浙江省绍兴市2019_2020学年高一数学下学期末调测试题
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
浙江省绍兴一中2020至2021学年高一下学期期中考试数学试题
绍兴一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题命题：杨国仁 校对： 陈连原一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．cos 4的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．无法确定 2．若2，a ，4成等差数列，1，b ，9成等比数列，则ba的值（ ） A ．12±B ．12C ．1D ．1±3．若1tan()43πα+=-，则tan α的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．2D ．-24．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22()3b c a +-=，且60A =︒，则bc 的值为（ ）A ．3 B．6- C ．1 D ．-15．数列{}n a 对一切正整数n 都有32n n S a =-，其中n S 是{}n a 的前n 项和，则3a =（ ）A ．92B ．92-C ．-94D ．946．函数2sin 2y x =的图象的一个对称中心是（ ）A ．(,2)2πB ．(,0)4πC ．(,2)4πD ．(,0)2π7．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于（ ）A ．0B ．8C ．144D ．162 8．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，则x y sin =的图象可由函数()y f x =的图象（纵坐标不变）作如下变换得到（ ）A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移3π个单位 B ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位C ．先把各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移6π个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位9．已知函数2()3sin cos 444x x x f x m =+-+，若对于任意的33x π2π-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A．2m ≥B ．32m ≥- C．2m ≥- D ．32m ≥ 10．在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的*m N ∈均成立，那么称数列{}n a 为周期数列,其中T 叫数列的周期.若数列{}n x 满足11||n n n x x x +-=-（2n ≥且n N ∈），且12x =，2x a =(,0)a R a ∈≠，当数列{}n x 的正周期最小时，该数列的前2012项的和是（ ）A ．1344B ．2684C ．1342D ．2688 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．已知等比数列{}n a 中，12a =，38a =，则7a = ；12．若弧度是3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为 ； 13．已知函数()sin cos f x x a x ϖϖ=+（0,0a ϖ>>）取最大值为2，最小正周期为2π，则函数()sin cos g x a x x ϖϖ=-图象的对称轴为 ；14．已知数列{}n a 满足149a =，12n n a a n +=+，则na n的最小值为 ； 15．函数22lg(cos sin )y x x =-的单调递减区间是 ； 16．已知等差数列{},{}n n a b 的前ｎ项和分别为n S 和n T ，若7393n n S n T n +=+，且2n na b 是整数，则ｎ的值为 ；17．对于△ABC ，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B ,则△ABC 为等腰三角形， ②若sinB=cosA,则△ABC 是直角三角形， ③若coscoscos222a b c A B C ==, 则△ABC 为正三角形，④若sin2A+sin2B+sin2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形，⑤若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形。
浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷含答案
绍兴2023学年第二学期期中考试高一（素养班）试卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足z=i （2+z ）（i 为虚数单位），则z=（）A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求解好、即可【详解】由题意2i i z z =+，()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z +===-+--+．”故选：C ．2.如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，2A D ''=，1A B B C ''''==，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（）A.B.C.D.5【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，由斜二测法则知22AB A B ''==，1BC B C ''==，所以AC ===故选：C ．3.已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与标准差分别为（）A.54-，B.516-，C.416， D.44，【答案】A 【解析】【分析】根据样本数据同加上一个数和同乘以一个数后的新数据的平均值和方差的性质即可求解.【详解】由题意知，样本数据12100,,,x x x 的标准差为4，所以样本数据12100,,,x x x 的方差为16，因为样本数据12100,,,x x x 的平均数为4和方差为16，所以121001,1,,1x x x ------ 的平均数为415--=-，121001,1,,1x x x ------ 的方差为()211616-⨯=，所以121001,1,,1x x x ------ 的标准差为4，故选：A.4.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（）A.π B.π2C.π3 D.π4【答案】C 【解析】【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为r ，则12π2π1π2r =⨯⨯=，解得：12r =；∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为136=，即圆锥内切球半径6=R ，∴圆锥内切球的表面积21π4π4π123S R ==⨯=.故选：C.5.光源(3,2,1)P 经过平面Oyz 反射后经过(1,6,5)Q ，则反射点R 的坐标为（）A.75(0,,)22B.(0,4,3)C.97(0,,)22D.(0,5,4)【答案】D 【解析】【分析】设点P 关于平面Oyz 的对称点为P '，得到点R 为P Q '与平面Oyz 的交点，令(0,,)R m n ，结合PR PQ λ=，列出方程组，即可求解.【详解】设点(3,2,1)P 关于平面Oyz 的对称点为P '，可得(3,2,1)P '-，则点R 为P Q '与平面Oyz 的交点，令(0,,)R m n ，则P R P Q λ''=，且(1,6,5)Q ，又由(3,2,1),(4,4,4)P R m n P Q ''=--=，所以342414m n λλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得5,4m n ==，所以(0,5,4)R .故选：D.6.若4,2145,,,的第 p 百分位数是4,则 p 的取值范围是（）A.(]4080，B.[)4080，C.[]40,80 D.()40,80【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】1,2,4,4,5的第 p 百分位数是4,则()5%24p ⨯∈，，所以()4080p ∈，.故选：D7.如图是棱长均相等的多面体EABCDF ，其中四边形ABCD 是正方形，点P Q M N ，，，分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】取AE 的中点K ，连接PK ，QK ，求得1122PQ DA EB =+ ，1122MN DF AB =+，则可求得PQ MN ⋅ ，进一步求得32PQ MN ==,按向量夹角公式求解即可【详解】如图，四边形ABCD ，BEDF 均是边长为a 的正方形，多面体的侧面均为等边三角形，取AE 的中点K ，连接PK ，QK ，则1122PQ PK KQ DA EB =+=+.同理可得1122MN DF AB =+.所以1111()()2222PQ MN DA EB DF AB ⋅=+⋅+ 11114444DA DF DA AB EB DF EB AB=⋅+⋅+⋅+⋅21π11π1cos 0cos 434432a a a a a a =⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⋅=取CE 的中点H ，连接PH ，BH ，则//PH CD ，且1.2PH CD =又点Q 为AB 的中点，AB CD =且//AB CD ，所以//PH QB 且PH QB =，则四边形QBHP 为平行四边形，所以πsin32PQ BH BE ==⋅=.同理可得=MN .设PQ ，MN的夹角为θ，则2122cos 322a PQ MN PQ MNθ⋅==⋅，即异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为23.故选：C8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是直线CD AB ，上的动点，点 P 是△11AC D 内的动点（不包括边界），记直线1D P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则1D P 与平面11AC D 所成角的正弦的最大值为（）A.36-B.36+C.6D.6+【答案】B 【解析】【分析】根据正方体的几何性质，作出1QD ⊥平面11AC D ，再由线面角的最小性可知，当α取最大值时，,,D P Q 三点共线，只需求此时1D PQ ∠的正弦值即可.【详解】如图所示，连接1BD ，交平面11AC D 于点Q.设1D P 与平面11AC D 所成角为α，正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得，1BD ⊥平面11AC D ，所以1QD ⊥平面11AC D ，且点Q 为11A C D 的中心，所以1sin sin D PQ α=∠.又因为直线1D P 与MN 所成角为θ，且θ的最小值为π3，所以1D P 与平面1111D C B A 所成角为π3，所以1DD P ∠为π6.由线面角的最小性可知，当α取最大值时，,,D P Q 三点共线，所以此时1111π6D PQ D DP DD P D DP ∠=∠+∠=∠+.又因为在1DD Q中，易得11133D Q BD ==，1DD a =，所以63DQ a ==，所以1111136sin 33D Q DQ D DQ D DQ DD DD ====∠∠，所以1111πsin sin sin()sin()6D PQ D DQ DD P D DQ α==∠+∠=∠+∠11113sin cos 2223236D DQ D DQ +=∠∠=⨯⨯+.故选：B .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A “3件产品都是次品”，事件B “至少有1件是次品”，事件C “至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（）A.A 与C 为对立事件B.B 与C 不是互斥事件C.A B A =D.()()1P B P C +=【答案】ABC 【解析】【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.事件B 的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，事件C 的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.A 与C 为对立事件，故A 正确；B C ⋂={2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则B 与C 不是互斥事件，故B 正确；A B ⊆ ，A B A ∴⋂=，故C 正确；由上知()()1P B P C +>，故D 错误.故选：ABC10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)[)[)[)[]506060707080809090100，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间[)5060，内的人数为16．则（）A.图中0.016x =B.样本容量1000n =C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分【答案】AD 【解析】【分析】根据频率之和等于1，即可判断A ；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意算出25%分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D ．【详解】对于A ，因为()0.0300.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.016x =，故A 正确；对于B ，因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量16(0.01610)100n ⨯=÷=，故B 不正确；对于C ，学生成绩平均分为0.01610550.03010650.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 不正确；对于D ，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为y ，由于[)90,100的频率为0.004100.04⨯=，[)80,90的频率为0.010100.10⨯=，[)70,80的频率为0.040100.40⨯=，则0.040.100.140.25,0.040.100.400.540.25+=<++=>，所以[7080),y ∈，则()()100.0040.010800.0400.25y ⨯++-⨯=，解得77.25y =，所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D 正确．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a .则（）A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为312a⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.勒洛四面体中过A B C ，，三点的截面面积为(212π4a D.勒洛四面体的体积3326π128V a a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于a ，进行判断；对于B ，求出BE a =，4OB a =，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C ，找到最大截面，求出截面面积；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四杨体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球体积之间，求出正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积，从而求出答案．【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值a ，故A 正确；勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，由题意得该球的球心O 为正四面体ABCD 的中心，半径为OE ，连接BE ，易知B ，O ，E 三点共线，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，由题意得：222))r r -+=，解得4r a =，BE a ∴=，4OB a =，由题意得(1)44OE a =-=-，故B 错误；勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图，则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为a ，圆心角为60︒的扇形的面积减去两个边长为a 的正三角形的面积，即222113π2(π642a a ⨯-⨯=-，故C 错误；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积之间，正四面体底面面积为24a ，底面所在圆的半径为2323a ⨯=，∴=，∴正四面体ABCD 的体积231136234312V a a a =⨯⨯=，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，则由题意得：222()()33a r a r -+=，解得4r a =，∴正四面体ABCD 的外接球的体积为328V a =，∴勒洛四面体的体积V 满足33π128a V a <<，故D 正确．故选：AD ．【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下;(1)定球心:如果是内切球，球心到切点的距离相等目为球的半径;如果是外接球，球心到接点的距离相等目为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝______.【答案】{}0,1,2,3,4【解析】【分析】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，由此能求出样本空间.【详解】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，所以样本空间{0,1,2,3,4}Ω=.故答案为：{0,1,2,3,4}.13.如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______．【答案】1327【解析】【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案.【详解】设事件“第(N )i i *∈次划拳甲赢”为i A ，事件“第(N )i i *∈次划拳甲平局”为i B ，事件“第(N )i i *∈次划拳甲输”为i C ，则()()()13i i i P A P B P C ===；故()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++()()()()()()()()()()()()1231231231232222P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++11111111111111111122222333333333333333333=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯11113233327+⨯⨯⨯=，故答案为：1327【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输.14.在三棱锥 A BCD -中，二面角 A BD C --的大小为π3， BAD CBD ∠∠=，2BD BC ==，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________．【答案】4π3【解析】【分析】221R OE =+，故只需求OE 的最小值，则在四边形12OO EO 中计算即可.【详解】取ABD △外心1O ，BCD △外心2O ，BD 中点为E ，则222O A O B O D ==，111O B O C O D ==，2OO ⊥面ABD ，1OO ⊥面BCD 所以12,O E BD O E BD ⊥⊥，12π3O EO ∠=，设BAD CBD θ∠=∠=，由正弦定理得22sin BDO B θ=，余弦定理得2222cos 88cos CD BC BD BC BD θθ=+-⋅=-，所以4sin2CD θ==，所以由正弦定理得12sin CD O B θ=，即11cos 2O B θ=，所以21sin O B θ=，21tan O E θ==，1tan 2O E θ==，在四边形12OO EO 中，22221212122tan12tan 2tan tan O O O E O E O E O E θθθθ=+-⋅=+-222422221tan 1tan 7tan 4tan 1222tan 224tan 4tan 22θθθθθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=+-=，222212227111111tan 32333sin 3tan 32O O R OE θπθ-=+=+=+-≥=，当且仅当14tan 72θ-=时等号成立，所以三棱锥外接球表面积最小值为()2414ππ3R =，故答案为：4π3.【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设BAD CBD θ∠=∠=，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）,（2）()1,2m ∈【解析】【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，PB PD =，M 为PC 的中点.（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若PC ==，求直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）设AC 交BD 于点N ，连接PN ，可证明BD ⊥平面PAC ，从而得到平面PBD ⊥平面PAC .（2）可证PA ⊥平面ABCD ，取CD 的中点E ，则AE AB ⊥，故以A 为坐标原点，直线,,AB AE AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求线面角的正弦值，或利用等积法求出点P 到平面AMD 的距离为d ，故可求线面角的正弦值.【小问1详解】设AC 交BD 于点N ，连接PN ，.PB PD = ，PN BD ∴⊥.底面ABCD 是以2为边长的菱形，AC BD ∴⊥.又PN AC N = ，,PN AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC .又BD ⊂Q 平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .【小问2详解】法一： 底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，ABC ∴ 与ACD 为等边三角形，2AC ∴=.PC ==222PC PA AC ∴=+，即PA AC ⊥.BD ⊥ 平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BD PA ∴⊥.又BD AC N = ，,BD AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .取CD 的中点E ，则AE CD ⊥，AE AB ∴⊥.又PA ⊥平面ABCD ，故以A 为坐标原点，直线,,AB AE AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,A B P C，()1,,,122D M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()()12,,,1,22PD AM AD ⎛⎫∴=--==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面AMD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AD n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10.22x x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩取x =1,y z ==n = .设直线PD 与平面AMD 所成角为α，则sin 14n PD n PDα⋅=== ，∴直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值为4214.法二： 底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，ABC ∴ 与ACD 均为等边三角形，2AC ∴=.PC == 222PC PA AC ∴=+，即PA AC ⊥.由（1）知BD ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BD PA ∴⊥.又BD AC N = ，,BD AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .AD ⊂ 平面ABCD ，PA AD ∴⊥，∴由勾股定理得PD =，M 为PC的中点，12AM PC ∴==.在PCD中，由余弦定理得2222222cos 24PC CD PD PCD PC CD+-+-∠===⋅，在MCD△中，由余弦定理得2222222cos 24MD CM CD MD PCD CM CD+-+-∠===⋅，解得2MD =.在AMD 中，2AD MD ==，AM =，1222AMD S ∴==△.设点P 到平面AMD 的距离为d ，又易知点C 到平面PAD由P AMD M PAD V V --=得，111323AMD PAD S d S ⋅=⨯⨯△△，11112232232d ∴⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得d =.所以直线PD 与平面AMD 所成角的正弦值为4214d PD ==.17.为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2和17.56．（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；（2）求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．【答案】（1）45；30；（2）平均数14；方差16.【解析】【分析】（1）首先计算抽样比，再计算男生和女生应抽取的人数；（2）代入总体平均数公式和方差公式，即可求解.【小问1详解】总体容量1500，样本容量75，则抽样比为751150020=，所以样本中男生数量119004520n =⨯=，女生数量()2115009003020n =-⨯=.【小问2详解】抽取的样本中男生的平均数13.2x =，方差2113.36s =，抽取的样本中女生的平均数15.2y =，方差2217.56s =，所以总体样本的平均数为()14513.23015.21475ω=⨯+⨯=，总体样本的方差()(){}22214513.3613.2143017.5615.21475s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦()16305701675=+=.所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.18.如图，已知直角三角形ABC 的斜边//BC 平面α，A 在平面α上，AB ，AC 分别与平面α成30 和45 的角，6BC =．（1）求BC 到平面α的距离；（2）求平面ABC 与平面α的夹角．【答案】（1；（2）π3.【解析】【分析】（1）过,B C 作平面α的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解.（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得.【小问1详解】过B 作BE α⊥，垂足为E ，过C 作CF α⊥，垂足为F ，连AE 、AF 、EF ，则30BAE ∠=o ，45CAF ∠= ，设BC 到平面α的距离为d ，由//BC 平面α，得BE CF d ==，在Rt BEA 中，sin30d AB=，则212dAB d==，在Rt CAF △中，AC =，在Rt ABC △中，222BC AB AC =+，则223624d d =+，所以d =.【小问2详解】由（1）知，四边形BCFE 是矩形，过点A 作直线//l EF ，显然//l BC ，在平面α内过点A 作AO EF ⊥于O ，则AO l ⊥，过O 作//OG BE 交BC 于G ，连接AG ，则,OG OG EF α⊥⊥，有OG l ⊥，而,,AO OG O AO OG =⊂ 平面AOG ，于是l⊥平面AOG ，又AG ⊂平面AOG ，则l AG ⊥，即GAO ∠平面ABC 与平面α的夹角，由（1）知，AB AC ==，则12ABC S AB AC =⋅= ，在△AEF中，6AE AF EF ===，，则222cos 23AE AF EF EAF AE AF +-∠==⋅，于是1sin 3EAF ∠=，1sin 2EAF S AE AF EAF =⋅⋅∠= 因此112cos 122EAF ABC EF AOS AO GAO AG S BC AG ⋅∠====⋅ ，又π02GAO <∠≤，则π3GAO ∠=，所以平面ABC 与平面α的夹角为π3.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD SA SC ，，分别交于点,,P Q R ，且AP SQ CRAD SA CS==，点M 在直线SB 上运动，在线段CD 上是否存在一定点N，使得其满足：（i ）直线//MN α；（ii ）对所有满足条件（i ）的平面α，点M 都落在某一条长为m的线段上，且3m SB =．若存在，求出点N 的位置；若不存在，说明理由．【答案】存在， N 在靠近 C 的三等分点处.【解析】【分析】以,,SA SB SC为一组基地，用向量证明即可.【详解】存在，N 在靠近C 的三等分点处.设SA a SB b SC c SD d ====，，，，则d a b c =-+，因为AP SQ CRx AD SA CS ===，所以()1SQ xa SR SC CR c xc x c ==+=-=-，，()()()11SP x a xd x a x a b c a xb xc =-+=-+-+=-+，又因为//MN α，所以存在λμ∈R ，，使得NM QR QP λμ=+，故()SM SN SP SQ SR μλμλ=+-++ ，设()()11SN tSC t SD tc t d =+-=+- ，所以()()()()()11SM tc t a b c a xb xc xa x c μλμλ=+--++-+-++-，整理得()()()11111SM t x x a t x b x x c μλμμλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+----++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又点M 在直线SB 上的充要条件是SM yb =，则()()110110t x x x x μλμλ⎧-+--=⎪⎨++-=⎪⎩，消去λ，得()211221x t x x μ--=-+，所以()()()()222213*********221tx t x t x t x t y t x t x x x x μ+----+-=--=-+=-+-+，故()()223233210y t x t y x y t -++--+-+=，①当322t y -=时，2t x =；②当322t y -≠时，()()()2Δ332423210t y y t y t =----+-+≥，所以()()()224843210*y t y t t --+--≤，12103y y -==，解得23t =.此时，①中0y =代入(*)不等式成立，故2133SN c d =+，所以存在，N 在靠近C 的三等分点处.【点睛】方法点睛：当平面α运动时，对于定点N ，确定动点M 的存在范围，使之满足所有的题设条件，我们以,,SA SB SC为一组基向量，利用向量的方法给出本题的一种证法.。
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一下学期6月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测高一数学试题卷考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，，则（）A．B ．CD4．如图，下列几何关系表达正确的是（）A ．，，m ，n 共面B ．，，m ，n 共面C ．，，m ，n 异面D ．，，m ，n 异面5．一个笔袋中装有4支不同的水笔，其中2支黑色，1支蓝色，1支红色，若从中任取2支，恰好取到1支黑色和1支红色水笔的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6，在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD 折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB 与直线CD 所成角为（）2i -+(1,2)a =- (1,2)b =a b ⊥ //a b 5a b ⋅= (0,4)a b +=ABC △2a =c =60A =︒sin C =3412m α∈A α⊂m α⊂A α∈m α∈n A α= m α⊂n A α= 16141312ABCD AD BD =90ADB ∠=︒ADB △SDB △SDB ⊥BCDA ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．已知数据，，，，，的平均数为10，方差为1，数据，，，的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（ ）A ．4.2B ．4.8C ．7.8D ．9.28．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知，，E 为BC 中点，在线段AB 上，且，和CF 相交于点，则的余弦值为（ ）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（）A ．该组数据的极差为6B ．该组数据的众数为26C ．该组数据的中位数为25．5D ．该组数据的第70百分位数为2610．如图，点A ，B 在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（ ）A ．，B ．，C ．D ．11．如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（）1x 2x 3x 4x 5x 6x 1y 2y 3y 4y ABC △sin 2sin A B =60C =︒F2AF FB =AE P EPF ∠C AC AB ⋅||AB = ||2AC =30CAB ∠=︒||2AC =30CAB ∠=︒||2AC = ||AB =S ABCD T --ABCD OA ．点到平面的距离等于1B ．点到直线CT 的距离等于1C ．球在正八面体外部的体积小于D ．球三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数满足（为虚数单位），则__________．13．已知，，且与相互独立，__________．14．如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O 在同一水平面的三个测量点A ，B ，C ，分别测得塔顶P 点的仰角为30°，45°，30°，延长AB 交OC 于点D ，经测量D 为OC 上靠近O 点的三等分点，B为AD 的中点，米，则塔高__________米．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题满分13分）已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）求．16．（本题满分15分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（1）求；（2）若的面积为，且，求a ，c ．17．（本题满分15分）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，O CDT O O 4π3⎛ ⎝O z (1i)2z +=i ||z =()0.8P A =()0.92P A B = A B ()P B =120AC =PO =a b ||3a = ||b =92a b ⋅= a b|23|a b -ABC △cos sin b A B c a +=+B ABC △b =假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A 正确（正确答案中有A 选项，且A 必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．18．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，已知，，底面，E 为SB 中点，为线段BC 上一个动点．（1）证明：平面平面；（2）若为线段BC 中点，求二面角的余弦值；（3）设为线段AE 上的一个动点，若平面，求线段MF 长度的最小值．19．（本题满分17分）在中，已知，，，为线段BC 上一个动点．（1）若AD 为的角平分线，求线段AD 的长；（2）将折起到的位置，记二面角的大小为．i ）若，且AD 为的角平分线，求三棱锥外接球的面积；ii ）若，求三棱锥外接球的面积最小值．嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测高一数学参考答案（2024．6）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．D3．A4．D5．C6．B7．C8．B第8题详解解：由，解得，由，解得，所以，如图，设，，，，，解得．S ABC -2AB BC SA ===AB BC ⊥SA ⊥ABC F AEF ⊥SBC F B AE F --M //MF SAC ABC △4AB =5BC =6AC =D BAC ∠CAD △SAD △S AD B --α90α=︒BAC ∠S ADB -120α=︒S ADB -sin 2sin A B =2a b =60C =︒222cos 2a b c C ab+-=c =6b=FE AE =6)CF =-cos ||||AE CF FPE AE CF ⋅∠==二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD 10．ABD11．BCD第11题详解A ．容易判断，错误B ．容易判断，正确C ．球在正八面体外部的体积小于球体积与正八面体内切球体积之差，正确D ．球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积．每一个球冠的表面积大于这个球冠中内，所以8，正确三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．1213．0．614．60第14题详解解：设，设，由，得，同理可得，，由为OC 上靠近点的三等分点，解得，由解得，由，解得．O O 4π3⎛⎝O PO a =AB BD x ==30PAO ∠=︒OA =OB a =OC =D O OD =cos OAD ∠==x =222222221833312033cos 62h h h h h COA h h +-+-∠==60h =四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1），所以，解：（2），．16．解：（1）由，，，，解得，所以，．解：（2）由，，解得，由：，解得：，所以，或，．17．解：（1）设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为，假设正确选项为AB ，则，列举法：单选项有A ，B ，C ，D 共计4个，双选项有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共计6个，三选项有，，，共计4个，个（其它方法也可以，得分相同），．cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ,30a b ︒〈〉=|23|3a b -=== cos sin b A B c a +=+sin cos sin sin sin B A A B C A +=+sin cos sin sin()sin B A A B B A A +=++cos 1B B -=π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3B =π3B =ABC S ==△8ac =2222cos 12b a c ac B =+-=2220a c +=2a =4c =4a =2c =N A =A N 1A N =ABC ACD ABD BCD 46414N =++=1()14A N P A N ==解：（2）设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为假设为答案小明已经判定正确（正确答案中有选项，且小明项必选）的情况下，列举法：单选项有共计1个，且仅得2分，双选项有AB ，AC ，AD 共计3个，其中2个得4分，三选项有，，共计3个，其中1得6分，，，．18．证明：（1）因为，所以，因为底面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为，E 为SB 中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．解：（2）因为平面，所以，，平面平面，由二面角定义，可知为所求角，设，可求出，，，所以．解：（3）过点作AB 的垂线，垂足为，过点作，因为，，且，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，，所以平面平面，N B =BN ABC A A A A ABC ACD ABD 1337N =++=213B N =+=3()7B N P B N ==1π2B =AB BC ⊥SA ⊥ABC BC ⊂ABC SA BC ⊥AB SA A = BC ⊥SAB AE ⊂SAB BC AE ⊥SA AB =AE SB ⊥BC SB B = AE ⊥SBC AE ⊂AEF AEF ⊥SBC AE ⊥SBC AE BE ⊥AE EF ⊥AEF SAB AE =FEB ∠2SA=BE =1BF=EF=cos EB EEB EF ∠===M N N //NF AC SA AB ⊥MN AB ⊥SA MN ⊂SAB //SA MN SA ⊂SAC MN ⊂/SAC //MN SAC //NF SAC NF MN N = //MNF SAC平面，所以平面．设，，则，，，解得，所以当时，线段MF19．解：（1）在中，已知，，，由，因为直线AD 为角平分线，所以，解得，，在中，，所以．（2）在中，由（1）知，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，在中，，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，MF⊂MNF //MF SAC BN λ=2SA =BF λ=NF =2AN MN λ==-222222(2)2344(12)MF MN NF λλλλλ=+=-+=-+≤≤1λ=ABC △4AB =5BC =6AC =2221cos 28AB BC AC B AB BC +-==⋅BAC ∠235BD AB DC AC BD DC ⎧==⎪⎨⎪+=⎩2BD =3CD =ABD △2222cos 18AD AB BD AB BD B =+-⋅=AD =ABD △1cos 8B =sin B =T ABD △1O 1r 1O T m =12sin AD r B ===sin B =1m O T ====ABC △sin sin AC ABB C=sin C =T ADS △2O 2r 2O T n =由，解得，，因为OT 为四边形中外接圆的直径，同时也为外接圆直径，所以，，设二面角外接球半径为，解得，由，解得，外接球表面积为．（3）由为线段BC 上一个动点，设，，由（1）（2）方法解得：，在中，由（1）知，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，，22sinAD r C ==2r=2n O T ===12OO TO 12O TO △222122cos O O m n mn α=+-22212222cos sin sin O O m n mn OT ααα+-==R 22222222cos 4sin 4AD m n mn AD R OT αα+-=+=+90α=︒222222222cos 145sin 4414m n mn AD AD R m n αα+-=+=++=22904ππ7S R ==D BD x =[0,5]x ∈2216AD x x =-+ABD △1cos 8B =sin B =T ABD △1O 1r 1O T m =12sin ADr B =1r =1m O T ===在中，由，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，，设二面角外接球半径为，可知，，外接球表面积为，当时，解得．ABC △sin sin AC ABB C=sin C =T ADS △2O2r 2O T n =22sin ADr C=2r =2n O T ===R 120α=︒()2222222cos 7916sin 4108m n mn AD R x x αα+-=+=-+()22794ππ1627S R x x ==-+12x =2min 5534ππ12S R ==。
2020-2021学年浙江省杭州市高一下期末模拟数学试卷及答案A-精品试题
最新浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1] 【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，∴x1当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，+x2+x3＜8﹣2．∴4＜x1故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，∴当1≤a时，ymin当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 4 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
X
3
,
所以函数
y
sin
X
在区间
3
,
3
恰好取一次最大值
1,
5
1 13
所以 2
3 2 ,解得 6
6.
1 1
综上所知 6
5.
故选:C
解法二:(特殊值法)
1
X x 2 x 5
当 2 时,令 2 3 , 3
6,
0
则
X
3 4
,则函数
y
sin
X
在区间
0,
3 4
上不单调,
13 且 a 为第三象限角，
cos 12
所以
13 ，
tan 5
则
12 .
故选 C
【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
2.函数
y
sin
2x
3
的图像（
）
A.
关于点
6
,
0
对称
B.
关于点 3
,
0
对称
x C. 关于直线 6 对称
x D. 关于直线 3 对称
【答案】B 【解析】 【分析】
x1 2x2 的取值范围是（ ）
A. [2, )
B. (2, )
C. [3, )
D. (3, )
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一:（图象法）根据题意可知
x1 ,
x2
分别为
y
ax
与
y
1 x
和
y
loga
x
与
y
1 x
交点的横
x1
坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高一(下)段考数学试卷
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高一（下）段考数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩（∁U B ）=（ ） A.{2，5} B.{3，6} C.{2，5，6} D.{2，3，5，6}2.（单选题，5分）下列函数中，是同一函数的是（ ） A.y=x 2与y=x|x| B. y =√x 2 与 y =(√x)2C. y =x 2+xx与y=x+1D.y=2x+1与y=2t+13.（单选题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+1(x ≥2)f (x +3)(x ＜2) ，则f （1）=（ ）A.2B.12C.7D.174.（单选题，5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ） A.y=2x+1（x ＞0） B.y=x 2 C.y=√x 2−1D.y= 2x5.（单选题，5分）若命题“存在x∈R ，使得x 2+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.[-1，3] B.（-1，3）C.（-∞，-1]∪[3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）6.（单选题，5分）设f（x）是奇函数且在（-∞，0）上是减函数，f（-1）=0，则不等式xf （x）＜0的解集为（）A.（-∞，-1）∪（1，+∞）B.（-1，0）∪（0，1）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（0，1）7.（单选题，5分）已知m＞0，xy＞0，当x+y=2时，不等式4x +my≥ 92恒成立，则m的取值范围是（）A. [12，+∞)B.[1，+∞）C.（0，1]D. (0，12]8.（单选题，5分）已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.[-4，4]B.（-4，4）C.（-∞，4）D.（-∞，-4）9.（多选题，5分）设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以为（）A. 15B.0C.3D. 1310.（多选题，5分）设a＞b，c＜0，则下列结论正确的是（）A. ca ＞cbB.ac＜bcC. ba ＞b−ca−cD.ac2＞bc211.（多选题，5分）使不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是（）A.x＞2B.x≥0C.x＜-1或x＞1D.-1＜x＜012.（多选题，5分）下列命题中是真命题的是（）A. y=√x2+2√x2+22B.当a＞0，b＞0时，1a +1b+2√ab≥4C.若a2+b2=2，则a+b的最大值为2D.若正数a，b满足a+b=2，则14a+2+1b+2的最小值为1213.（填空题，5分）已知f（√x−1）=x+2 √x，则f（x）___ ．14.（填空题，5分）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，则2a+c的取值范围___ ．15.（填空题，5分）已知x，y∈R，x2-xy+9y2=1，则x+3y的最大值为___ ．16.（填空题，5分）若f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=2x-1，则不等式f（x）＞f （2x-1）的解集___ ．17.（问答题，10分）已知集合A={x|a＜x＜3a，a＞0}，集合B={x|2＜x≤3}．（1）当a=1时，求A∩B，A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知函数f（x）= x+ax−2，x∈（2，+∞）．（1）若a=4，判断函数f（x）在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论．（2）若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，写出a的取值范围（无需证明）．19.（问答题，12分）（1）解关于x的不等式ax2-（2a+3）x+6＞0（a≠0）；（2）若对任意a∈[-1，1]，ax2-（2a+3）x+6＞0恒成立，求实数x的取值范围．20.（问答题，12分）（1）作出f（x）=x|x-4|的图象，并讨论方程f（x）=m的实根的个数；（2）已知函数f（x）=x|x-a|-a（a∈R），若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．21.（问答题，12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）= {104+x，0≤x＜64−x2，6≤x≤8．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．22.（问答题，12分）已知函数y=x+ ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，√a]上是减函数，在[√a，+∞)上是增函数．（1）若函数h（x）=x+ 4x，x∈[1，3]，求h（x）的最值；（2）已知f（x）= 4x 2−12x−32x+1，x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=kx-2，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数k的值．2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高一（下）段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩（∁U B）=（）A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6}【正确答案】：A【解析】：进行补集和交集的运算即可．【解答】：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3，5，6}，B={1，3，4，6}，∴∁U B={2，5}，A∩（∁U B）={2，5}．故选：A．【点评】：本题考查了列举法的定义，补集和交集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）下列函数中，是同一函数的是（）A.y=x2与y=x|x|B. y=√x2与y=(√x)2与y=x+1C. y=x2+xxD.y=2x+1与y=2t+1【正确答案】：D【解析】：由题意利用函数的三要素得出结论．【解答】：解：根据函数的三要素，函数y=x2的值域为[0，+∞），而函数y=x|x|的值域为（-∞，+∞），故它们不是同一个函数；函数y= √x 2 的定义域为（-∞，+∞），而函数y= (√x)2的定义域为[0，+∞），故它们不是同一个函数． 函数y=x 2+xx=x+1的定义域为{x|x≠0}，而函数y=x+1的定义域为（-∞，+∞），故它们不是同一个函数．函数y=2x+1与y=2t+1具有相同的定义域为（-∞，+∞），值域为（-∞，+∞）， 对应关系都是乘以2再加上1，故它们为同一个函数． 故选：D ．【点评】：本题主要考查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数，属于基础题． 3.（单选题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+1(x ≥2)f (x +3)(x ＜2) ，则f （1）=（ ）A.2B.12C.7D.17【正确答案】：D【解析】：由函数性质得f （1）=f （4），由此能求出结果．【解答】：解：∵函数f （x ）= {x 2+1(x ≥2)f (x +3)(x ＜2) ，∴f （1）=f （4）=42+1=17． 故选：D ．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．4.（单选题，5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ） A.y=2x+1（x ＞0） B.y=x 2 C.y=√x 2−1D.y= 2x【正确答案】：C【解析】：结合一次函数，二次函数，反比例函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】：解：当x＞0时，y=2x+1＞1，不符合题意，y=x2≥0，即值域[0，+∞），不符合题意；由题意可得，√x2−1＞0，则y＞0，即值域（0，+∞），符合题意；≠0，不满足题意，由反比例函数的性质可知y= 2x故选：C．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．5.（单选题，5分）若命题“存在x∈R，使得x2+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3]B.（-1，3）C.（-∞，-1]∪[3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）【正确答案】：A【解析】：因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】：解：∵“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1＜0是假命题，∴x2+（a-1）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（a-1）2-4≤0∴-1≤a≤3故选：A．【点评】：本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．6.（单选题，5分）设f（x）是奇函数且在（-∞，0）上是减函数，f（-1）=0，则不等式xf （x）＜0的解集为（）A.（-∞，-1）∪（1，+∞）B.（-1，0）∪（0，1）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（0，1）【正确答案】：A【解析】：本题可以利用f （x ）在（-∞，0）上是减函数，f （-1）=0，得到函数有y 轴左侧的图象草图，得到f （x ）的相应函数值的正负情况，再根据f （x ）是奇函数，得到函数有y 轴右侧的图象草图，得到f （x ）的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式xf （x ）＜0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．【解答】：解：∵f （x ）在（-∞，0）上是减函数，f （-1）=0， ∴当x ＜-1时，f （x ）＞0； 当-1＜x ＜0时，f （x ）＜0． 又∵f （x ）是奇函数， ∴由图象的对称性知： 当0＜x ＜1时，f （x ）＞0； 当x ＞1时，f （x ）＜0． 若f （0）有意义，则f （0）=0． ∵不等式xf （x ）＜0， ∴ {x ＞0f (x )＜0 或 {x ＜0f (x )＞0 ，∴x ＞1或x ＜-1． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性与对称性，函数性质与图象间关系，本题难度不大，属于基础题．7.（单选题，5分）已知m ＞0，xy ＞0，当x+y=2时，不等式 4x+m y≥ 92恒成立，则m 的取值范围是（ ） A. [12，+∞) B.[1，+∞） C.（0，1] D. (0，12] 【正确答案】：B【解析】：根据“乘1法”，可得 4x+m y= 12（ 4x+m y）（x+y ），展开后，结合基本不等式可推出 4x +my ≥ 12 （4+m+2 √4m ）≥ 92 ，解此不等式即可．【解答】：解：∵xy＞0，且x+y=2，∴x＞0，y＞0，∴ 4 x +my= 12（4x+my）（x+y）= 12（4+m+ 4yx+ mxy）≥ 12（4+m+2 √4yx•mxy）= 12（4+m+2√4m），当且仅当4yx = mxy即√m x=2y时，等号成立，∵不等式4x +my≥ 92恒成立，∴ 1 2（4+m+2 √4m）≥ 92，化简得，m+4 √m -5≥0，解得√m≥1，即m≥1，∴m的取值范围是[1，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.（单选题，5分）已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.[-4，4]B.（-4，4）C.（-∞，4）D.（-∞，-4）【正确答案】：C【解析】：对函数f（x）判断△=m2-16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和-4进行讨论可得答案．【解答】：解：当△=m2-16＜0时，即-4＜m＜4，显然成立，排除D当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；当m=-4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=-4x显然成立，排除B；故选：C．【点评】：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．9.（多选题，5分）设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以为（）A. 15B.0C.3D. 13【正确答案】：ABD【解析】：推导出B⊆A，从而B=∅或B={3}或B={5}，进而1a 不存在，或1a=3，或1a=5．由此能求出实数a的值．【解答】：解：∵A={x|x2-8x+15=0}={3，5}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，∴B⊆A，当a=0时，B=∅，当a≠0时，B={ 1a}，∴B=∅或B={3}或B={5}，∴ 1 a 不存在，或1a=3，或1a=5．解得a=0或a= 13，或a= 15．∴实数a的值可以为0，15，13．故选：ABD．【点评】：本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）设a＞b，c＜0，则下列结论正确的是（）A. ca ＞cbB.ac＜bcC. ba ＞b−ca−cD.ac2＞bc2【正确答案】：BD【解析】：根据特殊值法判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．【解答】：解：对于A：令a=1，b=-1，c=-1，显然错误；对于B：∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；对于C：令a=1，b=-1，c=-1，显然错误；对于D：a＞b，c＜0，则c2＞0，故ac2＞bc2，故D正确；故选：BD．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题． 11.（多选题，5分）使不等式 1+1x ＞0 成立的一个充分不必要条件是（ ） A.x ＞2 B.x≥0C.x ＜-1或x ＞1D.-1＜x ＜0 【正确答案】：AC【解析】：不等式 1+1x ＞0 ，即 x+1x ＞0，x （x+1）＞0，解得x 范围，即可判断出结论．【解答】：解：不等式 1+1x＞0 ，即x+1x＞0，∴x （x+1）＞0，解得x ＞0，或x ＜-1．使不等式 1+1x＞0 成立的一个充分不必要条件是：x ＞2．及x ＜-1，或x ＞1． 故选：AC ．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.（多选题，5分）下列命题中是真命题的是（ ） A. y =√x 2+2√x 2+22B.当a ＞0，b ＞0时， 1a +1b +2√ab ≥4 C.若a 2+b 2=2，则a+b 的最大值为2D.若正数a ，b 满足a+b=2，则 14a+2+1b+2 的最小值为 12 【正确答案】：BCD【解析】：可令t= √x 2+2 （t ≥√2 ），结合对勾函数的单调性可判断A ；由基本不等式计算可得最小值，可判断B ；运用不等式a+b≤2 √a 2+b 22，计算可判断C ；由（4a+2）+（4b+8）=18，结合乘1法和基本不等式可判断D ．【解答】：解：对于A ，令t= √x 2+2 （t ≥√2 ），y= √x 2+2 + √x 2+2=t+ 1t在[ √2 ，+∞）递增，可得y min = √2 + 1√2 =3√22 ，此时x=0，故A 错误；对于B ，a ＞0，b ＞0时， 1a + 1b +2 √ab ≥2 √1ab +2 √ab ≥2 √2√1ab •2√ab =4，当且仅当a=b=1时取得等号，故B 正确；对于C，若a2+b2=2，则a+b≤2 √a2+b22=2，当且仅当a=b=1时，取得等号，故C正确；对于D，若正数a，b满足a+b=2，即为（4a+2）+（4b+8）=18，则14a+2+1b+2= 118[（4a+2）+（4b+8）]（14a+2+ 44b+8）= 118（1+4+ 4b+84a+2+ 4a+2b+2）≥ 118×（5+4）= 12，当且仅当a=b=1时，取得等号，故D正确．故选：BCD．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和变形能力、运算能力和推理能力，属于中档题．13.（填空题，5分）已知f（√x−1）=x+2 √x，则f（x）___ ．【正确答案】：[1]x2+4x+3（x≥-1）【解析】：令t= √x−1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x）．注意定义域．【解答】：解：令t= √x−1（t≥-1）则x=（t+1）2所以f（t）=（t+1）2+2（t+1）=t2+4t+3（t≥-1）所以f（x）=x2+4x+3（x≥-1）故答案为：x2+4x+3（x≥-1）【点评】：已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围．14.（填空题，5分）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，则2a+c的取值范围___ ．【正确答案】：[1][1，13]【解析】：设2a+c=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c，解出m，n即可得出．【解答】：解：设2a+c=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c，∴ {m+4n=2m+n=−1，解得m=-2，n=1，∵-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，∴2≤-2（a-c）≤8，-1≤4a-c≤5，∴1≤2a+c≤13，∴2a+c的取值范围是[1，13]．故答案为：[1，13]．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，也可以利用线性规划求解，属于基础题．15.（填空题，5分）已知x，y∈R，x2-xy+9y2=1，则x+3y的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√155【解析】：由x2+9y2=1+xy≥2•x•3y，可推出xy≤ 15，而（x+3y）2=x2+6xy+9y2=1+7xy，代入所得结论即可．【解答】：解：∵x2-xy+9y2=1，∴x2+9y2=1+xy≥ 2√x2•9y2 =6xy，即xy≤ 15，当且仅当x=3y，即x= 3√1515，y= √1515时，等号成立，∴（x+3y）2=x2+6xy+9y2=1+7xy≤1+7× 15 = 125，∴ −2√155≤x+3y≤ 2√155，∴x+3y的最大值为2√155．故答案为：2√155．【点评】：本题考查利用基本不等式解决最值问题，需要运用完全平方式对式子进行变形，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，5分）若f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=2x-1，则不等式f（x）＞f （2x-1）的解集___ ．【正确答案】：[1]{x|x＞1或x＜13}【解析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】：解：因为f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=2x-1单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x＞0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，则由不等式f（x）＞f（2x-1）可得|x|＜|2x-1|，两边平方可得，x2＜4x2-4x+1，整理可得，（3x-1）（x-1）＞0，解可得，x＞1或x＜13．故答案为：{x|x＞1或x＜13}【点评】：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．17.（问答题，10分）已知集合A={x|a＜x＜3a，a＞0}，集合B={x|2＜x≤3}．（1）当a=1时，求A∩B，A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1时，求出集合A，由此能求出A∩B，A∪B．（2）当A=∅时，a≥3a，当A≠∅时，{a＜3aa≥3或{a＜3a3a≤2，由此能求出实数a的取值范围．【解答】：解：（1）当a=1时，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2＜x≤3}．∴A∩B={x|2＜x＜3}，A∪B={x|1＜x≤3}．（2）∵集合A={x|a＜x＜3a，a＞0}，集合B={x|2＜x≤3}．A∩B=∅，∴当A=∅时，a≥3a，解得a≤0，不合题意，当A≠∅时，{a＜3aa≥3或{a＜3a3a≤2，解得a≥3或a≤ 23．又∵a＞0，故实数a的取值范围是（0，23]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查交集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）= x+ax−2，x∈（2，+∞）．（1）若a=4，判断函数f（x）在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论．（2）若函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，写出a的取值范围（无需证明）．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，将函数的解析式变形为f （x ）=1+ 6x−2 ，设2＜x 1＜x 2，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论．【解答】：解：（1）根据题意，若a=4，则f （x ）= x+4x−2 = x−2+6x−2 =1+ 6x−2，在定义域上为减函数， 设2＜x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（1+ 6x1−2）-（1+ 6x 2−2 ）= 6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2) ， 又由2＜x 1＜x 2，则（x 1-2）＞0，（x 2-2）＞0，（x 2-x 1）＞0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0， f （x ）在定义域上为减函数， （2）f （x ）=x+a x−2 = x−2+a+2x−2 =1+ a+2x−2， 若函数f （x ）在区间（2，+∞）上单调递减，必有a+2＞0，即a ＞-2， a 的取值范围是（-2，+∞）．【点评】：本题考查函数的单调性的判断以及性质的应用，注意将函数的解析式进行变形，属于基础题．19.（问答题，12分）（1）解关于x 的不等式ax 2-（2a+3）x+6＞0（a≠0）； （2）若对任意a∈[-1，1]，ax 2-（2a+3）x+6＞0恒成立，求实数x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对a 讨论，分当a ＜0时，当a= 32 时，当0＜a ＜ 32 时，当a ＞ 32 时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；（2）a （x 2-2x ）+6-3x ＞0，设f （a ）=a （x 2-2x ）+6-3x ，a∈[-1，1]，由恒成立思想可得f （-1）＞0，且f （1）＞0，解不等式可得所求范围．【解答】：解：（1）ax 2-（2a+3）x+6＞0（a≠0）， 即（ax-3）（x-2）＞0，当a ＜0，（x- 3a）（x-2）＜0，即有 3a＜x ＜2； 当 3a =2即a= 32 时，（x-2）2＞0，即x≠2；当 3a ＞2即0＜a ＜ 32 时，（x- 3a ）（x-2）＞0，可得x ＜2或x ＞ 3a ； 当0＜ 3a ＜2即a ＞ 32 时，（x- 3a ）（x-2）＞0，可得x ＞2或x ＜ 3a ， 综上可得，当a ＜0，解集为{x| 3a ＜x ＜2}；当a= 32 时，解集为{x|x∈R 且x≠2}；当0＜a ＜ 32 时，解集为{x|x ＜2或x ＞ 3a }； 当a ＞ 32 时，解集为{x|x ＞2或x ＜ 3a }；（2）对任意a∈[-1，1]，ax 2-（2a+3）x+6＞0恒成立， 可得a （x 2-2x ）+6-3x ＞0，设f （a ）=a （x 2-2x ）+6-3x ，a∈[-1，1]，可得 {f (−1)＞0f (1)＞0 即 {−(x 2−2x )+6−3x ＞0x 2−2x +6−3x ＞0 ，即有 {−3＜x ＜2x ＞3或x ＜2 ，可得-3＜x ＜2．【点评】：本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和构造法，化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.（问答题，12分）（1）作出f （x ）=x|x-4|的图象，并讨论方程f （x ）=m 的实根的个数； （2）已知函数f （x ）=x|x-a|-a （a∈R ），若存在x∈[3，5]，使f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案；（2）写出命题存在x∈[3，5]，使f （x ）＜0成立的否定，即∀x∈[3，5]，使f （x ）≥0成立，分类求解a的取值范围，再由补集思想得答案．【解答】：解：（1）f（x）=x|x-4|= {x2−4x，x≥4−x2+4x，x＜4，其图象如图：由图可知，当m∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，方程f（x）=m有1个实根，当m=0或4时，方程f（x）=m有2个实根，当m∈（0，4）时，方程f（x）=m有3个实根；（2）函数f（x）=x|x-a|-a（a∈R），命题若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的否定为∀x∈[3，5]，使f（x）≥0成立．下面求使命题∀x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范围．① 若a＜3，则x=3时，f（x）在[3，5]上取得最小值，f（3）=3（3-a）-a=9-4a，∴9-4a≥0，即a≤ 94；② 若3≤a≤5，则x=a时，f（x）取得最小值为f（a）=-a，-a＜0不满足f（x）≥0恒成立；③ 若a＞5，f（x）min=min{f（3），f（5）}=min{3（a-3）-a，5（a-5）-a}≥0，解得a ≥254．综上可得，∀x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范围是（-∞，94]∪[ 254，+∞），则存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的a的取值范围为（94，254）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化、数形结合及分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．21.（问答题，12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）= {104+x，0≤x＜64−x2，6≤x≤8．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1将m=3代入得y= {304+x，0≤x＜612−3x2，6≤x≤8；从而解不等式即可．（2）当6≤x≤8时，y=2（4- 12 x）+m[ 104+x−6]=8-x+ 10mx−2，即8-x+ 10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥ x 2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．【解答】：解：（1）∵m=3，∴y= {304+x，0≤x＜612−3x2，6≤x≤8；当0≤x＜6时，304+x ＞304+6=3＞2；当6≤x≤8时，12- 32x≥2得，x≤ 203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时．（2）当6≤x≤8时，y=2（4- 12 x）+m[ 104+x−6]=8-x+ 10mx−2，∵8-x+ 10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，故m≥ x 2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，令g（x）= x 2−8x+1210，则g（x）在[6，8]上是增函数，故g max（x）= 65；故m≥ 65；故m的最小值为65．【点评】：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数y=x+ ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，√a]上是减函数，在[√a，+∞)上是增函数．（1）若函数h（x）=x+ 4x，x∈[1，3]，求h（x）的最值；（2）已知f（x）= 4x 2−12x−32x+1，x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=kx-2，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意知，函数h（x）=x+ 4x在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，计算h（1），h（2），h（3）的值，即可得解；（2）将f（x）化简成f（x）=（2x+1）+ 42x+1-8，结合（1）的结论即可得解；（3）先将原问题转化为f（x）的值域是g（x）的值域的子集，再分k＞0、k＜0和k=0三种情况讨论函数g（x）的值域，然后针对每种情况列出关于k的不等式组，解之即可．【解答】：解：（1）由题意知，函数h（x）=x+ 4x在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，而h（1）=1+4=5，h（3）=3+ 43 = 133，∴h（x）min=h（2）=2+2=4，h（x）max=h（1）=5．（2）f（x）= 4x 2−12x−32x+1= (2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=（2x+1）+ 42x+1-8，∵x∈[0，1]，∴2x+1∈[1，3]，由（1）可知，f（x）min=f（12）=4-8=-4，f（x）max=f（0）=5-8=-3，∴函数f（x）的值域为[-4，-3]．（3）对于函数g（x2）=kx2-2，x2∈[1，2]，① 当k＞0时，g（x2）单调递增，其值域为[k-2，2k-2]，∵对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x2）=f（x1）成立，∴[-4，-3]⊆[k -2，2k-2]，即 {k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；② 当k ＜0时，g （x 2）单调递减，其值域为[2k-2，k-2]， 同理可得，[-4，-3]⊆[2k -2，k-2]，即 {2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k=-1；③ 当k=0时，g （x 2）=-2恒成立，g （x 2）的值域为{-2}， 而[-4，-3]⊈{-2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为-1．【点评】：本题考查新函数的定义、函数的恒成立与存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
浙江省绍兴市鲁迅中学高一数学下学期期末试卷(含解析)
2014-2015学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．函数f（x）=sin（x+），x∈R的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．已知角α的终边与单位圆交于，则cosα的值为（）A．B．C．D．4．若a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞1 B．＞C． a2＞b2D． a3＞b35．已知实数a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，其中a1=2，a5=32，则公比q的值为（）A． 2 B．﹣2 C． 2或﹣2 D． 46．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A． 4 B． 11 C． 12 D． 147．在△ABC中，tanA=，cosB=，则sinC=（）A．B． 1 C．D．﹣28．把函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的值可以是（）A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下论述：①数列{a n}的各项均为正数②数列{a n}中必有小于的项③数列{a n}的公比必是正数④数列{a n}的首项和公比中必有一个大于1其中正确的为（）A．①②B．②③C．③D．③④10．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=，a=，则b2+c2+bc的取值范围为（）A．（1，9] B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率等于．12．已知tanα=﹣2，则的值等于．13．过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为．14．在等差数列{a n}中，若a5+a6+a7+a8=24，则a1+a12= ．15．数列{a n}满足a n=2n，其前n项的和S n=340，则n的值等于．16．已知正实数x，y满足+=，则xy的最小值等于．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．在等差数列{a n}中，a2=5，a4=13（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{a n}前20项和S20．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，sinC=2sinA．（1）求边c的长；（2）若b=3，求△ABC面积S的值．19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．20．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），其中A≠0，φ∈（0，）．（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（θ）=，求sin（﹣4θ）的值．21．已知数列的前n项和S n=n2+2n（其中常数p＞0）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{a n}的前n项和．（i）求T n的表达式；（ii）若对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立，求p的取值范围．2014-2015学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：直线的倾斜角．分析：求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．解答：解：∵直线y=x+1的斜率是1，∴tanα=1，∵α∈B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将cosA与a的值代入得到b2+c2=bc+3，代入所求式子变形后，利用基本不等式即可求出范围．解答：解：∵cosA=cos=，a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2=bc+3＞3，∴b2+c2+bc=2（b2+c2）﹣3，∵b2+c2=bc+3≥2bc，即bc≤3，∴3＜b2+c2≤6，即3＜2（b2+c2）﹣3≤9，则b2+c2+bc范围为（3，9]．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率等于 2 ．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：利用直线的斜率k=，代入数值计算即得答案．解答：解：设直线AB的斜率为k，则k===2；故答案为：2．点评：本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题，是基础题．12．已知tanα=﹣2，则的值等于．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanα=﹣2，∴原式===，故答案为：点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．13．过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为x﹣2y+3=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知直线方程求出待求直线的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，∴垂直于直线2x+y﹣5=0的直线的斜率为，则过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为y﹣2=（x﹣1），整理得：x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．14．在等差数列{a n}中，若a5+a6+a7+a8=24，则a1+a12= 12 ．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质进行求解即可．解答：解：在等差数列中，a5+a8=a7+a6=a1+a12，∴由a5+a6+a7+a8=24，得2（a5+a8）=24，则a5+a8=12，则a1+a12=a5+a8=12，故答案为：12点评：本题主要考查等差数列的性质的应用，利用当m+n=k+l时，a m+a n=a k+a l，要求熟练掌握等差数列这一重要的性质．15．数列{a n}满足a n=2n，其前n项的和S n=340，则n的值等于8或9 ．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值．分析：通过对n的奇偶性进行讨论可知当n为偶数时a n=2n、当n为奇数时a n=0，利用等比数列的求和公式可知S n=，进而计算可得结论．解答：解：当n为偶数时=±1，∴a n=2n，当n为奇数时=0，∴a n=0，∴S n=22+24+ (22)=4+42+43+ (4)==340，解得：m=4，∴n=8或9，故答案为：8或9．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查特殊角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于基础题．16．已知正实数x，y满足+=，则xy的最小值等于．考点：函数最值的应用；基本不等式．专题：不等式．分析：由于正实数x，y满足条+=，用x表示y，构造函数f（x）=xy，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解答：解：由+=，解得：y=＞0，x＞，∴xy==f（x），∴f′（x）=，（x＞），令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x，∴函数f（x）在（，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）最小值=f（）=，故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．在等差数列{a n}中，a2=5，a4=13（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{a n}前20项和S20．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）根据等差数列的前n项和公式即可求数列{a n}前20项和S20．解答：解：（Ⅰ）∵a2=5，a4=13，∴，解得a1=1，d=4，则a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣3．（Ⅱ）∵a1=1，d=4，∴S20=20×1+×4=780．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，根据条件求出首项和公差是解决本题的关键．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，sinC=2sinA．（1）求边c的长；（2）若b=3，求△ABC面积S的值．考点：余弦定理的应用；三角形的面积公式；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到c=2a，由条件可得c的值；（2）利用余弦定理列出关系式求得cosA的值，再由同角的平方关系可得sinA，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．解答：解：（1）由正弦定理，可得sinC=2sinA．即为c=2a，由a=，可得c=2；（2）由余弦定理，可得cosA===，即有sinA===，则△ABC的面积为S=bcsinA=×3×2×=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（II）由已知得x+2y=30，利用基本不等式（+）•（x+2y）=5++≥5+2，进而得出．解答：解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥2=24，当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（Ⅱ）由已知得x+2y=30，又∵（+）•（x+2y）=5++≥5+2=9，∴+≥，当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．∴+的最小值是．点评：本题考查了利用基本不等式的“最值定理”解决实际问题，属于基础题．20．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），其中A≠0，φ∈（0，）．（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（θ）=，求sin（﹣4θ）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用点的坐标满足曲线方程，列出方程组即可求φ的值，利用正弦函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）通过f（θ）=，求sin（2θ+）=，然后利用诱导公式化简sin（﹣4θ），即可求解sin（﹣4θ）的值．解答：（本题满分10分）解：（Ⅰ）由题意函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），得（1分）则cosφ=sin（+φ），（2分）展开得cosφ=（cosφ﹣sinφ），则sinφ=cosφ，所以tanφ=，又φ∈（0，），所以φ=．（3分）把φ=代入Acosφ=，得A=2，所以f（x）=2sin（2x+）．（4分）由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（6分）（Ⅱ）由f（θ）=，得sin（2θ+）=，（7分）则sin（﹣4θ）=sin=﹣cos2（2θ+）=2sin2（2θ+）﹣1=2×﹣1=﹣．（10分）点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．已知数列的前n项和S n=n2+2n（其中常数p＞0）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列{a n}的前n项和．（i）求T n的表达式；（ii）若对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立，求p的取值范围．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）当n≥2时，利用=S n﹣S n﹣1，进而计算可得结论；（Ⅱ）（i）当p=1时直接利用等差数列的求和公式计算即可；当p≠1时利用错位相减法计算即得结论；（ii）分p=1与p≠1两种情况讨论，其中当p≠1时问题转化为对任意n∈N*都有≥p n恒成立，再分0＜p＜1、1＜p＜2、p≥2三种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）依题意，当n=1时，a1=S1=3；（1分）当n≥2时，=S n﹣S n﹣1=2n+1，得a n=（2n+1）p n﹣分）又因为n=1也满足上式，所以a n=（2n+1）p n﹣1（3分）（Ⅱ）（i）T n=3+5p+7p2+…+（2n+1）p n﹣1．①当p=1时，T n=n2+2n；（4分）②当p≠1时，由T n=3+5p+7p2+…+（2n+1）p n﹣1得pT n=3p+5p2+7p3+…+（2n﹣1）p n﹣1+（2n+1）p n，则（1﹣p）T n=3+2（p+p2+p3+…+p n﹣1）﹣（2n+1）p n，得T n=+﹣（2n+1）p n．（6分）综上，当p=1时，T n=n2+2n；当p≠1时，T n=+﹣（2n+1）p n．（7分）（ii）①当p=1时，显然对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立；（8分）②当p≠1时，可转化为对任意n∈N*，都有3+≥2p n恒成立．即对任意n∈N*，都有≥p n恒成立．当0＜p＜1时，只要≥p成立，解得0＜p＜1；（9分）当1＜p＜2时，只要≤p n对任意n∈N*恒成立，只要有≤p n对任意n∈N*恒成立，只要有≤p成立，解得1＜p≤（10分）当p≥2时，不满足．（11分）综上，实数p的取值范围为（0，]．（12分）点评：本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷
浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足z=i （2+z ）（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．1+iB ．1-iC ．-1+iD ．-1-i2．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，2A D ''=，1A B B C ''''==，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（ ）AB C D ．53．已知样本数据12100,,,x x x L 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------L 的平均数与标准差分别为（ ）A ．54-，B ．516-，C ．416，D ．44，4．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π45．光源(3,2,1)P 经过平面Oyz 反射后经过(1,6,5)Q ，则反射点R 的坐标为（ ）A ．75(0,,)22B ．(0,4,3)C ．97(0,,)22D ．(0,5,4)6．若4,2145,,,的第 p 百分位数是4,则 p 的取值范围是（ ）A ．(]4080，B ．[)4080，C ．[]40,80D ．()40,807．如图是棱长均相等的多面体EABCDF ，其中四边形ABCD 是正方形，点P Q M N ，，，分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．12 C ．23 D ．348．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是直线CD AB ，上的动点，点 P 是△11AC D 内的动点（不包括边界），记直线1D P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则1D P 与平面11AC D 所成角的正弦的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A “3件产品都是次品”，事件B “至少有1件是次品”，事件C “至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）A ．A 与C 为对立事件B ．B 与C 不是互斥事件 C ．A B A =ID ．()()1P B P C +=10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)[)[)[)[]506060707080809090100，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间[)5060，内的人数为16．则（ ）A ．图中0.016x =B ．样本容量1000n =C ．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分D ．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a .则（ ）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为1a ⎛ ⎝⎭C ．勒洛四面体中过A B C ，，三点的截面面积为(212π4aD ．勒洛四面体的体积3312V a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭三、填空题12．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝. 13．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为．14．在三棱锥 A BCD -中，二面角 A BD C --的大小为π 3， BAD CBD ∠∠=，2BD BC ==，则三棱锥外接球表面积的最小值为．四、解答题15．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，PB PD =，M 为PC 的中点.(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PC =PD 与平面AMD 所成角的正弦值.17．为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．18．如图，已知直角三角形ABC 的斜边//BC 平面α，A 在平面α上，AB ，AC 分别与平面α成30o 和45o 的角，6BC =．(1)求BC 到平面α的距离；(2)求平面ABC 与平面α的夹角．19．如图，四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD SA SC ，，分别交于点,,P Q R ，且AP SQ CR AD SA CS==，点M 在直线SB 上运动，在线段CD 上是否存在一定点N ，使得其满足：（i ）直线//MN α；（ii ）对所有满足条件（i ）的平面α，点M 都落在某一条长为m 的线段上，且m SB =若存在，求出点N 的位置；若不存在，说明理由．。
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浙江省绍兴市2019-2020学年高一数学下学期期末调测试题 注意事项： 1．请将学校、班级、姓名、考号分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须做在答卷纸相应位置上。
2．全卷满分100分，考试时间120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知等差数列na中，12a，3d，则3a( ) A．5 B．6 C．8 D．11 2．平面向量a(1,2)，b(3,4)，则+2=ab( ) A．58， B．510， C．78， D．710， 3．sin15cos15 ( ) A．14 B．12 C．34 D．32 4．已知a，bR，若0ab，则( ) A．22<0ab B．>0ab C．0ab D．>0ab 5．在ABC△中，3a，26b，2BA，则sinA的值为( )
A．34 B．33 C．32 D．1 6．用数学归纳法证明“11111(12322nnnnn*N)”，由nk到1nk时，不等式左边应添加的项是( )
A．121k B．122k C．112122kk D. 11121221kkk 7．在ABC△中，1AB，5AC，2ABBC，则BC( ) A．25 B．27 C．35 D．45 8．在平行四边形ABCD中，5ADABBD，0ACBD，则该四边形ABCD的面积是( )
A．352 B．1552 C．155 D．25 9．已知递增的等差数列na的前n项和为nS，175aa，266aa，对于nN，不等式1231111nMSSSS恒成立，则整数M的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．已知函数2()fxxaxb，0,1x，设()fx的最大值为M，若M的最小值为1时，则a的值可以是( )
A.132 B.0 C. 312 D.1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知1sin3，则cos2 ▲ ．
12．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1a，2b，6C，则ABC△的面积为 ▲ ．
13．已知实数,xy满足240xyxyy，则2xy的最大值为 ▲ ． 14．已知等差数列na，man，nam，则mna ▲ ． 15．已知实数x，y满足222xyxy，则2xy的最大值为 ▲ ．
16．已知平面向量2a，3b，4c，4d，0abcd，则()()abbc ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知平面向量(1,2)a，(3,2)b． （I）求ab； （II）若kab与ab垂直，求实数k的值.
18．（本题满分10分）已知(0,)2． （I）若5sin5，求sin+6（）的值； （II）若5cos+=65（），求sin的值． 19．（本题满分10分）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知sincos()6bAaB． （I）求角B的值； （II）设点D是AC的中点，若3BD,求ac的取值范围． 20. （本题满分10分）已知函数2()24()fxxxaaaaR. （I）当1a时，解不等式()5fx； （II）当0a时，若方程()0fx有3个不相等的实根1x，2x，3x，求222123xxx的取值范围.
21. （本题满分12分）已知等比数列na的公比1q，且13542aaa，39a是1a，5a的等差中项.
（I）求数列na的通项公式；
（II）证明：设3nnnnaba，数列{}nb的前n项的和为nS，求证：1721821()1331313nnS. 绍兴市2019学年第二学期高中期末调测 高 一 数 学 参 考 答 案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C B D A B C A
10.提示：22[0,1]max{||,||}xMxxabxxba 1max{||,|2|,||,||}4ababbaba，由题意得：存在a，对于任意的b，使得M的最
小值为1．由于在数轴上的点2a和点a之间的距离恰为2，因此要使min1M，则必需有
2aa且14aa，解得1[1,]8a.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．79 12．12 13．5
14．0 15．22 16．52 15．提示1：设2txy,消去y,得22(2)(2)2xtxxtx, 即223320xtxt,由22912(2)0tt,解得2222t, 当且仅当2,0xy时取“”. 提示2： 由222xyxy得224448xyxy，即22(2)38xyy， 所以22222xy． 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）因为(1,2)a，(3,2)b，所以ab13+22=1． ………………4分 （Ⅱ）因为(1,2)a，(3,2)b， 则kab(1,2)(3,2)(3,22)kkk，ab(4,0)，………………6分 因为kab与ab垂直，所以4(3)0k，所以3k． ………………10分 18．(本题满分10分)
解：（Ⅰ）因为5sin5，(0,)2，所以25cos5， ………………2分
所以31sin()sincos622 ………………4分 15251525101010． ………………5分
（Ⅱ）因为(0,)2，所以2()663，， 又因为5cos()65，所以25sin()65， ………………7分 所以31sinsin[()]sin()cos()662626………………9分 21552155101010． ………………10分
19．(本题满分10分) A B C
E D a
c
解：（Ⅰ）在ABC△中，sincos()6bAaB，因为sinsinabAB， 所以sinsinsincos()6BAAB，所以sincos()6BB， ………………2分 所以31sincossin22BBB，所以sin3cosBB，所以tan3B， 又因为(0,)B，所以3B． ………………4分 （Ⅱ）如图，延长BD到E，满足DEBD，连接，AECE，则四边形ABCE为平行四 边形，在BAE△中，由余弦定理得 2222cosBEABAEABAEBAE，
整理得2212acac，即2()12acac，所以2()12acac， ……6分
应用基本不等式得22()12()2acacac，即23()124ac，即2()16ac， 所以4ac，当且仅当2ac取等号． ………………8分 又由AEABBE，即23ac， 所以，ac的取值范围是(23,4]． ………………10分
20．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）因为1a，对于不等式()5fx，则()255fxxx， 即20xx ………………1分 当2,x时，+20xx，则 0x ………………2分 当,2x时，+20xx，则 x ………………3分 所以不等()5fx的解集为xx0 ………………4分 （Ⅱ）222224,2,()24,2.xaxaaxafxxaxaaxa 因为0a，所以函数()fx在(,)a上单调递增，在(,2)aa上单调递减， 在(2,)a上单调递增,因此要使方程()0fx有3个不相等的实根,
则()0,(2)0,fafa即22240,40,aaaa解得24a． 当2xa时，方程22240xaxaa的两实根设为12,xx， 则122xxa，2124xxaa． 当2xa时，方程22240xaxaa的实数根设为3x， 则32xaa． ………………６分 所以 22222212312123+=()2+744=(744)xxxxxxxxaaaaaaa…8分
又因为当24a时，7440aa，所以(744)aaa随着a的增大而 增大,所以222123+(2082,128)xxx． ………………10分