圆周运动的临界问题
第五讲：圆周运动临界问题
第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。
圆周运动——临界问题
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
圆周运动中的临界问题
向心力最小时,角速度最小
向心力最大时,角速度最大
m
四、实例分析
例4：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花 板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光
三、解决圆周运动中临界问题的一般方法
1、对物体进行受力分析 2、找到其中可以变化的力以及它的临界值 3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值
4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、 半径等）的临界值
四、实例分析
例1：如图，在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个 质量为m的重物（m的体积和大小可忽略），重物m到飞 轮中心距离为R，飞轮匀速转动时，为了使电动机的底 座不离开地面，转动的角速度ω最大为多少？
B A
O’
四、实例分析
例3：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一 条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。 设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能 相对转台静止。求：
（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动
A A
30°
30°
B
45°Biblioteka B 45°CCO
A
O’
水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转 轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物 块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求 转盘转动的最大角速度是多大？
物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半 径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少 为多少？
圆周运动中的临界问题专题(最新整理)
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过Rg 或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg ②能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．Rg Rg ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高gR 310度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A 、一定可以表示为B 、可能为 g v 2203R C 、可能为R D 、可能为R 35【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥gr v 面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，Rg F N 为支持力．③当v =时，F N ＝0Rg ④当v ＞时，F N 为拉力，F N随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）Rg典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
2.2.2圆周运动的临界问题
v2 mg± FN＝m R v＝ 0 即 F 向＝0 FN＝mg v≥ 0
过最高点 的条件
在最高点的速度 v≥ gR
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高 点的临界条件不同。 (2)确定临界点： 抓住绳模型中最高点 v≥ gR及杆模型中 v≥0 这 两个临界条件。 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和 最低点的运动情况。 (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛 顿第二定律列出方程，F 合＝F 向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态 联系起来列方程。
物理情景 实例
最高点无支撑 球与绳连接、水流星
管道中运动等
图示
受力
异 同 点 受力 示意图 特征
除重力外，物体受到 除重力外，物体受到的弹 的弹力方向：向下或 力方向：向下、等于零或 等于零 向上
力学 方程 异同点 临界 特征
v2 mg＋FN＝m R F N＝ 0 v2 min mg＝m R 即 vmin＝ gR
圆周运动的临界问题
• 突破一 •
水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类
是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问
题。
1．与摩擦力有关的临界极值问题 练习册P3212题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到 mv 2 最大静摩擦力， 如果只是摩擦力提供向心力， 则有 Fm＝ r ， 静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其 他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动 时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑 动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方 向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
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研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
高中物理必修二--5.15圆周运动中的临界问题
；3
2g r
(1)FA
10 7
mg；FB
0
(2)FA
FB
5 7
mg
(3)FA
0；FB
5 2
mg
例题5 ：如图所示，V形细杆A0B能绕其竖直的对 称轴00’转动，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为 α=450．质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形 杆的两臂上，并用长为Ｌ=1.2m、能承受最大拉 力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静 摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω 转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2． ⑴求杆转动角速度ω0的最小值； ⑵将杆的角速度从ω0最小值开始 缓慢增大，直到细线断裂，写出
fmax沿杆向下时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
∴ω2=5rad/s
FN cos 45 fmax sin 45 m22r
当细线拉力达到最大时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
FN cos 45 fmax sin 45 Fmax m32r
5.14 圆周运动的临界问题
1、临界问题：
物体做圆周运动时，物体的受力、半径等因素 发生突变时的状态叫临界状态。
2、解决临界问题基本方法
⑴明确题意，抓住题目的关键词语，确定临界 状态。
⑵对圆周运动的过程进行动态分析(如角速度的 变化、半径的变化引起的系列变化）判断会发 生突变的物理量和这些物理量如何变化，并确 定临界条件。
只有B物体作匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大
值时的角速度为ω3，则，
3
Tmax 1mg
mr
物理-2.3.3 圆周运动中的临界问题
例2.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大
静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分 别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角α＝60°，则小球的角速度ω′为多 大？
【练习】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对 称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离r＝0.1 m处有一质 量为0.1 kg的小物体恰好能与圆盘始终保持相对静止．物体与盘 面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面 与水平面的夹角为37°(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)，求：
B．只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
C．两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心
D．两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心
分析过程
【练习】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A 放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量 也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内， 才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加 速度为g)
(1)圆盘转动的角速度ω的大小； (2)小物体运动到最高点时受到的摩擦力．
所需向心力恰好只由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解得：ω1＝
μg r
(2)如图乙所示，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题1.如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m的粗糙半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量为m=1kg的小物块在水平恒力F=15N的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D点，已知A、B间的距离为3m，小物块与地面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10m/s2.求：(1)小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小．(2)小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离．2.如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端各系质量M=0.6kg的物体A和m=0.3kg的物体B，A的中心与圆孔的距离为0.2m．(1)如果水平桌面光滑且固定，求A物体做匀速圆周运动的角速度ω应是多大？(2)如果水平桌面粗糙，且与A之间的最大摩擦力为1N，现使此平面绕中心轴线水平转动，角速度ω在什么范围内，A可与平面处于相对静止状态？(g=10m/s2)3.如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2θ=74°.求：(1)当小球ω=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。
(2)当小球以ω=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。
4.如图所示，质量M=2kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，m用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=1.6kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态，假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.6倍，试问：(1)M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0为多大？(2)要保持M与平台相对静止，M的线速度的范围？5.如图所示，圆盘可绕过圆心O的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，物体P放在圆盘上，一轻质弹簧一端连接物体P，另一端固定在竖直轴上。
已知物体的质量m=0.5kg，弹簧的自然长度l=10cm，劲度系数k=75N/m，物体与圆盘表面的动摩擦因数μ=0.8，P可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。
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平面内 做圆周运动通过最高点的情况
（ 图 １ ． 类 问 题 常 常 是 由绳 子 拉 如 ）此
， ， ， 、 Ｔ 、 、
、 、 、 ／
着小 球或 小球 沿竖直 平面 内 的光 滑轨
道（ 内轨 道） 动 的情 况・ 运
小 球在 最高 点 ｂ处 时 ， 对小 球 的作 用 力 有 杆 ３种情 况 ：（ ）杆 对小球 恰 好没有 作用 力 ， １ 这
２
ｍｇ － 得 。 虿．（）当小球在 ｂ ， ｉ －ｍ 一 ２ 点 速度 ＞
临
时 ， 对小 球 有 向下 的拉 力 ．（ ）当小 球 在 点 ， 杆 ３
速 度 Ｏ ＜ ＜ 临时 ， 对 小 球 有 向上 的拉 力．故 正 确 杆 答 案 为 ： Ｂ Ａ、 ． ２ 水 平面 内 圆周 运 动的 临界 问题 关 于水 平 面 内匀 速 圆周运 动 的 临界 问题 ， 非是 无
ｍ ｇ＞ ＦＮ ０ ＞ ．
③ 当口 ＞ 虿时， 或轨道） 棒（ 对小球施加 的是拉
◇ 山东 韩 翠 霞
力， 且拉 力 Ｆ—ｍｕ／ —ｍｇ， 时 力 Ｆ 的方 向 与 图 ３ 。ｒ 此
中的 Ｆ 反 向 ， 竖 直 向 下 ． 即
■ｒ —
圆周 运动 是一种 典型 的曲线 运 动 ， 无论 是 在 竖 直 平 面 内的圆周 运动 还是在 水 平 面 内 的圆周 运 动 ， 常 都 出现临界 问题 ． 现就 竖直 平 面 内和水 平 面 内的 圆周 运
持 力为 Ｆ ， 有 ： —ｍｇ 且 ＦＮ ．
② 当 ｏ ＜ ｉ时， 或轨道 ） ＜ 棒（ 对小球 的支持
力 满 足 ： ｇ Ｆ — ｍ７／ ， 得 ： — ｍｇ— ｍ＇ ／ ． ｍ — Ｎ ３ｒ即 ＦＮ ｕ ｒ
显 然支 持力 ＦＮ随着 的增大 而减 小 ， 取值 范 围为 ： 其
关联 ． 例 ２ 如 图 ５ 一 质 量 为 ，
∞
③ 小 球 不能过 最 高点 的条 件 ： ＜ （ 际 上 小球 没 有 到 达 最 高 点 实 就脱 离 了轨 道 ） ． ２ ）有 物 体 支 撑 的 小 球 在 竖 直 平 面 内做 圆 周 运 动 通 过 最 高 点 的情 况 （ 图 ３ ． 类 问题 常常是 由硬棒 、 如 ）此 弹 簧或 竖 直 平 面 内 的 光 滑 轨 道 （ 轨 外 道） 撑时 ， 球 的 圆周 运 动 情 况 （ 支 小 如
图１
时小 球重 力 提 供 向 心 力 ， 此 时 小 球 速 度 为 ｌ 由 设 晦，
＿ ．
① Ｉ 条 件 ： 球 到 达 最 高 点 临界 小 时， 绳子 的拉 力 或 轨 道 的 弹力 刚好 等 于 零 ， 小球 的 重
力 充 当小 球做 圆周 运 动 的 向心 力 ， 设 ． 是 小 球 能 通 过 最 高点 的最 小 速 度 ， ｍｇ一 优 则 ｒ 即得 临 界 速 ，
Ｉ 、＿ 、Ｉ ／
图４
竖 直平 面 内的 圆周 运 动是 典 型 的变 速 圆周 运 动 ， 对 于 物体在 竖直平 面 内做 变速 圆周运 动 的问题 ， 中学
物理 中 只研 究 物体通 过最 高点 和最低 点 时 的情 况 ， 并
且常 出现 临界状 态． １ ）没有 物体 支撑 的小 球 ， 竖直 在
１ ）伏 安 法 测 量 电 阻及 方 法 延 伸 汇 总
利 用 欧 姆 定 律 测 电 阻， 关键 是 要 测 得 电 压 和
例 １ 如 图 ４所 示 ， 细杆 的 一 端
． ，
与 一小球 相 连 ， 绕 过 ０ 点 的 水 平 轴 可
／
动 中出现 的一些典 型 的临界 问题论 述 于此．
１ 竖 直 平 面 内 圆 周 运 动 的 临 界 问 题
自由转动． 现给小球一初速度 ， 使它做 圆周运动． 圆中 ｎｂ分别表示小球轨 、
图 ３所 示 ） ．
ｍ。 的木 块 放 在 以角 速 度 ∞转 动 的平 台 上 ， 着 。的 轻 绳 系 另一 端 拴 着 一 个 质 量 为 ｍ 的 木块 ， 块 ｍ。与 平 台 间 最 大 木 静摩 擦 力 为 Ｆ， ， 木 块 ｍ。 使
、 Ｌ 竺ｌ Ｉ ＝
厂 ］
图５
在平 台上 以 的 角 速 度 转 动 时 ， 与平 台 保 持 相 对 静 止 ， 半 径 Ｒ 的范 围． 求 析
图３
① 临界 条 件 ： 由于 硬 棒 、 簧 或 弹 轨道 的支 撑作 用 ， 球恰 能 到 达最 高 小 点 的速度 ， 即临 界 速度 为零 ， ７ 即 ３ 临一
道 的最 低 点 和 最 高 点 ， 杆 对 小 球 的 则
作 用力 可 能是 （ ） ． Ａ 口处 为拉 力 ， 处 为拉 力 ； ｂ Ｂ ｎ处为 拉力 ， 为推力 ； ｂ处 ， 、 Ｃ 口处 为推力 ， 处 为拉 力 ； ｂ Ｄ ａ处 为 推力 ， 为推力 ｂ处 析
度 ： 一 ｉ．
② 小 球 能 过 最 高 点 的 条 件 ：此 时绳 子和轨 道分别 对小 球产 生拉 力 Ｆ 和压 力 Ｆ 如 图 ２ ， 时 有 ： （ ）此 ｍｇ＋
Ｆ—ｍｙ ／ 或 ｍｇ Ｆ — ｒ ＋ Ｎ ／． ｒ
圈 ２
临界 速度 与 临界 力 的 问题 ， 体 来 说 ， 具 主要 是 与绳 子 的拉 力 、 簧 的拉 力 、 触 面 的 弹 力 和 摩 擦 力 等 相 弹 接
由于 ｍ。 与平 台相 对静 止 ， 以 ｍ保 持静 止 ， 所 绳 对 ｍｏ的拉 力 设 为 Ｆ， Ｆ— ｍｇ 当 Ｆ 则 ，
．
…
的方 向指 向圆心 时 ， Ｆ＋Ｆ， 一ｍ。 有 ∞ Ｒ． （ 下轨 道对 小 球 的支 ， 弹
４ 那 么 测 量 电 阻 的 方 法 有 哪 些 呢 ？ 伏 安 法 测 电 阻 有 什 么规 律呢 ？