07届高三数学第一轮复习 第八章圆锥曲线(3)
2017届高三数学人教版A版数学高考一轮复习课件：第八章 第九节 第一课时 直线与圆锥曲线的位
抛物线相交于 P，Q 两点，
则|F1P|＋|F1Q|＝( A )
1 A.2
B．1
C．2
D．4
试题
解析
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，
|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则|F1P|＋|F1Q|
＝x1＋1 2＋x2＋1 2＝x1x2＋x12＋xx12＋＋x42＋4，联 立直线与抛物线方程消去 y 得，k2x2－(4k2
1(a>b>0)的两个焦点，O 为坐标原点， b2＝1，c2＝1.
点 P－1， 22在椭圆上，且P→F1·F→1F2 ∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.
＝0，⊙O 是以 F1F2 为直径的圆，直 (2)直线 l：y＝kx＋m 与⊙O：x2＋y2＝1 相切，
线 l：y＝kx＋m 与⊙O 相切，并且与 椭圆交于不同的两点 A，B.
第八页，编辑于星期六：一点 十五分。
知识点二
知识点一
知识点二
必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差
法”求解．在椭圆xa22＋by22＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直 线的斜率 k＝－ba22xy00；在双曲线xa22－by22＝1 中，以 P(x0，y0)为中 点的弦所在直线的斜率 k＝ba22xy00；在抛物线 y2＝2px 中，以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝yp0.
解
得
a＝2，
b＝ 2，
∴椭圆 C
的方程为x42＋y22＝1.
第十页，编辑于星期六：一点 十五分。
知识点二
知识点一
知识点二
试题
解析
4．已知抛物线 y 由题设 p＝21a＝2，∴a＝14.
2017届高三数学(文)一轮复习第八章 解析几何8-8-3
(2)如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点， 直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率 为 m。证明：2m－k 为定值。
解析：(2)证明：因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 y＝k(x 1 －2) k≠0，k≠± ，① 2
第八章 解析几何
第八节 圆锥曲线的综合问题
第三课时
定点、定值、存在性问题
微考点 微考场
大课堂 新提升
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
微考点
定点问题
x2 2 【典例 1】已知椭圆 C：a2＋y ＝1(a＞1)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：(x－3)2＋(y－1)2＝3 相切。 (1)求椭圆 C 的方程；
微考点
定值问题
x2 y2 3 【典例 2】椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2 ，a＋b＝3。
(1)求椭圆 C 的方程；
3 c 解析：(1)因为 e＝ 2 ＝a， 所以 a＝ 2 1 c，b＝ c.代入 a＋b＝3 得，c＝ 3，a＝2，b＝1。故椭圆 C 的 3 3
x2 2 方程为 4 ＋y ＝1。
解析：设直线 PQ 的方程为 x＝my＋n，点 P，Q 的坐标分别为 P(x1，y1)， Q(x2，y2)。
x＝my＋n， 由 2 得 y2－4my－4n＝0。 y ＝4x。
由 Δ＞0，得 m2＋n＞0，y1＋y2＝4m，y1· y2＝－4n。
→ → ∵AP⊥AQ，∴AP· AQ＝0， ∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0。
－6 k 1－3k2 故点 P 的坐标为 2， 2， 1＋3k 1＋3k
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第八节 第一课时
2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共
点”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线 与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲 线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.故选 A. 答案：A
3．(教材习题改编)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l过定 点P(－2,1)，斜率为k.则k＝________时，直线l与抛物 线有且只有一个公共点． 答案：－1或12或0
B．k＜ba D．－ba＜k＜ba
解析：由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba. 答案：D
2．(2016·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4
没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的
交点个数为
()
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
解析
3．(易错题)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相 切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平 行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易 忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共
点，这样的直线有
()
＝__1_＋__k_2_·__x_1_＋__x_2_2_－__4_x_1_x_2
＝
1＋k12·|y1－y2|
＝___1_＋___k1_2·___y_1＋__y_2__2－__4_y_1_y_2 .
新高考数学 第8章 第8讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
相交于 A，B 两点，则直线 l 倾斜角 α 的取值范围是
( B)
A．[0，π)
B．π4，π2∪π2，34π
C．0，π2
D．π4，π2∪π2，34π
第八章 解析几何
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[解析] (1)直线 y＝kx＋2 恒过定点(0，2)，若直线 y＝kx＋2 与椭圆x72 ＋ym2＝1 总有公共点，则点(0，2)在椭圆x72＋ym2＝1 内部或在椭圆上，所以 m4 ≤1，由方程x72＋ym2＝1 表示椭圆，则 m>0 且 m≠7，综上知 m 的取值范 围是 m≥4 且 m≠7.
注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半 径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注 意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．
第八章 解析几何
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考点二
直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究
角度 1 弦长问题
＋x2)＋p＝8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，∴－x1＋2 x2＝2，∴x1＋x2＝
－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为 y2＝－8x.故选 B．
第八章 解析几何
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3．(2021·安徽宣城调研)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右
焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的右支有且只有一个
第八章 解析几何
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[解析] (1)设动点 P(x，y)(x≠± 2)，
则 kPM＝x＋y 2，kPN＝x－y 2.
07届高三数学第一轮复习 第八章 圆锥曲线(9
直线与圆锥曲线的位置关系（3）复习目标⒈能运用方程的思想解决有关中点，弦长，垂直，对称，范围等问题。
⒉培养分析问题和解决问题的能力。
教学过程一、基础训练题⒈有相同焦点21F F 、的椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx ，P 是它们的一个交点，则21PF F ∆的面积是-----------------------------------------------------------------------( )A 、21 B 、1 C 、2 D 、随m 变化而变化 ⒉过椭圆左焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于B A 、两点，若||2||FB FA =，则椭圆的离心率等于------------------------------------------------------------------------------------------( )A 、33 B 、22 C 、21 D 、32⒊已知直线y= -x+m 与曲线y=-x 2-2x 有两个不同的交点，则------------------------（ ）A 、0＜m ≤2-1B 、0≤m ＜2-1C 、0≤m ≤2-1D 、-2-1≤m ≤2-1⒋若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.⒌设坐标原点为O ，抛物线y=x 2与过点（0，21）的直线交于A 、B 两点，则⋅=二、典型例题例1、以椭圆)1(1222>=+a y ax 的短轴的一个端点)1,0(B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请说明理由.例2、试确定实数m 的取值范围，使椭圆13422=+y x 上存在两点关于直线y=2x+m 对称。
高中数学第一轮总复习 第八章 8.7 圆锥曲线的综合问题教案 新人教A版
8.7 圆锥曲线的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查：1.位置问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.2.最值问题，最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.3.范围问题，范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围，其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类转化、逻辑推理等多方面的能力.二、点击双基1.方程22)2()2(-++y x =|x-y+3|表示的曲线是( )A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线解析：原方程变形为2|3|)2()2(22+--++y x y x =2.它表示点(x,y)到点(-2,2)与定直线x-y+3=0的距离比是2.故选B.答案：B2.若点（x,y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y 的最小值为（ ） A.1 B.-1 C.-323 D.以上都不对 解析：2-x y 的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k(x-2),代入椭圆方程消去y 得(4+k 2)x 2-4k 2x+4k 2-4=0.令Δ=0，k=±323. ∴k min =-323.答案：C 3.双曲线22a x -22b y =1的离心率为e 1，双曲线22b y -22ax =1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为( ) A.42 B.2 C.22 D.4解析：(e 1+e 2)2=e 12+e 22+2e 1e 2 =222a b a ++222b a b ++2·a b a 22+·b a b 22+ =2+22a b +22b a +2(a b +ba ) ≥2+2+2×2=8.当且仅当a=b 时取等号.故选C.答案：C4.若椭圆x 2+a 2y 2=a 2的长轴长是短轴长的2倍，则a=___________________.解析：方程化为22ax +y 2=1, 若a 2>1,∴2|a|=2×2,a=±2.当0<a 2<1，∴2=4|a|.∴a=±21. 答案：±2,±21 5.P 是双曲线32x -y 2=1的右支上一动点，F 是双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|+|PF|的最小值为____________________________.解析：设F ′为双曲线的左焦点，∴|PF ′|-|PF|=23.∴|PA|+|PF|=|PA|+|PF ′|-23≥|AF ′|-23=26-23.答案：26-23诱思·实例点拨【例1】如图,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a>0,b ≠0),且交抛物线y 2=2px(p>0)于M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)两点.(1)写出直线l 的截距式方程;(2)证明11y +21y =b1;(3)当a=2p 时,求∠MON 的大小.剖析：易知直线l 的方程为a x +b y =1,欲证11y +21y =b 1,即求2121y y y y +的值,为此只需求直线l 与抛物线y 2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y 1+y 2、y 1y 2的值,进而证得11y +21y =b 1.由OM ·ON =0易得∠MON=90°.亦可由k OM ·k ON =-1求得∠MON=90°.(1)解：直线l 的截距式方程为a x +b y =1. ① (2)证明：由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay-2pab=0. ②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根,故y 1+y 2=bpa 2-,y 1y 2=-2pa. 所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1. (3)解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=11x y ,k 2=22x y . 当a=2p 时,由(2)知,y 1y 2=-2pa=-4p 2,由y 12=2px 1,y 22=2px 2,相乘得(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2,x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(p p -=4p 2,因此k 1k 2=2121x x y y =2244p p -=-1. 所以OM ⊥ON,即∠MON=90°.讲评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1(a>b>0),双曲线22a x -22by =1的两条渐近线为l 1、l 2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l,使l ⊥l 1,又l 与l 2交于P 点,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B.(如图)(1)当l 1与l 2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C 的方程;(2)当=λ时,求λ的最大值.剖析：(1)求椭圆方程即求a 、b 的值,由l 1与l 2的夹角为60°易得a b =33,由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4,进而可求得a 、b. (2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A 、P 的坐标,而P 是l 与l 1的交点,故需求l 的方程.将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标,进而可求得点A 的坐标.将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±a b x,两渐近线夹角为60°, 又ab <1, ∴∠POx=30°,即a b =tan30°=33. ∴a=3b.又a 2+b 2=4,∴a 2=3,b 2=1. 故椭圆C 的方程为32x +y 2=1. (2)由已知l:y=b a (x-c),与y=ab x 解得P(c a 2,c ab ), 由=λ得A(λλ+•+12c a c ,λλ+•1c ab ). 将A 点坐标代入椭圆方程得(c 2+λa 2)2+λ2a 4=(1+λ)2a 2c 2.∴(e 2+λ)2+λ2=e 2(1+λ)2.∴λ2=2224--e e e =-［(2-e 2)+222e -］+3≤3-22. ∴λ的最大值为2-1.讲评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.【例3】 已知直线y=-2上有一个动点Q ，过Q 作直线l 垂直于x 轴，动点P 在直线l 上，且⊥，记点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程.(2)设直线l 与x 轴交于点A ，且=(≠0).试判断直线PB 与曲线C 1的位置关系，并证明你的结论.(3)已知圆C 2：x 2+(y-a)2=2,若C 1、C 2在交点处的切线互相垂直，求a 的值.解：(1)设P 的坐标为(x,y),则点Q 的坐标为(x,-2).∵⊥,∴·=0.∴x 2-2y=0.∴点P 的轨迹方程为x 2=2y(x ≠0).(2)直线PB 与曲线C 1相切，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，点A 的坐标为(x 0,0). ∵=,∴=(0,-y 0).∴点B 的坐标为(0,-y 0).∵≠0,∴直线PB 的斜率为k=002x y . ∵x 02=2y 0,∴k=x 0.∴直线PB 的方程为y=x 0x-y 0.代入x 2=2y,得x 2-2x 0x+2y 0=0.∵Δ=4x 02-8y 0=0,∴直线PB 与曲线C 1相切.(3)不妨设C 1、C 2的一个交点为N(x 1,y 1),C 1的解析式即为y=21x 2，则在C 1上N 处切线的斜率为k ′=x 1，圆C 2过N 点的半径的斜率为k=11x a y . ① 又∵点N(x 1,y 1)在C 1上，所以y 1=21x 12. ② 由①②得y 1=-a,x 12=-2a,∵N(x 1,y 1)在圆C 2上，∴-2a+4a 2=2.∴a=-21或a=1. ∵y 1>0,∴a<0. ∴a=-21.。
高三数学第一轮复习(新人教A)：8.7 圆锥曲线的综合问题
8.7 圆锥曲线的综合问题●知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带,它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识。
反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的。
具体来说,有以下三方面：（1)确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口。
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化,即从一知识转化为另一知识.(3）解析几何与其他学科或实际问题的综合,主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题。
在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量"，不仅有大小还有符号.●点击双基1。
设abc ≠0，“ac 〉0”是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆”的A 。
充分不必要条件B 。
必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：ac 〉0曲线ax 2+by 2=c 为椭圆.反之成立。
答案：B2.到两定点A （0，0),B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B 。
AB 所在直线C.线段ABD.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =34x ，其中0≤x ≤3.答案：C3.若点(x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y 的最小值为 A 。
1 B 。
－1C 。
－323 D 。
以上都不对 解析：2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率。
高考数学一轮复习第八章第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第九节 圆锥曲线的综合问题命题分析预测学科核心素养直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养．第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第191页 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）＝0，消去y （或消去x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的一元二次方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0.消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．（2）当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． • 温馨提醒 •1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k （x －1）＋1恒过定点（1，1）．又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案：A2．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：过（0，1）与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 答案：C3．（易错题）直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A知识点二 弦长公式设斜率为k （k ≠0）的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2Ｗ．1．（2021·张掖市高三诊断）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝（ ）A ．133B ．143C ．5D ．163解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2．∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163．答案：D2．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M （1，1）为中点的弦所在直线方程是_________． 解析：设过M （1，1）点的方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋（1－k ），联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有（1＋2k 2）x 2＋（4k －4k 2）x ＋（2k 2－4k －2）＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0． 答案：x ＋2y －3＝0授课提示：对应学生用书第192页题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断1．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为（ ） A ．18B ．0C ．18或0D ．8或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x 得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝18，综上可知k ＝0或18．答案：C2．已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋（y ＋1）2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－3）∪（0，＋∞） B ．（－∞，－2）∪（0，＋∞） C ．（－3，0）D ．（－2，0） 解析：因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k 2＝1，即k 2＝t 2＋2t ．将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16（t 2＋2t ）＋16t ＞0，解得t ＞0或t ＜－3． 答案：A3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．⎝⎛⎭⎫－153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C ．⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得（1－k 2）x 2－4kx －10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4（1－k 2）×（－10）＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1，即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1． 答案：D直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y （或x ）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数题型二 直线与圆锥曲线位置关系的基本应用直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等． [例1] （2021·贵阳摸底）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1的渐近线的距离为33．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx ＋m （k ＜0）与椭圆C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线l 的距离为255，求直线l 的方程． [解析] （1）∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，∴c a ＝22．又双曲线x 22－y 2＝1的其中一条渐近线方程为x －2y ＝0，椭圆C 的焦点F 1（－c ，0），∴|－c |1＋2＝33，解得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．（2）由（1）知F 2（1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m （k ＜0）的距离为255，得|m |1＋k 2＝255，即m 2＝45（1＋k 2）．①将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，得（1＋2k 2）x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝16k 2m 2－4（1＋2k 2）（2m 2－2）＝8（2k 2－m 2＋1）＞0， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2．又以线段AB 为直径的圆经过点F 2，∴F 2A →·F 2B →＝0， 即（x 1－1）（x 2－1）＋y 1y 2＝0，∴（x 1－1）（x 2－1）＋（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝0， 即（1＋k 2）x 1x 2＋（km －1）（x 1＋x 2）＋m 2＋1＝0， ∴（1＋k 2）·2m 2－21＋2k 2＋（km －1）·－4km1＋2k2＋m 2＋1＝0， 化简得3m 2＋4km －1＝0．②由①②，得11m 4－10m 2－1＝0，∴m 2＝1．又k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝－12，满足Δ＝8（2k 2－m 2＋1）＞0．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1．求解弦长的常用方法（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解． （2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x （或y ）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x 1－x 2）2，（y 1－y 2）2，代入弦长公式． （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 考法（二） 中点弦问题[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx （k ＞0）经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB 的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：k 1k 为定值．[解析] （1）由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）证明：设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3（x 1＋x 2）4（y 1＋y 2）＝－3x 04y 0．又k ＝y 0x 0，故k 1k ＝－34，为定值．1．“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．“点差法”的常见结论设AB 为圆锥曲线的弦，点P 为弦AB 的中点：（1）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）中的中点弦问题：k AB ·k OP ＝－b 2a2；（2）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）中的中点弦问题：k AB ·k OP ＝b 2a2；（3）抛物线y 2＝2px （p ＞0）中的中点弦问题：k AB ＝py 0（y 0为中点P 的纵坐标）．[题组突破]1．（2021·衡阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ） A ．22 B ． 2 C ．2D ．4解析：法一：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 消去x 得y 2－4ty －4＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4.由y M ＝y 1＋y 22＝2t ＝2，得t ＝1，∴S △AOB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22． 法二：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，从而直线AB 的方程为y ＝x －1，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝8， 而点O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， 从而S △AOB ＝12|AB |d ＝22．答案：A2．（2021·石家庄摸底）已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝_________． 解析：如图，由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．∵M 为EF 的中点， ∴点M 的横坐标为p4．设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 得k 2x 2－（k 2p ＋2p ）x ＋k 2p 24＝0． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24，∵x 1＝p4，∴x 2＝p ．当x ＝p 时，y 2＝2p 2，∴N （p ，±2p ）． ∵|NF |2＝⎝⎛⎭⎫p －p 22＋（±2p ）2，∴144＝p 24＋2p 2，∴p 2＝64，∵p ＞0，∴p ＝8．答案：83．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），过点P （3，6）的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点N （12，15），则双曲线C 的离心率为_________．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点为N （12，15），得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝4b 25a 2． 因为直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝32． 答案：32直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养数学运算——在研究位置关系中应用数学运算是得到数学结果的重要手段．在该部分主要表现为理解运算对象——直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论．[例] 已知椭圆r ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且离心率为12，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r 上．设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1，k 2，k 3均不为0．O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1，则1k 1＋1k 2＋1k 3＝（ ）A ．－43B ．－3C ．－1813D ．－32[解析] 因为椭圆r ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且离心率为12，且a 2＝b 2＋c 2，所以可求得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （s 1，t 1），E （s 2，t 2），M （s 3，t 3）， 因为A ，B 在椭圆上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝－34×s 1t 1，即1k 1＝－4t 13s 1， 同理可得1k 2＝－4t 23s 2，1k 3＝－4t 33s 3，所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43⎝⎛⎭⎫t 1s 1＋t 2s 2＋t 3s 3， 因为直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1， 所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43×1＝－43．[答案] A该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养．根据题意——中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果．由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养．[对点训练]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为（ ） A ．⎣⎡⎦⎤18，14 B ．⎣⎡⎦⎤14，12 C ．⎣⎡⎦⎤－14，－18 D ．⎣⎡⎦⎤－12，－14 解析：设A （x 1，y 1），M （x ，y ），则B （－x 1，－y 1）．因为A ，M 均在双曲线上，所以x 21a 2－y 21b 2＝1，① x 2a 2－y 2b 2＝1，② 所以x 21－x 2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2．因为双曲线的离心率e ＝c a ＝52，所以a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以k 1·k 2＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 2－y 21x 2－x 21＝b2a 2＝14，所以k 2＝14k 1，因为k 1∈[1，2]，所以k 2∈⎣⎡⎦⎤18，14． 答案：A。
高三数学(理)人教版一轮训练：第八篇第7节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系
第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知抛物线y2=2x,过点(-1,2)作直线l,使l与抛物线有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有( D )(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条解析:因为点(-1,2)在抛物线y2=2x的左侧,所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线,过点(-1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点,所以过点(-1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点.故选D.2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B )(A) (B)- (C)2 (D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.故选B.3.过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线( D )(A)存在一条,且方程为2x-y-1=0(B)存在无数条(C)存在两条,方程为2x±(y+1)=0(D)不存在解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2,- =1,- =1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即k AB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立可得2x2-4x+3=0,但Δ=(-4)2-4×2×3<0,此方程没有实数解,故这样的直线不存在.故选D.4.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于( C )(A)2∶ (B)1∶2 (C)1∶ (D)1∶3解析:FA:y=-x+1,与x2=4y联立,得x M=-1,FA:y=-x+1,与y=-1联立,得N(4,-1),由三角形相似知==.故选C.5.(2017·柳州市、钦州市一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是( D )(A)(1,) (B)(,+∞)(C)(,) (D)(1,)∪(,+∞)解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交,得最短弦为2a;如果与双曲线的一支相交得最短弦长为,此时弦垂直于x轴,因为满足|AB|=4b的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况.或①或②由①得所以所以解得结合e>1得,1<e<,由②同理解得e>,综合可得,有2条直线符合条件时,e>或1<e<.故选D.6.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆C的方程为.解析:把x=c代入椭圆方程解得y=±,所以弦长=2,则解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=17.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.解析:抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y′=,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=×2-,即-4x1-4p2=0;同理有-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即==12,=12,解得p=1或p=2.答案:1或28.(2017·邯郸市二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2)(x0>)为圆心的圆与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为||,若=2,则||= .解析:由题意,|MF|=x0+.因为圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为||,所以|MA|=2(x0-).因为=2,所以|MF|=|MA|,所以x0=p,所以2p2=8,所以p=2,所以||=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x 轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( A )(A)(B) (C)(D)解析:因为MF⊥x轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设l MN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到l MN的距离d==1,解得k=(负值舍去).又因为⇒即N(,-),所以|NF|==.故选A.10.(2017·泉州市模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是.解析:因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值.设直线l方程为x=my+1,与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my-9=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|·|y1-y2|==12.设m2+1=t∈[1,+∞),则==,在t∈[1,+∞)内,9t+是单调递增的,所以t=1取得最大的=12·=3.所以内切圆半径r=≤,因此其面积最大值是π.答案:π11.(2017·武汉市模拟)已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则= .解析:不妨取直线MN⊥x轴,椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=,所以y=±,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2,则==2.答案:212.(2017·鞍山市一模)设A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=λ(+),其中λ∈R,|λ|>1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4= .解析:如图所示,因为满足+=λ(+),其中λ∈R,|λ|>1,所以-2=λ·(-2),所以O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),==k≠0.则-=1,+=1,所以=,=-,因为k1+k2=5,所以5=+===·.所以k3+k4=+==-·=-5.答案:-513.(2017·张家口市模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆E:+=1的右焦点重合,直线l过点F交抛物线于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为135°,求|AB|的长;(2)若直线l交y轴于点M,且=m,=n,试求m+n的值.解:(1)据已知得椭圆E的右焦点为F(1,0),所以=1,故抛物线C的方程为y2=4x.因为直线l的倾斜角为135°,所以y=-x+1,由得到(-x+1)2=4x,即x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,所以|AB|=p+x1+x2=8.(2)根据题意知斜率必存在,于是设方程为y=k(x-1),点M坐标为M(0,-k),因为A(x1,y1),B(x2,y2)为l与抛物线C的交点,得到k2x2-2(k2+2)x+k2=0,因为Δ=16(k2+1)>0,所以x1+x2=2+,x1x2=1.因为=m, =n,所以(x1,y1+k)=m(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以m=,n=,所以m+n=+===-1.14.(2017·贵阳市二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线AB:y=kx+m(k<0)与椭圆C交于不同的A,B两点,以线段AB为直径的圆经过点F2,且原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程.解:(1)因为双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,椭圆C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.所以d==得c=1,又离心率e==,则a=,b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由原点O到直线AB的距离为,得=,即m2= (1+k2), ①将y=kx+m(k<0)代入+y2=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)=8(2k2--k2+1)=8(k2+)>0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段AB为直径的圆经过点F2,所以·=0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,所以(1+k2)+(km-1)(-)+m2+1=0,化简得3m2+4km-1=0, ②由①②得11m4-10m2-1=0,得m2=1,因为k<0,所以所以AB的方程为y=-x+1.15.(2017·益阳市调研)设椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,),且其左焦点坐标为(-1,0).(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m,其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(1)因为2a=+=4,又c=1,所以b==,所以椭圆的方程为+=1.(2)①当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|MN|+|PQ|=+2a=3+4=7,②当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,|MN|==·=,直线l2的方程为y=- (x-1),同理(只是把k代换成-)得|PQ|=,所以|MN|+|PQ|=,设t=k2+1,则t>1,所以|MN|+|PQ|===,因为t>1,所以=时,|MN|+|PQ|有最小值==<7. 综上,|MN|+|PQ|的最小值是.。
高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题开卷速查-人教版高三全册数学试题
开卷速查(五十六) 圆锥曲线的综合问题1．[2015·]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m ，n)(m≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M 。
(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N 。
问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由。
解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2。
故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1。
设M(x M,0)。
因为m≠0，所以－1＜n ＜1。
直线PA 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0。
(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B(m ，－n)。
设N(x N,0)，则x N ＝m 1＋n。
“存在点Q(0，y Q )使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，y Q )使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |。
因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q＝|x M ||x N |＝m21－n2＝2。
所以y Q ＝2或y Q ＝－2。
故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM＝∠ONQ。
点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)。
2．[2015·某某]已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26。
(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向。
(ⅰ)|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M 。
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07届高三数学第一轮复习 第八章圆锥曲线（3）
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双曲线（一）
【复习目标】
1．与椭圆类比来理解双曲线的定义,标准方程和几何性质,特别注意不同点,如,,,cba及其关系,渐近线等.
2．掌握求双曲线的基本方法及双曲线简单的几何性质
【教学过程】
一、知识梳理：
1、 双曲线的定义
（1）平面内到两定点21,FF的距离 的点的轨迹叫双曲线，
这两个定点叫做 ，定点间的距离叫 。
（2）平面内动点P到 距离与到 的距离之比等于常数e（e ）的点的轨
迹是双曲线。 是焦点， 是准线，常数e是双曲线的
2、双曲线的标准方程（中心在原点的双曲线标准方程）
（1）焦点在x轴上， 12222byax，焦点是 ，其中c
（2）焦点在y轴上，12222bxay，焦点是 ，其中c
3、双曲线的几何性质
方程
12222byax（a>0,b>0） 12222
bxa
y
（a>0,b>0）
范围
对称性
顶点
离心率
准线方程
渐近线方程
4、焦半径
5、通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的弦称为双曲线的通径，|H1H2|=
6、双曲线特例
（1）等轴双曲线：
（2）共轭双曲线：
（3）共渐近线xaby的双曲线的方程：
07届高三数学第一轮复习 第八章圆锥曲线（3）
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二、基础训练：
1．双曲线116922yx的 轴在x轴上， 轴在y轴上，实轴长等于 ，虚轴长等于 ，焦
距等于 ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 准线方程是 ，
渐近线方程是 ，离心率e ，若),(00yxP是双曲线上的点，则
0x ，0y
。
2．双曲线)0,0(12222babyax，过焦点1F交双曲线同一支上A、B两点的弦AB长为m，另一焦点为2F，
则△2ABF的周长为--------------------------------------------------------------( )
A a4 B ma4 C ma24 D ma24
3．若双曲线的渐近线方程为xy23，则其离心率为-----------------------------------------------------------( )
A 213 B 313 C 413 D 313213或
4．设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，21FF、分别是双曲线的左、
右焦点。若3||1PF，则||2PF等于------------------------------------------------------------( )
A 1或5 B 6 C 7 D 9
三、典型例题：
例1．已知一椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为132，一双曲线与此椭圆有公共焦点，且半
实轴的长比椭圆的半长轴的长小4，两曲线离心率为7:3，求椭圆和双曲线的方程.
例2．已知圆1)3(:221yxC和圆9)3(:222yxC，动圆M同时与圆1C及圆2C相外切，求动圆圆心
M
的轨迹方程.
例3．在双曲线1131222xy的一支上有三个不同的点A（x1,y1）、B（26，6）、C（x2，y2）与焦点
F（0，5）的距离成等差数列，求y1+ y2的值
作业：数学之友（厚）：P85随堂练习1，2，3，4；例题精析1、3数学之友（薄）P40综合提升5，6