正弦函数的图像和性质
正弦函数的图像与性质
y
1
正弦曲 线
π 2π 3π 4π 5π
-4π
-3π
-2π
-π
o
-1
6π
x
正弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？ 如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？ 正弦函数的图象
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π
五点画图法
最小正周期
正弦函数的奇偶性、 正弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
y=sinx
正弦函数的奇偶性、 正弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
3
解：(1)当cos x =1,即x=6kπ (k∈Z)时，ymzx=1 当 即 π ∈ 时 ∴函数的最大值为1, 函数的最大值为 取最大值时x的集合为 取最大值时 的集合为{x|x=6kπ,k∈Z}． 的集合为 π ∈ ． (2)当sin2x=-1时,即 当 时即
2 x = 2kπ + (k ∈ Z ) 2 π ⇒x=kππ (k∈Z)时,ymax=3 ∈ 时
2 3π π π 3π 减至-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减至 ， 减至 2 π 2 ] π ∈
π− π
正弦函数图象与性质
一.正弦函数的图像与性质1.正弦函数的图象画法：五点法：2.正弦函数的性质：（通过图象观察性质）（1）定义域： （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性： （5）单调性：（6）对称轴：（7）对称中心：3.正弦函数性质的应用（一）、值域和有界性以及最值的应用例1、设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围。
例2、已知b x a y +=sin 的最大值为5，最小值为1，求a ，b 的值。
例3、求下列函数的最大值和最小值以及相应的x 的取值范围 （1）x y 2sin =；（2）2sin +=x y ；（3）2)1(sin 2+-=x y例4、求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值例5、已知｜x ｜≤，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值4π（二）、周期性的应用例1、 求下列函数的周期：(1)y ＝sin2x ，x ∈R ； (2)y ＝2sin(x －)，x ∈R)sin(ϕ+=wx A y 的周期T=练习：求下列函数的周期 （1）x y 3sin =，（2）4sin3x y =，（3）)62sin(2π-=x y （三）、单调性的应用（1）利用单调性比较大小例1、不求三角函数值，指出下列各式大于零还是小于零。
（1）)10sin()18sin(ππ---（2）)417sin()523sin(ππ---(2)求复合函数单调区间 例2、 (1)函数y ＝sin(x ＋)单调增区间? (2)函数y ＝3sin(－2x )单调减区间？ （3）求)214sin(3x y --=π的单调区间。
（四）、对称轴及对称中心的应用 例1、函数y ＝sin （2x ＋）图象的一条对称轴方程是( ) A x ＝－B x ＝－C x ＝D x ＝例2、函数)62sin(4π-=x y 的一个对称中心是（ ）A )0,12(πB )0,3(πC )0,6(π-D )0,6(π(五)．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ．二.正弦型函数+b（一）1.周期： 2.频率： 3. 初相： 4.最值：例1、求函数的振幅、周期、初相和单调区间。
正弦函数图像和性质
正弦函数图像和性质正弦函数是一种常见的函数，在数学研究中，它被广泛用于表达定义在实数集的函数的图像。
正弦函数可以通过其一般形式 y=sin x，其中x表示自变量，y表示函数值，也可以表示为极坐标形式 r=sin，其中θ表示极坐标参数，r表示正弦函数值，它也可以表示为复平面形式 z=sin(x+iy)，其中x表示实部，y表示虚部，z表示正弦函数结果，作为函数，正弦函数可以描述定义在实数集内的曲线。
二、正弦函数图像正弦函数y=sin x的图像如下所示：图1弦函数y=sin x的图像可以看出，正弦函数的图像是一条以原点（0，0）为中心的周期性图像，它以（π，0）和（-π，0）为极点，它形似一个波浪，起伏不定，一个完整的周期长度为2π，其中π约等于3.1415926。
复平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像如下所示：图2平面正弦函数z=sin(x+iy)的图像正弦函数的复平面图像的特点是：它形似旋转的空心圆，有一定的中心对称性，其图像可以看作是一个以原点为中心的旋转空心螺旋。
三、正弦函数的性质1、正弦函数的单调性在正弦函数曲线的一个周期内，函数值先递增，再递减，由此可以认为正弦函数是单调递减函数。
2、正弦函数的对称性正弦函数是对称函数，在一个周期内，函数值和其对称轴处的函数值相等，即sin(x) = sin(- x)，此外，在正弦函数曲线中，（π，0）和（-π，0）是函数的极值点，即sin(π) = sin(-π) = 0，此外，正弦函数也具有垂直对称性，可以表示为y=sin x的对称轴是x 轴，函数值的对称轴是y轴。
3、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，一个完整的周期长度为2π，由此，可以认为，当x在2π的整数倍的范围内，sin x的函数值和x在（0，2π）范围内的函数值是相同的。
4、正弦函数的极限性正弦函数的极限性可以用数学归纳法推导出来，即当x趋于正无穷大或负无穷大时，正弦函数的函数趋于1或-1，具体表示为lim x →∞sin x = 1；lim x→-∞sin x = -1。
正弦函数的图像和性质
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x
2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x
2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
例：求y 3sin ( 2x
3
)的周期，
最大、最小值。 2 2 解： T 2 当2x k 2， 3 2 5 即x k时，最大值为3 12 当2x k 2， 3 2 即x k时，最小值为 3 12
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2sin (5x )
4
)
作业：P40，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
/ 尺子
您助威/"鱼俱罗猛地壹挥战袍,颇有壹番大将之风,随着身后数将齐齐单膝跪地,只壹拱手便转身点兵离去.东舌大军也经过叁日の组装,朝余杭奔赴而来.壹场绝世无双の决战,在此掀开帷幕叁日后,耀日当空.风起咯,风慢慢卷着满地の尘沙起咯,尘沙飘过那壹面面猎猎飞舞の战旗,尽 现王霸之气.壹面面黄金金帛腾飞の"隋"字皇旗,迎风飞舞,傲气如虹.迎面那个方向,十面如火翻腾の旗帜,也在长狂の飞舞卷动.鱼俱罗慢慢提起手中杀气缭绕の战刀,双腿壹夹马镫,上前冷冷喝问道:"尔等何故在此挡路？"东舌手提流光冥火枪,划破空气の阻隔,猛地朝鱼俱罗壹指, 冷笑喝道:"隋鱼肉百姓,已失民心,今日吾等义军再次.为民请命,特来诛杀隋帝汤广/"听得东舌の话,鱼俱罗眼神之中
正弦函数的图像课件
通过掌握正弦函数的性质和图像， 可以解决许多实际问题，提高解决 实际问题的能力和素养。
未来研究方向和挑战
深入研究和探索
随着科学技术的发展，正弦函数的应用领域也在 不断扩大和深化，需要进一步研究和探索其性质 和应用。
数值分析和计算物理
随着计算机技术的发展，如何利用正弦函数进行 数值分析和计算物理的研究也是未来的一个重要 方向。
数学建模和算法设计
如何利用正弦函数建立数学模型和设计算法，是 未来研究的一个重要方向。
跨学科应用
正弦函数作为数学中的基础函数，可以与其他学 科进行交叉融合，例如与物理学、工程学、经济 学等学科的结合，需要进一步探索其跨学科应用 的价值和可能性。
THANKS
感谢观看
图像形状
正弦函数和对数函数的图像形状也不同。正弦函数的图像呈现波形，而对数函数的图像 呈现向上或向下凸出的趋势。
05
总结与展望
正弦函数的重要性和应用价值
数学基础
正弦函数是数学中的基本函数之 一，是学习三角函数、复数、微
积分等数学领域的基础。
应用广泛
正弦函数在物理学、工程学、经济 学等多个领域都有广泛的应用，例 如振动分析、交流电、信号处理等 。
振幅和相位
通过调整正弦函数中的振幅和相位参 数，可以改变图像的高度和位置。了 解这些参数对理解正弦函数图像的影 响非常重要。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
简谐振动
正弦函数描述了许多物理现象， 如简谐振动。在物理中，简谐振 动是一种基本的振动类型，其位 移与时间的关系通常可以用正弦
函数表示。
交流电
操作步骤
在软件中选择相应的函数图像绘制工具，输入正弦函数公式（例如y=sin(x)）， 然后选择x的取值范围（例如-π到π），最后点击“绘制”按钮即可生成正弦函数 的图像。
正弦函数的图像性质
π 2
π
3π 2
2π
x
π x x x 2kπ, k Z 时，y max 2 (sin x) max 2 1 3, 2 π x x x 2kπ, k Z 时，y min 2 (sin x) min 2 1 1. 2
T 2π.
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小： π π 3π ． (1) sin( ) 和sin( )； (2) sin 2 π 和 sin 4 18 3 10
π π π π 解 (1) 因为 ＜ ＜ ＜ ， 2 10 18 2 π π 且 y ＝sin x 在 [ ， ] 上是增函数． 2 2
所以 (2) 因为
π π sin( )＜sin( ) ． 10 18
π 2π 3π ＜ ＜ ＜π ， 2 3 4 π 且 y ＝sin x 在 [ ，π ] 上是减函数， 2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ． 3 4
教材P154，练习 A 组第 3、4、5 题；
练习 B 组．
1
-3
5π 2
-2
3π 2
-
π 2
o
-1
π 2
x
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
正弦函数的图像和性质
三
练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数
角 函 数
y sin x 在 0, 2π 上的图像． y 2 sin x 在 0, 2π 上的图像．
2．利用“五点法”作函数
计算器
动脑思考
探索新知
三
对任意的角 x ，都有 sin x „ 1 成立， 函数的这种性质叫做有界性．
角
－3π － 2π －π
y 1 O -1
y sin x， x R
π
2π
3π
4π
x
函 数
一般地，设函数y=f(x)在区间（a,b)内有定义，如果存在一个正数M，
对任意的x∈(a,b),都有|f(x)|≦M，那么函数y=f(x)叫做区间(a,b)内
的有界函数,如果这样的M不存在，函数y=f(x)叫做区间(a,b)内的无界 函数。
y sin x， x R
函 数
O -1
π
2π
3π
4π
值域:1,1
当x
2
2k (k Z )时,y有最大值 ,y max 1
2k (k Z )时,y有最小值 ,y min 1
当x
2
动脑思考
探索新知 性 质
三
正弦函数 y sin x( x R)
钱塘江大潮奇观
动脑思考
探索新知
三
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T， 当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D， 并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期．
角 函 数
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
正弦函数的图像和性质
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
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y=sin2x
2
X
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
正弦函数y=sinx的性质：
（1）定义域
实数集R
2k , k Z 1 当x=________________ 时， ymax _____ 2
（2）值域
2k , k Z 2 当x=________________ 时，
3 2
2
(0,0) ( ,0) (2 ,0) x 图象的最低点 3
-
( 2 ,1)
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
例1.分别作出下列函数简图（五点法作图）
（1）y=2sinx , x∈[0,2π] 解: （1）列表 (2)描点作图 Y 2 1 0
解：
ymax 5 1 6
ymin 5 1 4
T 2
2k , k Z 使y= 5+sinx取得最大值的x的集合是: x x 2 x x 2k , k Z 使y= 5+sinx取得最小值的x的集合是:
1 值域是： 1， ymin _____ 1
（3）周期性
T 2
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
正弦函数y=sinx的性质： (4)最大值与最小值
ymax _____ ymin _____ 1 1
(5)单调性
2 k , 2 k , k Z 2 2 在x R内，x __________ __________ _ 为增函数，
11 6
2
y=sinx, x [ 0, 2 ]
作正弦函数的图象
y
1
x o1
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
Hale Waihona Puke 5 311 62
y=sinx, x [ 0, 2 ]
终边相同角的三角函数值相等
y=sinx x[0,2]
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
1.用描点法作出函数图象的主要步骤是什么？
(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
2、思考(1)：
π π 如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C( ,sin ) ? 3 3
P
π 3
Y
.
π 3
π π C( ,sin ) 3 3
2π 3
O1
M
O
π
X
思考(2): 能否借助上面作点C的方法， 在直角坐标系中作出正弦函数
3 2 k , 2 k ,k Z 2 2 x __________ __________ __为减函数
(6)奇偶性
奇 函数，图象关于_______ 原点 对称 是______
例2 求y= 5+sinx这个函数的最大值、最小值
和 周期，并求这个函数分别取得最大值及最 小值的x的集合。
y sinx, x R 的图象呢？
作正弦函数的图象
y
1
x o1
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y=sinx, x [ 0, 2 ]
作正弦函数的图象
y
1
x o1
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
2
小结： 1、用单位圆中的正弦线画出正 弦函数的图象。 2、利用五点法作正弦函数的简 图。
3 、观察图象得出正弦函数的性 质
作业： 成才之路
f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
y=sinx xR
y
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
2 3 4
o
-1
5
6
x
y
1-
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5 3 11 6
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
x y=2sinx
0
0
2 2 0
3 2
2
-2
0
y=2sinx y=sinx
2
X
2、五点作图法
（2）y=sin2x , x∈[0,π] 解: （1）列表 (2)描点作图 Y 1 0
2x x
0 0
3 2 4 4 2 2 2 1 0 -1 0
yy =sin2 x =sinx