姜启源编《数学模型》第四版 第5章
姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
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产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
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捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex
运筹学 第四版 第五章 整数规划
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
表 3.1
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
解 设 x1,分x2 别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个
纯整数规划问题 .其数学模型为:
(pzreorgor-aomnme iinngte)ger linear
若不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成
的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题（slack
problem）
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
整数线性规划数学
n
st. j1 aij x j
max Z 20 x1 10 x2
5x1 4x2 24 s.t 2x1 5x2 13
x1, x2 0, 整数
（1）
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
max Z 20 x1 10 x2
s.t
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1, x2 0
目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§2 解纯整数规划的割平面法
考虑纯整数规划问题
n
max Z cjxj j 1
n
aijxj bis.tj 1xj0
xj取整数
i 1, 2....m
j 1, 2...n j 1, 2,..n
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
姜启源数学模型
姜启源数学模型姜启源数学模型是指以姜启源为主导的一种数学建模方法。
姜启源是中国工程院院士、中国科学院数学与系统科学研究院院长，他在数学模型领域有着丰富的经验和深厚的造诣。
数学模型是一种将现实问题抽象化、形式化的方法，通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
姜启源数学模型的特点是综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，通过数学建模的方法解决实际问题。
姜启源数学模型的应用领域非常广泛，包括但不限于工程、经济、环境、医学等各个领域。
在工程领域，姜启源数学模型可以用于优化设计、预测分析、风险评估等方面。
在经济领域，姜启源数学模型可以用于市场预测、投资决策、风险控制等方面。
在环境领域，姜启源数学模型可以用于气候变化模拟、环境保护规划等方面。
在医学领域，姜启源数学模型可以用于疾病传播模拟、药物研发等方面。
姜启源数学模型的建立过程一般包括问题分析、数学建模、模型求解和模型验证等步骤。
首先，需要对实际问题进行深入的分析，明确问题的目标和约束条件。
然后，根据问题的特点，选择合适的数学方法和模型类型。
接下来，通过数学方法将实际问题转化为数学问题，并进行数学建模。
然后，利用数学工具和计算机进行模型求解，并对结果进行分析和解释。
最后，需要对模型进行验证，检验模型的准确性和可靠性。
姜启源数学模型的优势在于能够将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，并通过数学方法进行求解。
这种模型可以提供决策支持和问题解决的方法，帮助人们更好地理解和解决实际问题。
姜启源数学模型的应用可以提高效率、降低成本、减少风险，对社会和经济发展具有重要意义。
姜启源数学模型的发展离不开数学研究和科学技术的支持。
近年来，随着数学建模方法和计算机技术的不断发展，姜启源数学模型在各个领域得到了广泛应用和推广。
同时，姜启源也致力于培养和引进优秀的科研人才，推动数学建模在中国的发展和应用。
姜启源数学模型是一种综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识的数学建模方法。
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
数学模型姜启源
数学模型姜启源1. 简介数学模型是通过数学方法来描述、解释和预测现实世界中的问题的工具。
姜启源是数学模型领域的一位知名学者，他在数学模型的研究和应用方面做出了重要贡献。
本文将介绍姜启源的学术背景、研究成果以及对数学模型领域的影响。
2. 学术背景姜启源于1980年毕业于北京大学数学系，并获得数学学士学位。
随后，他在中国科学院数学研究所攻读硕士和博士学位，并于1996年获得博士学位。
在攻读博士学位期间，姜启源主要致力于研究数学模型在环境科学中的应用。
3. 研究成果姜启源的研究成果主要集中在数学模型的构建、分析和应用方面。
他利用微分方程、偏微分方程、概率论和数值计算等数学工具，研究了各种实际问题，并提出了一系列创新性的模型和方法。
3.1 环境科学中的数学模型在环境科学领域，姜启源的研究主要关注大气质量模型和水资源模型。
他通过建立描述大气运动和污染物传输的方程组，来模拟和预测大气污染的扩散和变化情况。
同时，他还研究了水资源的可持续利用问题，并提出了一种基于数学模型的水资源管理策略。
3.2 金融领域中的数学模型除了环境科学领域外，姜启源还在金融领域中应用数学模型进行研究。
他主要研究金融市场中的资产定价问题、风险管理和投资策略。
姜启源提出了一种基于随机微分方程的金融模型，用于描述股票价格的随机波动和投资者行为。
4. 影响与意义姜启源的研究对数学模型领域具有重要的影响和意义。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到了广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究促进了数学模型的发展和应用，为其他研究者提供了重要的借鉴和启发。
5. 总结姜启源是一位在数学模型领域有重要影响的学者。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究对数学模型的发展和应用做出了重要贡献，对其他研究者具有重要的借鉴意义。
参考文献： 1. 姜启源. 数学模型在环境科学中的应用[J]. 计算数学, 1998, 20(2): 235-248. 2. 姜启源, 张三. 数学模型在金融领域的应用研究[M]. 科学出版社, 2005. 3. 姜启源, 李四. 数学模型与环境管理[M]. 科学出版社, 2010.。
导弹攻击问题的数学建模
湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。
首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。
针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。
由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。
在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。
所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。
在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。
第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。
针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。
本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。
在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。
最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。
关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。
导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。
导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。
第五章练习题及参考解答(第四版)
第五章练习题参考解答 5.1 设消费函数为 iiiiuXXY33221 式中，iY为消费支出；iX2为个人可支配收入；iX3为个人的流动资产；iu为随机误差项，并且222)(,0)(iiiXuVaruE（其中2为常数）。试回答以下问题： (1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程； (2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。 【练习题5.1参考解答】
（1）设f(X2𝑖)=𝑋2𝑖2，则异方差Var(𝜇𝑖)=𝜎2𝑋2𝑖2=𝜎2f(X2𝑖
)，回归方程两端同时除
以√f(X2𝑖
)得：
𝑌𝑖√f(X2𝑖)=𝛽1√f(X2𝑖)=𝛽2𝑋2𝑖√f(X2𝑖)+𝛽3𝑋3𝑖√f(X2𝑖)+𝜇𝑖
√f(X2𝑖)
令Y𝑖∗=𝑌𝑖√f(X2𝑖) X2𝑖∗=1√f(X2𝑖) X3𝑖∗=𝑋3𝑖√f(X2𝑖) υ𝑖=𝜇𝑖√f(X2𝑖)
则上式变为： Y𝑖∗=𝛽2+𝛽1X2𝑖∗+𝛽3X3𝑖∗+υ𝑖
因此
Var(υ𝑖)=𝜎2𝑋2𝑖2f(X2𝑖)=𝜎2 通过变换原模型的异方差得到修正。 （2）令w𝑖=1f(X2𝑖) 则修正后的残差平方和∑𝑤𝑖𝑒𝑖2=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂2𝑋2𝑖−𝛽̂3𝑋3𝑖)2 方程两边求导并令导数为零，可得参数估计量的表达式如下： 𝛽̂1=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂2𝑋2𝑖−𝛽̂3𝑋3𝑖)
∑𝑤
𝑖
𝛽̂2=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂3𝑋3𝑖)𝑋
2𝑖
∑𝑤𝑖𝑋
2𝑖2
𝛽̂3=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂3𝑋3𝑖)𝑋
3𝑖
∑𝑤𝑖𝑋
3𝑖2
5.2 对于第三章练习题3.3家庭书刊消费与家庭收入及户主受教育年数关系的分析，进一步作以下分析: 1）判断模型123iiiiYXTu
数学建模姜启源统计回归模型
区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272 (百万支)
yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
区间 [7.8953，8.7592]
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
结果分析 y 0 1x1 2 x2 3x22
参数
0 1 2 3
参数估计值 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ] [-7.4989 0.1077 ] [0.0379 0.6594 ]
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进 y 0 1x1 2 x2 3x22
x1和x2对y 的影响独立
参数
0 1
参数估计值 17.3244 1.3070
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ]
• 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1 2 29 30
本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析