16-定积分与微积分基本定理 (2)
3.4 定积分与微积分基本定理教学目标重点是理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；掌握定积分的计算方法．难点是利用定积分的几何意义解决问题．能力点：定积分的定义及几何意义以及极限思想，正确进行表述、判断和推理．教育点：提高学生的认知水平，塑造良好的认知结构．自主探究点：抓住定义，运用类比、联系和举例的方法加深对有关概念的理解和应用．高考要求：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题．学法与教具1、学法：探究归纳，讲练结合2、教具：多媒体、实物投影仪．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、、、.2.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 。
当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作 ，即()baf x dx ⎰＝ ，其中()f x 称为 ，x 称为 ，()f x dx 称为 ，[,]a b 为 ，a 为 ，b 为 ， “⎰”称为积分号．3．()baf x dx ⎰的实质（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()ba f x dx ⎰表示 ； （2）当()f x 在区间[,]ab 上小于0时，()baf x dx ⎰表示 ；（3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()baf x dx ⎰表示 ；4．定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质： （1）()ba kf x dx ⎰＝ （k 为常数）；（2）12[()()]baf x f x dx ±=⎰ ；（3）()baf x dx ⎰＝ （其中a c b <<）．5．微积分基本定理一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx ⎰＝__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―――莱布尼兹公式，可以把()()F b F a -记作 ，即()ba f x dx ⎰＝ ＝ ．［特别提醒］ 1．定积分()baf x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()baf x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()baf x dx ⎰中的积分变量，即()baf x dx⎰＝()baf t dt ⎰．2．由积分符号()baf x dx ⎰可知，积分变量x 的变化范围是a x b ≤≤.3．定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程．4．运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解．三、【范例导航】 例1.求定积分2211d 2x x x+⎰．解析：2211d 2x x x+⎰22211111111d ln ln(2)(ln 3ln 2).2222x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦+⎝⎭⎰ 评注：本题由2211d 2xx x +⎰想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把212x x +拆成1x与12x +的差．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 变式训练：计算:220sin 2x dx π⎰分析：我们要直接求2sin 2x 的原函数比较困难，但我们可以将2sin 2x先变式化为1cos 11cos 222x x -=-，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行. 解：2222222000001cos 1111sin cos |sin |222222x x dx dx dx xdx x x ππππππ-==-=-⎰⎰⎰⎰11110sin sin 04222242πππ=-⋅-+=- 评注：较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.例2.求定积分120(1(1))x x dx ---⎰的值．解析：12(1(1))x x dx ---⎰表示圆22(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x=所围成的图形（如图所示）的面积，因此2120π11π1(1(1))114242x x dx ⨯---=-⨯⨯=-⎰． 评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由120(1(1))x x dx ---⎰联想到圆22(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x =，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力．变式训练：求定积分121(1)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解：121(1)x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以121(1)x dx --⎰＝2π． 例3、求y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积．解法一：先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)，如图把所求面积的平面图形分成S 1，S 2两部分，分别求得它们的面积A 1, A 2 ：A 1=1[()]x x dx --⎰=21xdx ⎰=43; A 2=91328()23x x dx --=⎰ 所以A=A 1+A 2=43+283=1023解法二：本题也可把抛物线与直线方程写成x= y 2=g 1(y), x=2y+3=g 2(y), 应用公式对y 求积分便得： A=3211[()()]g y g y dy --⎰=321[(23)]y y dy -+-⎰=1023评注：1. 求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分的表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时要灵活选择坐标系，积分变量，由图形特点，适当选取积分变量对计算简繁有很大影响，显然上述解法二简洁．变式训练：求曲线3y x =与直线2y x =所围成的图形的面积． 解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩，，解得02x x ==±，．故交点坐标为(222)(00)(222)--，，，，，． 因此，积分区间应分为两部分[20][02]-，，，，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等．故023320(2)(2)S x x dx x x dx -=-+-⎰⎰232242012(2)222x x dx x x =-=-=⎰||． 点评：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.xyo1-11例4、（2012年高考湖南理15）函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，33），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .解析：（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，33）时，33cos,362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 点评：本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.变式训练： (2012年惠州质检)设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x ⎰dx.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1()f x ⎰dx 的近似值为______．解析：因为0≤f(x)≤1且由定积分的定义知：1()f x ⎰dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点．所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为1N N ×1＝1N N ，即10()f x ⎰dx ＝1NN.四、【解法小结】1．(1)若使F ′(x)＝f(x)的函数F(x)不易寻找时，要把f(x)进行等价变形， (2)一般要把被积函数变形为幂函数、指数函数、正(余)弦函数积的和或差．2．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．3．当被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．但要注意两点：(1)函数的图象连续不间断．(2)函数图象是在x 轴上方还是下方．4．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．5、利用定积分求面积一定要结合几何图形的直观性，把所求的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．五、【布置作业】 必做题：1、（2012年济南三模）已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________2、（2012年莱芜3月模拟）函数2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为 .3、（2012临沂3月模拟）函数32()1f x x x x =-++在点(1,2)处的切线与函数2()g x x =围成的图形的面积等于_________；4、（2012日照5月模拟）如图，由曲线sin y x =，直线32x π=与x 轴围成的阴影部分的面积是 （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）35、（2011年高考陕西理11）．设2lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = ．必做题答案：1、13 2、56 3、43C. 4、D 5、1 选做题：1、（2012年临沂二模）已知{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是（A ）164（B ）18 （C ）14 （D ）122、（2012青岛二模）设220(13)4a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是A ．-160B ．160C ．161D ．-161 3、已知函数f(x)=bx ax x ++232131, a,b ∈R,)(x f '是函数f(x)的导数． （1)试判断函数f(x)的单调性；(2)若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '=0有实数根的概率．（3）若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率．选做题答案： 1、D 2、C 3、解析：（1）由f(x)=bx ax x ++232131得b ax x x f ++='2)(, ①若△=a 2-4b ＜0，即a 2＜4b ，当x ∈R 时,)(x f '＞0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增；②若△=a 2-4b=0，即a 2=4b ，当x ∈R 时)(x f '≥0恒成立，当且仅当x=-2a时, )(x f '=0. 当x ≠-2a 时, )(x f '>0恒成立，所以函数f(x)在(-∞, -2a )上为增函数，在(-2a，+∞)上也为增函数，而函数f(x)在x=-2a处连续，则f(x)在R 上单调递增;③若△=a 2-4b>0，即a 2>4b ，令)(x f '=0,即b ax x ++2=0,解得2421b a a x ---=,2422ba a x -+-=,21x x <.当x ∈(-∞, 1x )时)(x f '＞0，当x ∈(21,x x )时,)(x f '<0时,当x ∈(x 2, +∞)时, )(x f '＞0.则函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增, (21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增．故若a 2≤4b 时，函数f(x)在R 上单调递增；若a 2>4b 时，函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增，(21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增，其中2421b a a x ---=,2422ba a x -+-=.（2）方程)(x f '=0，即b ax x ++2=0有实数根，则△≥0，即a 2≥4b ，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '=0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤-b a b a 411112 (※)如图条件(※)的面积为da a S ⎰---=1121)]1(4[=da a ⎰-+112)14(613212113=+=-a . 而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4，根据几何概型的概率公式可知,方程)(x f '=0有实数根的概率为P=24131=S S . （3）方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0，即x 2＋2ax ＋a 2＋a ＋b=0有实数根，则△≥0，即a+b ≤0，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤-≤≤-01111b a b a (※) 如图：条件(※)的面积为S 1=2，而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4， 根据几何概型的概率公式可知，方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率为P=211=S S . 六、【教后反思】1、本教案的亮点是：首先以结构图呈现定积分与微积分基本定理的知识，直观明了；其次，在梳理相关知识以填空的形式，充分关注知识的系统化，再次，例题选择典型、全面（定积分的计算、求面积、知识的交汇性），关注的主干知识，讲练结合，真正地让学生动起来，让课堂活起来．最后，在作业的布置上，选择2012年各地最新的模拟题，对学生理解、巩固知识起到了良好作用．2、本教案的不足之处是：题量有点大，45分钟没完成教学任务，若对程度好的学校应该能够完成.。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本定理
定积分基本定理定积分基本定理是微积分中的一条重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，为我们求解定积分提供了重要的方法和技巧。
本文将围绕定积分基本定理展开，介绍其基本概念、定理表述及应用。
一、定积分基本概念定积分是微积分中的一个概念，它可以用来计算曲线下面的面积。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上，我们可以将其曲线下方的面积进行划分，然后通过无限分割与极限的方法求得最终的结果。
这个最终结果就是定积分。
二、定积分基本定理的表述定积分基本定理是指：如果函数f(x)在[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上就是一个定积分。
即∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上的定积分等于F(x)在区间端点处的值之差。
三、定积分基本定理的应用定积分基本定理在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何意义：定积分可以用来计算曲线下方的面积。
例如，我们可以利用定积分来计算一个曲线所围成的封闭区域的面积。
2. 物理应用：定积分可以用来计算物理问题中的质量、体积、功等。
例如，我们可以利用定积分来计算一个物体的质量，或者计算一个力的作用所做的功。
3. 统计学应用：定积分可以用来计算统计学中的概率密度函数下的概率。
例如，我们可以利用定积分来计算某个随机变量在一定范围内取值的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用来计算经济学中的总收益、总成本等。
例如，我们可以利用定积分来计算某个企业在一定时间内的总收益。
5. 工程应用：定积分可以用来计算工程问题中的功率、能量等。
例如，我们可以利用定积分来计算电路中的功率，或者计算流体中的能量损失。
定积分基本定理为我们求解定积分问题提供了一种简便的方法。
通过找到原函数，我们可以将定积分转化为不定积分，从而利用不定积分的方法求解。
微积分基本定理
GMmh W R( R h )
其中 G 是地球引力常数， M 是地球的质量， R 是地球的半径．
例 2：一物体从 5000m 高空落下， ．其下落速度为
g －1 2 kt v(t ) (1 e ) ，其中 g＝9.8m/s ，k＝0.2s k 问经过大约多少秒后该物体将接触到地面？
定积分在物理中的应用
例 3：证明：把质量为 m(单位：kg)的物体从地球 表面升高 h(单位：m)所作的功为
2
例 3：计算由曲线 y x 5 ，直线 y＝x
2
－7 以及 x 轴所围图形的面积 S．
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用
例 1：有一个质量非均匀分布的细棒，已知其线密度 为 ( x ) (2 x 1)( x 1) (取细棒所在直线为 x 轴， 细棒的一端为原点)，棒长为 l，求细棒的质量 m．
微积分基本定理
微积分基本定理
定理： 对于被积函数 f(x)， 如果 F’(x)＝f(x)， 则 f ( x )dx F (b) F (a ) ．
a b
这里 f(x)是 F(x)的导函数，我们把 F(x) 叫做 f(x)的原函数．
例1 计算定积分
(1)
3
1
2 dx(2)Biblioteka | x|3 2
x 1 (3) e 2 dx 1 x
2
(2 x 1)(2 x 3) dx 2x 1
cos 2 x (4) 2 dx 0 cos x sin x
微积分学基本定理及基本积分公式
2021/4/21
1
f ( x) 在[a,b] 上可积且 m f ( x) M ，则
性质 7（积分m中(b值 aT)hm）b f若( x)fd(xx) MC([ba, b] a，) 则 a
至少存在 [a, b]，使得
b f ( x)dx f ( )(b a) ． y a
称 f ( ) 1
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在 [a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一 若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
(3) f ( x) 的任意两个原函数 F ( x), G( x) 之间
只差一个常数，即若 F( x) f ( x), G( x) f ( x) ，
[
2,
，
1]
3
∴由积分中值定理知， c[2, 1] ， 3
使
f
(0)3
1
2f
3
( x)dx3
f
(c)(1 2) 3
f
(c)
，
积分∵中值f ( xT)hmC： [0, c]f，( x在) (0C, [ca,)b内] ，可则导至，少 且存f (在0) f(c[a) ，, b]，
∴由
Rolle
定理使知得，
b a
f
(
x)g(
x)dx
f
()
b
g(
a
x)dx
．
2021/4/21
3
性质 8 若 f ( x) 在[a, b]上可积，则 则改变 f ( x) 在[a, b]上有限个点的值后，所得
新函数 f *( x) 仍可积，且
b
f ( x)dx
定积分与微积分基本定理-函数与导数 2011高考一轮数学精品课件
∫ f(x)dx= ∫f(x)dx+ ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx
0 0 1 2
3
1
2
3
=
∫
1
x3dx+
2 1 + 0
0
∫
2
x2dx+
1 0
1
∫
3
2xdx
3 2
2
x = 4
1 3 x 3
2x + ln 2
1 8 1 8 4 + − + − = 4 3 3 ln 2 ln 2
31 4 + = 12 ln 2
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＊对应演练＊ 对应演练＊
求下列定积分: 求下列定积分 (1) (2)
∫
3
∫ (3) ∫
π
0
(2x-3x2)dx;
2 sin2 0 1 2
x dx; 2
1
(x+
x )dx.
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(1)
∫
π
3
(2x-3x2)dx=
0
∫
3
2xdx-
x 2 (2) 2sin dx= ∫0 2
=
π
0
∫
3
∫
π
0
3 3 3x2dx=x2 |0 -x3 |0 =-18.
2 0
1- cosx ( )dx 2
∫
2 0
1 1 dx2 2
π
2 0
∫
π
2 cosxdx 0
1 = x 2
1 sinx 2
π
2 0
= π −1 . 4 2
返回目录
1 )dx= (3) ( x+ ∫1 x
15-16版：§2 微积分基本定理(创新设计)
§2 微积分基本定理[学习目标] 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．[知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ， 图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ， 图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x . [预习导引]1．函数的原函数如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即F ′(x )＝f (x )，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．定理中的式子称为微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式).要点一 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分：(1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛-13 (4x －x 2)d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪ 21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以⎠⎛02(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪20 ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛－13 (4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数．随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故．因为⎠⎛ab f (x )d x ＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (a )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了．跟踪演练1 求下列定积分：(1)⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ，∴⎠⎜⎛0π2(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪ π20＝⎣⎡⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos0 ＝3π28＋1；(2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x， ∴⎠⎛12(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21 ＝(e 2－ln2)－(e －0)＝e 2－e －ln2.要点二 求较复杂函数的定积分例2 求下列定积分：(1)⎠⎛14x (1－x )d x ； (2)⎠⎜⎛0π22cos 2x 2d x ； (3)⎠⎛14(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵32221()32x x -′＝x －x . ∴⎠⎛14x (1－x )d x ＝32221()32x x -⎪⎪⎪ 41 ＝32221(44)32⨯-⨯－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x 2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴原式＝⎠⎜⎛0π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪ π20＝π2＋1. (3)∵⎝⎛⎭⎫2x ln2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛14 (2x ＋1x )d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln2＋2x ⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫24ln2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln2＋2＝14ln2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦(余弦)函数、指数、对数函数与常数的和与差．(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪演练2 计算下列定积分：(1)⎠⎛12(x －1)5d x ； (2)⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x . 解 (1)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝错误!错误!＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (2)因为⎝⎛⎭⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ，所以⎠⎜⎛0π2 (sin 3x cos x )d x ＝41(sin )4x ⎪⎪⎪⎪π20 ＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1. 所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x ＝ ln x x ＋1⎪⎪⎪ 21＝ln 43. 要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ， ∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 规律方法 定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x ＝ ⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪ 10＝13a ＋12b ＋c ，∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.要点四 求分段函数的定积分例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求⎠⎜⎛－1π2f (x )d x ； (2)⎠⎛03|x 2－4|d x . 解 (1)⎠⎜⎛－1π2f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎜⎛0π2(cos x －1)d x ， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪ 0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin0－0) ＝43－π2. (2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2，∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02 (4－x 2)d x ＋⎠⎛23 (x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪ 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪ 32＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．跟踪演练4 求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32， ∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝⎠⎜⎛－3－32 (－4x )d x ＋⎠⎛3236d x ＋⎠⎛3234x d x ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪ －32－3＋6x ⎪⎪⎪⎪ 32－32＋2x 2⎪⎪⎪ 332＝45.1．定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝e.故选C. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2答案D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2， 解得a ＝2.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x . 解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2f (x )d x ＋2ππ⎰f (x )d x＝⎠⎜⎛0π2(4x －2π)d x ＋2ππ⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋2ππ⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪π20＋ sin x 错误!，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．。
第四章 §2 微积分基本定理
§2 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常用函数积分公式表1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (2)2π2sin cos d 22x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； (3)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(2)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x 2 ＝1－sin x ， ∴2π2sin cos d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20(1sin )d x x ⎰－＝π20(cos )|x x ＋＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (3)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰；(3)ʃ94x (1＋x )d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1＝ln 2－56.(2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20cos d x x ⎰＝π20sin |x ＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝3292421|32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝322219932⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭－322214432⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求ʃ40f (x )d x ；(2)ʃ20|x 2－1|d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解(1)ʃ40f (x )d x ＝π2sin d x x ⎰＋2π21d x ⎰＋ʃ42(x －1)d x＝π20(cos )|x －＋2π2|x ＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－x 42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝2. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝_______.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x ＝______.考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 (1)2e －2 (2)e ＋32－ln 2解析 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2，求t . 解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t >0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2，x ∈(0,1]． ∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π3cos d θθ⎰＝π30sin |θ＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．求函数f (a )＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．考点 微积分基本定理的综合应用 题点 微积分基本定理的综合应用解 ∵ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2，∴f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1， ∴当a ＝－1时，f (a )有最小值1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2 B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝π20(cos sin )|x a x －－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于() A ．－13 B ．－1C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e -，f ′(x )>0时，0<x <12e -，f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．所以f (x )max ＝12e f -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。
定积分基本定理
1 x 3 2 x 1 x6 .
例2 求 lim 0
x 0
x
sin t 2 dt x3
0 解 当 x 0 时,原式为 型不定式,可用洛必达法则求 0
得
lim
x 0
x
0
sin t dt x3
2
lim
x 0
( sin t dt )
2 0
x
'
( x3 )'
a
b
性质 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和的 情况，即
f ( x) f ( x) f
b a 1 2
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.
a a a
b
b
性质 3 (积分对区间可加性) 如果积分区间 [a, b] 被点 c 分成两个区间 [a, c] 和 [c, b]，那么
a
O
a
x
b
x
是上限变量 x 的函数. 记作 F (x)，即 x F ( x) f (t )dt (a ≤ x ≤ b).
a
通常称积分式
x
a
f ( t )dt 为变上限的积分
注意到教材中的积分式 ,积分上限中的积分变量 x ， 与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的 含义是不同的,为避免混淆,这里改用 t 为积分变量. 由于 定积分的值与积分变量的记号无关 , 把积分变量改用别的 字母表示,不影响积分结果.
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
a c
微积分基本定理
图 6-6
二、 积分上限的函数及其导数
定理3
若函数f(x)在区间［a,b Φ(x)=∫xaf(t)dt
在［a,b］上可导，且
(6-2)
二、 积分上限的函数及其导数
一、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与 速度函数间的联系，有必要沿质点的运动方向建 立坐标轴.设时刻t时质点所在位置st，速度 vtvt≥0.
已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以 用速度函数vt在T1,T2
一、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
又函数f(x)在点x处连续，而Δx→0时，ξ→x,所以
若x为区间［a,b］的端点,则只需将上面证明中的x换成a 或b,再分别限制Δx>0或Δx<0,即能证明Φ′+(a)=f(a),Φ′(b)=f(b).
综上所述,
这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x 的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身.
在上式中再令x=b，即得公式(6-3). ∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)－F(a).
三、 牛顿-莱布尼兹公式
注
当a>b时，牛顿-莱布尼兹公式仍成立.
由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分求得， 因此，牛顿-莱布尼兹公式巧妙地把定积分的计算问题与 不定积分联系起来，转化为求被积函数的一个原函数在 区间［a,b］上的增量问题.
二、 积分上限的函数及其导数
【例5】
【例6】
二、 积分上限的函数及其导数
微积分基本定理 课件
[例 3] [分析]
求 c 的值，使1(x2＋cx＋c)2dx 最小． 0
对于一个确定的 c 的值，1(x2＋cx＋c)2dx 是 0
一个确定的数，因而1(x2＋cx＋c)2dx 可看成一个关于 c 的 0
函数，再求 c 取何值时，此函数有最小值．
[解析] 令 y＝1(x2＋cx＋c)2dx 0
＝1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx 0
＝15x5＋24cx4＋c32x3＋23cx3＋22c2x2＋c2x10 ＝15＋12c＋c32＋23c＋c2＋c2
＝15＋76c＋73c2＝73c＋142＋15－478 所以当 c＝－14时，y 最小．
[点评] 本题考查了如何求定积分，同时考查了函数 求最值．对本题中的乘方形式，先用公式展开，表示成和 的形式，然后分别求出，再求和．
微积分基本定理
1．微积分基本定理
2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为 S下，则
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx a
＝S 上 ．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则bf(x)dx a
＝－S 下．
式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
[点评] 求定积分主要是要找到被积函数的原函 数．也就是说，要找到一个函数，它的导数等于被积函 数．由此可见，求导运算与求原函数运算互为逆运算．
[分析] 由于被积函数是绝对值函数，需在积分区间 [－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.
[点评] 在求含绝对值函数的积分时，由于被积函数 的表达形式在给定区间上不能用统一的形式表示，需分段 积分．
所以aa2＝－21＝3 ， 解得 a＝2.故应选 D.