§1.3.1(II) 正弦型函数的图象与性质导学案 新人教B版必修4
高中数学1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质(2)课后训练新人教B版必修4
1.3.1 正弦函数的图象与性质1．函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是( ) A ．π5π2π,2π1212k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．7πππ,π1212k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．7ππ2π,2π1212k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) 2．要得到πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．已知正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则它的表达式可以为( )A ．1π1sin 2222y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ B ．1π1sin 2222y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．1π1sin 2242y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．1π1sin 2242y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4．已知函数y ＝f (x )，f (x )图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的表达式为( )A ．11πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．1πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．11πsin 222y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．1πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()πsin 103kx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k 是( )A．60 B．61 C．62 D．636．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数，则φ的值为__________．7．已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象中，最高点(距原点最近)的坐标是(2，由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式应为__________．8．关于函数f(x)＝4πsin23x⎛⎫+⎪⎝⎭(x∈R)有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为π4cos26y x⎛⎫=-⎪⎝⎭；③y＝f(x)的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝π6-对称．其中正确的命题的序号是__________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．9．(2012·山东济宁期末)函数f(x)＝A sin(ωx＋θ)π0,0,||2Aωθ⎛⎫>><⎪⎝⎭的一系列(2)指出函数f(x)的图象是由函数y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的变化而得到的．10．已知f(x)＝－2aπsin26x⎛⎫+⎪⎝⎭＋2a＋b，x∈π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．参考答案1．解析：令2x －π3∈3ππ2π,2π22k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 可解得x ∈7πππ,π1212k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .故选B ．答案：B 2．答案：A3．解析：从图象中可以看出，曲线的振幅12A =，周期T ＝3ππ44⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2πT ＝2，则有y ＝12sin(2x ＋φ)＋12，再将(0,1)代入，得sin φ＝1， ∴φ＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，π2ϕ＝，故选A ．答案：A4．解析：采用逆向思维方式，由题意，y ＝12sin x 的图象沿x 轴向右平移π2个单位长度后，得到1πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再保持此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到1πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即y ＝f (x )的解析式． 答案：D5．解析：∵k ≠0， ∴函数()πsin 103kx f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期20π||T k =. 又∵T ≤1，∴|k |≥20π＞62.8. ∴最小的正整数k ＝63. 答案：D6．解析：∵f (x )＝sin(2x ＋φ)是实数集R 上的偶函数， ∴当x ＝0时，sin φ＝±1.又∵0≤φ≤π，∴φ＝π2. 答案：π27．解析：依题意，A T ＝4×(6－2)＝16，2ππ168ω==，∴π8y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.再将(2，)代入，有π28ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故πs i n 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π4＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z . 又∵0＜φ＜π，∴φ＝π4.故所求函数的解析式为ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.答案：ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．解析：如下图为π4sin 23y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象．函数图象与x 轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为π2，故命题①不正确；与x 轴的每一个交点，都是函数图象的一个对称中心，所以命题③正确；函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线π6x -＝不是对称轴，故命题④不正确；由诱导公式可知ππππcos 2sin 2sin 26623x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以命题②正确．故应填②③.答案：②③9．解：(1)由已知条件，可得max min2f x f x A ()-()==，ω＝2，故f (x )x ＋θ)，∴π028θ⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∴θ＝π4＋k π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π4.∴π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)y ＝sin xπsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.10．解：因为π3π44x ≤≤，所以2ππ5π2363x ≤+≤，所以－1≤πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2.若存在这样的有理数a ，b ，则(1)当a ＞0时，23,221,a b a a b ⎧++=-⎪⎨++=⎪⎩解得a ＝1，b5(舍去)．(2)当a ＜0时，223,21,a a b a b ++=-⎧⎪⎨++=⎪⎩解得a ＝－1，b ＝1.综上，a ，b 存在，且a ，b 的值分别为－1,1.。
《正弦函数的图像与性质》教案3 新人教B版必修4
1.3.1正弦函数的图像与性质(第三课时) 正弦型函数y=A sin(ωx+φ) 的图象教学目的：1理解振幅、周期、频率、初相的定义；2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;3会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用；4.培养学生数形结合的能力。
5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。
教学重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。
教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。
教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。
本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习正弦函数xy sin=的图象和性质教师提出问题，学生回答为学生认识正弦型函数奠定基础概念形成及应用举例通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数)sin(φω+=tRy中，点P旋转一周所需要的时间ωπ2=T，叫做点P的转动周期。
在1秒内，点P转动的周数πω21==Tf，叫做转动的频率。
OP与x轴正方向的夹角φ叫做初相。
例1画出函数y=2sin x x?R；y=21sin x x?R的图象（简图）1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。
2.教师提问：通过分析，φω,,R对观缆车的旋转有什么影响？3.学生回答。
4.教师引导归纳。
函数y＝A sin(ωx＋φ)，其中,0>>ωA表示一个振动量时，A就表1.要求学生通过实例，将问题转化为数学问题，引出数学概念，培养学生数学来源于实践又解：画简图，我们用“五点法”∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表： 作图： 利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移⋅⋅⋅ππ4,2就可以得出y ＝2sin x ，x ∈R ，及y ＝21sin x ，x ∈R 。
高中数学：1.3.1 正弦函数的图像与性质 教案1 新人教B版必修4
1.3.1正弦函数的图像与性质(第一课时) 正弦函数的图象教学目标：1．理解并掌握作正弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．3. 培养学生数形转化的能力。
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：理解弧度值到x轴上点的对应。
开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正60进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为x轴确概念的过程。
在小学度量角度使用的0上的有向长度。
实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。
授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪概念形成正弦函数的图象用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份（等份越多，作出的图象越精确），过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的角的。
正弦线（这等价于描点法中的列表）．第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段（28.62≈π）分成12等份，每个分点分别对应于,2,,32,2,3,6,0πππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=x分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，（把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．）第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为Zkxkx∈=•+,sin)2sin(π所以正弦函数xy sin=在[][][]⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈∈-∈πππππ6,4,4,2,0,2xxx学生作图，该过程中教师适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与交流。
人教版数学高一B版必修4学案 1.3.1正弦函数的图象与性质第一课时
1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 正弦函数的图象与性质3．了解周期函数的概念．(易错点)1．正弦函数的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象如下图．其中在x ∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．【自主测试1】y ＝－sin x 的图象的大致形状是图中的( )答案：C2．正弦函数的性质 (1)定义域：R .(2)值域：[－1,1]，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最小值－1.(3)周期性：最小正周期为2π.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上，都从1减小到－1，是减函数．【自主测试2】函数y ＝sin x (0＜x ≤2π)的值域是__________． 答案：[－1,1] 3．周期函数一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f (x )＝a (a 为常数)就没有最小正周期．【自主测试3】f (x )＝sin x ，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f (x )的最小正周期为2π.又由f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，得f (x )是奇函数．答案：B1．探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为y ＝sin x 为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y 轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即k π(k ∈Z )个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(k π，0)(k ∈Z )，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，它们是图象与x 轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它们是过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线． 2．对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：①“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 的值，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．②从等式“f (x ＋T )＝f (x )”来看，应强调是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期．例如f (2x ＋T )＝f (x )恒成立，但T 不是f (x )的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数f (x )的周期．④周期函数的定义域不一定是R ，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．3．教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．剖析：函数y ＝sin x ――------------→横坐标不变，将所有点的纵坐标增加1y ＝sin x ＋1(也可以说，将函数y ＝sin x 的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y ＝sin x ＋1的图象)．(2)请同学们自己动手推导：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.剖析：设u ＝ωx ＋φ，因为y ＝sin u 的周期是2π， 所以sin(u ＋2π)＝sin u ，即sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝sin(ωx ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ.这说明，当自变量由x 增加到x ＋2πω，且必须增加到x ＋2πω时，函数值重复出现．因此y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2πω.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T ＝2πω.说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T ＝2π|ω|.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．(1)公式法：对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期．题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象【例题1】用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象．分析：先把x ＋π2看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x ，然后求出y .解：在直角坐标系中描出表中的五个关键点，并用光滑的曲线连接，然后向两边扩展，得下图所示的图象，即为所求作的图象．反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x ＋π2＝π，2π附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x ＋π2＝π2，3π2，5π2附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些． 题型二 讨论有关正弦函数的性质【例题2】讨论y ＝－12sin x ＋12的性质．分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手．解：先用“五点法”作出y ＝－12sin x ＋12的图象，如下图．由图象去分析函数的性质，如下：(1)定义域：R . (2)值域：[0,1]．(3)最值：当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，取最小值0；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，取最大值1.(4)奇偶性：是非奇非偶函数． (5)周期性：最小正周期为2π.(6)单调性：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增函数； 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数． 反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果．题型三 正弦函数性质的简单应用 【例题3】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝1－sin x1＋sin x.分析：利用函数奇偶性的定义进行判断． 解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z. ∴函数的定义域不关于原点对称．∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【例题4】求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间． 分析：把“π3＋2x ”整体换元，代入正弦函数y ＝sin x 的单调区间，求出x 即可．解：设t ＝π3＋2x ，则t ＝π3＋2x 是关于x 的增函数，而y ＝sin t 的单调递增区间为t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 故2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 反思如果x 的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换．〖互动探究〗若将本例中的函数改为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求其单调递增区间． 解：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴只需求出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间． 令2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．1．函数f (x )＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案：A2．下列函数的图象与下图中曲线一致的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝12|sin x |＋12C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝|sin 2x |＋12答案：B3．比较大小：(1)sin 74__________cos 53；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：(1)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2＜74＜π2＋53＜3π2，但y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数，∴sin 74＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74＞cos 53.(2)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：(1)＞ (2)＞4．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最大值为__________，相应的x 值为__________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y 取最大值 2.答案： 2 π85．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R .又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )， 故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，故f (x )＝0，x ∈⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .故函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．6．求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的最大值和最小值．解：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最小值－9；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y 有最大值1.。
数学 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第二课时课件 新人教B版必修4
思考感悟
3．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象与 2
x 轴相邻两交点的距离是多少？
提示：y＝Asin(ωx＋φ)的图象与 x 轴相邻两交点 间的距离为半个周 期，即T2 ＝ωπ .
课堂互动讲练
考点突破 图象变换的简单应用 图象的变换包括：振幅变换、周期变换、相 位变换三种，三种变换之间的顺序没有限 制．
例1 说明 y＝－2sin(2x－π)＋1 的图象是由 y＝ 6
sinx 的图象怎样变换而来的？
【思路点拨】 由 y＝sinx 到 y＝－2sin(2x－π6) ＋1 需要三种变换，应分步进行．
【解】 法一：y＝sinx各―点―且的―关纵―于坐―标x轴―伸作―长对到―称原―变来―换的→2倍
π
y＝－2sinx―向―右―平―移―6个―单―位―长→度 1
→ 由图象对称⇒ω → 由单调性⇒ω
【解】 由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)， 即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值． 即 sinφ＝1 或－1.
依题设 0≤φ≤π，∴解得 φ＝π2. 由 f(x)的图象关于点 M对称，可知 sin(34πω＋π2)＝0， 解得 ω＝43k－23，k∈Z.
质：
(1)定义 域： _R__；(2)值域：[_－__A__，__A_]__； (3)周期：
2π
T＝ _ω___； (4)单调增区间 由
2kπ－π2≤ ωx＋ φ≤ 2kπ
＋π2 (k∈ Z)求得，单调减区间由 _2__k_π_＋ __π_2___≤ ωx
＋φ≤__2_k_π__＋__3_2_π______ (k∈Z)求得．
(2)要分清是先平移，后伸缩，还是先伸缩，后平 移，弄清平移单位长度是|φ|还是|ωφ|.
人教B版数学必修41.3.1正弦函数的图象与性质
( 最低点：
3
2
,1)
1
3
-
2
0
-
-
2
2
-1
4
x
正弦函数 y sin x(x R)的图象叫正弦曲线。
二.五点作图法
五点法作函数 y sin x(x 的[简0,图2：])
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
x
0
2
sin x 0
1
0
(2) 描点(定出五个关键点)
3 2
2
-1
0
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
新人教B版必修四1.3.1
知识回顾
正弦线：
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P做x轴的
垂线，垂足为M，我们称有向线段MP为α的正弦线，
即sinα=MP。
y
P 1α
Mo
x sinα=MP
思考：如何用几何方法在直角坐标系中作出点
C(π,sinπ) ? 33
PY
.C (π,s i nπ) 33
π
3
y
-
1
0
x
2
3 2
2
3 2
2
2
-1
2.把上一题所作的图象与y sin x(x [2 , 2 ])的图象 进行比较,说明图象与y sin x(x [2 , 2 ])的
图象的位置关系。
y
1
2 3
2
2
0 3 2x
-1 2
2
-2
-
-3
四.小结
1、正弦函数的几何作图法 2、正弦函数的五点作图法 3 、根据正弦函数图象的变化解决简单的问 题
O1
人教B版数学1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计
人教B版必修4数学1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计1.3.1 正弦函数的图象与性质教学设计一. 教材分析《正弦函数的图象与性质》是高中新教材人教B版必修第四册1.3.1的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用"五点作图法"画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。
二. 学情分析本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。
三. 教学目标根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：（一）知识目标学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
（二）能力目标1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；2. 掌握正弦函数图象的"五点作图法"；3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换；5. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；6. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
（三）情感目标1. 培养学生合作学习和数学交流的能力；2. 培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。
人教版数学高一人教B版必修4学案正弦函数的图象与性质(四)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接] 1．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．2．物理中，简谐运动的图象就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) ，x ∈[0，＋∞)的图象，其中A ＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位． [预习导引]1．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到． (2)ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．(3)A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为[－A ，A ]，最大值为A ，最小值为－A .2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下要点一 图象的变换例1 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由函数y ＝sin x 的图象通过怎样的变换得到的？ 解 方法一 (先伸缩后平移)： y ＝sin x――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝2sin x――→各点的横坐标伸长到原来的12倍纵坐标不变y ＝2sin 2x――→向右平移π12个单位y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. 方法二 (先平移后伸缩)： y ＝sin x――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝2sin x――→向右平移π6个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6――→各点的横坐标伸长到原来的12倍纵坐标不变y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. 规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． (2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω.(3)明确平移的方向．跟踪演练1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 C解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 要点二 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例2 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：(2)扩展，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；x ∈R 的简图．由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎡⎦⎤－512π，π12上单调递增． 又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练2 作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：描点画图(要点三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式． 解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 规律方法 三角函数中系数的确定方法：给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一“零点”法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取第一“零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点(6,0)，试求函数的解析式． 解 由已知条件知A ＝22，又T4＝6－2＝4，∴T ＝16，ω＝2πT ＝2π16＝π8，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. ∵图象过点(6,0)，∴0＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ， ∴3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2. ∴令k ＝1，得φ＝π4，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象． 解 (1)列表：描点、连线，如图所示：由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：一是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；二是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.。
高二数学新人教B版必修4 1.3.1《正弦函数的图像与性质》2
正弦函数的图像与性质(第一课时) 正弦函数的图象教学目标：1．理解并掌握作正弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．3. 培养学生数形转化的能力。
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：理解弧度值到x轴上点的对应。
开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程。
在小学度量角度使用的60进制，弧度用弧长〔十进制〕度量，再转化为x轴上的有向长度。
实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。
授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪以上我们作出了y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，因为Z k x k x ∈=•+,sin )2sin(π所以正弦函数xy sin =在[][][]⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈∈-∈πππππ6,4,4,2,0,2x x x 时的图象与[]π2,0∈x 的形状完全一样，只是位置不同。
现在把上述图象沿着x 轴平移⋅⋅⋅±±,4,2ππ，就得到y=sinx ，x ∈R ，的图象。
叫做正弦曲线．-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()正弦函数y=sinx ，x ∈R ，的图象。
叫做正弦曲线． 2〕．用五点法作正弦函数的简图〔描点法〕：只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图，要求熟练掌握．在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在ππ2,,0=x 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡〞一些，在Z k x k x ∈=•+,sin )2sin(π。
所以正弦函数x y sin =在[][][]⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈∈-∈πππππ6,4,4,2,0,2x x x 时的图象与[]π2,0∈x 的形状完全一样，只是位置不同。
教师鼓励和肯定好的想法。
教师提问：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，确定图象形状时哪些点起关键作用？学生回答：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)教师引导学生观察图象并总结出正弦函数在这五个点附近的函数变化情况。
2019-2020年高中数学1.3.1正弦函数的图象和性质(一)教学设计新人教B版必修4
2019-2020年高中数学1.3.1正弦函数的图象和性质（一）教学设计新人教B版必修4一、教学具准备 直尺、圆规、投影仪 二、教学目标1.了解作正弦函数图像的三种常见方法；2.掌握五点作图法,并会用此方法作出上的正弦曲线；3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像。
三、教学过程(课件辅助教学) 1.设置情境引导学生观看Flash 动画（沙漏实验）：红色漏斗中装有细沙，当它左右摆动时，细沙漏出，均匀撒在匀速移动的平板上，问：细沙在平板上构成何种曲线？引出本节课我们将一起来学习作正弦函数图像的方法. 2.探索研究(1)通过练习：比较与的大小复习正弦线的概念前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1)设任意角的终边与单位圆相交于点,过点作轴的 垂线,垂足为,则有向线段叫做角的正弦线,有向线段 叫做角的余弦线.(2)通过描点法作图发现不能做出该点的精确位置，如何利用已经学过的知识来解决此问题？在直角坐标系中如何作点由单位圆中的正弦线知识,我们只要已知一个角的大小,就能用几何方法作出对应的 正弦值的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直 角坐标系中作出点？教师引导学生用图2的方法画出点.我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数的图像呢？x图 1图2 ①用几何方法作的图像(边画图边讲解),我们先作在上的图像,具体分为如下五个步骤: a.作直角坐标系,并在直角坐标系中轴左侧画单位圆.b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作轴的垂线,可 以得到对应于0, , ,,…,角的正弦线.xc.找横坐标:把轴上从0到这一段分成12等分.d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点.e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得的图像. ②作正弦曲线的图像.图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数sin ,[2,2(1))y x x k k ππ=∈+且的图像与函数的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数的图像向左、右平移(每次个单位长度),就可以得到正弦函数数的图像,如图.x正弦函数的图像叫做正弦曲线.师:在作正弦函数的图像时,我们描述了12个点,但其中起关键作用的是函数与轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗？ 生:3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ- 师:事实上,只要指出这五个点,的图像的形状就基本确定了,以后我们常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作图的方法称为“五点法”作图. 3.例题分析例．画出函数的简图: 解:(1)按五个关键点列表利用五点法作出简图x师:请说出函数与的图像之间有何联系？生:函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到. 4、巩固练习：(1)画出函数]23,2[),2sin(πππ-∈+=x x y 的简图。
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1
§1.3.1（II） 正弦型函数的图象与性质
◆ 课前导学
（一） 学习目标
1. 了解正弦型函数)sin(xAy的定义及其参数,,A对函数图象变化的影响；
2. 会求正弦型函数)sin(xAy的周期、频率；
3. 会用“图象变换法”作出正弦型函数)sin(xAy的图象；
4. 会利用正弦函数的性质解决正弦型函数的最值，单调性，及对称轴和对称中心等性质.
（二）重点难点
重点：正弦型函数的定义，图象变换的规律，正弦型函数的性质；
难点：图象变换规律的总结与应用，正弦型函数的单调区间和最值的求法.
（三）温故知新
如何用“五点法”作函数sin2yx在2,2上的简图.
◆ 课中导学
◎学习目标一：了解正弦型函数)sin(xAy的定义及其参数,,A对函数图象变化
的影响.
定义：形如 的函数，叫做正弦型函数.其中A叫
，叫 ，周期是 ，频率是 .
◎学习目标二：会求正弦型函数)sin(xAy的周期、频率.
例1. 求下列函数的周期和频率：
（1）xy2sin ； （2）)621sin(xy ； （3）)23sin(21xy.
◎学习目标三：会用“图象变换法”作出正弦型函数)sin(xAy的图象.
2
例2.在同一坐标系中作函数xysin2及xysin21的简图.
结论：
例3.在同一坐标系中作函数)3sin(xy及)3sin(xy的简图
结论：
例4．在同一坐标系中作函数xy2sin及xy21sin的简图
结论：
例5. 作函数)32sin(3xy的简图，说明它是由sinyx的图象如何变换得到的？
★变式 如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数
kxAy)sin(
.(1) 求这段时间最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式．
◎学习目标四：会利用正弦函数的性质解决正弦型函数的最值，单调性，及对称轴和对称
中心等性质.
3
例6.求使下列函数取得最值的x，并求出最值：
（1）)32sin(23xy； （2）2)1(sin2xy.
例7．求函数)421sin(3xy的单调区间.
★变式 求函数1)24sin(2xy的单调区间.
例8. 已知函数2sin(2)4yx，试求：
（1）单调区间；（2）值域以及取得最值时x的取值；（3）最小正周期；
（4）对称轴和对称中心；（5）若1,2y求x的取值集合.
★变式 若将例8中的函数变为sin()4yx呢？
4
◆ 课后导学
一、选择题
1．要得到sin(2)3yxp=-的图象，只要将sin2yx=的图象（ ）
A．向左平移3p B．向右平移3p C．向左平移6p D．向右平移6p
2．要得到sinyx=的图象，只要将cos()3yxp=-的图象（ ）
A．向左平移3p B．向右平移3p C．向左平移6p D．向右平移6p
3．把函数sinyx=图象上所有点向左平移3p个单位，再把所得图象上各点横
坐标扩大为原来的2倍，所的函数的解析式为（ ）
A．sin(2)3yxp=- B．sin(2)3yxp=+
C．1sin()23yxp=- D．1sin()23yxp=+
4．5sin(2)2yxp=+的一条对称轴为（ ）
A．4p B．34p C．2p D．54p
5．将函数sin4yx=的图象向左平移12p个单位，得到sin(4)yxj=+的图象，
则j等于（ ）
A．12p- B．12p C．3p- D．3p
6．已知函数()sin()(0)3fxxpww=+>的最小正周期为p，则该函数的图象（ ）
A．关于点(,0)3p对称 B．关于点(,0)4p对称
C．关于直线3xp=对称 D．关于直线4xp=对称
7．若函数()2sin()(0,)2fxxpwjwj=+><的最小正周期是p，且(0)3f=，
则（ ）
A．1,26pwj== B．1,23pwj==
C．2,6pwj== D．2,3pwj==
二、填空题
5
8．3sin()6yaxp=+的最小正周期是p，则a=
9．正弦型函数()yfx=的定义域为R，周期为23p，初相为6p，值域为[1,3]-，则这个
函数的最简形式为
10．函数2sin()3yxp=-的单增区间为
11．设函数()sin()(0,)2fxxpwjwj=+><，给出以下四个结论：
（1）它的周期为p；（2）它的图象关于直线12xp=对称；
（3）它的图象关于点(,0)3p对称 ；（4）在区间(,0)6p-上是增函数.
以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题：
三、解答题
12．已知函数()sin()(0,0,)2fxAxApwjwj=+>><的图象与y轴交于点3(0,)2，
它在y轴右侧的一个最大值点和最小值点分别为0(,3)x、0(2,3)xp+-.
（1） 求函数()yfx=的解析式；
（2） 说明它是由函数sinyx=的图象依次经过哪些变化得到的.