2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中考试数学(文)(含答案)

宁德部分一级达标中学2018-2019学年下学期期期中联合考试高二数学试卷（文科）(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的位置关系是 A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线(R)2πθρ=∈对称2．欧拉公式cos sin i e i θ=θ+θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家 欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根 据欧拉公式可知，复数3i e π的虚部为3. 用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于1 4．函数()2()2sin f x ex x =+的导数是A ．()4cos f x ex x '=+B ．()4cos f x ex x '=-C ．2()8cos f x e x x '=+D ．2()8cos f x e x x '=-5. ====2a b +的值分别是A ．79B ．81C ．100D ． 986．曲线312()33f x x x =-++在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为 A ． 6 B ．32C ．3D ．127．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是A ．1(,)e e B ．1(0,)e C ．1(,)e -∞ D ．1(,)e+∞8. 2018年4月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是A ．甲B ．丁或戊C ．乙D ．丙9．函数2()xx xf x e +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．10. 用长为30 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3：2，则该长方体最大体积是A ．24B ．15C ．12D ．6 11．若12>>1x x ，则A. 1221x x x e x e >B. 1221x xx e x e < C. 2112l n l n x x x x > D. 2112ln ln x x x x <12．对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为 A.2(,)e-∞-B.(,2)e -∞-C.2(,]e-∞-D. (,2]e -∞-第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．若复数(1)(2)z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是_______． 14．在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4,)6B π-，则A ，B 两点间的距离为_______．15．设等边ABC 的边长为a ，P 是ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++；由以上平面图形的特性类比 空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++为定值_______．16．已知函数31()32x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2()(2)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线:20l x y -+=， （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．18．(本小题满分12分)（Ⅰ）已知m R ∈，复数22(45)(215)z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程(2)=0z z i +-，求z 及2i z +的值．19．(本小题满分12分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数1()42x f x =+， （Ⅰ）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值； （Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数()2xf x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，'()()10x k f x x -++>，求k 的最大值．2018--2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（文科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．12．解析：分离参数得x ex x x a 2ln 2-+≤，令x ex x x x h 2ln )(2-+=，12ln )(-+='ex x x h 在),0(+∞∈x 单调递增，且0)1(=eh ，所以)(x h 在)1,0(e x ∈单调递减，),1(+∞∈e x 单调递增，e x h 2)(min -=，ea 2-≤，选C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．5 15 16．(2,1)-三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）圆C ：=cos sin ρθθ+，即2=cos sin ρρθρθ+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； ···················3分 直线:20l x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=．············6分（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， 圆心C = ················································8分因此圆C 上的点到直线l ． ············································· 10分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2245051532150m m m m m m m m ⎧--===-⎧⎪⇒⎨⎨≠≠---≠⎪⎩⎩或且， ……………………………4分解得1m =-时，z 为纯虚数. ……………………………………………………… 6分（Ⅱ）2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，………………………………………………… 8分从而1i z =-， ………………………………………………………… 10分所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+ ………………………………………… 12分19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）2()3(2),f x x '=-令()0,f x '= 得12x x == ……………………… 2分∴当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<；……………4分∴)(x f 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是)2,2(-. ……… 6分（Ⅱ） 当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-；………… 9分∴由)(x f y =的图像性质可知：当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，即方程α=)(x f 有三解. …………………………………………………… 12分20．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）0111111(0)(1)=+=+=4242362f f +++； ………………………………… 2分同理-1211411(1)(2)=+=+=42429182f f -+++； …………………………………4分-23111611(2)(3)=+=+=424233662f f -+++． ………………………………… 6分（Ⅱ）由此猜想：当12+=1x x 时，121()()=2f x f x +． …………………………………8分证明：设12+=1x x ，则1112111111121-111114241()()=+=+=+=+42424242424242(422(422x x x x x x x x x x f x f x +=++++++⨯⨯+⨯+）），故猜想成立． ……………………………… 12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）根据题意可知y h x =()的定义域为+∞(0,)， ·······························1分··········2分故当x ∈(0,1)时，h x '>()0,故h x ()单调递增； ············3分 当x ∈+∞(1,)时，h x '<()0,故h x ()单调递减， ·······4分 所以当x =1时，h x ()取得极大值h =(1)0，无极小值．（极小值未写扣1分） ····································································6分（Ⅱ）由h x x a x x =--2()ln ()得h x a x x'=--1()(21)， ········7分 若函数y h x =()在+∞[1,)上单调递减，此问题可转化为h x a x x'=--≤1()(21)0对x ≥1恒成立； ······························8分x a x x x ≥==--1121(21)x x ≥-max 21()2 ·········9分 当x ≥1时，x x -≥221，则x x <≤-21012，x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2max112， ··············· 11分 故a ≥1，即a 的取值范围为[)+∞1,． ········ 12分 22．(本小题满分12分)．解：（Ⅰ）由于'()xf x e a =-， ····················································1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故()f x 在R 上单调递增； ············2分 当0a >时，令'()0f x >，得ln x a >；令'()0f x <，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． ······4分 （Ⅱ）解法一：由于1a =，所以'()()1()(1)1x x k f x x x k e x -++=--++．故当0x >时，()(1)10x x k e x --++>等价于()1x x k e k ->--． ·····5分 设()()x g x x k e =-，则'()()(1)x x x g x e x k e x k e =+-=-+， ·····6分 令'()0g x >，得1x k >-；令'()0g x <，得1x k <-，所以，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增． ················7分 又0x >，当1k ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g k >=-，这时显然有()1g x k >--成立； ·····8分 当1k >时，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增， 故(0,)x ∈+∞时，()g x 在1x k =-处取得最小值1(1)k g k e --=-．要使得()1x x k e k ->--（0x >）成立，需11k e k -->--，即11k e k -<+．·······9分 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点， ················ 10分 故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈． ········· 11分 因为k 为整数，且1k >，故2k ≤，即整数k 的最大值为2． ············· 12分解法二：由于1a =，所以'()()1()(1)1xx k f x x x k e x -++=--++． 故当0x >时，()(1)10xx k e x --++>等价于11xx k e +<-（0x >）． ·········6分 令1()1x x g x x e +=+-，则'221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----=+=--． ··············7分 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点，故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点． ·····8分 设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈．当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增． ·····························9分 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为00001()1x x g x x e +=+-． ····························· 10分 又由'0()0g x =，可得002x e x =+， 所以000001()1(2,3)(2)1x g x x x x +=+=+∈+-． ································· 11分 又由11xx k e +<-（0x >）等价于0()k g x <，故整数k 的最大值为2． ··············· 12分。