九年级上册数学期中复习资料整理
专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习
专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD． ．． ．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）A ． ． ．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。
【数学】部编版九年级数学上册总复习知识点整理要点
【数学】部编版九年级数学上册总复习知识点整理要点一、代数与函数1. 代数运算：- 加法、减法、乘法和除法的运算法则- 同底数幂的乘法法则和除法法则- 0次幂和负整数次幂的运算规则2. 一次函数与线性方程：- 一次函数的定义和性质- 一次方程与一次函数的关系- 解一元一次方程的方法（整数系数、分数系数和小数系数）3. 整式代数计算：- 相加减- 因式分解- 提公因式- 最大公约数和最小公倍数4. 一元二次方程：- 一元二次方程的定义- 解一元二次方程的方法（公式法、配方法和图像法）二、平面几何1. 三角形：- 三角形的定义和性质（角度、边长关系和特殊三角形）- 三角形的求解（余弦定理、正弦定理和海伦公式）2. 多边形：- 多边形的分类（凸多边形和凹多边形）- 正多边形的性质（正n边形和正五边形）3. 常见圆的性质：- 圆的定义- 弧长公式和扇形面积公式- 切线和切圆4. 平行线与相交线：- 平行线的判定条件和性质- 相交线的性质（垂直线和角平分线）三、数据与统计1. 数据的搜集和整理：- 数据的收集和整理方法（调查问卷和表格统计）2. 统计描述：- 平均数的计算- 中位数和众数的求解3. 数据的表示：- 条形图和折线图的绘制- 饼图和频数直方图的绘制四、概率论1. 基本概念：- 随机事件和样本空间- 概率的定义和性质2. 概率计算：- 计算概率的方法（频率法和几何概率法）- 事件的互斥与独立3. 概率运算：- 事件的并、交和差的概率计算- 事件的补事件和全集的概率计算以上是部编版九年级数学上册的总复知识点整理要点。
每个主题下列出了重要的概念和计算方法，以帮助学生进行复和巩固。
该文档仅为参考资料，具体的教材内容以教材为准，建议学生在学习过程中结合教材进行复习和练习。
九年级上数学期中考知识点
九年级上数学期中考知识点九年级上学期的数学课程涵盖了许多知识点，这些知识点对学生的数学学习和思维能力的培养非常重要。
在本篇文章中，我们将介绍九年级上学期的一些数学知识点，以帮助学生更好地准备期中考试。
一、代数表达式与方程式代数学是数学的重要组成部分。
学习代数可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
在九年级上学期，学生将学习代数表达式和方程式的概念及其运算法则。
他们需要熟悉代数表达式的基本形式，如一元一次多项式和二元一次多项式，并能够对表达式进行合并，分解和因式分解。
此外，学生还需要学习方程式的基本概念，如线性方程和一元二次方程，并能够使用适当的方法解决方程。
二、几何与图形几何学是数学中的另一个重要分支，它与形状，结构，空间和变换相关。
在九年级上学期，学生将通过学习几何相关的概念和原理来提高空间思维能力。
他们将学习几何中的基本概念，如点，线，面，角以及正方形，长方形，圆形等图形的性质。
此外，学生还需要了解三角形的性质和计算方法，以及平面图形和立体图形的体积与表面积计算。
三、函数和统计函数是九年级上学期的另一个重点内容。
学生将学习函数的概念，如自变量和因变量的关系，并掌握函数的图像与表达式之间的转化方法。
他们将学习线性函数，二次函数和反比例函数，并能够对函数进行图像、表格和公式的应用。
此外，统计学也是九年级上学期的重点之一。
学生将学习如何分析和利用各种统计数据，如频率表，直方图和折线图。
他们还需要掌握统计数据的集中趋势测量和离散程度测量方法。
四、概率与数理统计概率与数理统计是数学学科的重要组成部分，对学生培养数学思维和逻辑推理能力有很大帮助。
在九年级上学期，学生将学习概率的基本概念，如样本空间，事件和概率计算方法。
他们将学习如何通过计算来确定随机事件的概率，并能够应用概率解决实际问题。
此外，学生还将学习数理统计的基本知识，如频率与频率分布，抽样方法和统计推断。
总结起来，九年级上学期的数学课程涉及了代数表达式与方程式，几何与图形，函数与统计，概率与数理统计等多个知识点。
人教版九年级上册数学复习资料
九年级上册考点第一章 一元二次方程1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。
一元二次方程的解就叫一元二次方程的根。
2、一元二次方程的一般形式：a 2x+bx+c=0(a 、b 、c 分别为二次项系数；一次项系数；常数项)3、三种解一元二次方程的方法： (1)、配方法例：2x 2+1=3x(解法在课本P7) (2)、公式法 求根公式：x =−b±√b 2−4ac2a;判别式公式：△=b 2−4ac（3）、因式分解法（包括：提公因式法；完全平方公式及平方差公式法；十字相乘法） 例：3x 2+6x=0; x 2-4x+4=0; 9X 2-1=0; X 2-5X+6=0 解:3x(x+2)=0 解:（x-2）2=0 解:(3x-1)(3x+1)=0 解:(x+2)(x-3)=0 x 1=0;x 2=-2 x 1=x 2=2 x 1=x =13;x 2=−13 x 1=-2;x 2=3 4、韦达定理如果方程a 2x+bx+c=0有两根：x 1与x 2，那么x 1+x 2=−ba ;x 1.x 2=ca 5、用一元二次方程解实际问题（应用题）步骤：1、根据题意设未知数（x ）;2、根据题中数量关系列一元二次方程；3、解方程（不符合题意的解舍去）；4、做答第二章 二次函数知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象y ax c与性质：上加下减（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点 坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：③ 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+y 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴； 如果0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个相等实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.第三章 旋转知识点一 旋转的概念1.旋转的定义：把一个图形绕着某一O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点 .重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等3.作图：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角作图的步骤：1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；第一章 (4)连接所得到的各对应点.知识点二、中心对称与中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2.中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4.中心对称和中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系①指一个图形本身成中心对称②对称中心不定②对称中心是图形自身或内部的点联系：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．5. 关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即P(x,y)关于原点的对称点Q(-x,-y)的坐标为，反之也成立知识点三、平移、轴对称、旋转1.平移、旋转、轴对称之间的对比三、规律方法指导1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：(1)先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；(2)在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；(3)利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：(1)实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；(2)类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；(3)理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识第四章圆考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
九年级上册期中复习知识点
九年级上册期中复习知识点在进入九年级下学期之前，我们迎来了一次重要的检验——期中考试。
为了帮助大家更好地复习九年级上册的知识点，本文将系统地回顾并总结这段时间所学的内容。
首先，我们来回顾数学方面的知识点。
这学期，我们主要学习了代数、几何和概率统计。
在代数部分，我们学习了整式的加、减、乘、除运算，了解了二次根式和三角恒等变换等概念。
在几何部分，我们重点学习了平面图形的性质、面积和体积计算等内容。
最后，在概率统计方面，我们学会了如何计算事件的概率，并进行了一些实际问题的分析与解答。
这些知识点都是九年级下学期的基础，复习时我们要特别注意各个知识点之间的联系和应用。
接下来，让我们回顾英语方面的知识点。
本学期，我们主要学习了单词、语法和阅读理解。
在单词方面，我们通过词汇表的积累和运用，提高了词汇量。
在语法方面，我们学习了动词的时态和语态，名词的单复数形式，形容词和副词的比较级和最高级等。
最后，在阅读理解方面，我们通过阅读材料了解了不同类型的文章，同时提高了阅读的理解和推理能力。
在复习时，我们应着重巩固基础知识，运用语法和词汇开始进行更加高级的写作和阅读理解训练。
此外，我们还学习了语文、物理和地理方面的知识点。
在语文方面，我们学习了古代文学名篇的赏析和鉴赏方法。
在物理方面，我们着重探究了电路中电流的作用和计算方法。
在地理方面，我们学习了地球上的自然环境和人类活动对环境的影响等内容。
这些学科的知识点都有一定的难度，复习时我们要仔细归纳整理，理解每个知识点的要点和核心概念。
此外，我们还要注意复习一些通用的学习策略。
例如，如何有效地记忆知识，如何提高问题解决能力，如何分析和总结课文和题目，以及如何合理安排学习时间等。
这些学习策略的掌握对于提高成绩和学习效果非常重要。
最后，希望大家认真复习这些知识点，并进行合理的备考准备。
除了理论知识的掌握，我们还应该多做练习题和模拟考试，熟悉各种考题形式和解题思路。
同时，要注意放松和休息，保持良好的心态和精神状态。
九年级上学期数学期中考试知识点
1.整数整数的概念及特性，整数的加法、减法、乘法和除法运算，整数的比较大小，求整数的绝对值与相反数。
2.有理数有理数的概念及特性，有理数的加法、减法、乘法和除法运算，有理数的比较大小，有理数的乘方运算。
3.代数式代数式的概念及特性，算式与代数式的转化，代数式的加法、减法、乘法和除法运算，利用代数式求解实际问题。
4.整式整式的概念及特性，整式的加法、减法、乘法和除法运算，整式的因式分解及乘法公式，利用整式求解实际问题。
5.线性方程与一元一次方程组线性方程的概念及特性，一元一次方程的解集表示，一元一次方程的解法及应用，一元一次方程组的概念及解法。
6.平面图形的性质与计算平面图形的基本概念和性质，正多边形的性质及计算，平行四边形的性质及计算，三角形的性质及计算，相似三角形的性质及计算，圆的性质及计算。
7.立体图形的性质与计算立体图形的基本概念和性质，长方体、正方体、棱柱和棱锥的性质及计算，圆柱体和圆锥体的性质及计算。
8.比例与比例变化比例的概念及性质，比例的运算，比例的应用，比例变化中的比例关系及应用。
9.百分数百分数的概念及性质，百分数的运算，利用百分数解决实际问题。
10.数据的统计与分析频数和频率的概念及计算，数据的整理和统计，数据的图表表示，数据的分析和应用。
11.函数函数的概念及特性，函数的图像和性质，线性函数与非线性函数的区别，函数的应用。
以上是九年级上学期数学的主要知识点，每个知识点都分为基本概念、性质及计算等多个方面。
在备考期间，要重点理解每个知识点的基本概念，熟悉各种运算和公式，掌握解题的方法和技巧，多做练习题和习题课后题，做到理论与实践相结合，全面提升数学解题能力。
九年级上数学期中知识点总结ppt
九年级上数学期中知识点总结ppt 九年级是初中学习生涯的最后一年，对于学生来说，它意味着即将面临高中的挑战。
而在这个重要的学习阶段，数学作为一门基础学科，扮演着至关重要的角色。
设想一下，如果我们能够将这个学期的数学知识点进行总结，并以 Powerpoint (ppt) 这一形式来呈现，无疑将是对我们学习成果的一个很好的检验。
下面，我将为大家总结九年级上数学的相关知识点，供大家参考。
一、整式与分式整式是数学中的一种表达方式，包括整数、变量、运算符和系数的组合。
整式的性质与运算法则是我们在初中数学中学习的重要内容。
而与整式相对应的是分式，分式是由分子和分母组成的一种数学表达方式。
在整式与分式的学习过程中，我们需要掌握如何将一个整式化简为最简形式，同时需要学会进行整式的加减乘除运算。
而对于分式来说，我们要学会如何化简分式、分式的四则运算以及分式方程的解法。
二、因式分解与整式的乘法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个复杂的整式拆分为两个或多个简单的整式的乘积形式。
因式分解是解决各类整式运算、方程和不等式问题的关键步骤。
相应地，整式的乘法公式也是我们需要重点掌握的内容之一。
在整式的乘法公式中，我们需要熟练运用二项式乘法公式、平方差公式和立方差公式。
三、一次函数与一元一次方程一次函数在数学中被广泛应用，它是一个线性函数，具有形如y=ax+b 的表达式。
通过学习一次函数，我们可以了解到函数与图像之间的关系，从而解决与直线相关的问题。
而一元一次方程则是一个未知数的一次幂所构成的方程，在九年级上学期的数学课程中，我们需要理解一元一次方程的含义以及如何解决它。
四、多项式及其运算多项式是由多个单项式组成的代数表达式，它是求解数学问题的重要工具之一。
在九年级上学期，我们将学习多项式的定义和运算，包括多项式的相加、相减、相乘和整式的乘法运算。
同时，我们还需要学习如何进行多项式的因式分解、提取公因式和求解多项式方程。
初三上学期数学期中考试复习资料第一单元
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第一单元 二次根式
1、二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“
”；被开方数
a 必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a
（2）==a a 2
)0(<-a a
（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab
（4）)0,0(≥≥=b a b
a b a 5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
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九年级上册数学期中复习资料整理
考试是对学生知识和能力测量的主要方法,也是检查教学质量,促进
教学改革的重要手段,考前要做好复习准备。下面是小编为大家整理的
关于九年级上册数学期中复习资料，希望对您有所帮助!
初三上册数学复习归纳
1、代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2、整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做
整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3、单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。数字与字母的积包括单独的.一
个数或字母几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中
有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是
以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式
类别时，是从外形来看。如，=x,=│x│等。
4、系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看。
5、同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同。
合并依据：乘法分配律
6、根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式是无理
数。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根[a与平方根的区别];
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
8、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次
根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中
不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9、指数
⑴幂，乘方运算
①a0时，②a0时，0n是偶数，0n是奇数
⑵零指数：=1a0
负整指数：=1/a0,p是正整数
九年级上册数学复习指导
二次根式
学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数
量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式 一
章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结
论：
注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式
的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次
根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是
用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式
的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到
并运用它们进行二次根式的化简。
二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根
式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内
容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例
题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。
这些处理有助于学生掌握本节内容。
一元二次方程
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某
些实际问题时还会遇到一种新方程 一元二次方程。一元二次方程一章
就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实
际问题。
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二
次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值
代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解
加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，
22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法
三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。
(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的
方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这
个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二
次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一
元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方
程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次
方程，学了公式法以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程 的解法，得到一元
二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数
根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解
法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一
元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元
二次方程的方法进行小结。
22.3实际问题与一元二次方程一节安排了四个探究栏目，分别探
究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
九年级数学上册复习
一、平行四边形
1、平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等(邻角互补)。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形
1、矩形的性质定理：
矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
(对角线相等且互相平分的四边形是矩形。)
三、菱形
1、菱形的性质定理：
菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。)
四、正方形
1、正方形的性质定理：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的`两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分
一组对角。
2、正方形的判定定理：
l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形
1、等腰梯形的性质定理：
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线
1、定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
七、其他定理或结论：
1、夹在两条平行线间的平行线段相等。
2、三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
3、菱形的面积等于其对角线乘积的一半。
4、连接三角形每两边的中点，就得到了四个全等的三角形和三个
平行四边形，所得的三角形的周长是原三角形周长的 ，所得的三角形
的面积是原三角形面积的 。
八、中点四边形
1. 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状，取决于原
四边形两条对角线的位置关系和数量关系，即两条对角线是否相等或
者是否垂直。
2. 依次连接任意四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。