《3.7 点到平面的距离》同步练习

《3.7 点到平面的距离》同步练习
基础达标 （限时20分钟）
1．若O为坐标原点，OA＝(1，1，－2)，OB＝(3，2，8)，OC＝(0，1，0)，则线段AB
的中点P到点C的距离为 ( )．

A.1652 B．214
C.53 D.532
解析 由题意OP＝12(OA→＋OB→)＝2，32，3，PC＝OC－OP＝(－2，－12，－3)，PC＝|PC|
＝ 4＋14＋9＝532.
答案 D

2．如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到
平面ABC1D1的距离是 ( )．

A.12 B.24
C.22 D.32
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，

1). 因O为A1C1的中点，所以O12，12，1，C1O→＝12，－12，0，设平面ABC1D1的法向量

为n＝(x，y，z)，则有n·AD1→＝0，n·AB→＝0，即－x＋z＝0，y＝0，取n＝(1，0，1)，

∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝|C1O→·n||n|＝122＝24.
答案 B
3．在直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二
面角后，则A、B两点间的距离为 ( )．
A．211 B.11
C.22 D．311

解析 如图，AB＝AE＋EF＋FB，
AB→Ｋ2＝AE→Ｋ2＋EF→Ｋ2＋FB→Ｋ2＋2AE→·EF＋2AE→·FB＋2EF→·FB→
＝AE→Ｋ2＋EF→Ｋ2＋FB→Ｋ2＋2AE→·FB
＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.
∴|AB|＝211.
答案 A
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为________．

答案 33
5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，
z)，且α∥β，则y＋z＝________．
解析 ∵α∥β，∴u1∥u2.

∴－36＝y－2＝2z.
∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.
答案 －3

6．如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q
分别是ED和AC的中点，求：

(1)PM→与FQ→所成的角；
(2)P点到平面EFB的距离．
解 建立空间直角坐标系，使得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得Pa2，0，a2，Qa2，a2，0，
(1)所以PM→＝－a2，0，a2，FQ→＝a2，－a2，－a，
PM→·FQ→＝－a2×a2＋0＋a2×(－a)＝－34a2，
且|PM|＝22a，|FQ|＝62a，

所以cosPM，FQ＝PM·FQ|PM||FQ|＝－34a222a×62a＝－32，
故得两向量所成的角为150°.
(2)设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|＝1，n⊥平面EFB，所以n⊥EF→，
且n⊥BE→，又EF→＝(－a，a，0)，

BE→＝(0，－a，a)，即由x2＋y2＋z2＝1，－ax＋ay＝0，ay－az＝0得其中的一组解是x＝33，y＝33，z＝33，∴n＝


33，33，3
3
，PE＝a2，0，a2，

设所求距离为d，则d＝|PE·n|＝33a.
综合提高 （限时25分钟）

7．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB
是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为
( )．

A.33 B.233
C.3 D．23
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，
C(0，1，2).
AD＝(0，0，2)，AE＝(1，1，0)，
AC＝(0，2，2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，

则n·AE＝0，n·AC＝0.

即x＋y＝0，2y＋2z＝0.
令y＝1，∴n＝(－1，1，－1)．
故点D到平面ACE的距离

d＝|AD·n|n||＝|－23|＝233.
答案 B
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE
的距离是 ( )．

A.655 B.455
C.255 D.55
解析 如图所示，BA＝(2，0，0)，

BE＝(1，0，2)，
∴cos θ＝|BA·BE||BA||BEＫ|＝225＝55，
∴sin θ＝1－cos2θ＝255，
A到直线BE的距离d＝|AB|sin θ＝2×255＝455.
答案 B
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________．
解析 以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量，

则有n·DA1→＝0，n·DB＝0，即（x，y，z）·（a，0，a）＝0，（x，y，z）·（a，a，0）＝0.

∴x＋z＝0，x＋y＝0，令x＝1，∴n＝(1，－1，－1)．
∴点A到平面A1BD的距离
d＝|DA·n||n|＝a3＝33a.

答案 33a
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和
BC1间的距离是________．

解析 如图所示建立空间直角坐标系，设n为异面直线D1E与BC1公垂线的方向向量，
并设n＝(x，y，z)，

则有n·BC1→＝0，n·D1E→＝0，
易求得n＝(1，－2，1)，
∴d＝|D1C1→·n||n|＝|（0，2，0）·（1，－2，1）|1＋4＋1＝46＝263.
答案 263
11．边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，DG＝13DD1，
过E、F、G的平面交AA1于点H，求A1D1到面EFGH的距离．
解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系，

则E1，1，12，F0，1，12，
G0，0，13，D1(0，0，1)．
EF→＝(－1，0，0)，FG→＝0，－1，－16，
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，

则n·EF→＝0且n·FG→＝0，
即－x＝0，y＋16z＝0.
令z＝6，可得n＝(0，－1，6)．
又D1F→＝(0，1，－12)，∴d＝|D1F→·n||n|＝43737.
又∵A1D1∥平面EFGH
∴A1D1到平面EFGH的距离为43737.
12．(创新拓展)已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1与B1D
1

的交点．

若点C到平面AB1D1的距离为43，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高h.

解 建立如图所示的坐标系，则A(0，0，h)，B1(1，0，0)，C(1，1，h)，D1(0，1，0)．
AB1→＝(1，0，－h)，AD1→＝(0，1，－h)，AC→＝(1，1，0)
设平面AB1D1的一个法向量为n＝
(x，y，z)．

由n·AB1→＝0，n·AD1→＝0得x－hz＝0，y－hz＝0，取z＝1得n＝(h，h，1)．
∴C到平面AB1D1的距离d＝|n·AC||n|
＝h＋h＋0h2＋h2＋1＝43，∴h＝2.