宜宾市高新2010级一诊考试参考答案(理科)

宜宾市高新2010级一诊考试数学（理工农医类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分） 11.不能； 12.-1； 13. 21； 14. 3； 15. }202|{≥=-≤x x x x 或或. 三、解答题（共75分）16．解：（Ⅰ）等比数列{}n a 的首项211=a ，公比21=q ………………………（1分） n S =n n nq q a 211211)211(211)1(1-=--=--………………………（5分） （Ⅱ）n n a a a b 22212log ...log log +++= =n 21log ...21log 21log 2222+++………………………（6分） )321(n ++++-=………………………（9分） =2)1(+-n n ………………………（11分） 所以数列{}n b 的通项公式2)1(+-=n n b n (12)17．解：（Ⅰ）)cos(sin cos )2sin()(x x x x x f +⋅--=ππx x x cos sin cos 2+=………（2分）21)42sin(22)12cos 2(sin 212sin 21cos 2++=++=+=πx x x x x ……（3分）令Z k k x k ∈+<+<+-,224222πππππ所以函数)(x f 的单调增区间为：Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-k ,k 8,83ππππ ………………………（5分） 为同理可得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,85,8ππππ ………………………（6分） （Ⅱ）因为)(A f =1，所以121)42sin(22=++πA 所以22)42sin(=+πA 因为A 为锐角，所以45424πππ<+<A ………………（8分） 所以4342ππ=+A ，所以4π=A ………………（9分） 在△ABC 中，由正弦定理得，3sin4sin 2sin sin ACBAC A BC ==即………（11分）解得6=AC ………………（12分）18．解： (Ⅰ) 记“学生A 、B 、C 中有一人选修课程甲，且无人选修课程乙”为事件R ……（1分）163422)(313=⨯⨯=C R P ………………（5分）答：学生A 、B 、C 中有一人选修课程甲，且无一人选修课程乙的概率为163. ………………（6分） (Ⅱ) 课程丙或丁被这3名学生选修的人数ξ=0、1、2、3 ………………（7分）64842)0(33===ξP ， 642442)1(321213=⨯⋅==A C P ξ，6424422)2(322231223=⨯+⨯==A C A C P ξ， 6484)3(312332223=+⋅==A C A C P ξ. …………（11分） 所以 23648364242642416480=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （人）. ………………（12分）19．解：（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ………………（2分） ①当1a ≥时，0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数………………（3分） 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a++………………（4分）②当01a <<时，12y at b b at=++≥+………………（6分） 当且仅当11(,ln )xat t e x a a====-时，()f x 的最小值为2b +………………（7分）（II ）11()()xxx xf x ae b f x ae ae ae '=++⇒=-………………（8分）由题意得：2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩………………（12分） 20．解：（Ⅰ）设C 方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知b=32 离心率222,21c b a a c e +===………………（3分） 得4=a所以，椭圆C 的方程为1121622=+y x ………………（4分） （Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得占P 、Q 的坐标为)3,2(P ，)3,2(-Q ，则6||=PQ ，设A (),,11y x B(22,y x ),直线AB 的方程为t x y +=21，代人1121622=+y x 得01222=-++t tx x 由△>0,解得44<<-t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x tx x 四边形APBQ 的面积 2213483621t x x S -=-⨯⨯=………………（6分） 故，当312,0max ==S t ………………（7分）②∠APQ=∠BPQ 时，PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为)2(3-=-x k y 与1121622=+y x 联立解得 048)23(4)23(8)43222=--+-++k kx k x k （，2143)32(82k kk x +-=+………………（9分）同理PB 的直线方程)2(3--=-x k y ，可得2243)32(82kkk x ++=+ 所以22122214348,431216kkx x k k x x +-=-+-=+………………（11分） 212121213)2(3)2(x x x k x k x x y y k AB ---++-=--=214824434843161212164)(22332121=--=+-+---=--+=k k kk k k k k k x x k x x k 所以直线AB 的斜率为定值21………………（13分） 21．解：（Ⅰ）321()1,3f x x ax bx =+-+2()2,f x x ax b '∴=+- 由题意(1)121,f a b '∴=+-=2.b a ∴= ① …………………………………………………………（1分）.02)(,)(2有两个不等实根方程有极值=-+='∴b ax x x f x f22440,0.a b a b ∴∆=+>∴+> ②由①、②可得，220.20.a a a a +>∴<->或故实数a 的取值范围是),0()2,(+∞--∞∈ a …………………………………（3分 ） （Ⅱ）存在8.3a =- ………………………………………（5分）由（1）可知0)(,2)(2='-+='x f b ax x x f 令，12x a x a ∴=-=-，且),0()2,(+∞--∞∈ a1123)(,)(,2223222=+-+==∴axaxxxfxfxx则取极小值时，632222=-+=∴aaxxx或.……………………………………………………（6分）20,0,0().x a a=-+==若即则舍……………………………………（7分）222222222360,()0,220,40.80,4,4 2.3x ax a f x x ax a ax aa x a a'+-==∴+-=∴-=≠∴=∴-=∴=-<-若又)(,38xfa使得函数存在实数-=∴的极小值为1.………………………………（8分）（Ⅲ）由xxbaxxfxg ln212)()(--+-'=xxbaxbaxxln21222--+--+=xxx ln21--=即xxxxg ln21)(--=故，0)1(12211)(22222>-=+-=-+='xxxxxxxxg则)(xg在),1(+∞上是增函数，故0)1()(=>gxg，所以，)(xg在),1(+∞上恒为正。

.………………………………（10分）（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）当*Nn∈时，11>+nn，设nnx1+=，则nnnnnnnng1ln211)1(+-+-+=+]ln)1[ln(211111nnnn-+-++-+=]ln)1[ln(2111>-+-++=nnnn即，]ln)1[ln(2111nnnn-+>++.………………………………（12分）上式分别取n的值为1、2、3、……、)1(-n累加得：)111()4131()3121()2111(nn+-+++++++)]1ln(ln3ln4ln2ln3ln1ln2[ln2--++-+-+->nn，（1>n）n n n ln 21)11413121(21>+-+++++∴ ，（1>n ）n n n n 11ln 2)1114131211(2++>+-+++++∴ ，（1>n ）)11(21ln 1114131211nn n n ++>+-+++++∴ ，（1>n ）即，∑=<++ni i n n 11)11(21ln ，（1>n ）又当1=n 时，∑==++ni i n n 11)11(21ln ，故∑=≤++ni in n 11)11(21ln ，当且仅当1=n 时取等号。

.……………………（14分）。