所以应当满足圆心（1，0）到直线的距离小于等于半径∴解得：故答案为13．在三角形ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，若b＝3，2sin2A+sin2B+C，则sinC的最大值是．【解答】解：∵b＝3，2sin2A+sin2B+C，∴由正弦定理可得：2a2+b2+ab＝3c2，可得c2＝，所以cosC＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b＝3时取等号，故sinC max＝＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝，则方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为 4 ．【解答】解：由|f（x）+g（x）|＝1可得g（x）＝﹣f（x）±1．g（x）与h（x）＝﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）＝﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为4．故答案为：4．二、解答题（本大题共六小题，15、16、17每题14分，18、19、20每题16分，共90分）15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC；（2）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）连接A1C与AC1交于点O，连接OF，∵F为AC的中点，∴OF∥C1C且OF＝C1C，∵E为BB1的中点，∴BE∥C1C且BE＝C1C，∴BE∥OF且BE＝OF，∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF?平面A1EC，OE?平面A1EC，∴BF∥平面A1EC（2）∵AB＝CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BF?底面ABC，∴AA1⊥BF，∵BF∥OE，∴OE⊥AA1，∵AA1∩AC＝A，∴OE⊥平面AA1C1C∵OE?面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且∠AOP＝α，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），其中（1）若点P的坐标为，时，求ab的值；（2）若，求b2﹣a2的取值范围．【解答】解：（1）A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且∠AOP＝α，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），其中，若点P的坐标为，时，则cosα＝，sinα＝，且a＝cos（α+），b＝sin（α+），故ab＝sin（α+）cos（α+）＝sin（2α+）＝cos2α＝（2cos2α﹣1）＝﹣．（2）若，则a＝cos（β+），b＝sin（β+），∴b2﹣a2 ＝﹣＝﹣cos（2β+）．∵，∴2β+∈[，]，∴cos（2β+）∈[﹣1，]，∴b2﹣a2 ＝﹣cos（2β+）∈[﹣，1]．17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝2千米，AN＝2千米．（1）求线段MN的长度；（2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．【解答】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2+AN2﹣2AM?ANcos120°…＝，所以千米．…（2）设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°﹣α在△PMN中，由正弦定理得，．…因为＝，所以PM＝4sin（1200﹣α），PN＝4sinα…因此PM+PN＝4sin（1200﹣α）+4sinα…＝＝＝…因为0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°．所以当α+300＝900，即α＝600时，PM+PN取到最大值．…答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．…（16分）18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈（，2），求?的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得c＝1，a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程为；（2）∵P（0，1），F1（﹣1，0），∴直线PF1的方程为x﹣y+1＝0，由，解得，或，∴点Q的坐标为（﹣，﹣），设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，∴，解得，∴所求圆的方程为x2+y2+；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x1+1，y1），＝（﹣1﹣x2，﹣y2），∵＝λ，∴，即，∴，解得x2＝，∴＝x1x2+y1y2＝x2（﹣1﹣λ﹣λx2）﹣＝﹣＝﹣＝，∵，∴，当且仅当，即λ＝1时取等号，∴，即的最大值为．19．（16分）已知数列{a n}和{b n}满足：a1＝λ，a n+1＝+n﹣4，b n＝（﹣1）n（a n﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）证明：当λ≠18时，数列 {b n} 是等比数列；（3）设S n为数列 {b n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n ＞﹣12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22＝a1a3，即（）2＝2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（2）解：因为b n+1＝（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]＝（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）＝﹣（﹣1）n?（a n﹣3n+21）＝﹣b n当λ≠﹣18时，b1＝﹣（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列（3）当λ＝﹣18时，b n＝0，从而S n＝0．成立．当λ≠﹣18时，由（Ⅱ）得，于是，要使对任意正整数n，都有S n＞﹣12．即．令当n为正奇数时，当n为正偶数时，，∴．（16分）于是可得．综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n＞﹣12；λ的取值范围为（﹣∞，﹣6）．（18分）20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．（3）若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，（x＞0），f′（x）＝﹣2x+1＝﹣，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x﹣ax+1≤0恒成立，令g（x）＝lnx﹣ax2+x﹣ax+1，g′（x）═，①当a≤0时，∵x＞0，∴﹣ax2+（1﹣a）x+1＞0，∴g′（x）＞0g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（1）＝﹣，此时不等式f（x）≤ax﹣1不恒成立．②当a＞0时，g．当）时，g′（x）＞0，x时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，）递增，在（）d递减，故g（x）max＝g（）＝令h（a）＝，（a＞0），显然函数h（a）在（0，+∞）递减．且h（1）＝．∴整数a的最小值为2．（3）证明：由f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，则由φ（t）＝t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）＝．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）＝1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≥．或x1+x．因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．。
江苏省百校联考2020届高三年级第五次数学试卷含答案
(1) 求直线 l 的倾斜角；
(2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 求 AB 的长度.
23C.(本小题满分 10 分)
P
如图,在四棱锥 P－ ABCD 中, 底面 ABCD 为梯形,AB∥ CD.若棱 AB,
AD,AP
两两垂直,长度分别为
1,2,2,且向量P→C与B→D夹角的余弦值为
n
(2) 证明: f(α ) = Cnn+1(n3＋ n2)
a=1
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江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题 Word版含解析
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环； 则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若12F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________.【答案】y = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，12F F=，)222c a c a-∴==2220ac --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________.【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos AB C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 736tan 3B B ∴+≥=（当且仅当2tan 736tan B B =，即tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++. . 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m+++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k+-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k +<<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在⎝⎭上单调递减，11,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭，综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值.【答案】（1）3π （2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1sin sin 2B B B ∴=+1sin 2B B =，tan B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，b ∴=，由正弦定理得：sin sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，cos 7A ∴=，sin 22sin cos A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭1127⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k k k S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则4t ≥=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程； （2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x xx x x x h x e e --+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k Nb q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】 【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n Nk m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：102k +<<， k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n q n --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C经过点4P π⎫⎪⎭，圆心为直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：1sin cos 222ρθρθ+=， ∴0y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60BAD ∠=，E 为BC 的中点， DE BC ∴⊥，又//AD BC ，DE AD ∴⊥.则以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A ，()3,2M ,()13,4C -，()3,0E ，()113,2A M →∴=--，()11,0,4C E →=-，111111734cos ,2217A M C E A M C E A M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅， ∴异面直线1A M 与1C E 734.（2）由（1）得：()1,0,2N ，()2,0,0A ，则()10,0,4A A →=-，()13,2A M →=--，()13,2A N →=--，()0,3,0MN →=-， 设(),,m x y z →=为平面1A MA 的法向量，则1132040m A M x z m A A z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则3x 0z =，)3,1,0m →∴=；设(),,n p q r →=为平面1A MN 的法向量，则130320n MN q n A N p q r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r =-，则2p =，0q =，()2,0,1n →∴=-；2315cos ,25m nm n m n→→→→→→⋅∴<>===⋅ ∴二面角1A MA N --21510155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。
【精准解析】江苏省苏州市2020届高三下学期5月二模考试数学试题
一、填空题
1. 已知集合 A 0,1, 2,3 ， B x 0 x 2 ，则 A B ______.
【答案】1, 2
【解析】 【分析】 根据交集的概念，直接计算，即可得出结果.
【详解】∵ A 0,1, 2,3 ， B x 0 x 2 ；∴ A B 1, 2 .
9. 设周期函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 f x 的最小正周期为 3，且满足 f 1 2 ，
【点睛】本题考查了循环语句计算输出结果，只要根据程序图即可计算出结果，较为基础，
-2-
注意等差数列的求和.
5. 某高校数学学院 A, B, C 三个不同专业分别有 800，600，400 名学生，为了解学生的课后
学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取 36 名学生进行调查，则应从 A 专业
抽取的学生人数为______. 【答案】16 【解析】 【分析】 根据分层抽样列式求解即可.
【详解】某高校数学学院 A, B, C 三个不同专业分别有 800，600，400 名学生.
用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取 36 名学生进行调查，
则应从 A 专业抽取的学生人数为：
36
800
800 600
400
16
.
故答案为：16
【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.
6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为 1,2,3,4,5 的五本书，若某同学从中任意选出 2
本书，则选出的 2 本书编号相连的概率为______．
2
【答案】
5
【解析】
【分析】
本题首先可以写出任意选出 2 本书的所有可能情况数目，然后写出 2 本书编号相连的所有可
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研试题数学含附加题(含答案)
（2）在 △ABC 中，由余弦定理及 a 2, c 3, B π ， 3
得 b2 a2 c2 2accosB 7 ，故 b 7 ．………………………………7 分
联合调研答案 第 1 页 共 12 页
由
a sin
A
b sin B
，得
2 sin
A
7 3 ，解得 sinA
3 ．因为 a c ，故 cosA 2 ．
又 ABB1 中 N 是 AB 的中点 所以 H 是 AB1 的中点
所以
NH
1 2
BB1
CM
所以 M 是棱 CC1 中点.
………………14 分
17．(本小题满分 14 分)
解：（1）扇形
EOC
的面积为
1
(
)502
2500
2500
．
…………2 分
23
6
2
四边形 OCBF
的面积为 3050
1 30 2
联合调研答案 第 2 页 共 12 页
所以
CM
1 2
BB1
1 2
CC1
所以 M 是棱 CC1 中点.
………………14 分
法二：
因为 在三棱柱 ABC A1B1C1 中
所以 BB1 / /CC1 ，且 BB1 CC1
因为 CM / /BB1 CM 面ABB1A1 BB1 面ABB1A1
所以 CM / /面ABB1A1
所以 BC 面ACC1A1
……………… 4 分
又 AM 面ACC1A1
所以 BC AM
………………6 分
（2） 法一：
取 AB1 中点 H ，联结 NH , HM
因为 N 是 AB 的中点
江苏省淮安市2020届高三期中联考数学(理科)试题(解析版)
2019-2020 学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）14 小题）一、填空题（本大题共32 34______，则，集合全集，1.．，，，，______m．的值是，则实数，已知向量，且2.的定义域为______．函数3.的值是______．已知单位向量的夹角为，则4.5 项和为______．，则该数列的前满足，已知等比数列5.”的______条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充”是““6.要”或“既不充分也不必要”选一为常数，且，，设函数的部分7.．的值为______图象如图所示，则sinAsinB3______4．在中，如果：8.，那么：：：．的解集为______，则不等式已知函数9.已知函数上的偶函数，且对于任意的都有是定义在10.的值为______．，，则ABCD 中，，，若，，如图，在梯形11.．______则______．，则，在中，12.项和为n 的前，则已知正项等比数列取得最小值时，若13.的值为______．已知函数，，若不等式的解14.a 的取值范围是集中恰有两个整数，则实数．10 小题）二、解答题（本大题共已知a，b，c 分别是内角A，B，C 的对边，且满足．15.的大小； A 求角第1页，共17页若，，求的面积．16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，，其中O为坐标原点．若，设点 D 为线段OA 上的动点，求的最小值；若，向量，的最小值及对应的x 值．，求17.和一个矩形O 2 米的半圆一个玩具盘由一个直径为ABCD 构成，米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点 E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为设弧度，小球从A 到F所需时间为．T的函数T 表示为试将，并写出定义域；当满足什么条件时，时间最短．TMt18.的全体：在定义域内存在实数是满足下列性质的函数已知集合，使得．M，并说明理由；是否属于集合判断属于集合M ，求实数 a 的取值范围；若，求证：对任意实数b，都有．若第2页，共17页19. 已知函数，在当时，求曲线处的切线方程；时，求函数当的最小值；有已知，且任意的取值范a，求实数围20. 给定数列n，，都有，对于任意的，若满足且为“指数型数列”．，则称数列Ⅰ已知数列的通项公式分别为，，，试判断，是不是“指数型数列”；Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．21. 已知矩阵，，求第3页，共17页22. 已知矩阵，向量，计算．23. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，的中点．PB M 是且，所成角的余弦值；与PB 求直线AC所成锐二面角的大小的余弦值．求面AMC 与面PMC24. 直三棱柱．，，，，中，所成角的正弦值；若与平面，求直线的值．，求实数的大小为若二面角页4第页，共17页第页，共5 17答案和解析1.【答案】2，4，3，，，【解析】解：，2，4，，则，42，故答案为：根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2. 1【答案】【解析】解：；；．．故答案为：1，从而求出根据即可得出的值．m考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】【解析】解：依题意，，解得，所以的定义域为，故答案为：．根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：单位向量的夹角为，．则故答案为：．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5. 31【答案】的公比为q，【解析】解：设等比数列，，，，，联立解得，数列的前5 项的和为故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．第6页，共17页本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要【解析】解：由，利用指数函数的单调性可得，．，可得反之，由”是““”的充要条件．故答案为：充要．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】【解析】解：根据函数为常数，且，，的部分图象，．可得，再根据五点法作图可得，，故答案为：．先由周期求出，再由五点法作图求出的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法的值，属于基础题．作图求出8.【答案】【解析】解：：sinB：：3：4，由正弦定理可得：a：b：：3：4，不妨设，，，则，．故答案为：．a：b：：3：4，不妨设，由正弦定理可得，，则由余弦定理可求cosC，结合范围，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】【解析】解：，得，由，，，，解得或的解集为．故答案为：．可由得出或，从而得到，解不等式页第页，共7 17组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10. 4【答案】【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题．由题意令求得，且的周期为4，再计算的值．【解答】，解：由；令，得，又为偶函数，；，的周期为；4，，又，．．4故答案为11.12【答案】，【解析】解：因为，所以，，，因为，所以上式化简得：，即．所以．12故答案为：求出即可．因为，根据向量变换得到，代入考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】，，利用正弦定理可得【解析】解：由，由，可得，可得由，，，由两式平方相加可得，或所以应舍去，由，知，所以式可得，代入，由三角形内角和定理可得，可得页第页，共8 17所以．．故答案为：由已知利用正弦定理可得，进而可得，，可求，从而求得 B 的值，进而可求A，C，的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：依题意，因为，所以，所以，即为正项数列，所以，因为数列．当取得最小值时，，所以，即，所以．故填：．，所以，所以因为，即当为正项数列，所以，因为数列取得最小值时，，即，即可得到，所以．本题考查了等比数列的前n 项和，通项公式和前n 项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】【解析】【分析】推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形结合法求出不等式解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数的取值范围．a本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】，当时，，故当，时，解：上单调递减，在上单调递增，且又的函数图象开口向下，对称轴为，第9页，共17页要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下：，1，2的解集中恰有两个整数是不等式，无解，的解集中恰有两个整数是不等式，2，3．，解得，的取值范围是实数 a，故答案为：15.本题满分为【答案】分12 ，，可得：解：，由余弦定理可得：，又，由及正弦定理可得：，，，由余弦定理可得：，解得：，页10 第页，共17【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值．A由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：设，由题易知，所以所以，所以当最小，为．时，sin，x，由题意，得sin，，则，xcos，所以因为，，即所以当时，，1取得最大值所以的最小值为，此时．【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值．由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：连接CO并延长交半圆于M，则，，故同理可得，于G，则，，过O作，，又第11 页，共17页，，令可得，解得或舍．设，，则当时，，，当时，当，取得最小值．故时，时间T 最短．【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式；利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：当时，方程分，使得t此方程无解，所以不存在实数，分不属于集合故属于集合由M，可得方程有实解有实解分有实解，若时，上述方程有实解；时，有若，解得，故所求 a 的取值范围是分时，方程当，分令，则在R上的图象是连续的，，故在时，当，内至少有一个零点；当在，时，，故内至少有一个零点；故对任意的实数在R上都有零点，即方程b，总有解，分所以对任意实数，都有b利用，通过【解析】推出方程无解，说明不属于集合由，推出M属于集合有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可．当时，方程，令时，当上的图象是连续的，当，则在R 时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．页12 第页，共1719.，由，【答案】解：当时，．得在所以处的切线方程为即．0'/> ，时，得，因为当单调递增，所以所以．在，时，得，因为当在．所以单调递减，所以时，当知：函数单调递减，在由单调递增，．所以综上，当，；；当时，时，．当，且任意有，当即对任意．有，设，．则，设0'/>，，所以，因为单调递增，在所以，所以，即当1 时，所以即恒成立，在，满足题意．单调递增，此时所以当2 即时，0'/> ，且在单调递增，因为所以存在唯一的，使得，0'/> ；时时；当因此当在单调递增．单调递减，所以，不满足题意．所以综上，．【解析】当时，，由，得由此利用导数的几何意义能求出处的切线方程．在0'/> ，得到，由当时，得，由当时，得时，，得到当第13 页，共17页，由此能求出函数的最小值．，即对任意有当，且任意有设，则，设0'/>，由此利用，则导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 解：对于数列，，所以Ⅰ【不答案】是指数型数列．，因为，，，对任意n对于数列是指数型数列．所以Ⅱ证明：由题意，，是“指数型数列”，，，，所以数列是等比数列，是“指数型数列”．，数列Ⅲ，证明：因为数列是指数数列，故对于任意的n，有，，中存在三项构成等差数列，不妨设，，假设数列，则由，，得所以，当是偶数，而t 是偶数，为偶数时，是奇数，故不能成立；当是奇数，是偶数，而t 为奇数时，是偶数，故也不能成立．所以，对任意，不能成立，的任意三项都不成构成等差数列．即数列【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可；Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；Ⅲ利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．第14 页，共17页21.【答案】解：设，，，即，，．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：，或3．，解得由时，对应的一个特征向量为当；．当时，对应的一个特征向量为．，解得设．【解析】令，解得或分别对应的一个特解得m，n，即可得出．设征向量为；本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.，以 A 为坐标原点AD 为x 轴，AB，，【答案】解：因为轴，建立空间直角坐标系，z AP 为为y 轴，1，，，2，，，0，，0，，1，0，则各点坐标为不妨设因，，故．所以PMC 的法向量为，由题得：平面所以解得：同理设平面AMC 的法向量为，第15 页，共17页所以解得：故，．即所求锐二面角的余弦值为【解析】分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.分别以AB，【答案】解：AC，x，y，z 轴，所在直线为建立空间直角坐标系．，，则4，0，，0，，，0，0，4，分，时，D 为BC 当的中点，，，2，4，，，2，的法向量为设平面，，y，则取，得，，0又，直线所成角的正弦值为分与平面，，4，，，y，设平面，的法向量为0，分，取，得则，0的一个法向量为又平面，的大小为，二面角，解得或不合题意，舍去，第16 页，共17页实数的值为分分别以AB ，AC，所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用【解析】所成角的正弦值．与平面向量法能求出直线的值．的一个法向量，利用向量法能求出实数的法向量和平面求出平面本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．第17 页，共17页。
江苏省淮安市2020学年度高三数学第一次调研测试卷 人教版
江苏省淮安市2020学年度高三数学第一次调研测试卷2020．11（满分 150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂填在答卷纸指定方格内．1．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4},{2,4,5},M N ==则()()U U M N I 痧= （ ） A ． ∅ B ．{4} C ．{1,3} D ． {2,5}2．函数y = （ ）A ．(,10]-∞B ． (0,10]C ． (0,1]D ．[10,)+∞3．已知向量(3,4),(sin α,cos α)a b ==r r 且a b r rP ，则tan α= （ ）A ．34 B ．34- C ．43D ．43-4．已知函数()35xf x -=+的定义域为(0,)+∞，则其值域是 （ ）A ．(0,)+∞B ．(5,)+∞C ．(0,6)D ． (5,6)5．已知向量,a b r r 满足||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r的夹角取值范围是 （ ）A ．π[0,]3 B ．π[,π]3 C ．π2π[,]33D ．ππ[,]326.在△ABC 中,已知4,3,30AB AC ABC ==∠=o,则满足条件的三角形个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4813S S =,则816S S = （ ） A ．18B ．13C ．19D ．3108．已知向量,a b r r 夹角为60o,且||1,||a a b =-=r r r 则||b =r （ ） A ．1BC ．12D ．129． 已知函数2()(0)f x x px q p =++>,当120,0x x >>时, a f =,12()2x x b f +=,121[()()]2c f x f x =+,则,,a b c 之间的大小关系为 ( ) A ．a b c ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ．c a b ≤≤ D ． b a c ≤≤10．将ππ2sin()cos()44y x x =+-的图象和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为:123,,,,P P P L 则24||P P = （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π第Ⅱ卷（非选择题 ,满分100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应位置． 11．已知π3sin()45α-=,则sin 2α= ． 12．不等式10x x-<的解集为 ． 13．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图象与x 轴有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ．14．已知向量(,),(cos α,sin α)a x y b ==r r 其中,,x y R α∈,若||4||a b =r r ,则使2λa b ⋅<r r 恒成立的实数λ的取值范围是 ． 15．已知123n S n =++++L ,*1()()(32)nn S f n n N n S +=∈+,则()f n 的最大值是 .16．已知函数()sin(ω+)f x x =ϕ(πω0,||2>ϕ<),给出下列四个论断： ①()f x 的图象关于直线π12x =对称;②()f x 的图象关于点π(,0)3对称;③()f x 的周期为π; ④()f x 在π[,0]6-上是增函数，试以其中两个为条件,另两个为结论,写出一个你认为正确的命题 (填序号即可).11.72512.(,1)(0,1)-∞-U 13.(0,1)(1,10)U 14.(,2)(2,)-∞-+∞U 15.15016.①③⇒②④或②③⇒①④三.解答题:本大题共5小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请将解题过程写在答卷纸指定的方框内.17.（本题满分12分）已知函数()sin(θ)cos(θ)f x x x =++-的定义域为R.（1）当πθ=2时,求()f x 的单调增区间; （2）当θ[0,2]π∈,且()f x 为偶函数时,求θ的值.解:（1） 当πθ=2时, ππ()sin()cos()cos sin 22f x x x x x =++-=+)4x π=+,由πππ2k πx+2k π+242-≤≤,解得3ππ2k πx 2k π+()44k Z -≤≤∈,∴此时()f x 的单调递增区间是3ππ[2k π,2k π+]()44k Z -∈.（2）∵()f x 为偶函数,∴()()f x f x -=对x R ∈恒成立,∴sin(θ)cos(θ)sin(θ)cos(θ)x x x x -++--=++-对x R ∈恒成立, ∴sin(θ)cos(θ)sin(θ)cos(θ)x x x x --++=++-对x R ∈恒成立, ∴cos(θ)cos(θ)sin(θ)sin(θ)x x x x +--=++-对x R ∈恒成立, 即2sin sin θ=2sin cos θx x -对x R ∈恒成立,又sin x 不恒为0,∴sin θcos θ=-,tan 1θ=-,又θ[0,2]π∈,故37,44ππθ=. 18.（本题满分14分）已知向量(λcos α,λsin α)OA =u u u r λ0≠,(sin β,cos β)OB =-u u u r,其中O为坐标原点.（1）若πβ=α6-,求向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角的大小;（2）若||||AB OB ≥u u u r u u u r对任意实数α,β都成立,求实数λ的取值范围.解:设向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ,则OA cos θ=|OA |||OBOB ⋅u u u r u u u ru u ur u u u r , 即OA cos θ=sin()||2|||OA |||OB OB λλαβλλ⋅==-=u u u r u u u r u u u r u u u r∴当0λ>时,1πcos θ=,θ=23, 当0λ<时,12πcos θ=,θ=23-. （2）∵(sin βcos α,cos βsin α)AB λλ=---u u u r,∴||AB ==u u u r又||1OB =u u u r ,且||||AB OB ≥u u u r u u u r对任意实数α,β都成立,1≥对任意实数α,β都成立,即22sin(βα)0λλ+-≥对任意实数α,β都成立, ∴λ[λ2sin(βα)]0+-≥对任意实数α,β都成立, 当λ0>时, λ2sin(βα)0+-≥对任意实数α,β都成立,λ2sin(βα)≥--对任意实数α,β都成立,∴λ2sin(βα)≥--的最大值2,即2λ≥;当λ0<时, λ2sin(βα)0+-≤对任意实数α,β都成立,λ2sin(βα)≤--对任意实数α,β都成立,∴λ2sin(βα)≤--的最小值-2,即2λ≤-;19.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足1331(2)nn n a a n -=+-≥,其中4365a =.（1）求123,,a a a 的值（2）若存在一个实数λ使数列λ{}3n n a +为等差数列,求λ的值以及数列{}n a 的通项公式. 解:（1）∵1331(2)n n n a a n -=+-≥∴443331a a =+-,又4365a =,∴395a =, ∴33233195a a =+-=,223a =,∴22133123a a =+-=,15a =.（2）若存在一个实数λ使数列λ{}3n na +为等差数列, 则当n ≥2时,11λλ33n n n n a a --++-=常数(n 与无关) 而11111λλ33331333333n n n n n n n n n n na a a a a a λλλλ-----+++--+-+---==31212133n n nλλ--+==-, ∴当12λ=-时,数列12{}3n n a -为首项为153232-=,公差为1等差数列. ∴132(1)132n n a n -=+-⨯,∴11()322n na n =++. 20.（本题满分14分）已知两个二次函数2()1f x ax bx =++与22()1g x a x bx =++,其中函数()y g x =图象经过点12(,0)(,0)x x 与,(12x x <).（1）判断函数()y f x =在(1,1)-上是否是单调函数,并说明理由; （2）当1a >时,试判断12()()f x f x 与值的正负,并证明你的判断正确;（3）设34,x x 是关于x 的方程210ax bx ++=的两实根,且34x x <,试确定当1a >时1234,,,x x x x 之间的大小关系, 并说明理由.解:（1）函数()y f x =在(1,1)-上是单调函数,理由如下: ∵()y g x =图象经过点12(,0)(,0)x x 与,(12x x <).∴2240b a ->,即||2||b a >,||2b a >,∴22b ba a><-或, 又2()1f x ax bx =++的图象对称轴方程为2b x a=-,∵22b b a a ><-或∴1122b b a a-<-->或∴函数()y f x =在(1,1)-上是单调函数. （2）12()0,()0f x f x <<,证明如下:∵函数()y g x =图象经过点1212(,0),(,0)()x x x x <. ∴12,x x 是2210a x bx ++=的两实根,∴221110a x bx ++=,222210a x bx ++=,且12210x x a=≠,又1a >,∴22222111111()1(1)0f x ax bx ax a x ax a =++=-=-<, 22222222212()1(1)0f x ax bx ax a x ax a =++=-=-<,（3）3124x x x x <<<,理由如下:∵34,x x 是关于x 的方程210ax bx ++=的两实根(34x x <)∴当1a >时, 函数()y f x =图象开口向上,经过点34(,0)(,0)x x 与, 又12()0,()0f x f x <<12()x x <,∴12,x x 必分布在3x 与4x 之间.∴3124x x x x <<<. 21.（本题满分16分）已知函数1()()42x f x x R =∈+. （1） 试证:001()(1)2f x f x +-=; （2） 若数列{}n a 的通项公式是*()(,1,2,3,,)n na f n N n m m=∈=L , 求数列{}n a 的前m 项和m S . （3） 设数列{}n b 满足113b =,21n n n b b b +=+,12111111n nT b b b =++++++L , 若（2）中的m S 对任意不小于2的正整数n 都有m n S T <成立,试求m 的最大值.解:（1）0000000111141()(1)4242424242x x x x x f x f x -+-=+=+=++++⨯ （2）∵123m m S a a a a =++++L ∴121()()()()m m mS f f f f m m m m -=++++L , 121()()()()m m m S f f f f m m m m-=++++L ,∴1122112()[()()][()()][()()]()m m m m m mS f f f f f f f f m m m m m m m m---=+++++++L∴122(1)(1)2m S f m =+-⨯,又1(1)6f =, ∴3112m m S -=. （3）21(1)n n n n n b b b b b +=+=+,又1103b =≠, ∴*n N ∈时, 0n b ≠,∴11111(1)1n n n n n b b b b b +==-++,11111n n n b b b +=-+∴12122311111111111()()()1111n n n n n T b b b b b b b b b b +=+++==-+-++-++++L L 1111113n n b b b ++=-=-. ∵210n n n b b b +-=>∴1n n b b +>,∴2n ≥时,2n T T ≥,即23175352n T T b ≥=-=, ∵m n S T <对任意2n ≥都成立,∴min 75()52m n S T <=, ∴31751252m -<,∴23839m <又*m N ∈,故m 的最大值为6.。