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高 考 专 栏

一、曲线关于点或直线的对称 1、曲线f (x ，y)＝0关于原点对称的曲线方程为f (－x ，－y)＝0。

2、曲线f (x,y)＝0关于直线x 轴的对称轴或方程为f (x ，-y)＝0

3、曲线f (x,y)＝0关于y 轴对称的曲线方程为f(-x,y)＝0

4、曲线f (x,y)＝0关于直线x ＝a 的对称曲线方程为f(2a －x,y)＝0

5、曲线f (x,y)＝0关于直线y ＝b 对称的曲线方程为f(x,2b －y)＝0

6、曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c ＝0对称的曲线方程为f(-y －c,-x －c)＝0

7、曲线f (x,y)＝0关于直线x －y+c ＝0对称的曲线方程为f(y －c,x+c)＝0

观察其本质，只需对原方程中x ，y 的位置用相应的式子代即可，如关于直线x ＝a 对称，当且仅当2a －x 代替x ，y 不变。

二、应用时应确定的几个问题

1、确定自身对称还是他对称 例1：f(x)的定义域为R ，则y ＝

f(x －1)与y ＝f(1－x) 的图像关于______对称。

分析：注意到y ＝f(x －1)可由y ＝f(1－x)中用2－x 代替x ，y 不变得

到，所以两曲线关于直线x ＝1对称。

2、确定x ，y 的位置 例2：设函数y ＝f (x)的定义域为R ，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y ＝f(x+1)的图像关于___________对称，函数y ＝f(x) 的图像关于__________对称。

分析：对函数y ＝f(x+1)而言，y ＝f(1－x)为y ＝f(x+1)中用-x 代x 而得，而f(1－x)＝f(x+1)则表明y ＝f(x+1)与y ＝f(1－x)为同一个函数，故y ＝f(x+1)的图像关于y 轴对称。

对函数y ＝f(x)而言，应先把f (1

－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，故能确定x 的位置用2－x 代，而y 不变，故y ＝f(x)的图像关于直线x=1对称。

其实y ＝f(x+1)可由y ＝f (x)的图像向左平移1个单位而得。

3、确定点对称与轴对称

例3：已知函数y ＝f(x)，x ∈R ，且对任意x

值总有f(x)－f(2－x)=0，则y=f(x)的图象

关于______对称。

分析：已知等式化为y ＝f(2－x)，所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。

三、对称条件的挖掘和运用 对一些对称问题的隐含条件应善于挖掘和应用，往往起到简化解题过程之效。

例4：已知定义在(-2,2)上的偶函数f(x)，当x ≥0时f(x)是减函数，如果f(1－a) < f(a)，求a 的取值范围。

分析：f(x)为偶函数，其图像关于y 轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故由f (1－a) < f (a)可得|1－a| > | a |，结合定义域-2<1－a<2，-2 < a < 2解得：-1 < a <

1/2 。

只要明确了点、曲线对称变换的原理及题型特点，熟练掌握基本方法，对高考中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难的题也能理清思路，抓住要点。

例1、 已知(x+2)2+

4

2y =1,求x 2+y 2的取

值范围。

错解 由

已知得 y 2=-4x 2-16x-12，因此

x 2+y 2=-3x 2-16x-12=-3(x+

38)2+3

28

∴当x=-38时，x 2+y 2有最大值3

28

即x 2+y 2的取值范围是(-∞, 3

28

]。

分析： 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由

(x+2)2+

4

2

y =1得(x+2)2=1-

4

2y ≤1，∴-3

≤x ≤-1从而当x=-1时x 2+y 2有最小值1。

x 2+y 2的取值范围是[1,

3

28] 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

例2、 求函数y=6

3422-+++x x x x 的值域。

错解 将原函数变形得：

(y-1)x 2

+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3; 当y ≠1时，∵①式中x ∈R ∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 ，故

25y 2-20y+4≥0, 解这个不等式得y ∈R

综上：原函数值域为：y ∈R

分析： 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y 的取值范围。

事实上，原函数要有意义，必须有：x 2+x-6≠0即x ≠2且x ≠-3,在此前提下，原函数可化为： y=

)3)(2()3)(1(+-++x x x x =2

1

-+x x

得 (y-1)x=2y+1 ∴y ≠1 且x=

1

1

2-+y y ≠-3 解得y ≠1且y ≠5

2

∴原函数值域为：y ∈(-∞, 52)∪(5

2,1)

∪(1,+∞)。

大沥高中数学科组编 2003-10-8 第1期

一、总的指导思想 依靠集体备课，抓教学常规；学习教育理论，指导教学实践；坚持教学研究，提高教学水平；进行数学培优补差；团结向上，积极进取。 二、各级目标 1、总目标：全组成员一致努力，三年内将大沥高中数学科组建设成为南海镇属高中学优秀科组乃至全南海优秀科组。 2、教学目标： 在教学中努力做到：“三主”、“三自”、“三有”。 三主：教师为主导，学生为主体，训练为主线。 三自：在教师引导下尽可能让学生自已提出问题、自已分析问题、自已解决问题。 三有：在教师引导下，尽可能让学

生自已有争论、有发现、有创新。 3、教研目标：在教学研究中努力做到：“二法”、“三主” 二法：教学研究要研究教法、学法。

三主：教学研究要以教育理论为

主导，大纲、教材为主体，考试说明为主线。 4、年级目标: （1）高三级高考目标：

明年高考平均分在镇属高中排名第

一。 （2）高二级目标：

努力争取在期末南海区的统考中排位在镇属高中的前两名。

（3）高一级目标： 力争使高一级数学教学质量居于镇属高中的前列。 数 学 科 组 工 作 目 标 重视思想方法教学

数学思想方法是人们对数学知识的本质的认识，是数学思维方法与实践方法的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法，它们组成了生机勃勃的知识方法体系。

数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法又是数学知识的精髓，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用的全过程，是数学发展的内在动力，是知识化为能力的桥梁，是学生形成认知结构的纽带，是培养数学观念，促成创造思维的关键。

知识要在实践中不断学习、扩充，而思想方法则经久闪耀着不灭的光辉。问题是仅仅满足于思想方法的认识是远远不够的，应当自觉地去探索。

在科学技术高度发展、知识经济已见端倪的今天，我们的数学教学必须适应时代的需要。在平时的教学中，既要注重数学知识的传授更要重视思想方法的渗透。只有两者和谐地同步实施，才能让我们的教学充满活力，才能有学生海阔天空的思维境界，才能把课堂变成他们吐才露华的幸福乐园，才能使他们在解决问题中表现得机智灵活。

诚然，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复用的基础上形成的，所以我们不可能凭借一两次课和几个例题的讲解就能使学生完全接受和掌握，也不可能依靠生硬的说教，而应当努力让数学思想方法闪现在教学过程的始终，真正培养一代具有战略远见的高素质人才。

数

学

名

言

◆ 在

数学的领域中,

提出问

题的艺术比

解

答

问题的艺术更为重要. ----康扥尔(Cantor) ◆ 数学是无穷的科学. --- 赫尔曼外尔 ◆ 问题是数学的心脏. ---- P.R.Halmos

◆

只要一门科学分支能提出大量的问题,

它就充满着生命力,

而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.

----Hilbert

◆

数学中的一些美

丽定理具有这样的特性:

它们极易从事实中归纳出来,

但证明却隐藏的极深.

----高斯

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