16-定积分与微积分基本定理 (2)

3.4 定积分与微积分基本定理

教学目标

重点是理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；掌握定积分的计算方法．难点是利用定积分的几何意义解决问题．

能力点：定积分的定义及几何意义以及极限思想，正确进行表述、判断和推理．

教育点：提高学生的认知水平，塑造良好的认知结构．

自主探究点：抓住定义，运用类比、联系和举例的方法加深对有关概念的理解和应用．

高考要求：

1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；

2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；

3、掌握定积分的计算方法；

4、利用定积分的几何意义会解决问题．

学法与教具

1、学法：探究归纳，讲练结合

2、教具：多媒体、实物投影仪．

一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、、、.

2.定积分的定义

如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,

,)i i n ξ=作和式 。当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函

数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作 ，即

()b

a

f x dx ⎰

＝ ，其中()f x 称

为 ，x 称为 ，()f x dx 称为 ，[,]a b 为 ，a 为 ，

b 为 ， “⎰”称为积分号．

3．

()b

a

f x dx ⎰

的实质

（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b

a f x dx ⎰表示 ； （2）当()f x 在区间[,]a

b 上小于0时，

()b

a

f x dx ⎰

表示 ；

（3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b

a

f x dx ⎰

表示 ；

4．定积分的性质

根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质： （1）()b

a kf x dx ⎰

＝ （k 为常数）；

（2）1

2

[()()]b

a

f x f x dx ±=⎰ ；

（3）

()b

a

f x dx ⎰

＝ （其中a c b <<）．

5．微积分基本定理

一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么

()b

a

f x dx ⎰

＝

__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―――莱布尼兹公式，可以把

()()F b F a -记作 ，即()b

a f x dx ⎰＝ ＝ ．

［特别提醒］ 1．定积分()b

a

f x dx ⎰

的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，

即定积分

()b

a

f x dx ⎰

是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了

不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()b

a

f x dx ⎰

中的积分变量，即()b

a

f x dx

⎰＝

()b

a

f t dt ⎰

．

2．由积分符号

()b

a

f x dx ⎰

可知，积分变量x 的变化范围是a x b ≤≤.

3．定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程．

4．运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解．

三、【范例导航】 例1.求定积分

2

21

1

d 2x x x

+⎰

．

解析：

2

21

1d 2x x x

+⎰

22211111111d ln ln(2)(ln 3ln 2).2222x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦+⎝⎭⎰ 评注：本题由2

21

1d 2x

x x +⎰

想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把212x x +拆成1

x

与

1

2

x +的差．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 变式训练：计算:

2

20

sin 2

x dx π

⎰

分析：我们要直接求2

sin 2x 的原函数比较困难，但我们可以将2sin 2

x

先变式化为1cos 11

cos 222

x x -=-，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行. 解：

2

2

22222

000001cos 1111sin cos |sin |222222x x dx dx dx xdx x x π

πππππ

-==-=-⎰

⎰⎰⎰

1111

0sin sin 04222242

π

ππ=

-⋅-+=- 评注：较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.

例2.求定积分

1

20

(1(1))x x dx ---⎰

的值．

解析：1

2

(1(1))x x dx ---⎰

表示圆22

(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x

=所围成的图形（如图所示）的面积，因此21

2

0π11π1

(1(1))114242

x x dx ⨯---=

-⨯⨯=-⎰． 评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由

1

20

(1(1))x x dx ---⎰

联想到

圆2

2

(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x =，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力．