扭转与弯曲计算
材料力学第八章组合变形
A截面
C3
C1
C4
C3
C1
C2
C4
T
C1
C2
三、强度分析
1.主应力计算
1 2 2 1 2 ( ) 4 2 3 2 2 2 2
C1
2 0
2.相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
r 3 1 3 4
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150
50
50 150
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
tmax
max c
M y z0 425 7.5F MPa ( ) Iy 5310 M y z1 425 12.5 F MPa ( ) Iy 5310
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 F2 F1 F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 FS Mz
O
z x
FN
1.拉(压) :轴力 FN
2.弯曲
剪力F
弯矩 Mz
s
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
2 z 2 y
My Qy T
Mz Qz
T H1 r 510 Nm
l
强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
M 0.75T 111 MPa [ ]
2 2
变形与应变计算公式
变形与应变计算公式变形与应变是材料力学中非常重要的概念，它们描述了材料在受力作用下发生的形变和应力的关系。
在工程实践中，对材料的变形和应变进行准确的计算是非常重要的，可以帮助工程师设计出更加安全可靠的结构。
本文将介绍变形与应变的基本概念，并给出相应的计算公式。
一、变形与应变的概念。
变形是指材料在受力作用下发生的形状、尺寸或体积的改变。
在受力作用下，材料会产生应力，从而引起变形。
应变是描述材料在受力作用下产生的变形程度的物理量，通常用ε表示。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指材料在受拉伸或压缩作用下产生的长度变化，通常用ε表示。
其计算公式为：ε = ΔL / L。
其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
剪切应变是指材料在受剪切作用下产生的形变，通常用γ表示。
其计算公式为：γ = Δθ。
其中，Δθ为变形角度。
二、应变与应力的关系。
应变与应力是材料力学中的两个重要概念，它们描述了材料在受力作用下的变形和应力状态。
应变和应力之间存在着一定的关系，通常用本构关系来描述。
在弹性材料中，应变与应力之间的关系可以用胡克定律来描述，其表达式为：σ = Eε。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
在材料的非线性变形阶段，应变与应力之间的关系可以用应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线可以通过实验测得，从而得到材料的应变硬化指数和屈服强度等重要参数。
三、变形与应变的计算公式。
在工程实践中，对材料的变形和应变进行准确的计算是非常重要的。
下面将介绍一些常用的变形与应变的计算公式。
1. 拉伸变形计算公式。
在拉伸过程中，材料会产生线性应变，其计算公式为：ε = ΔL / L。
其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2. 压缩变形计算公式。
在压缩过程中，材料也会产生线性应变，其计算公式与拉伸相同。
3. 剪切变形计算公式。
在剪切过程中，材料会产生剪切应变，其计算公式为：γ = Δθ。
其中，Δθ为变形角度。
4. 弯曲变形计算公式。
轴弯矩扭矩强度计算方法
危险截面？
直径小当量弯矩大的截面
例题： 1 .作计算简图，求轮齿上的作用力 Ft=2T/d=2×1.83×106/348=10500N Fr Ft tg n / cos
10500 tg20o / cos12o15 3900N Fa Ft tg 10500 tg12o15 2280N
⑵ 按疲劳强度条件精确校核计算
Ⅰ计算危险截面弯曲、扭转应力 危险截面：
M W T WT
载荷大直径小 有应力集中处
Ⅱ 计算弯曲、扭转疲劳的安全系数 1 1 S S K a m K a m
Ⅲ 计算危险截面疲劳强度的安全系数
拉
按弯曲强度计算→正确选择［ b ］→表(15-1)
二.传动轴－只受转矩→按扭转强度计算
1.受力分析： 由Ｔ→τＴ ①轴单向传动： Ｔ→τＴ→ｒ＝０（开停） ②轴双向传动： Ｔ→τＴ→ｒ＝－１
2.强度计算 →按扭转强度计算(估算轴的最小直径) T T T T Mpa 3 WT 0 .2 d
S ca
S S S S
2 2
S
S－许用安全系数 其值见P366
四 轴的强度计算步骤
1. 作轴的受力计算简图，求支反力 2. 求作支反力及弯矩图（MH、MV图）
3. 求作合成弯矩图（M图）
4. 求作扭矩及扭矩图（αT图）
5. 求作当量弯矩及当量弯矩图（Me图）
6. 强度计算(转轴) ┌弯扭合成强度校核(一般轴) └疲劳强度(安全系数)校核(重要轴)
危险截面计算应力：
ca
M ca W
M (T )
2
2
0.1d 3
1
Mpa
扭转强度计算
思考及练习
思考： 实心圆轴纯扭转时，如何破坏？ 从外向内，逐层破坏
练习： 例题6-2
建立强度条件
横截面最大切应力不超过材料的许用切应力
τmax τ
τ max Tmax Wp
塑性材料： 0.5 0.6 脆性材料： 0.8 1.0
解：用截面法求得BA、AC、CD段的扭矩，并 绘出扭矩图如图所示。
因为传动轴为等截面，所以最大切应力发生在 AC段内各截面周边上各点。
max
Tmax 1.76 103 N m 71.7 106 Pa 71.7MPa Wp (0.05m)3 16
因此，该轴满足强度条件。
6.3 扭转强度计算 ——内容
建立圆轴扭转时横截面上的应力公式 理解公式，分析应力分布规律 建立强度条件（类比轴向拉压变形） 应用解决强度计算问题
建立圆轴扭转时 横截面上的应力公式
两个假设 平面假设 横截面间距不变假设 三种关系 变形几何关系 物理关系 静力学关系
2/6/2018
拓展条件 总结步骤 解决例题6-3
作业布置
习题5-16
思考空心轴和实心轴的应用价值
预习下节内容——扭转变形及刚度计算
小结
扭转应力公式
扭转强度计算
再
见！
强度计算理论
强度校核 截面设计 许用荷载计算
max
Tmax Wp
强度计算应用
补充例题：图示一直径为 d 50mm 的传动轴，外 力偶矩 M A 3.19kN m M B 1.43kN m M C 0.8kN m M D 0.96kN m ，已知材料的许用切应力 80MPa 试校核该轴的强度。
旋转杆的扭矩计算公式
旋转杆的扭矩计算公式在机械工程中，旋转杆是一种常见的机械零件，它常常用于传递力和扭矩。
在设计和工程实践中，我们经常需要计算旋转杆的扭矩，以确保其能够承受所需的载荷和工作条件。
在本文中，我们将讨论旋转杆的扭矩计算公式，以帮助工程师和设计师更好地理解和应用这一重要概念。
首先，让我们来看一下旋转杆的基本结构和工作原理。
旋转杆通常由一个圆柱形的杆体和两端的连接部分组成。
当旋转杆受到外部力或扭矩作用时，它会发生弯曲和扭转，这就产生了内部的应力和变形。
为了确保旋转杆在工作时不会发生破坏和变形，我们需要对其承受的扭矩进行准确的计算和分析。
旋转杆的扭矩计算公式可以通过简单的力学原理和材料力学知识来推导。
首先，我们需要知道旋转杆的几何形状和材料属性，这包括其长度、直径和材料的弹性模量。
然后，我们可以利用梁的弯曲理论和材料的线弹性性质来推导出旋转杆的扭矩计算公式。
旋转杆的扭矩计算公式可以表示为：T = (π/16) G d^4 θ / L。
其中，T表示扭矩，G表示材料的剪切模量，d表示旋转杆的直径，θ表示旋转角度，L表示旋转杆的长度。
这个公式基于梁的弯曲理论和材料的线弹性性质，可以用来计算旋转杆在扭转时所受的扭矩。
在实际工程中，我们可以根据旋转杆的具体形状和材料属性来使用这个公式进行扭矩的计算。
首先，我们需要测量旋转杆的几何参数，包括其直径和长度。
然后，我们需要确定旋转杆所使用的材料的剪切模量。
最后，我们可以将这些参数代入上述的公式中，就可以得到旋转杆在扭转时所受的扭矩。
除了上述的简单情况，有时候旋转杆可能会受到复杂的载荷和工况，这就需要我们对扭矩计算公式进行修正和补充。
在这种情况下，我们可能需要考虑旋转杆的非均匀截面、端部固定和载荷分布等因素。
这就需要我们使用更加复杂的数学模型和有限元分析方法来计算旋转杆的扭矩。
总之，旋转杆的扭矩计算公式是一个非常重要的工程问题，它涉及到机械设计和材料力学等多个领域的知识。
通过对旋转杆的扭矩进行准确的计算和分析，我们可以确保旋转杆在工作时不会发生破坏和变形，从而保证机械系统的安全和可靠运行。
轴扭转计算
轴扭转计算第5章扭转5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算5.1.1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。
例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4 图 5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n Nm 9550=（5.1）式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。
图5.75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为eM ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。
假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。
圆柱扭转角计算公式
圆柱扭转角计算公式 圆柱扭转角是描述圆柱体在受到扭转力作用时发生的变形程度的物理量。在工程学和物理学中，圆柱扭转角的计算是非常重要的，它可以用来分析和设计各种机械结构和设备。本文将介绍圆柱扭转角的计算公式及其应用。
圆柱扭转角的计算公式可以通过弹性力学理论推导得出。在弹性力学中，圆柱扭转角可以表示为以下公式：
\[ \phi = \frac{T \cdot L}{G \cdot J} \] 其中，\( \phi \) 表示圆柱扭转角，单位为弧度；\( T \) 表示施加在圆柱体两端的扭转力，单位为牛顿（N）；\( L \) 表示圆柱体的长度，单位为米（m）；\( G \) 表示圆柱体的剪切模量，单位为帕斯卡（Pa）；\( J \) 表示圆柱体的极惯性矩，单位为米的四次方（m^4）。
根据上述公式，我们可以看到圆柱扭转角与施加在圆柱体两端的扭转力成正比，与圆柱体的长度成正比，与剪切模量成反比，与极惯性矩成反比。这些因素都会影响圆柱体的扭转变形程度。
在工程实践中，圆柱扭转角的计算公式可以应用于各种机械结构和设备的设计和分析中。例如，在汽车发动机的设计中，需要考虑发动机曲轴的扭转变形，而圆柱扭转角的计算公式可以帮助工程师确定曲轴的尺寸和材料，以满足发动机的性能要求。另外，在建筑结构的设计中，也需要考虑柱子和梁的扭转变形，圆柱扭转角的计算公式可以帮助工程师确定结构的稳定性和安全性。
除了工程实践，圆柱扭转角的计算公式还可以应用于物理实验和科研领域。例如，在材料力学实验中，可以通过测量圆柱体的扭转角来研究材料的力学性质。另外，在地震工程领域，圆柱扭转角的计算公式可以用于分析建筑结构在地震作用下的扭转变形，以评估结构的抗震性能。 总之，圆柱扭转角的计算公式是一个重要的物理量，它在工程学和物理学中有着广泛的应用。通过深入理解圆柱扭转角的计算公式，可以帮助工程师和科研人员更好地分析和设计各种机械结构和设备，从而提高工程和科研的效率和质量。
轴扭转计算
第5章扭转5。
1 扭转的概念及外力偶矩的计算5。
1。
1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件.例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉.图5.1图示5。
2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5。
2图示5。
3,载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成(图5。
5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点,作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示.以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5。
1。
2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：nNm 9550= （5.1） 式中 m--—-作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅; N —---—轴传递的功率,单位为kW ； n ——--——轴的转速，单位为r/min.图5。
75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力.假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象(图5。
8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看,逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5。
8的b 和c,从同一截面截出的扭矩均为正号。
轴的扭转强度计算
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中
13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定 为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的 周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、 弹性环联接、成形联接等。
高强度铸铁和球墨铸铁可用于制造外形复杂的轴，且具有价廉、良好的吸 振性和耐磨性，以及对应力集中的敏感性较低等优点，但是质较脆。
1）画出轴的空间力系图；（分解为水平面分力和垂直面分力） 2）计算水平面和垂直面上的弯矩并作出弯矩图； 3）计算合成弯矩M并作出弯矩图； 4）计算转矩M T并作出转矩图； 5）计算当量弯矩M ，绘出当量弯矩图。 6）根据当量弯矩图找出危险截面，进行轴的强度校核。
13.3 轴的强度计算
13.2 轴的结构设计
四、轴的加工和装配工艺性 1、轴的形状要力求简单，阶梯轴的级数应尽可能少，轴上 各段的键槽、圆角半径、倒角、中心孔等尺寸应尽可能统 一，以利于加工和检验
2、轴上需磨削的轴段应设计出砂轮越程槽，需车制螺纹 的轴段应有退刀槽
3、当轴上有多处键槽时，应使各键槽位于轴的同一母 线上
轴上有键槽时： 放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算
二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常 把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力， 其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
轴扭转计算
第5章扭转5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算5.1.1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。
例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：nN m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅；N-----轴传递的功率，单位为kW ；n------轴的转速，单位为r/min 。
图5.75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。
假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。
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受力分析图为
使用力的平移分析有
则产生的效果为 弯曲+扭转
梁弯曲时同时存在切应力与正应力，称之为弯曲切应力与弯曲正应力。
弯曲、扭转和轴向拉伸是杆件变形的三种基本形式
弯曲:
1) 梁侧表面的横线仍为直线,仍与纵线正交,只是横线间作相对转动
2) 纵线变弧线,并且靠近梁顶面的纵线缩短,靠近梁底面的纵线伸长
3) 在纵线伸长区,梁的宽度减小,而在纵线缩短区,梁的宽度则增加
总之上述形象的用到了拉伸纤维和体积守恒。注意必有一过渡层，即长度不变，称之为
中性层
求惯性矩的平行轴定理，截面对于任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心轴的惯性矩加上截
面面积与两轴间距离平方之乘积。
即 20aZZIA
弯曲，横截面的形心在垂直于粱轴方向的位移成为挠度 近似，一般截面形心的轴向位移
远小于其横向位移，即挠度，故截面形心沿轴向的位移可以忽略
弯曲，任一横截面的转角与等于挠曲轴在该截面处切线与x轴的夹角
实际应用中为了限制纵向弯曲，一般限制弯曲，则图可以简化为如下图，即使用轴承限制弯
曲