近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数(含解析)
专题14二次函数解答压轴题(共32题)-2021中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第1期)
专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得： 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：∴当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；∴当0,0m n <>时，∴抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0， ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∴点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∴0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点． （1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a =-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∴如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∴如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出|1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =+ 12CD x x ∴=-3=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）6【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∴杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，∴()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD'∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x 2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分∴当BF BE =时，∴当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∴四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：∴当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ∴当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =，∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∴过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∴()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∴抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =， ∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∴B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∴PQ ∴CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∴D 是OC 的中点，∴D （0，2），∴QN ∴y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∴2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ =， 设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去）， ∴E （5，4）， 设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+， ()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，∴当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =， ∴当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，∴当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）． ．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2131+；（3）是，1． 【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ． （2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩， ∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CE 的解析式为：233y x =-+， 令1x =，则73y =， ∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +∴AQ QPPC ++1．理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∴'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∴点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∴0q ≠，∴21e q -=-， ∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ∴AB ，理由见解析；（2）（,1）；（3）243y x x =-+ 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断∴AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明∴AOC ∴∴BOE （SAS ），可得∴OBE =∴OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证∴MOC ∴∴NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角∴ACM ，可求出2AM CM ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）BE ∴AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1， ∴B （0，1），A （1，0）， ∴OA =OB =1， ∴∴OBA =∴OAB =45°， ∴四边形OCDE 是正方形， ∴OC =OE ，∴COE =90°， ∴∴AOB =90°， ∴∴AOC =∴BOE ， ∴∴AOC ∴∴BOE （SAS ）， ∴∴OBE =∴OAC =45°，∴∴EBC =∴EBO +∴OBA =45°+45°=90°， 即BE ∴AB ；（2）作CM ∴OA 于点M ，作EN ∴x 轴于点N ，如图1，则∴CMO =∴ENO =90°， ∴∴EON +∴NEO =∴EON +∴COM =90°， ∴∴NEO =∴COM ， 又∴OC =OE ，∴∴MOC ∴∴NEO ， ∴CM =ON ，OM =EN ，在∴ACM 中，∴CMA =90°，∴MAC =45°，AC =BE =t ， ∴22AM CM t ==， ∴212OM t =-， ∴点E 在第二象限， ∴点E 的坐标是（22,122t t --）；（3）∴抛物线过点A （1，0）， ∴a +b +c =0， ∴6320a b c ++=， ∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当t =时，由（2）可得AC =， ∴12AM CM ==， ∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1， ∴∴POA 的面积为12， 即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =， ∴a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1， ∴点P （2，-1）， 设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点2DD CD '=的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+， 将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++， 解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=， 2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，2255(3)(62)35D N CN m m CN m CN FN CN '+=-+-=-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x≤100时，当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：30020022x x=+-，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100， 若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,26N --【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AEAC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN ，最后由3MD MN =即可求解 【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩ 265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥轴，AE AC ⊥ 90EFA EAC ∴∠=∠=︒ 90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO ∴∠=∠ AOC EFA ∴∆∆∽AC AO COEA EF AF∴==tan 2ACM ∠=即2AEAC= 12AC AO CO EA EF AF ∴=== 当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 3511y x ∴=-- 点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m =-1AH m ∴=--265y x x =---∴对称轴32bx a∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-= ()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++= 210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦ 3MD =223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦， 30,3m m +==-不符合题意，舍去，当30m +≠时，2224690,m m ∴++=解得122m -=，由题意知122m --= (3,2N ∴--【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩， ∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+， 当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： ()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-， ∴120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∴500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∴要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将∴代入∴可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）2n =（3）∴12；∴251013(9+或2513(,0)9-． 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）∴先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；∴先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．。
浙江省中考数学复习第一部分考点研究第三单元函数第14课时二次函数的实际应用(含近9年中考真
第一部分考点研究第三单元函数第14课时二次函数的实质应用浙江近9年中考真题优选（2009-2017）种类一几何类(温州2015.15，绍兴2考)第1题图1.(2015温州15题5分)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙分开，并在以下图的三处各留1m宽的门，已知计划中的资料可建墙体(不包含门) 总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为______m2.2．(2017绍兴21题10分)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑资料可建围墙的总长为 50m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？如图②，现要求在图中所示地点留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只需饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你经过计算，判断小敏的说法能否正确．第2题图种类二抛物线类(台州2考，温州2017.16，绍兴2012.12)1第3题图3．(2012绍兴12题5分)教练对小明推铅球的录像进行技术剖析，发现铅球前进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－1(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是12________m.4．(2016台州16题5分)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒挨次竖直向上抛出两个小球．假定两个小球离手时离地高度同样，在各自抛出后 1.1秒时抵达同样的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度同样，则t＝________.5．(2017温州16题5分)小明家的洗手盆上装有一种拾启式水龙头，完整开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A、出水口B和落水滴C恰幸亏同向来第5题图线上，点A到出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的有关数据以下图，现用高10.2cm的圆柱形水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为________cm.6．(2017金华21题8分)甲、乙两人进行羽毛球竞赛，羽毛球飞翔的路线为抛物线的一部分．如图，甲在 O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞翔的高度y(m)与水平距离x(m)之间知足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.21(1)当a＝－24，①求h的；②通算判断此球可否网；(2)若甲球网后，羽毛球行到与点O的水平距离7m，离地面的高度12m的Q 5，乙扣球成功，求a的．第67．(2012台州2312分)某汽在刹后行的距离s(位：米)与t(位：秒)之关系的部分数据以下表：t(秒)00.20.40.60.81 1.2⋯行距离s(米)0 2.8 5.27.28.81010.8⋯假种化律向来延到汽停止．依据些数据在出的坐系中画出相的点；适合的函数表示s与t之的关系，求出相的函数分析式；①刹后汽行了多距离才停止？②当t分t1，t2(t1＜t2)，s的分s1，s2，比s1s2与的大小，并分析t1t2比果的意．3第7型三最大利(台州2014.23)8．(2012嘉2212分)某汽租企业有20汽．据，当每的日租金400元，可所有租出；当每的日租金每增添50元，未租出的将增添1；企业均匀每天的各支出共4800元．企业每天租出x，日利润y元．(日利润＝日租收入－均匀每天各支出)(1)企业每天租出x，每的日租金________元(用含x的代数式表示)；当每天租出多少，租企业日利润最大？最大是多少？当每天租出多少，租企业的日利润不盈也不？9．(20132210分)迎接中国森博会，某商家划从厂家采A、B两种品共20件，品的采价(元/件)是采数目(件)的一次函数，下表供给了部分采数据．采数目(件)12⋯A品价(元/件)14801460⋯B品价(元/件)12901280⋯(1)A品的采数目x(件)，采价y1(元/件)，求y1与x的关系式；11商家与厂家商，采A品的数目许多于B品数目的9，且A品采价不低于1200元．求商家共有几种方案；(3)商家分以1760元/件和1700元/件的售价售出A、B两种品，且所有售完．在(2)的条件下，求采A种品多少件利最大，并求出最大利．410．(2017湖州2310分)湖州素有米之之称，某水养殖大了更好地技，一次性收了20000kg淡水，划养殖一段后再销售．已知每天放养的用同样，放养10天的成本30.4万元；放养20天的成本30.8万元．(成本＝放养用＋收成本)每天的放养用是a万元，收成本b万元，求a和b的；批淡水放养t天后的量m(kg)，售价y元/kg.依据过去可知：m与t的函数关系20000（0≤t≤50）m＝；y与t的函数关系如所示．100t＋15000（50＜t≤100）①分求出当0≤t≤50和50＜t≤100，y与t的函数关系式；②将批淡水放养t天后一次性销售所得利W元，求当t何，W最大？并求出最大．(利＝售－成本)第10型四最大流量(台州2017.23)11．(2017台州2312分)交通工程学理把在向道路上行的汽当作的流体，并用流量、流速、密度三个观点描绘流的基本特点，此中流量q(/小)指位内通道路指定断面的数；速度v(千米/小)指通道路指定断面的速度；密度k(/千米)指通道路指定断面位度内的数．配合大数据治堵行，得某路段流量q与速度v之关系的部分数据以下表：速度v(千米/小⋯51020324048⋯)流量q( /小)⋯55010001600179216001152⋯(1)依据上表信息，以下三个函数关系式中，刻画q，v关系最正确的是____．(只需填上正5确答案的序号)①q＝90v＋100；②q＝32000；③q＝－2v2＋120v.v请利用(1)中选用的函数关系式剖析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？已知q，v，k知足q＝vk.请联合(1)中选用的函数关系式持续解决以下问题．①市交通运转监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥挤．试剖析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥挤；②在理想状态下，假定前后两车车头之间的距离(米)均相等，求流量q 最大时d的值．d答案1．75【分析】设与现有墙垂直的一边墙长为xm，则与现有墙平行的一边墙长为(27＋3－3x )m，＝(27＋3－3)＝－3(x2x＝5时，S取最大值，S2－5)＋75，因此当最大＝75m.Sx x50－x126252．解：(1)∵y＝x·2＝－2(x－25)＋2，(2分)∴当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室长为25m，占地面积最大；(4分)50－（x－2）12(2)∵y＝x·2＝－2(x－26)＋338，(6分)∴当x＝26时，占地面积y最大，即当饲养室长为26m时，占地面积最大．(9分)26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．(10分)63．10【分析】函数关系式y＝－1(x－4)2＋3中，令y＝0，即0＝－1(x－4)2＋3，解1212得x1＝10，x2＝－2(舍去)，故铅球推出的距离是10m.4．1.6【分析】此题主要考察了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1s时抵达同样的最大离地高度，即二次函数的极点处，故此二次函数的对称轴为t＝1.1，由于两次抛小球的时间间隔为1s，因此当第一个小球和第二个小球抵达同样高度时，则这两个小球必分居对称轴左右双侧，因为高度同样，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离同样，故该距离为0.5s,因此此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6s时与第二个小球的离地高度同样．5．24－8 2【分析】成立平面直角坐标系如解图所示．依据题意，已知抛物线经过点D，B，C，因此抛物线的对称轴为BD的垂直均分线，因为BD＝12cm，故可得抛物线的分析式为y＝a(x－6)2＋k.因为点A到出水口BD的距离为12cm，因此AG＝12－6＝6cm，在Rt△AFG中，由勾股定理得FG＝8cm，因此点A的坐标为(8，36)，因为点B(12，24)，且点A，B，C在同向来线上，因此设直线AB的分析式为y＝mx＋n，将点A，B代入得8m＋n＝36，解12m＋n＝24m＝－3得，因此直线AB的分析式为y＝－3x＋60，令y＝0得x＝20，因此点C的坐标为n＝60(20，0)，将点D(0，24)，点C(20，0)代入抛物线分析式得a（0－6）2＋k＝24，解得a（20－6）2＋k＝03a＝－2032147147，因此抛物线分析式为y＝－20(x－6)＋5.因为用高10.2cm的圆柱形水杯接k＝532147水，令y＝10.2，即－20(x－6)＋5＝10.2，解得x＝6＋82，或x＝6－82(舍)，所以EH＝30－(6＋8 2)＝24－8 2cm.7第5题解图6．解：(1)①把(0，1)代入y＝－1(x－4)2＋h，得h＝5，(2分)243∴y＝－1(x－4)2＋5；243②把x＝5代入y＝－1(x－4)2＋5，得y＝－1(5－4)2＋5＝1.625，2432431.625＞1.55，∴此球能过网；把(0，1)，(7，12)代入y＝a(x－4)2＋h，516a＋h＝1得12，9a＋h＝51a＝－5解得，21h＝15a＝－5.(8分)7．解：(1)描点如解图所示：(绘图基本正确均给分)；(2分)8第7题解图由散点图可知该函数为二次函数，设二次函数的分析式为s＝at2＋bt＋c，因为抛线物经过点(0，0)，可得c＝0，又由点(0.2，2.8)，(1，10)可得0.04a＋0.2b＝2.8，a＋b＝10a＝－5解得，b＝15∴二次函数的分析式为s＝－5t2＋15t，经考证其他各点均在s＝－5t2＋15t上；(5分)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，1530－15222545当t＝－2×（－5）＝2时，滑行距离最大，S＝4×（－5）＝20＝4，45即刹车后汽车行驶了4米才停止；(9分)②∵s＝－5t2＋15t，22∴s1＝－5t1＋15t1，s2＝－5t2＋15t2，∴s1－5t12＋15t1＝＝－5t1＋15，t1t1s2－5t22＋15t2＝＝－5t2＋15，t2t29∴s1s2－＝5(t2－t1)，t1t2t1＜t2，s1s2s1s2∴－＞0，即＞，t1t2t1t2故s1s2t2时间内的均匀速度小于刹车后到t1时间内的均匀速＞的实质意义是刹车后到t1t2度．(12分)8．解：(1)1400－50x；(2分)(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000，∴当每天租出14辆时，租借企业日利润最大，最大值为5000元；(6分)要使租借企业的日利润不盈也不亏，即y＝0，即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4，∵x＝24不合题意，舍去，∴当每天租出4辆时，租借企业的日利润不盈也不亏．(12分)9．解：(1)设y与x的关系式y＝kx＋b，由表知1480＝k＋b1，11460＝2k＋b解得k＝－20，b＝1500即y1＝－20x＋1500(0<x≤20，x为整数)；(3分)1011(2)依据题意可得x≥9（20－x），－20x＋1500≥1200解得11≤x≤15，∵x为整数，x可取的值为：11，12，13，14，15，∴该商家共有5种进货方案；(5分)(3)依据题意可得B产品的采买单价可表示为y2＝－10(20－x)＋1300＝10x＋1100，令总利润为W，则W＝(1760－y1)x＋(20－x)×[1700－(10x＋1100)]30x2－540x＋12000，30(x－9)2＋9570，∵a＝30>0，∴当x≥9时，W随x的增大而增大，∴11≤x≤15，∴当x＝15时，W最大＝10650元．(10分)10．解：(1)由题意得10a＋b＝30.4，(2分) 20a＋b＝30.8a＝0.04.(4分)解得b＝30答：a的值为0.04，b的值为30；(2)①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y＝k1t＋n1，把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入y＝1＋15＝n1，1，得kt n25＝50k＋n111k1＝解得5 .n1＝15111∴y与t的函数关系式为y＝5t＋15.(5分)当50<≤100时，设y与t的函数关系式为y ＝2＋2，t ktn把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入y＝k2t＋n2，25＝50k2＋n2得，20＝100k2＋n21解得k2＝－10，n2＝301∴y与t的函数关系式为y＝－10t＋30；(7分)②由题意得，当0≤t≤50时，1W＝20000(5t＋15)－(400t＋300000)＝3600t.3600>0，∴当t＝50时，W最大值＝180000(元)，(8分)当50<t≤100时，1W＝(100t＋15000)(－10t＋30)－(400t＋300000)＝－10t2＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250，∵－10<0，∴当t＝55时，W最大值＝180250(元)，(9分)综上所述，当t为55时节，W最大值为180250元．(10分)11．(1)③；12【解法提示】解法一：依据数据用描点法画出图象，得出一个张口向下的二次函数图象，应选③；解法二：用代入法进行查验：把表中的数据v＝5，q＝550代入，可清除②；由数据v ＝20，＝1600可清除①；因此刻画，关系最正确的是③；q qv(2)q＝－2v2＋120v＝－2(v－30)2＋1800，(6分)当v＝30时，q最大＝1800；(8分)q＝－2v2＋120v(3)①由得，k＝－2v＋120，q＝vk12≤v<18，∴84<－2v＋120≤96，即84<k≤96；(10分)1800②当v＝30时，q最大＝1800，此时k＝60，d＝60＝30(米)．(12分)13。
近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之统计与概率(含解析)
2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之统计与概率一．选择题（共13小题）1．（2020•宁波）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．2．（2019•温州）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人3．（2021•宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：甲乙丙丁9899S2 1.60.830.8根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2020•嘉兴）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2 5．（2020•衢州）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．6．（2020•湖州）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（）A．4B．3C．2.5D．2 7．（2020•台州）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差8．（2021•衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（）A．B．C．D．9．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A．B．C．D．10．（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（）A．＜B．＞C．s2＞s12D．s2＜s12 11．（2020•金华）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（）A．B．C．D．12．（2020•绍兴）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（）A．B．C．D．13．（2019•舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（）A．签约金额逐年增加B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多C．签约金额的年增长速度最快的是2016年D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%二．填空题（共6小题）14．（2021•金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是．15．（2020•嘉兴）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是．16．（2020•宁波）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．17．（2020•温州）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有头．18．（2021•宁波）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．19．（2021•丽水）根据第七次全国人口普查，华东A，B，C，D，E，F六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是．三．解答题（共3小题）20．（2020•绍兴）一只羽毛球的重量合格标准是5.0克～5.2克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．4月份生产的羽毛球重量统计表组别重量x（克）数量（只）A x＜5.0mB 5.0≤x＜5.1400C 5.1≤x＜5.2550D x≥5.230（1）求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数．（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？21．（2020•湖州）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题：（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？22．（2019•温州）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表：车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之统计与概率参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2020•宁波）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【分析】根据概率公式计算．【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．2．（2019•温州）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人【考点】扇形统计图．【专题】数据的收集与整理．【分析】扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【解答】解：调查总人数：40÷20%＝200（人），选择黄鱼的人数：200×40%＝80（人），故选：D．【点评】本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3．（2021•宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：甲乙丙丁9899S2 1.60.830.8根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．【解答】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，∴丁比较稳定，∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，故选：D．【点评】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．4．（2020•嘉兴）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．故选：C．【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．5．（2020•衢州）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：＝．故选：A．【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．6．（2020•湖州）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（）A．4B．3C．2.5D．2【考点】算术平均数．【专题】统计与概率；数据分析观念．【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的平均数，本题得以解决．【解答】解：＝＝2，故选：D．【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．7．（2020•台州）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．【专题】统计的应用；数据分析观念．【分析】根据中位数的意义求解可得．【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．8．（2021•衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】根据概率公式，用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是，故选：D．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，故选：C．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（）A．＜B．＞C．s2＞s12D．s2＜s12【考点】方差；算术平均数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【解答】解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2＞该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12，而平均数无法比较．故选：C．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．（2020•金华）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；推理能力．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是＝；故选：A．【点评】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12．（2020•绍兴）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；推理能力．【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：；故选：C．【点评】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（2019•舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（）A．签约金额逐年增加B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多C．签约金额的年增长速度最快的是2016年D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%【考点】折线统计图．【专题】统计的应用；数据分析观念．【分析】两条折线图一一判断即可．【解答】解：A、错误．签约金额2017，2018年是下降的．B、错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．C、正确．D、错误．下降了：≈9.4%．故选：C．【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）14．（2021•金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解答此题的关键．15．（2020•嘉兴）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题；概率及其应用；应用意识．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：共有3种等可能结果，其中符合题意的情况有1种，∴蚂蚁获得食物的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率的求法，理解如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．16．（2020•宁波）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【考点】方差；算术平均数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．17．（2020•温州）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有140头．【考点】频数（率）分布直方图．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg及以上的生猪数，本题得以解决．【解答】解：由直方图可得，质量在77.5kg及以上的生猪：90+30+20＝140（头），故答案为：140．【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2021•宁波）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，∴共有8个球，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（2021•丽水）根据第七次全国人口普查，华东A，B，C，D，E，F六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是18.75%．【考点】中位数．【专题】统计的应用；运算能力．【分析】根据中位数的定义直接求解即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为：16.0%，16.9%，18.7%，18.8%，20.9%，21.8%，则中位数是＝18.75%．故答案为：18.75%．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．三．解答题（共3小题）20．（2020•绍兴）一只羽毛球的重量合格标准是5.0克～5.2克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．4月份生产的羽毛球重量统计表组别重量x（克）数量（只）A x＜5.0mB 5.0≤x＜5.1400C 5.1≤x＜5.2550D x≥5.230（1）求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数．（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．【分析】（1）图表中“C组”的频数为550只，占抽查总数的55%，可求出抽查总数，进而求出“A组”的频数，即m的值；求出“B组”所占总数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（2）计算“B组”“C组”的频率的和即为合格率，求出“不合格”所占的百分比，即可求出不合格的数量．【解答】解：（1）550÷55%＝1000（只），1000﹣400﹣550﹣30＝20（只）即：m＝20，360°×＝144°，答：表中m的值为20，图中B组扇形的圆心角的度数为144°；（2）+＝＝95%，12×10×（1﹣95%）＝120×5%＝6（只），答：这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，估计非合格品的羽毛球大约有6只．【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解图表中的数量和数量之间的关系，是正确计算的前提．21．（2020•湖州）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题：（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】图表型；数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常满意”的人数为20人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“基本满意”的人数，即可补全条形统计图；（2）样本中“满意”占调查人数的，即30%，因此相应的圆心角的度数为360°的30%；（3）样本中“非常满意”或“满意”的占调查人数的（+），进而估计总体中“非常满意”或“满意”的人数．【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：（2）360°×＝108°，答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；（3）1000×（+）＝700（人），答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．22．（2019•温州）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表：车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【考点】众数；加权平均数；中位数．【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．【分析】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可；（2）求出中位数、众数、平均数，从大多数员工能够完成任务为标准“定额”．【解答】解：（1）×（9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1）＝13（个）答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为，众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；因此，定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．【点评】本题考查平均数、中位数、众数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．。
中考数学专项复习《二次函数的应用(2)》练习(无答案) 浙教版(2021年整理)
2017年中考数学专项复习《二次函数的应用（2）》练习（无答案） 浙教版 1 2017年中考数学专项复习《二次函数的应用（2）》练习（无答案） 浙教版
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2 二次函数的应用（02）
一、选择题 1．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是( ） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 2．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 3．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（ ) A．﹣4 B．0 C．2 D．3 4．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3,2）,与x轴交于点B(2，0)，若0＜y1＜y2，则x的取值范围是( )
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3 5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） 2017年中考数学专项复习《二次函数的应用（2）》练习（无答案） 浙教版 3 A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
【浙江专用】2021年中考数学 新定义题专项汇编2【含答案】
【浙江专用】备考2021年中考数学 新定义题 专项汇编（2）（含详解）1．我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片36︒剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们把条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形n 1n +的等分线图．1n +显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的4等分线的示意图．ABC ∆ABC ∆（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．)2．新定义函数：在关于的函数中，若时，函数有最大值和最小值，分别记和，y x 01x y max y min y 且满足，则我们称函数为“三角形函数”．02min minmax y y y >⎧⎨>⎩y （1）若函数为“三角形函数”，求的取值范围；y x a =+a （2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由；21y x =+（3）已知函数，若对于上的任意三个实数，，所对应的三个函数值都221y x mx =-+01x a b c 能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的的取值范围．m 3．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．（1）如图，中，，是在边上的中分线段，为中点，过点作ABC ∆AC AB >DE ABC ∆BC F AC B 的垂线交于点，垂足为，设，．DE AC G H AC b =AB c =①求证：；DF EF =②若，，求的长度；6b =4c =CG （2）若题（1）中，，求的值．BDH EGH S S ∆∆=b c4．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．（1）如图，中，，是在边上的中分线段，为中点，过点作ABC ∆AC AB >DE ABC ∆BC F AC B 的垂线交于点，垂足为，设，．DE AC G H AC b =AB c =①求证：；DF EF =②若．，试说明，并求出的长度；6b =4c =AB AG =CG （2）若题（1）中，，求的值．BDH EGH S S ∆∆=b c5．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线90ABC ADC ∠=∠=︒ABCD段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相AC 等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时ABC ∆ABD ∆AB AB ADB ∠ACB ∠；再比如和有公共边，在同侧有和，此时ADB ACB ∠=∠ABC ∆BCD ∆BC CB BAC ∠BDC ∠．BAC BDC ∠=∠（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ．=（2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，为菱形对角线ABC ∆90ABC ∠=︒AC ACEF D ACEF 的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由．BD BD ABC ∠ACEF（3）在第（2）题的条件下，若此时，，求的长．6AB =BD =BC 6．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角，，，为上一点，当 ABC ∆90ACB ∠=︒4AC BC ==P AC AP =时，与为偏等积三角形．ABP ∆CBP ∆（2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过ABD ∆ACD ∆2AB =6AC =AD 点作交的延长线于点，求的长度C //CE AB ADE AE （3）如图3，已知为直角三角形，，以，为边问外作正方形和正ACD ∆90ADC ∠=︒AC AD ACFB 方形，连接，求证：与为偏等积三角形．ADGE BE ACD ∆ABE ∆7．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：定义直线与直线互为“挚友直线”，例如：直线(0)y kx b kb =+≠(0)y bx k kb =+≠与直线互为“挚友直线”；直线中，称为斜率，若，、23y x =+32y x =+y kx b =+k 1(A x 1)y ，为直线上任意两点，则斜率．2(B x 2)y y kx b =+12()x x ≠1212y y k x x -=-材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点，、，，定义一种新的运算：◎1(A x 1)y 2(B x 2)y A ，例如：、，则◎．1212B x x y y =+(2,3)A -(3,5)B -A 233(5)21B =-⨯+⨯-=-（1）若直线上有两点、在直线上，则 ，◎ y kx b =+(4,5)A -(2,3)B -y kx b =+k =A B =；（2）点既在直线上，又在它的“挚友直线”上，则求点的坐标为 ；(,)C x y 32y x =-C （3）对于直线上任意一点，都有点在它的“挚友直线”上，点1:l y kx b =+(,)E x y (2,12)F x y --，、、，满足◎◎，其中，，过点作轴，且1(G x 1)y (3,1)H 2(I x 2)y G H H =I 123x x ≠≠H //HJ x ，直线过点．直线交直线于点，交轴于．直线与轴交于点，请求出2HJ =GI J GI 1l K x L 1l x M 的面积．MKL ∆8．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，k 1(,)a b，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这2(1,)a b +21b b k - k 个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，2y x =-+x a 1a +12b a =-+，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．21b a =-+211b b k -=- 2y x =-+1-（1）写出函数的限减系数；21y x =-（2），已知是限减函数，且限减系数，求的取值范围．0m >1(1,0)y x m x x=-≠ 4k =m （3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点2y x =-P P l y 2y x =-右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限P l 减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．1k - P n 9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当x 0x 时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数0x <，它的相关函数为．y x =(0)(0)x x y x x ⎧=⎨-<⎩（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，求的值；(5,10)A -5y ax =-a （2）已知二次函数．2142y x x =-+-①当点在这个函数的相关函数的图象上时，求的值；3(,2B m m ②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值．33x - 2142y x x =-+-（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，、，，连接．直接写出线段M N 1(2-1)9(21)MN 与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时的取值范围．MN 24y x x n =-++n 10．定义：对于抛物线、、是常数，，若，则称该抛物线为黄金2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠2b ac =抛物线．例如：是黄金抛物线21y x x =-+（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位21y x x =-+①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与轴交于、在的左侧），与轴交于，点是直线下方的x A (B A B y C P BC 抛物线上一动点，连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，PO PC POC ∆CO POP C 'P 使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．POP C 'P ③当直线下方的抛物线上动点运动到什么位置时，四边形的面积最大并求出此时点BC P OBPC P 的坐标和四边形的最大面积．OBPC答案与试题解析1．解：（1）如图2，取三边的中点，，，并连接，D E F 得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点，，，得4个等边三角形；D E F②如图，作于点，取和的中点，，CF AB ⊥F CA CB D E 连接，，得和是等边三角形，DF EF ADF ∆BEF ∆和是底角为的等腰三角形；CDF ∆CEF ∆30︒③如图，在上取点，在上取点，CA E CB F 使，，2CE AE =2CF BF =再取的中点，连接，，EF D DA DB所以是等边三角形，是等腰三角形，AEF ∆DAB ∆和是等腰三角形．ADE ∆BDF ∆2．解：（1）当，；，， 0x =min y a =1x =1max y a =+为三角形函数，y x a =+ ，∴021a a a >⎧⎨>+⎩；1a ∴>（2）是三角形函数，理由如下：对称轴为直线，， x =01x当∴7,1,28min max x y xy ====-，∴70,2(204min min max y y y >-=-=>它是三角形函数；∴（3）对于上的任意三个实数，，所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长， 01x a b c ，若为最小，为最大，则有，同理当为最小，为最大∴a b c a c b y y y a b c y y y a c b +>+>⎧⎧⎨⎨+>+>⎩⎩a y c y 02b bc y y y >⎧⎨>⎩b y c y 时也可得，02a ac y y y >⎧⎨>⎩是三角形函数，221y x mx ∴=-+，22221()1y x mx x m m =-+=--+ 对称轴为直线，∴x m =①当时，当，，0m 0x =1min y =当，，则，解得，1x =22max y m =-+222m >-+0m >无解；∴②当，，当，，，102m < 2,1min x m y m ==-+当1x =22max y m =-+22102222m m m ⎧-+>⎨-+>-+⎩则解得，01m <<；∴102m < ③当，，当，，则，112m < 2,1min x m y m ==-+当0x =1max y =2210221m m ⎧-+>⎨-+>⎩解得m <<；∴12m <<④当，当，，，，则，1m >1x =22min y m =-+0x =1max y =220441m m -+>⎧⎨-+>⎩解得，34m <无解．∴综上述可知的取值范围为m 0m <<3．（1）①证明：为中点，是在边上的中分线段，F AC DE ABC ∆BC 是的中位线，DF ∴CAB ∆，，，1122DF AB c ∴==1122AF AC b ==1()2CE b c =+，11()()22AE b CE b b c b c ∴=-=-+=-，111()222EF AF AE b b c c ∴=-=--=；DF EF ∴=②解：过点作于，如图1所示：A AP BG ⊥P是的中位线，DF CAB ∆，//DF AB ∴，DFC BAC ∴∠=∠，，DFC DEF EDF ∠=∠+∠ EF DF =，DEF EDF ∴∠=∠，2BAP PAC DEF ∴∠+∠=∠，，ED BG ⊥ AP BG ⊥，//DE AP ∴，PAC DEF ∴∠=∠，BAP DEF PAC ∴∠=∠=∠，AP BG ⊥ ，4AB AG ∴==；642CG AC AG ∴=-=-=（2）解：连接、，如图2所示：BE DG ，BDH EGH S S ∆∆=，BDG DEG S S ∆∆∴=，//BE DG ∴，//DF AB ，ABE FDG ∴∆∆∽，∴21AB AEDF FG ==，1111()()2224FG AE b c b c ∴==⨯-=-，AB AG c == ，CG b c ∴=-，11()()24CF b FG CG b c b c ∴==+=-+-，35b c ∴=．∴53bc =4．（1）①证明：，，BD DC = AF CF =，1122DF AB c ∴==是的中分线段，DE ABC ∆，111222CD CF EF BC AC AB ∴++=++，，12CD BC = 12CF AC =，1122EF AB c ∴==．DF EF ∴=②证明：如图设交于．BG DF O，DF EF = ，FED FDE ∴∠=∠，BG DE ⊥ ，90EHG DHO ∴∠=∠=︒，，90FED EGH ∴∠+∠=︒90FDE HOD ∠+∠=︒，HOD FOG ∠=∠ ，FOG FGO ∴∠=∠，，BD DC = AF CF =，//DF AB ∴，ABG FOG ∴∠=∠，ABG AGB ∴∠=∠，AB AG ∴=，，4AB AG == 6AC =．642CG AC AG ∴=-=-=（2）解：如图2中，过点作于，过点作于．E EN BC ⊥N G GM BC ⊥M ，BDH EGH S S ∆∆= ，BCG ECD S S ∆∆∴=，∴1122BC GM CD EN = ，2BC CD = ，2EN GM ∴=，//EN GM ，，EG CG ∴=MN CM =，，12EF c = 12CF AF b ==，2b c EC +∴=，124b c CG EC +∴==，，AB AG c == AG GC b +=，4b c c b +∴+=，44c b c b ∴++=，53c b ∴=．∴53b c =5．解：（1）由图1得：和有公共边，在同侧有和，此时ABD ∆ADC ∆AD AD ABD ∠ACD ∠；ABD ACD ∠=∠故（或 ；ABD ACD ∠=∠DAC DBC ∠=∠)（2）四边形为正方形ACEF 证明：，平分，90ABC ∠=︒ BD ABC ∠，45ABD CBD ∴∠=∠=︒四边形为菱形，ACEF ，即，AE CF ∴⊥90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒ 四边形为损矩形，∴ABCD 由（1）得，45ACD ABD ∠=∠=︒，290ACE ACD ∴∠=∠=︒四边形为正方形．∴ACEF （3）过点作，过点作交的延长线于点，D DM BC ⊥E EN BC ⊥BC N，45DBM ∠=︒ 为等腰直角三角形，BDM ∴∆，8BM DM ∴===，，，AC EC = 90ACE ∠=︒90ABC CNE ∠==︒，ACB CEN ∴∠=∠，()ABC CNE AAS ∴∆≅∆，6CN AB ∴==，，//DM EN AD DE =，8BM MN ∴==．210BC BN CN BM CN ∴=-=-=6．解：（1）如图1中，当时，，2AP PC ==PAB PBC S S ∆∆=与不全等，ABP ∆ PBC ∆与为偏等积三角形，ABP ∴∆CBP ∆故答案为2．（2）如图2中，与为偏等积三角形，ABD ∆ ACD ∆，BD CD ∴=，//AB EC ，BAD E ∴∠=∠，ADB EDC ∠=∠ ，()ADB EDC AAS ∴∆≅∆，，AD DE ∴=2AB EC ==，6AC = ，6262AE ∴-<<+，428AD ∴<<，24AD ∴<<为正整数，AD ，3AD ∴=．26AE AD ∴==（3）如图3中，过点作，垂足为．B BH AE ⊥H四边形和四边形均为正方形，ABFC ADGE，，，．90HAC DAC ∴∠+=︒90BAH HAC ∠+∠=︒AB AC =AD AE =．BAH DAC ∴∠=∠在和中，ABH ∆ACD ∆，90BAH DAC H ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()ABH ACD AAS ∴∆≅∆．CD HB ∴=，，，，12ABE S AE BH ∆=⋅ 12CDA S AD DC ∆=⋅AE AD =CD BH =．ABE CDA S S ∆∆∴=与为偏等积三角形．ACD ∴∆ABE ∆7．解：（1）、，(4,5)A - (2,3)B -；1212534423y y k x x ---∴===--+◎；A ∴121281523B x x y y =+=--=-故；；43-23-（2）直线的“挚友直线”是，32y x =-23y x =-+又点既在直线上，又在它的“挚友直线”上，(,)C x y 32y x =-，3223x x ∴-=-+解得，1x =，1y ∴=；(1,1)C ∴故答案是：；(1,1)（3）直线上任意一点，1:l y kx b =+(,)E x y ①，kx b y ∴+=点在它的“挚友直线”上，(2,12)F x y --即在直线上，(2,12)F x y --y bx k =+②，(2)12b x k y ∴-+=-将①代入②得，，(2)12b x k kx b -+=--整理得：，()312b k x b k -=+-对于任意一点等式均成立，(,)E x y ，∴03120b k b k -=⎧⎨+-=⎩解得，33k b =⎧⎨=⎩．1:33l y x ∴=+．(1,0)M ∴-，、、，满足◎◎，1(G x 1)y (3,1)H 2(I x 2)y G H H =I ，即，112233x y x y ∴+=+12213()x x y y -=-由材料一可知：直线的斜率为，GI 12123GI y y k x x -==--故设直线的解析式为：，GI 3y x d =-+轴，且，，//HJ x 2HJ =(3,1)H 或，(1,1)J ∴(5,1)直线过点．GI J 或，4d ∴=16d =故直线的解析式是：或．GI 34GI y x =-+316GI y x =-+直线交轴于．GI x L ，或，．4(3L ∴0)16(30)直线交直线于点，GI 1l K 或，∴3433y x y x =-+⎧⎨=+⎩31633y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得或，1672x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩136192x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或，．1(6K ∴7)213(619)2或，47133ML ∴=+=1619133ML =+=，117749||223212MKL K S ML y ∆∴==⨯⨯= 或．1191936123212MKL S ∆=⨯⨯=综上所述，的面积为或．MKL ∆4912361128．解：（1）当取值和时，函数值分别为，，故，因此函x a 1a +121b a =-221b a =+212b b k -= 数是限减函数，它的限减系数为2．21y x =-（2）若，则，和是函数图象上两点，，1m >10m ->1(1,)1m m --1(,)m m11101(1)m m m m -=-<--与函数的限减系数不符，且不符合题意，4k =1m =．1m ∴<若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，102m <<1(1,)1t t --1(,)t t0t m < ，1111(1)t t t t -=---，且，(1)0t t --> 2211111(1)(()24244t t t m --=--+--+< ，与函数的限减系数不符．∴1141t t ->-4k =．∴12m 若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，112m < 1(1,)1t t --1(,t t0t m < ，1111(1)t t t t -=---，且，(1)0t t --> 2111(1)(244t t t --=--+ ，当时，等号成立，故函数的限减系数．∴11141(1)t t t t -=--- 12t =4k =的取值范围是．m ∴112m < （3）设，则翻折后的抛物线的解析式为，2(,)P n n -222y x n =-对于抛物线，，，是抛物线图象上两点，2y x =-(1m -2(1))m --2(,)m m -由题意：，解得，22211m m m -+-+- 1m 对于抛物线，，，是抛物线图象上两点，222y x n =-22(,2)m m n -(1m +22(1)2)m n +-由题意：，2222(1)2(2)1m n m n +---- 解得，1m - 满足条件的点横坐标的取值范围：．∴P n 11n - 9．解：（1）根据题意，一次函数的相关函数为，5y ax =-5,(0)5,(0)y ax x y ax x =-⎧⎨=-+<⎩把点代入，则，∴(5,10)A -5y ax =-+(5)510a -⨯-+=；1a ∴=（2）根据题意，二次函数的相关函数为，2142y x x =-+-2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩ ①当时，将代入得，0m <3(,2B m 2142y x x =-+213422m m -+=解得：（舍去）或，2m =2m =当时，将代入得：，0m 3(,)2B m 2142y x x =-+-213422m m -+-=解得：或2m =+2m =综上所述：或或2m =-2m =+2m =-②当时，，抛物线的对称轴为，此时随的增大而减小，30x -< 2142y x x =-+2x =y x 当时，有最大值，即∴3x =-，2143(3)4(3)22y =--⨯-+=此时的最大值为．∴y 432当时，函数，抛物线的对称轴为，03x 2142y x x =-+-2x =当有最小值，最小值为，0x =12-当时，有最大值，最大值为，2x =72y =综上所述，当时，函数的相关函数的最大值为，最小值为；33x - 2142y x x =-+-43212-（3）如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，MN 24y x x n =-++当时，，即，解得，∴2x =1y =481n -++=3n =如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰好3个公共点．MN 24y x x n =-++抛物线与轴交点纵坐标为1，24y x x n =--y ，1n ∴-=解得：；1n =-当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，∴31n -<- MN 24y x x n =-++如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．MN 24y x x n =-++抛物线经过点，24y x x n =-++(0,1)，1n ∴=如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．MN 24y x x n =-++抛物线经过点，， 24y x x n =--1(2M -1)，解得：，∴1214n +-=54n =时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．514n ∴< MN 24y x x n =-++综上所述，的取值范围是或，n 31n -<- 514n < 10．解：（1）不唯一，例如：；21y x x =++（2）①：；22y x x =--②存在点，如图1，使四边形为菱形．P POP C '设点坐标为，交于P 2(,2)x x x --PP 'CO E若四边形是菱形，则有．POP C 'PC PO =连接则于，PP 'PE CO ⊥E ，1OE EC ∴==，1y ∴=-221x x ∴--=-解得（不合题意，舍去）1x =2x =点的坐标为，；P ∴1)-③过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设，P y BC Q OB F 2(,2)P x x x --易得，直线的解析式：BC 2y x =-则点的坐标为．Q (,2)x x -OBC BPQ CPQOBPC S S S S ∆∆∆=++四边形21111122(2)222222OB OC QP OF QP FB x x =⋅+⋅+⋅=⨯⨯+-+⨯，2(1)3x =--+当时，四边形的面积最大1x =OBPC 此时点的坐标为，P (1,2)-四边形的面积最大值是3．OBPC。
【2021中考数学】二次函数图像与系数的关系含答案
2021年九年级中考数学二次函数图像与系数的关系1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3：③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④＜0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y ＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，以下结论：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c ＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＝0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y210．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其1中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①b＝2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；④点（，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c ＝2有两个不相等的实数根；④4a﹣2b+c＝0；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（）A．b≤4 B．b≥2 C．b≤2 D．b≥416．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），其中正确的结论有（）A．①②B．②③C．①④D．②④17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点，有下列结论：其中正确的结论是（）①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③2a+b＝0；④3b+2c＞0．A．①③B．①④C．①②D．②④参考答案1．解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以④正确；故选：D．2．解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；③对称轴为x＝1，故﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；④当y＞0时，由图象可知：﹣1＜x＜3，故④错误；⑤当x＜1时，y随着x的增大而增大，故⑤正确；故选：B．3．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c ＝0，抛物线开口向下，a＜0，b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，所以，abc＞0，因此①正确；由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，所以6a+c＝0，又a＜0，因此3a+c＞0，所以②正确；抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤，故选：B．4．解：∵抛物线开口向下，则a＜0．对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；当x＝﹣1 时，有y＝a﹣b+c＜0，故④正确；由2a+b＝0，得a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以2 得2c﹣3b ＜0，故⑤错误．综上，正确的选项有：①②④．所以正确结论的个数是3个．故选：B．5．解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，∴y1＜y2，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，故结论正确有2个．故选：B．6．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，∴abc＜b2，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；由②得，方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），又抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④错误；当x＜时，y随x的增大而增大，故⑤正确；因此正确的结论有3个．故选：B．7．解：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，所以①错误；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④错误；综上所述，正确的结论有：②③，故选：B．8．解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②不正确；③由对称知，当x＝3时，函数值小于0，即y＝9a+3b+c＜0，故③不正确；④∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，∴3a＜﹣c，即c＜﹣3a，故④正确；⑤当x＝1时，y＝a+b+c值最大．∴a+b+c≥am2+bm+c，故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．故④⑤正确．故选：A．9．解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y）和（2，y2）在抛物线上，1∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．10．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x＝时，y＜0，即a+b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．11．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∵抛物线开口向下，∴当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若n＞m＞0，∴1+n＞1+m，∴x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；∵b＝﹣2a，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴﹣＝4，∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．12．解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正确；③因为b＝﹣2a，由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B．13．解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．14．解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误，﹣＝1，则b＝﹣2a，故2a+b＝0，故②正确；抛物线与直线y＝2有两个交点，故方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故④正确；∵当x＝1时，该函数取得最大值，此时y＝a+b+c，∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；故选：D．15．解：∵y＝2x2﹣bx+1，∴对称轴为x＝，∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴≥1，∴b≥4，故选：D．16．解：①根据图象可知：a＜0，c＞0，对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∴abc＜0．∴①正确；②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．∴②错误；③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0．∴③错误．④∵当x＝1时，顶点的纵坐标最大，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b），∴④正确．所以①④，2个．故选：C．17．解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0所以②正确；③∵抛物线经过（2，0），∴当x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；④∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴远，∴y1＜y2，所以④正确；⑤∵抛物线的对称轴x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．∵a＝﹣b，∴b＞m（am+b）（其中m≠），所以⑤正确．所以其中说法正确的是①②④⑤．故选：A．18．解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．19．解：∵y2＝（x﹣3）2+1，∴y2的最小值为1，所以①正确；把A（1，3）代入y1＝a（x+2）2﹣3得a（1+2）2﹣3＝3，∴3a＝2，所以②错误；当x＝0时，y1＝（x+2）2﹣3＝﹣，y2＝（x﹣3）2+1＝，∴y2﹣y1＝+＝，所以③错误；抛物线y1＝a（x+2）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线y2＝（x﹣3）2+1的对称轴为直线x＝3，∴AB＝2×3＝6，AC＝2×2＝4，∴2AB＝3AC，所以④正确．故选：D．20．解：由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（﹣，0），①由图象可得，开口向下，则a＜0，对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，抛物线与y轴的交点c＞0，∴abc＞0；②∵抛物线与x轴的交点为，（﹣，0），∴＝﹣，∴c＝﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣4a﹣5a＝﹣8a＞0；③2a+b＝2a+2a＝4a＜0；④3b+2c＝6a﹣a＝a＜0；∴①②正确；故选：C．21。
备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)15二次函数综合题含详解
专题15二次函数综合题1．（2022•杭州）设二次函数212(y x bx c b =++，c 是常数）的图象与x 轴交于A ，B 两点．（1）若A ，B 两点的坐标分别为(1,0)，(2,0)，求函数1y 的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数1y 的表达式可以写成212()2(y x h h =--是常数）的形式，求b c +的最小值．（3）设一次函数2(y x m m =-是常数），若函数1y 的表达式还可以写成12()(2)y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图象经过点0(x ，0)时，求0x m -的值．2．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数21y x bx a =++，221(y ax bx a =++，b 是实数，0)a ≠．（1）若函数1y 的对称轴为直线3x =，且函数1y 的图象经过点(,)a b ，求函数1y 的表达式．（2）若函数1y 的图象经过点(,0)r ，其中0r ≠，求证：函数2y 的图象经过点1(r，0)．（3）设函数1y 和函数2y 的最小值分别为m 和n ，若0m n +=，求m ，n 的值．4．（2019•杭州）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）．（1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<．5．（2018•杭州）设二次函数2()(y ax bx a b a =+-+，b 是常数，0)a ≠．（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过(1,4)A -，(0,1)B -，(1,1)C 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若0a b +<，点(2P ，)(0)m m >在该二次函数图象上，求证：0a >．6．（2022•上城区一模）如图1用一个平面截取圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、双曲线，而当平面与圆锥的母线平行，且不过圆锥顶点时，所截得的图形为抛物线，即图2中曲线ACB 为抛物线的一部分，交母线于点C ，交底面P 于点A ，B ，AB 垂直于底面P 的直径EF ，垂足为点O ．已知底面P 的半径为5，3OP =．（1）求弦AB 的长．（2）若以AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系如图3，当8OC =时，求经过点A ，C ，B 的抛物线的函数表达式．（3）若图3的抛物线上有一点(,6)H m ，求m 的值．7．（2022•拱墅区一模）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a a =+-，b 是常数，0)a ≠．（1）已知函数1y 的图象经过点(1,2)和(2,1)--，求函数1y 的表达式．（2）若函数1y 图象的顶点在函数22y ax =的图象上，求证：2b a =．（3）已知点(2,0)A -，2(1,)B k a -在函数1y 的图象上，且0k ≠．当10y >时，求自变量x 的取值范围．8．（2022•西湖区一模）已知二次函数2(y x ax a a =++为常数，0)a ≠．（1）当2a =时，求二次函数的对称轴．（2）当04a <<时，求该二次函数的图象与x 轴的交点个数．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是该函数图象上的两点，其中12x x <，当124x x +>时，都有12y y <，求a 的取值范围．9．（2022•钱塘区一模）已知二次函数(21)(2)(y a x a x a a =+--+是常数，0)a ≠．（1）当1a =时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）若此函数图象对称轴为直线2x =-时，求函数的最小值．（3）设此二次函数的顶点坐标为(,)m n ，当1a ≠时，求证：98n m a + ．10．（2022•淳安县一模）在平面直角坐标系中，设二次函数21(2)3(2y x m m m =--+-是实数）．（1）当2m =时，若点(8,)A n 在该函数图象上，求n 的值．（2）小明说二次函数图象的顶点在直线132y x =-+上，你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点(1,)P a c +，(45,)Q m a c -+都在该二次函数图象上，求证：138c ．11．（2022•富阳区一模）在直角坐标系中，点(1,)A m 和点(3,)B n 在二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象上．（1）若1m =，4n =，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若12m n -=，试说明二次函数的图象与x 轴必有交点．（3）若点0(C x ，0)y 是二次函数图象上的任意一点，且满足0y m ，求mn 的取值范围．12．（2022•临安区一模）设二次函数22(1)22(y x m x m m m =-++++是常数）．（1）当3m =时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）试判断二次函数图象与x 轴的交点情况；（3）设二次函数的图象与y 轴交于点(0,)n ，当22m -时，求n 的最大值．13．（2022•钱塘区二模）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(6,0)，点C 坐标为(0,6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当FBA BDE ∠=∠时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作//MN x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．14．（2022•西湖区校级一模）在平面直角坐标系内，二次函数21()1(y x a a a =-+-为常数）．（1）若函数1y 的图象经过点(1,0)，求函数1y 的表达式；（2）若1y 的图象与一次函数2(y x b b =+为常数）的图象有且仅有一个交点，求b 的值；（3）已知0(x ，0)(0)n x >在函数1y 的图象上，当02x a >时，求证：54n >-．15．（2022•萧山区校级一模）在平面直角坐标系中，设二次函数2()12(y x m m m =--+-是实数）．（1）当1m =-时，若点(2,)A n 在该函数图象上，求n 的值．（2）已知(2,2)A -，(1,2)B ，(1,1)C -，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时(2,2)-是否在该二次函数的图象上，（3）已知点(1,)P a p -，(21,)Q m a p +-都在该二次函数图象上，求证：2p ．16．（2022•萧山区一模）已知二次函数23(0)y ax bx a =+-≠．（1）若函数图象的对称轴为直线1x =，且顶点在x 轴上，求a 的值；（2）若1a =，2b =，点(,)m n 为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m ，n 的取值范围；（3）若点(,3)P a a -始终是函数图象上的点，求证：2234a b + ．17．（2022•滨江区一模）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)ab ≠，当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．（1）若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过(0,0)点，求该函数的表达式．（2）若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若(a ，)(p c ，)q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．18．（2022•上城区二模）二次函数的自变量x 与函数值y 的对应值如表：x ⋯1-012⋯y⋯n 2-2-m ⋯（1）若2n =，求此时函数解析式；（2）当0.5x =-时，对应的函数值0y >．①11(3,)P y -和22(3,)P y 在该二次函数的图象上，试比较1y 与2y 大小；②求m n +的范围．19．（2022•余杭区一模）已知二次函数269(y x ax a =-+为常数）．（1）若该函数图象经过点(2,7)P 试求a 的值和图象顶点坐标；（2）在（1）的情况下，当12x -<时，求y 的取值范围；（3）当3x ，y 随x 的增大而增大，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是该函数图象上的两个点，对任意的1325a x - ，2325a x - ，1y ，2y 总满足212925y y a -+，试求a 的取值范围．20．（2022•富阳区二模）设二次函数()(2)y x a x a =--+，其中a 为实数．（1）若二次函数的图象经过点(2,1)P -，求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k 个单位，使图象与x 轴无交点，求k 的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点(,)A m t ，点(,)B n t ，设||(2)m n d d -= ，求t 的最小值．21．（2022•西湖区校级模拟）若二次函数的解析式为()(1)(14)y x m x m =-- ．（1）当x 分别取1-，0，1时对应函数值为1y ，2y ，3y ，请比较1y ，2y ，3y 的大小关系．（2）记二次函数的最小值为min y ，求证：0min y ；（3）若函数过(,)a b 点和(5,)a b +点，求b 的取值范围．22．（2022•富阳区一模）已知抛物线3(1)()y a x x a=--．（1）若抛物线过点(2,1)，求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，试判断点(2,9)-在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点(0,)E n 、(,)F b m ，当2b - 时，m n 恒成立，试求a 的取值范围．23．（2022•西湖区校级二模）已知二次函数223(y ax ax a a =--为常数，且0)a ≠．（1）求该二次函数图象与x 轴的交点坐标；（2）当04x时，y 的最大值与最小值的差为4.5，求该二次函数的表达式；（3）若0a >，对于二次函数图象上的两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，当111t x t -+ ，25x 时．均满足12y y ，请直接写出t 的取值范围．24．（2022•西湖区校级模拟）已知抛物线23y ax bx =++．(a ，b 为常数，且0)a ≠（1）已知点(1,4)A ，(1,0)B -，(0,2)C ，若该抛物线只经过其中的两点，求抛物线的表达式；（2）点(,)M m n 为（1）中抛物线上一点，且04m <<，求n 的取值范围；（3）若抛物线与直线3y ax b =+都经过点(2,)m ，设24t a b =+，求证：4t - 且12t ≠．25．（2022•下城区校级二模）在平面直角坐标系中，点(1,)A m 和点(2,)B n 在二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象上．（1）若1m =，3n =，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若点0(C x ，0)y 是二次函数图象上的任意一点且满足0y m ，当0mn <时，求证：1a >．（3）若点(2,)c -，(2,1)c -，(3,1)c +在该二次函数的图象上，试比较m ，n 的大小．26．（2022•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数1()(1)y x a x a =+--，其中0a ≠．（1）若函数1y 的图象经过点(1,2)-，求函数1y 的表达式；（2）若一次函数2y ax b =+的图象与1y 的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；（3）已知点0(P x ，)m 和(1,)Q n 在函数1y 的图象上，若m n <，求0x 的取值范围．27．（2022•江干区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线2222(y x ax a a a =-+--+是常数）上．（1）若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a 的取值范围；（2）若抛物线的顶点在反比例函数8(0)y x x=-<的图象上，且12y y =，求12x x +的值；（3）若当121x x <<时，都有211y y <<，求a 的取值范围．28．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数2()y x k k =--+．（1）若该函数图象与x 轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式；（2）若该函数与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；（3）若在23k x k -范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k 的值．29．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数22(1)3y x m x m =-++-，其中m 是常数．（1）若函数的图象经过点(1,8)-，求此函数的解析式；（2）当3322m m x -+< 时，y 随x 的增大而减小，求m 的最小值；（3）当12x -< 时，若二次函数图象始终在直线3y =的上方，请直接写出m 的取值范围．专题15二次函数综合题1．（2022•杭州）设二次函数212(y x bx c b =++，c 是常数）的图象与x 轴交于A ，B 两点．（1）若A ，B 两点的坐标分别为(1,0)，(2,0)，求函数1y 的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数1y 的表达式可以写成212()2(y x h h =--是常数）的形式，求b c +的最小值．（3）设一次函数2(y x m m =-是常数），若函数1y 的表达式还可以写成12()(2)y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图象经过点0(x ，0)时，求0x m -的值．【答案】见解析【详解】（1） 二次函数212y x bx c =++过点(1,0)A 、(2,0)B ，12(1)(2)y x x ∴=--，即21264y x x =-+．∴抛物线的对称轴为直线322b x a =-=．（2）把212()2y x h =--化成一般式得，2212422y x hx h =-+-．4b h ∴=-，222c h =-．2242b c h h ∴+=--22(1)4h =--．把b c +的值看作是h 的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当1h =时，b c +的最小值是4-．（3）由题意得，12y y y =-2()(2)()x m x m x m =-----()[2()5]x m x m =---．函数y 的图象经过点0(x ，0)，00()[2()5]0x m x m ∴---=．00x m ∴-=，或02()50x m --=．即00x m -=或052x m -=．2．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．【答案】见解析【详解】（1）由题意，得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以，该函数表达式为221y x x =-+．并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++，2450b ac -=> ，∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点．（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+ ，由条件p q ≠，知1q ≠．所以6P Q +>，得证．3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数21y x bx a =++，221(y ax bx a =++，b 是实数，0)a ≠．（1）若函数1y 的对称轴为直线3x =，且函数1y 的图象经过点(,)a b ，求函数1y 的表达式．（2）若函数1y 的图象经过点(,0)r ，其中0r ≠，求证：函数2y 的图象经过点1(r，0)．（3）设函数1y 和函数2y 的最小值分别为m 和n ，若0m n +=，求m ，n 的值．【答案】见解析【详解】（1）由题意，得到32b -=，解得6b =-， 函数1y 的图象经过(,6)a -，266a a a ∴-+=-，解得2a =或3a =，∴函数2162y x x =-+或2163y x x =-+．（2） 函数1y 的图象经过点(,0)r ，其中0r ≠，20r br a ∴++=，210b a r r ∴++=，即211()10a b r r+⋅+=，∴1r是方程210ax bx ++=的根，即函数2y 的图象经过点1(r，0)．（3） 函数1y 和函数2y 有最小值分别为m 和n ，0a ∴>，244a b m -∴=，244a b n a-=，0m n += ，∴2244044a b a b a--+=，2(4)(1)0a b a ∴-+=，10a +> ，240a b ∴-=，0m n ∴==．4．（2019•杭州）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）．（1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<．【答案】见解析【详解】（1）当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；∴二次函数经过点(0,0)，(1,0)，10x ∴=，21x =，2(1)y x x x x ∴=-=-，当12x =时，14y =-，∴乙说的不对；（2）2221212121212()()()()()24x x x x y x x x x x x x x x x x +-=--=-++=-- ，∴当122x x x +=时，212()4x x y -=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点，12m x x ∴=，12(1)(1)n x x =--，222212121122121111(1)(1)()()[()()2424mn x x x x x x x x x x ∴=⋅--=--=--+--+1201x x <<< ，211110()244x ∴<--+ ，221110(244x <--+ ，12x x ≠ ，mn ∴不能取到116，1016mn ∴<<．5．（2018•杭州）设二次函数2()(y ax bx a b a =+-+，b 是常数，0)a ≠．（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过(1,4)A -，(0,1)B -，(1,1)C 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若0a b +<，点(2P ，)(0)m m >在该二次函数图象上，求证：0a >．【答案】见解析【详解】（1）设0y =20()ax bx a b ∴=+-+ △22224[()]44(2)0b a a b b ab a a b =--+=++=+∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个（2）当1x =时，()0y a b a b =+-+=∴抛物线不经过点C把点(1,4)A -，(0,1)B -分别代入得4()1()a b a b a b =--+⎧⎨-=-+⎩解得32a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为2321y x x =--（3）当2x =时42()30m a b a b a b =+-+=+>①a b +< 0a b ∴-->②①②相加得：20a >0a ∴>6．（2022•上城区一模）如图1用一个平面截取圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、双曲线，而当平面与圆锥的母线平行，且不过圆锥顶点时，所截得的图形为抛物线，即图2中曲线ACB 为抛物线的一部分，交母线于点C ，交底面P 于点A ，B ，AB 垂直于底面P 的直径EF ，垂足为点O ．已知底面P 的半径为5，3OP =．（1）求弦AB 的长．（2）若以AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系如图3，当8OC =时，求经过点A ，C ，B 的抛物线的函数表达式．（3）若图3的抛物线上有一点(,6)H m ，求m的值．【答案】见解析【详解】（1）如图2，连接AP ，AB 垂直于底面P 的直径EF ，垂足为点O ，OA OB ∴=，底面P 的半径为5，3OP =，4OA ∴===，28AB OA ∴==；（2）4OA OB == ，8OC =，(4,0)A ∴-，(4,0)B ，(0,8)C ，设抛物线的解析式为：2y ax c =+，则有：16808a c +=⎧⎨=⎩，解得128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；∴抛物线的解析式为：2182y x =-+；（3） 抛物线上有一点(,6)H m ，21682m ∴=-+，解得2m =±，m ∴的值为2或2-．7．（2022•拱墅区一模）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a a =+-，b 是常数，0)a ≠．（1）已知函数1y 的图象经过点(1,2)和(2,1)--，求函数1y 的表达式．（2）若函数1y 图象的顶点在函数22y ax =的图象上，求证：2b a =．（3）已知点(2,0)A -，2(1,)B k a -在函数1y 的图象上，且0k ≠．当10y >时，求自变量x 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）函数1y 的图象经过点(1,2)和(2,1)--，∴2142a b a a b a =+-⎧⎨-=--⎩．1a ∴=，2b =．2121y x x ∴=+-．（2）222214(24b b a y ax bx a a x a a +=+-=+-．∴顶点坐标为(2b a-，224)4b a a +-． 抛物线的顶点在22y ax =的图象上，224242b a b a a a+∴-=-⨯，2244b a ab ∴+=．2(2)0b a ∴-=．2b a ∴=．（3） 点(2,0)A -，2(1,)B k a -在函数1y 的图象上，∴2042a b a k a a b a =--⎧⎨-=+-⎩．225a k ∴=，235b k =，22221232555y k x k x k ∴=+-2(21)(2)5k x x =-+．∴当10y =时，12x =或2x =-．0k ≠ ，∴205k >，抛物线开口向上．10y ∴>时，2x <-或12x >．8．（2022•西湖区一模）已知二次函数2(y x ax a a =++为常数，0)a ≠．（1）当2a =时，求二次函数的对称轴．（2）当04a <<时，求该二次函数的图象与x 轴的交点个数．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是该函数图象上的两点，其中12x x <，当124x x +>时，都有12y y <，求a 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）2a =时，2222(1)1y x x x =++=++，∴二次函数的对称轴为直线1x =-．（2）令20x ax a ++=，则△24(4)a a a a =-=-，当04a <<时，(4)0a a -<，∴抛物线与x 轴有没有交点．（3）1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是该函数图象上的两点，2111y x ax a ∴=++，2222y x ax a =++，222212112212121212()()()()y y x ax a x ax a x x a x x x x x x a ∴-=++-++=-+-=-++，12x x < ，120x x ∴-<，12y y < ，1212()()0x x x x a ∴-++<，120x x a ∴++>，124x x +> ，4a ∴- 且0a ≠．9．（2022•钱塘区一模）已知二次函数(21)(2)(y a x a x a a =+--+是常数，0)a ≠．（1）当1a =时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）若此函数图象对称轴为直线2x =-时，求函数的最小值．（3）设此二次函数的顶点坐标为(,)m n ，当1a ≠时，求证：98n m a + ．【答案】见解析【详解】（1）解：当1a =时，2(21)(12)(1)(1)(1)y x x x x x =+--+=++=+，即221y x x =++，∴函数的表达式为221y x x =++，函数图象的顶点坐标为(1,0)-；（2）解：(21)(2)y a x a x a =+--+ ，∴当0y =时，即(21)(2)0a x a x a +--+=，解得：112x a =-，22x a =-，∴此函数图象与x 轴的交点坐标为(12a -，0)(2a -，0)，此函数图象对称轴为直线2x =-，∴1(122)22a a -+-=-，解得：3a =，3(5)(1)y x x ∴=+-，0a > ，函数图象开口向上，∴当2x =-时，函数有最小值，此时3(25)(21)27y =⨯-+⨯--=-．∴函数的最小值为27-；（3）证明：(21)(2)y a x a x a =+--+ ，∴当0y =时，即(21)(2)0a x a x a +--+=，解得：112x a =-，22x a =-，∴此函数图象与x 轴的交点坐标为(12a -，0)(2a -，0)，此二次函数的顶点坐标为(,)m n ，11(122)22a m a a +∴=-+-=-，2119(21)(2)(1)224a a n a a a a a ++∴=-+---+=--，∴229(1)99194(1)(122282a a n a a a a m a a --==--=--+++-+，902-< ，∴98n m a + ．10．（2022•淳安县一模）在平面直角坐标系中，设二次函数21(2)3(2y x m m m =--+-是实数）．（1）当2m =时，若点(8,)A n 在该函数图象上，求n 的值．（2）小明说二次函数图象的顶点在直线132y x =-+上，你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点(1,)P a c +，(45,)Q m a c -+都在该二次函数图象上，求证：138c ．【答案】见解析【详解】（1）当2m =时，21(4)12y x =--+，(8,)A n 在函数图象上，21(84)172n ∴=-⨯-+=--；（2）小明说法正确；由题意得，顶点是(2,3)m m -，当2x m =时，12332y m m =-⨯+=-+，∴顶点(2,3)m m -在直线132y x =-+上．故小明说法正确；（3）(1,)P a c + ，(45,)Q m a c -+都在二次函数的图象上，∴对称轴是直线145222a m a x a m ++-+==+-，222a m m ∴+-=，2a ∴=，(3,)P c ∴，∴2221351313(32)3252(22488c m m m m m =--+-=-+-=--+ ．11．（2022•富阳区一模）在直角坐标系中，点(1,)A m 和点(3,)B n 在二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象上．（1）若1m =，4n =，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若12m n -=，试说明二次函数的图象与x 轴必有交点．（3）若点0(C x ，0)y 是二次函数图象上的任意一点，且满足0y m ，求mn 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）把点(1,1)A 和点(3,4)B 代入21y ax bx =++中得119314a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴二次函数的表达式为211122y x x =-+， 二次函数图象经过(1,1)和(0,1)，∴二次函数图象的对称轴为直线12x =．（2）把点(1,)A m 和点(3,)B n 代入21y ax bx =++中，得1931a b m a b n ++=⎧⎨++=⎩，∴1(1)(931)822m n a b a b a b -=++-++=--=，即144b a =--，∴2211(44(4)044a a a =---=- ，∴二次函数图象与x 轴必有交点．（3） 点0(C x ，0)y 是二次函数图象上的任意一点，且满足0y m ，∴二次函数图像开口向下，即0a <，顶点坐标为(1,)m ，∴对称轴为直线12b x a=-=，即2b a =-，∴214(1)(931)(1)(31)3(33mn a b a b a a a =++++=-++=--+，0a < ，1mn ∴<．12．（2022•临安区一模）设二次函数22(1)22(y x m x m m m =-++++是常数）．（1）当3m =时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）试判断二次函数图象与x 轴的交点情况；（3）设二次函数的图象与y 轴交于点(0,)n ，当22m -时，求n 的最大值．【答案】见解析【详解】（1）当3m =时，二次函数22417(2)13y x x x =-+=-+．∴该二次函数图象的对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,13)．（2）令22(1)220x m x m m -++++=，∴△222(1)4(22)3(1)40m m m m =+-++=-+-<，∴该一元二次方程无解，∴二次函数图象与x 轴无交点；（3）令0x =，2222(1)1n m m m ∴=++=++，∴函数的对称轴为直线1m =-，22m - ，∴当21m -<-时，n 随m 的增大而减小；当12m -<时，n 随m 的增大而增大，∴当2m =-时，2n =；当1m =-时，1n =，当2m =时，10n =．n ∴的最大值为10．13．（2022•钱塘区二模）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(6,0)，点C 坐标为(0,6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当FBA BDE ∠=∠时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作//MN x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．【答案】见解析【详解】（1）把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式可得18606b c c -++=⎧⎨=⎩，解得26b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为21262y x x =-++，221126(2)822y x x x =-++=--+ ，(2,8)D ∴；（2）如图1，过F 作FG x ⊥轴于点G ，连接FB，设21(,26)2F x x x -++，则21|26|2FG x x =-++，FBA BDE ∠=∠ ，90FGB BED ∠=∠=︒，FBG BDE ∴∆∆∽，∴FG BE BG DE=，(6,0)B ，(2,8)D ，(2,0)E ∴，4BE =，8DE =，6OB =，6BG x ∴=-，∴21|26|4268x x x -++=-，当点F 在x 轴上方时，有21261262x x x -++=-，解得1x =-或6x =（舍去），此时F 点的坐标为7(1,)2-；当点F 在x 轴下方时，有21261262x x x -++=--，解得3x =-或6x =（舍去），此时F 点的坐标为9(3,)2--；综上可知F 点的坐标为7(1,2-或9(3,2--；（3）如图2，设对角线MN 、PQ 交于点O '，点M 、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线的对称轴上，设(2,2)Q n ，则M 坐标为(2,)n n -，点M 在抛物线21262y x x =-++的图象上，21(2)2(2)62n n n ∴=--+-+，解得1n =-或1n =-∴满足条件的点Q 有两个，其坐标分别为(2,2-+或(2,2--．14．（2022•西湖区校级一模）在平面直角坐标系内，二次函数21()1(y x a a a =-+-为常数）．（1）若函数1y 的图象经过点(1,0)，求函数1y 的表达式；（2）若1y 的图象与一次函数2(y x b b =+为常数）的图象有且仅有一个交点，求b 的值；（3）已知0(x ，0)(0)n x >在函数1y 的图象上，当02x a >时，求证：54n >-．【答案】见解析【详解】（1）解： 函数1y 的图象经过点(1,0)，2(1)10a a ∴-+-=，解得：0a =或1，∴函数1y 的表达式为211y x =-或2121y x x =-+；（2）解： 若1y 的图象与一次函数2(y x b b =+为常数）的图象有且仅有一个交点，∴方程2()1x a a x b -+-=+有两个相等的实数根，22(21)10x a x a a b ∴-+++--=，∴△22(21)4(1)0a a a b =+-+--=，解得：54b =-；（3）证明：02x a > ，∴002x a +>， 抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口方向向上，0x ∴=和2x a =时的函数值相同，∴由图象可知当0x =时的函数值小于当0x x =时的函数值，即：21n a a >+-， 22151()24a a a +-=+-，2514a a ∴+--，54n ∴>-．15．（2022•萧山区校级一模）在平面直角坐标系中，设二次函数2()12(y x m m m =--+-是实数）．（1）当1m =-时，若点(2,)A n 在该函数图象上，求n 的值．（2）已知(2,2)A -，(1,2)B ，(1,1)C -，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时(2,2)-是否在该二次函数的图象上，（3）已知点(1,)P a p -，(21,)Q m a p +-都在该二次函数图象上，求证：2p ．【答案】见解析【详解】（1）1m =-时，2(1)3y x =-++，将(2,)n 代入2(1)3y x =-++得2336n =-+=-．（2）2()12y x m m =--+- ，∴抛物线顶点坐标为(,12)m m -，当(2,2)A -为抛物线顶点时，2m =，123m -=-，不符合题意．当(1,2)B 为抛物线顶点时，1m =，121m -=-，不符合题意，当(1,1)C -，为抛物线顶点时，1m =，121m -=-，符合题意，此时2(1)1y x =---，将2x =代入2(1)1y x =---得112y =--=-，(2,2)∴-在函数图象上．（3）(1,)P a p - ，(21,)Q m a p +-关于抛物线对称轴对称，∴1212a m m -++=，解得1a =，(0,)P p ∴，将(0,)p 代入2()12y x m m =--+-得2221(1)2p m m m =--+=-++，2p ∴ ．16．（2022•萧山区一模）已知二次函数23(0)y ax bx a =+-≠．（1）若函数图象的对称轴为直线1x =，且顶点在x 轴上，求a 的值；（2）若1a =，2b =，点(,)m n 为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m ，n 的取值范围；（3）若点(,3)P a a -始终是函数图象上的点，求证：2234a b + ．【答案】见解析【详解】（1）解： 函数图象的对称轴为直线1x =，∴12b a-=，2b a ∴=-．二次函数23y ax bx =+-的顶点在x 轴上，24(3)0b a ∴-⨯-=，24120a a ∴+=，0a ≠ ，3a ∴=-；（2）解：若1a =，2b =，则223y x x =+-，2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线223y x x =+-的顶点坐标为(1,4)--，10a => ，∴抛物线223y x x =+-的的开口方向向上，令0y =，则2230x x +-=，解得：3x =-或1．∴抛物线223y x x =+-与x 轴交于点(3,0)-和(1,0)．点(,)m n 为该二次函数图象在第三象限内的点，30m ∴-<<，40n -<；（3）证明： 点(,3)P a a -始终是函数图象上的点，233a a b a a ∴⋅+⋅-=-．3a ab a ∴+=．0a ≠ ，21a b ∴+=．21b a ∴=-．22222422213(1)1()24a b a a a a a ∴+=+-=-+=-+， 221()02a - ，22ab ∴+有最小值34，2234a b ∴+ ．17．（2022•滨江区一模）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)ab ≠，当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．（1）若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过(0,0)点，求该函数的表达式．（2）若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若(a ，)(p c ，)q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】见解析【详解】（1）由题意可知，抛物线的顶点为(1,1)-，∴物线为2(1)1y a x =--，经过(0,0)点，01a ∴=-，1a ∴=，∴抛物线为2(1)1y x =--．（2）①令2y ax c ax bx c =+=++，整理得2()0ax b a x +-=，解得10x =，2a b x a-=， 一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点，且当2b x a =-时，函数y 有最小值1-，∴抛物线的顶点为(a b a-，1)-，代入y ax c =+得，1a b c -+=-，二次函数2y ax bx c =++中，当1x =-时，y a b c =-+，∴抛物线顶点为(1,1)--；② 抛物线顶点为(1,1)--，∴对称轴为直线12b x a=-=-，2b a ∴=，22y ax ax c ∴=++，代入(1,1)--得，1a c -+=-，1c a ∴=-，0a > ，11a ∴->-，1c a ∴-<<，p q ∴>．18．（2022•上城区二模）二次函数的自变量x 与函数值y 的对应值如表：x ⋯1-012⋯y⋯n 2-2-m ⋯（1）若2n =，求此时函数解析式；（2）当0.5x =-时，对应的函数值0y >．①11(3,)P y -和22(3,)P y 在该二次函数的图象上，试比较1y 与2y 大小；②求m n +的范围．【答案】见解析【详解】（1）设2y ax bx c =++，将(1,2)-，(0,2)-，(1,2)-代入得222a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得222a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴这个二次函数的解析式为2222y x x =--．（2） 抛物线经过(0,2)-，(1,2)-，∴抛物线对称轴为直线12x =，2c =-， 当0.5x =-时，对应的函数值0y >．∴图象开口向上，①11(3,)P y - 到对称轴的距离大于点22(3,)P y 的距离，12y y ∴>；② 抛物线开口向上，对称轴为直线12x =，122b a ∴-=，点(1,)n -到对称轴的距离等于点(2,)m 的距离，b a ∴=-，m n =，2c =- ，∴抛物线为22y ax ax =--，0.5x =- 时，对应的函数值0y >，∴112042a a +->，m n =，83a ∴>，1x =- 时，222n a a a =+-=-，20443m n a ∴+=->．19．（2022•余杭区一模）已知二次函数269(y x ax a =-+为常数）．（1）若该函数图象经过点(2,7)P 试求a 的值和图象顶点坐标；（2）在（1）的情况下，当12x -<时，求y 的取值范围；（3）当3x ，y 随x 的增大而增大，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是该函数图象上的两个点，对任意的1325a x - ，2325a x - ，1y ，2y 总满足212925y y a -+，试求a 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）22269(3)99y x ax x a a =-+=--+ ，∴顶点为2(3,99)a a -，把点(2,7)P 代入269y x ax =-+中得：41297a -+=，解得：12a =，∴抛物线的顶点为3(2，274；（2）由（1）得二次函数解析式为239y x x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为直线322b x a =-=，∴当12x -< 时函数在32x =时取最小值为932739424y =-⨯+=，在1x =-时取最大值为13913y =++=，故y 的取值范围27134y ；（3）由题意得，抛物线开口向上，当3x，y 随x 的增大而增大，∴对称轴33x a = ，即1a ，532a ∴- ，3(32)2a a --=，3x a ∴=时，y 最小为299a -，5x =时，y 最大为3430a -，所以223430(99)925a a a ---+，解得0a ，综上所述01a．20．（2022•富阳区二模）设二次函数()(2)y x a x a =--+，其中a 为实数．（1）若二次函数的图象经过点(2,1)P -，求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k 个单位，使图象与x 轴无交点，求k 的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点(,)A m t ，点(,)B n t ，设||(2)m n d d -= ，求t 的最小值．【答案】见解析【详解】（1） 二次函数的图象经过点(2,1)P -，(2)(22)1a a ∴--+=-，解得：3a =，2(3)(32)43y x x x x ∴=--+=-+，∴二次函数的表达式为243y x x =-+；（2）由二次函数的交点式得二次函数与x 轴交点横坐标1x a =，22x a =-，∴二次函数的对称轴为直线1212x x x a +==-，把1x a =-代入解析式得顶点纵坐标为1-，∴将二次函数图象向上平移k 个单位可得顶点纵坐标为1k -，图象与轴无交点，10k ∴->，1k ∴>；（3） 二次函数的对称轴为直线1212x x x a +==-，不妨设m n <，||m n d -= ，12d m a ∴=--，12d n a =-+，把12d x a =--，y t =代入函数解析式，得2114t d =-，2d ，t ∴的最小值为0．21．（2022•西湖区校级模拟）若二次函数的解析式为()(1)(14)y x m x m =-- ．（1）当x 分别取1-，0，1时对应函数值为1y ，2y ，3y ，请比较1y ，2y ，3y 的大小关系．（2）记二次函数的最小值为min y ，求证：0min y ；（3）若函数过(,)a b 点和(5,)a b +点，求b 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）解： 二次函数的解析式为()(1)y x m x =--，∴二次函数过(1,0)和(,0)m ，开口向上，1x ∴ 时，y 随x 的增大而减小，x 分别取1-，0，1时对应函数值为1y ，2y ，3y ，123y y y ∴>>；（2）证明： 二次函数的解析式为()(1)y x m x =--，∴一般式为：2(1)y x m x m =-++，∴对称轴为12m x +=， 函数开口向上，∴当12m x +=时，y 取得最小值，2211(1)((1)222min m m m y m m ++--∴=-+⨯+=， 2(1)02m -- ，0min y ∴ ；（3）解：设直线y b =与二次函数的交点为1(x ，)b ，2(x ，)b ， 函数过(,)a b 点和(5,)a b +点，125x x ∴-=，联立()(1)y b y x m x =⎧⎨=--⎩，可得：2(1)0x m x m b -++-=，121x x m ∴+=+，12x x m b =-，22121212()4()25x x x x x x ∴+-=-=，即2(1)4()25m m b +--=，224(2)4m m b --∴=，令222(1)1y m m m '=-=--14m ，18y ∴-' ，2544b ∴ ．22．（2022•富阳区一模）已知抛物线3(1)()y a x x a=--．（1）若抛物线过点(2,1)，求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，试判断点(2,9)-在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点(0,)E n 、(,)F b m ，当2b - 时，m n 恒成立，试求a 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）将(2,1)代入3(1)(y a x x a =--得31(2)a a=-，解得2a =，32(1)()2y x x ∴=--．（2）3(1)()y a x x a=-- ，∴抛物线与x 轴交点坐标为(1,0)，3(a，0)，∴抛物线对称轴为直线312a x +=，120x x << 时，1212()()0x x y y -->，120x x <<时，1212()()0x x y y --<，∴抛物线对称轴为值0x =，即310a+=，解得3a =-，3(1)(1)y x x ∴=--+，将2x =代入3(1)(1)y x x =--+得9y =-，∴点(2,9)-在抛物线上．（3） 抛物线对称轴为直线312a x +=，∴点(0,)E n 关于对称轴对称的点3(1E a '+，)n ， 当2b - 时，m n恒成立，∴抛物线开口向下，即0a <，且321a-+ ，解得1a - ．23．（2022•西湖区校级二模）已知二次函数223(y ax ax a a =--为常数，且0)a ≠．（1）求该二次函数图象与x 轴的交点坐标；（2）当04x时，y 的最大值与最小值的差为4.5，求该二次函数的表达式；（3）若0a >，对于二次函数图象上的两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，当111t x t -+ ，25x 时．均满足12y y ，请直接写出t 的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）取0y =，得2230ax ax a --=，解得1x =-或3x =，∴该二次函数图象与x 轴的交点为(1,0)-，(3,0)；（2）223y ax ax a =-- 的顶点坐标为(1,4)a -，①当0a >时，在04x中，最大值是当4x =时y 的值，即5a ，最小值是当1x =时y 的值，即4a -，5(4) 4.5a a ∴--=，0.5a ∴=，∴该二次函数的解析式为20.5 1.5y x x =--，②当0a <时，在04x中，最大值是当1x =时y 的值，即4a -，最小值是当4x =时y 的值，即5a ，45 4.5a a ∴--=，0.5a ∴=-，∴该二次函数的表达式为20.5 1.5y x x =-++；（3）由（2）知抛物线的对称轴为1x =，当5x =时，2525312y a a a a =⨯-⨯-=，112y a ∴<，由抛物线的对称性知3x =-时，12y a =，又0a > ，31t ∴-- ，15t + ，24t ∴- ．24．（2022•西湖区校级模拟）已知抛物线23y ax bx =++．(a ，b 为常数，且0)a ≠（1）已知点(1,4)A ，(1,0)B -，(0,2)C ，若该抛物线只经过其中的两点，求抛物线的表达式；（2）点(,)M m n 为（1）中抛物线上一点，且04m <<，求n 的取值范围；（3）若抛物线与直线3y ax b =+都经过点(2,)m ，设24t a b =+，求证：4t - 且12t ≠．【答案】见解析【详解】（1） 抛物线23y ax bx =++过点(0,3)，∴抛物线不经过点(0,2)C ．∴抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点，由题意得，3430a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为223y x x =-++．（2） 点(,)M m n 在抛物线223y x x =-++上，223m m n ∴-++=，整理得，2(1)4m n -=-．04m << ，113m ∴-<-<，0(1)29m ∴<-<，049n ∴<-<．解得54n -<<．n ∴的取值范围为54n -<<．（3） 抛物线与直线3y ax b =+都经过点(2,)m ，∴42323a b m a b m ++=⎧⎨+=⎩，42323a b a b ∴++=+，整理得23b a =+．24t a b =+ ，24(23)t a a ∴=++2812a a =++2(4)44a =+-- ，即4t - ．又0a ≠ ，12t ∴≠．4t ∴- 且12t ≠．25．（2022•下城区校级二模）在平面直角坐标系中，点(1,)A m 和点(2,)B n 在二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象上．（1）若1m =，3n =，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若点0(C x ，0)y 是二次函数图象上的任意一点且满足0y m ，当0mn <时，求证：1a >．（3）若点(2,)c -，(2,1)c -，(3,1)c +在该二次函数的图象上，试比较m ，n 的大小．【答案】见解析【详解】（1）解：1m = ，3n =，(1,1)A ∴，(2,3)B ，把A 、B 代入21(0)y ax bx a =++≠得113421a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的表达式为：21y x x =-+，。
2021年九年级中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质(含答案)
2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度4. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =5. 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A. x 1＝0，x 2＝6B. x 1＝1，x 2＝7C. x 1＝1，x 2＝－7D. x 1＝－1，x 2＝76. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④8.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-a 或341<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …则该二次函数的解析式为____________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．14. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.15. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．16. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题17. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．18. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？19. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．20. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．22. (2019·四川资阳)如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.2. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】B [解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.4. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.6. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．7. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=m x2=m 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．8. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝422aa-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-a 或341<≤a ，故②正确；因为A B≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166aa--⨯=+≤，则45-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.二、填空题9. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.11. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 【答案】y ＝x2－4x ＋5 [解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x2－4x ＋5.13. 【答案】．x ＜－1或x ＞314. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.15. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.16. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.三、解答题17. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.18. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. ∵A(0，1)在抛物线上， ∴1＝a(0－6)2＋4， 解得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．19. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.(2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)阴影部分的面积为2.20. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③21. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线解析式为y ＝34x －1，∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°，∴△DFE ∽△AOB ，∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.22. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； (2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+， 22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+， ∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)(2)522A D '=--+-= 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ， ∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则22(01)(2)2t -+-=，23t =23∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q 、2(0,23)Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。
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2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共16小题）1．（2018•临安区）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）2．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6 3．（2018•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2018•绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）5．（2017•杭州）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0 6．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位8．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）9．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 11．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．12．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥13．（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3 14．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 15．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值16．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④二．填空题（共4小题）17．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．18．（2017•金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC＝4m，则S＝m2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．19．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．20．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是．三．解答题（共3小题）21．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．23．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2018•临安区）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．2．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．3．（2018•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．4．（2018•绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x ﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．5．（2017•杭州）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由对称轴x＝﹣＝1得：b＝﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由对称轴x＝﹣＝1得：b＝﹣2a．（m+1）a+b＝ma+a﹣2a＝（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a+b＝（m﹣1）a﹣2a＝（m﹣3）a，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m+1）a+b＝（m+1）a﹣2a＝（m﹣1）a＞0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b＝﹣2a是解题关键．6．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】函数思想；应用意识．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，A、B、D组成的二次函数图象开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解．故选：A．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．9．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．11．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．12．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x＝﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣，满足条件，可得a≤﹣1；当a＞0时，x＝2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y＝﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵Δ＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13．（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．【解答】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14故选：A．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．14．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可．【解答】解：方法一：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．方法二：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），∴该抛物线对称轴为x＝2，当x1＞x2+2时与当x1＜2﹣x2时无法确定P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上的对应位置，故①和②都不正确；当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，P1（x1，y1）比P2（x2，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴|y1|＞|y2|，∴S1＞S2，故③正确；当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到﹣2的距离大，且都大于1，可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到﹣2的距离大于1，但x2到2的距离不能确定，所以无法比较P1（x1，y1）比P2（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】函数的综合应用；几何直观；运算能力．【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n最小＝，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b 异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，∴≤n﹣m＜1，即n﹣m≥，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，因此，只有选项B正确，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．16．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】数形结合；二次函数图象及其性质．【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m﹣，x2＝m+∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1，当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．二．填空题（共4小题）17．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点；正方形的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；矩形菱形正方形．【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线y＝ax2过点B，∴﹣＝a（﹣）2，解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．18．（2017•金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC＝4m，则S＝88πm2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．【考点】二次函数的应用；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以A为圆心、x为半径的圆、以C为圆心、10﹣x为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，∴S＝×π•102+•π•62+•π•42＝88π，故答案为：88π；（2）如图2，设BC＝x，则AB＝10﹣x，∴S＝•π•102+•π•x2+•π•（10﹣x）2＝（x2﹣5x+250）＝（x﹣）2+，当x＝时，S取得最小值，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．19．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝：1．【考点】二次函数的应用；解直角三角形．【专题】二次函数的应用；推理能力．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，故答案为：：1．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．20．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是2或﹣8．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，﹣＝﹣1或4，∴＝2或﹣8，故答案为：2或﹣8．【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共3小题）21．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．。