1987年全国研究生入学考试
历年考研数学一真题及答案(1987-2013)
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有(A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u ∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)n n n u n∞=-∑ (B)21n n u ∞=∑(C)2121()n n n u u ∞-=-∑(D)11()n n n u u ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示 (C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价 (D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价 (5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y = (D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分) 求142e sin lim().1e xx xx x→∞+++四、(本题满分5分) 设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分) 计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(ydx y x f dy ＝_____________. (4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D) (2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔ (A)2(1cos )limh f h h→-存在 (B)0(1e )limh h f h→-存在 (C)20(sin )lim h f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim 0-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分) 设()f x = 21arctan 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n nn的和.六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3)L I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰,其中L是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-AA A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率.(2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥ 样本均值∑==n i iX n X2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx 2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程42=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒① (D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→nn u n,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x (B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e xt y dt-=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分) 设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,). 记dy xy f y yxdx xy f yy I]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体X 的概率分布为X123P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim=∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim不存在 (D)极限n n n c b ∞→lim 不存在 (3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ- (C)~(,1)Y F n (D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x L L x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰. (2)sin sin 2e e 2.y x L x dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > (9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛 (B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散 (C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim (10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.。
考研真题【1987-2002考研数(三)真题及解析】2002考研数三真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ． 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰．再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102x y x x →→从，从，所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）(5)【答案】1X -．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =，即 111ni i X n θ=+=∑，解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑．二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤．当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故TA A =．设()1TP APB -=，则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-，右乘TP ，得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1T T A P BP -=，所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义，知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α，即应选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ，即()1TP APξλξ-=，其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A)，即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B)，1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立．故应选(B)．(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++，其中i X 要求满足：i X 相互独立，(0,1)iX N ．称2χ为参数为n 的2χ变量．(ii) F 变量的典型模式是：12//X n F Y n =，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()Xn Yn χχ，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布，答案应选(C)．方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2X 与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰．(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=．七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos 323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．当a b ≠时，000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．方法2：方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n ba b b n a n b b ab a n b b ba+-+-+-+-把第，，列加到第列111[(1)]11b bb a bb an b b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b an ba bna b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，a a a a a a a a A a a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n bn n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪-⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ，得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而上式()()22220A Aαλλα+=+=，所以有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0，则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=．(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵．十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是，(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律．对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4；{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有，2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为：1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
历年经济学考研国家线汇总
历年经济学考研国家线汇总
《历年经济学考研国家线汇总》
自1987年开始实施的经济学硕士研究生招生考试，是中国高校进行硕士研究生招生的一项重
要组成部分。
经济学考研的国家线一直是备受考生关注的话题，考生们都希望通过了解国家线
的变化趋势来对自己的考试情况进行判断。
在过去的30多年间，我国的经济学考研国家线一直在不断变化。
如1987年的国家线为350分，1997年为270分，2007年为273分，2017年为292分。
可以看出，近年来国家线呈上升趋势。
经济学考研国家线的变化受到多种因素的影响，包括考生数量、高校招生计划、考试难易程度等。
一般来说，考生数量增多会导致国家线升高，高校招生计划增加也会对国家线产生一定的
影响。
另外，考试难易程度也是国家线变化的重要因素，考试难度随之增加，国家线也会相应
上升。
经济学考研国家线的变化趋势也反映了我国经济学研究生教育的发展情况。
随着我国经济的发
展和高校对经济学人才需求的增加，经济学研究生教育越来越受到重视，这也导致了经济学考
研国家线的持续上升。
了解历年经济学考研国家线的变化趋势，可以为考生们提供一定的参考。
然而，国家线只是一
个参考指标，考生们更应该注重自身的学习和备考，精心准备每一科目，争取取得更好的成绩。
希望每一位考生都能够在考试中取得理想的成绩，实现自己的研究生梦想。
(1987-2016)历年考研数学一真题及答案
ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.（本题满分 10 分）
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
2
设矩阵 A = 2 a 1 , B = 1
2 a ,
−1 1 a
−a − 1 −2
当 a 为何值时, 方程 AX = B 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时, 求此方程.
1 −1 −1 2 2
1 −1 −1 2
2
解 (A | B) = 2 a 1
1
a → 0 a + 2 3 −3 a − 4
(3)
由 (1) 式知, 当 n → ∞ 时, xn+1 − xn → 0, 即 F (xn) → 0. 结合 (2) (3) 式知 xn → ξ. 即 lim xn ∈ (1, 2) ⊂ (0, 2).
n→∞
数学（一） 试题及解答 · 第 4 页（共 7 页）
20.（本题满分 11 分）
1 −1 −1
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
2000-2017年历年考研数学一真题(答案 解析)
历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设21123(x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A）321,,a b c =-==-（B）321,,a b c ===-（C）321,,a b c =-==（D）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()xf x ce =的特解的形式应该为()xQ x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nn n na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=221141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A）,a d ∉Ω∉Ω（B）,a d ∉Ω∈Ω（C）,a d ∈Ω∉Ω（D）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A）2221232y y y -+（B）2221232y y y +-（C）2221232y y y --（D）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T TQ P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010010010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择（A）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P AB P A P B ≤（B）()()()P AB P A P B ≥（C）2()()()P A P B P AB +≤（D）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A）3-（B）3（C）5-（D）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )limx x x→=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭⎰．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定，则01(,)|dz =．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy'''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂''也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydzx y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=-．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<=．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=-17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂．(,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x = ，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-vx u x x uv ∆∆∆)()(++=xu x u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++=由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x = 1121212()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt ππ==20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪=⎪ ⎪+⎝⎭，因为201210224021201kk k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n n n n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).nx x x θ=--..--2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
1980-2010年英语考研真题
2011考研英语使用说明（必读） 12010年全国硕士研究生入学统一考试英语试题 3 Section I Use of English 3Section II R eading Comprehension 4Part A 5Part B 11Part C 13Section ⅢWriting 14Part A 14Part B 142009年全国硕士研究生入学统一考试英语试题15 Section I Use of English 15Section II R eading Comprehension 17Part A 17Part B 23Part C 25Section ⅢWriting 25Part A 25Part B 262009年考研英语真题答案272008年全国硕士研究生入学统一考试英语试题29 Section I Use of English 29Section II R eading Comprehension 31Part A 31Part B 37Part C 39Section III Writing 40Part A 40Part B 402008年考研英语真题答案422007年全国硕士研究生入学统一考试英语试题44 Section I Use of English 44Section II R eading Comprehension 47Part A 47Part B 54Part C 56Section III Writing 57Part A 57Part B 572007年考研英语真题答案582006年全国硕士研究生入学统一考试英语试题60 Section I Use of English 60Section II R eading Comprehension 63Part A 63Part B 70Part C 72Section III Writing 73Part A 73Part B 732006年考研英语真题答案752005年全国硕士研究生入学统一考试英语试题77 Section I Use of English 77Section II R eading Comprehension 80Part A 80Part B 87Part C 89Section III Writing 90Part A 90Part B 902005年考研英语真题答案922004年全国硕士研究生入学统一考试英语试题94 Section I Listening Comprehension 94Part A 94Part B 94Part C 95Section II U se of English 97Section III Reading Comprehension 101Part A 101Part B 107Section IV Writing 1092004年考研英语真题答案1102003年全国硕士研究生入学统一考试英语试题112 Section I Listening Comprehension 112Part A 112Part B 112Part C 113Section II U se of English 115Section III Reading Comprehension 119Part A 119Part B 126Section IV Writing 1262003年考研英语真题答案1282002年全国硕士研究生入学统一考试英语试题130 Section I Listening Comprehension 130Part A 130Part B 131Part C 131Section II U se of English 134Section III Reading Comprehension 138Part A 138Part B 145Section IV Writing 1452002年考研英语真题答案1472001年全国硕士研究生入学统一考试英语试题149 Section I Structure and V ocabulary 149Part A 149Part B 151Section II C loze Test 155Section III Reading Comprehension 159Section IV English-Chinese Translation 166 Section V W riting 1672001年考研英语真题答案1692000年全国硕士研究生入学统一考试英语试题171 Section I Structure and V ocabulary 171Part A 171Part B 173Part C 174Section II C loze Test 179Section III Reading Comprehension 180Section IV English-Chinese Translation 188 Section V W riting 1892000年考研英语真题答案1901999年全国硕士研究生入学统一考试英语试题192 Section I Structure and V ocabulary 192Part A 192Part B 194Part C 195Section II C loze Test 199Section III Reading Comprehension 201Section IV English-Chinese Translation 209 Section V W riting 2091999年考研英语真题答案2111998年全国硕士研究生入学统一考试英语试题213 Section I Structure and V ocabulary 213Part A 213Part B 215Part C 216Section II C loze Test 220Section III Reading Comprehension 222Section IV English-Chinese Translation 230Section V W riting 2311998年考研英语真题答案2331997年全国硕士研究生入学统一考试英语试题235 Section I Structure and V ocabulary 235Part A 235Part B 237Part C 238Section II C loze Test 242Section III Reading Comprehension 244Section IV English-Chinese Translation 251 Section V W riting 2521997年考研英语真题答案2541996年全国硕士研究生入学统一考试英语试题256 Section I Structure and V ocabulary 256Part A 256Part B 258Part C 259Section II C loze Test 263Section III Reading Comprehension 265Section IV English-Chinese Translation 272 Section V W riting 2731996年考研英语真题答案2741995年全国硕士研究生入学统一考试英语试题276 Section I Structure and V ocabulary 276Part A 276Part B 278Part C 279Section II C loze Test 283Section III Reading Comprehension 285Section IV English-Chinese Translation 292 Section V W riting 2931995年考研英语真题答案2941994年全国硕士研究生入学统一考试英语试题296 Section I Structure and V ocabulary 296Part A 296Part B 298Part C 299Section II C loze Test 303Section III Reading Comprehension 305Section IV English-Chinese Translation 311 Section V W riting 3121994年考研英语真题答案3141993年全国硕士研究生入学统一考试英语试题316 Section I Structure and V ocabulary 316Section II R eading Comprehension 321Section III Cloze Test 326Section IV Error-detection and Correction 329 Section V E nglish-Chinese Translation 331Section VI Writing 3311993年考研英语真题答案3331992年全国硕士研究生入学统一考试英语试题335 Section I Structure and V ocabulary 335Section II R eading Comprehension 340Section III Cloze Test 345Section IV Error-detection and Correction 347 Section V E nglish-Chinese Translation 349Section VI Writing 3501992年考研英语真题答案3511991年全国硕士研究生入学统一考试英语试题353 Section I Structure and V ocabulary 353Section II R eading Comprehension 358Section III Cloze Test 363Section IV Error-detection and Correction 366 Section V E nglish-Chinese Translation 367Section VI Writing 3681991年考研英语真题答案3691990年全国硕士研究生入学统一考试英语试题371 Section I Structure and V ocabulary 371Section II R eading Comprehension 373Section III Cloze Test 377Section IV Error-detection and Correction 379 Section V V erb Forms 381Section VI Chinese-English Translation 381 Section VII English-Chinese Translation 3821990年考研英语真题答案3841989年全国硕士研究生入学统一考试英语试题386 Section I Structure and V ocabulary 386Section II R eading Comprehension 388Section III Cloze Test 393Section IV Error-detection and Correction 395 Section V V erb Forms 396Section VI Chinese-English Translation 397 Section VII English-Chinese Translation 3971989年考研英语真题答案3991988年全国硕士研究生入学统一考试英语试题401 Section I Structure and V ocabulary 401Section II R eading Comprehension 403Section III Cloze Test 408Section IV Error-detection and Correction 410 Section V V erb Forms 411Section VI Chinese-English Translation 412 Section VII English-Chinese Translation 4121988年考研英语真题答案4141987年全国硕士研究生入学统一考试英语试题416 Section I Structure and V ocabulary 416Section II R eading Comprehension 418Section III Structure and V ocabulary 422 Section IV Cloze Test 424Section V V erb Forms 426Section VI Error-detection and Correction 427 Section VII Chinese-English Translation 429 Section VIII English-Chinese Translation 4291987年考研英语真题答案4311986年全国硕士研究生入学统一考试英语试题433 Section I Structure and V ocabulary 433Section II C loze Test 435Section III Reading Comprehension 437Section IV Structure and V ocabulary 440 Section V E rror-detection and Correction 442 Section VI Verb Forms 444Section VII Chinese-English Translation 444 Section VIII English-Chinese Translation 4451986年考研英语真题答案4461985年全国硕士研究生入学统一考试英语试题448 Section I Structure and V ocabulary 448Section II C loze Test 450Section III Reading Comprehension 453Section IV Structure and V ocabulary 454 Section V E rror-detection and Correction 456 Section VI Verb Forms 457Section VII Chinese-English Translation 458 Section VIII English-Chinese Translation 4591985年考研英语真题答案4611984年全国硕士研究生入学统一考试英语试题464 Section I Structure and V ocabulary 464Section II C loze Test 469Section III Reading Comprehension 471Section IV Structure and V ocabulary 472 Section V E rror-detection and Correction 474 Section VI Verb Forms 476Section VII Chinese-English Translation 477 Section VIII English-Chinese Translation 4771984年考研英语真题答案4791983年全国硕士研究生入学统一考试英语试题482Section I Structure and V ocabulary 482Section II V erb Forms 484Section III Error-detection 484Section IV Cloze Test 485Section V R eading Comprehension 488Section VI Structure and V ocabulary 489Section VII Chinese-English Translation 491Section VIII English-Chinese Translation 4911983年考研英语真题答案4931982年全国硕士研究生入学统一考试英语试题495Section I Structure and V ocabulary 495Section II V erb Forms 497Section III Error-detection 498Section IV Cloze Test 499Section V R eading Comprehension 501Section VI Chinese-English Translation 503Section VII English-Chinese Translation 5031982年考研英语真题答案5051981年全国硕士研究生入学统一考试英语试题507Section I Structure and V ocabulary 507Section II E rror-detection 510Section III Sentence Making 511Section IV Verb Forms 511Section V C loze Test 512Section VI Chinese-English Translation 513Section VII English-Chinese Translation 5131981年考研英语真题答案5161980年全国硕士研究生入学统一考试英语试题519Section I Use of Prepositions 519Section II V erb Tenses 519Section III Verb Forms 520Section IV Structure and V ocabulary 521Section V E rror-detection 523Section VI Chinese-English Translation 524Section VII English-Chinese Translation 5241980年考研英语真题答案527使用说明（必读）—爱你需要理由么？1. 本文件包括自我国研究生入学实行统考以来（1980—2010年）所有31套全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案。
数学一历年真题(1987-2017)年(直接打印版)
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________ .2z t =+(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰=_____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s(D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k nn∞=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a-(D)na六、（本题满分10分） 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x -+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤,求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域. (3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是 (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则:(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg y x =+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u ux y x x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似.(1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P 九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +⎰=_____________.(4)向量场div u 在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x >时,曲线1siny x x= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2)(D)(1,1,2)--(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++(B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +---(D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于(A)12- (B)14- (C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.z x y ∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数. 五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln e x x π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分） 问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明(1)1λ为1-A 的特征值. (2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t=-+(1)过点(1,21)M-且与直线34y t=-垂直的平面方程是_____________.1z t=-(2)设a为非零常数,则lim()xxx ax a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x=111xx≤>,则[()]f f x=_____________.(4)积分222e yxdx dy-⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x是连续函数,且e()(),xxF x f t dt-=⎰则()F x'等于(A)e(e)()x xf f x----(B)e(e)()x xf f x---+(C)e(e)()x xf f x---(D)e(e)()x xf f x--+(2)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()[()],f x f x'=则当n为大于2的正整数时,()f x的n阶导数()()nf x是(A)1![()]nn f x+(B)1[()]nn f x+(C)2[()]nf x(D)2![()]nn f x(3)设a为常数,则级数21sin()[nnan∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知()f x在0x=的某个邻域内连续,且()(0)0,lim2,1cosxf xfx→==-则在点0x=处()f x(A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠ (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分. 六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型. 九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于 (A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数. (3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '= 七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1. 九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x -+0x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn a n ∞=--∑常数0)a > (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰ 四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =. 六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π (C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和. 六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.b aa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xx u y -=则2u x y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N <<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c =(D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu==-⎰,求dydx 、22d y dx 在t =. (2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,S xdydz z dxdy x y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数. 五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程. 六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f f g g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数22,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000a b a b a b b a 的值等于 (A)12341234a a a a b b b b -(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,z u v ∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和. 六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式. 七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)(2)求随机变量X 的数学期望().E X。
考研数学历年真题(1987 2021)年数学一 可直接打印(纯试题)
考研数学历年真题(1987 2021)年数学一可直接打印（纯试题）考研数学历年真题(1987-2021)年数学一-可直接打印（纯试题）2000年全国研究生统一入学考试数学(一)试卷一、填空（这个问题有5个小问题，每个小问题3分，满分15分。
在问题的横线上填写答案）（1）？102x？x2dx=___________________。
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy3y??0的通解为_____________.1.x1？？1.12?? 十、3.如果没有解决方案，那么=____23a？2（4）已知方程式？A.2.1a？2.x30（5）假设两个独立事件a和B不发生的概率为p(a)=_____________.1.发生a和不发生B的概率等于发生B和不发生a的概率，则9二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设f（x）和G（x）是总是大于零的可微函数，f？（x） g（x）？f（x）g？（x） ?？0，那么什么时候？十、B、有（a）f（x）g（B）吗？f（b）g（x）（c）f（x）g（x）？f（b）g（b）(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)（2）设定s:x2？y2？z2？A2（Z？0），S1是第一个三元极限中s的一部分，那么有（a）？？xds？4.xdsss1（b）？？yds？4.xdsss1（c）？？zds？4.xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsSS1（3）套装系列？如果不收敛，则必须收敛的级数为n?1?u(a)?(?1)nnn？1n？2(b)?unN1.（c） ?？（u2n？1？u2n）n?1?（d） ?？（un？un？1）n?1(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为(a)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示(b)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示(c)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价(d)矩阵a?(α1,?,αm)与矩阵b?(β1,?,βm)等价（5）让二维随机变量（x，y）服从二维正态分布，那么随机变量？？十、Y和？？十、Y不相关的充要条件是（a）e（x）？e（y）(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2（c） e（x2）？e（y2）三、(本题满分6分)求lim(x??(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]22.e1？e1x4x？辛克斯）。
往年考研真题下载地址
所有真题解压密码统一为： 考研数学真题下载：/file/f62a1646cc1991年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f688cdb3761991年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6bfe8abbe1992年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6aa2826881992年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f67630281d1992年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f685c30bd61992年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6f1293d851993年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f663f0aa561993年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6fe0c3db51993年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f62286b90f1993年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6c9a5f16c1994年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6f7fcf98f1994年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f61e80e6881994年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f64e6e560d1994年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6c37536481995年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6b5f081f1995年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f62ed4c37/file/f662aec45b1995年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f64d18612d1996年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f66fc3c52b1996年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f66fe87d441996年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f698d52cf01996年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f68780e65f1997年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6b54a88dd1997年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f65cad24091997年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6ee9122241997年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6fa8b12a21998年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6215ed8561998年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f648af14991998年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6d64b87fb1998年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f69338fc51999年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f61adef9c21999年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f67d88b7081999年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6140f0dbf1999年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f62af07983/file/f6b283e832000年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6dfdfa6b2000年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f63a5506e72000年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f61170582f2001年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f676d61cb72001年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6f23dc1172001年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6873e90a62001年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6e63f8fad2002年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6581b8dcd2002年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f630c5c3232002年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f61ba093e62002年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6f32be0232003年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f671f2b5c52003年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f647f21a812003年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6da168ee32003年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f667c07952004年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6ece12d4d2004年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6344e6613/file/f68038c0362004年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f681f41c5a2005年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f678aec4282005年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f685837a82005年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f68fbb94872005年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6737bd5ea2006年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f62f65b8982006年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f631b743f22006年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f6fa527fcd2006年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f65c24110a2007年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f64c64b7b32007年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6d2c825562007年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f62250b96b2007年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f6349039c22008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题免费下载/file/f6e09242d92008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f611776af02008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f65d81ff772008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学四试题免费下载/file/f61cf7e4d7/file/f6f1af0c9b2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题免费下载/file/f6208a0b432009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题免费下载/file/f654f183762010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一试题及答案免费下载/file/f6cfd604482010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二试题及答案免费下载/file/f61db98ad22010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三试题及答案免费下载考研英语真题下载：/file/f62a60fee51986年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f68b45ca31987年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f61e3c10821988年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f62fc9dd931989年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6b6c08c4e1990年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6a84a80f71991年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f63894df11992年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f67dd8327e1993年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6461298d01994年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6ccb6bc011995年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6e78bebc1/file/f68e7a2e081997年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6109ebde11998年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6f0ff6dc1999年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6b47a36042000年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6346c56bc2001年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6339992a42002年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6f14b681b2003年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f681b594a02004年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f676c8c4bc2005年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f63e9c91f42006年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6a8a676be2007年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f629dc2b642008年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6cf3fe0222009年全国硕士研究生入学统一考试英语试题及答案免费下载/file/f6e93ec0b22010年全国硕士研究生入学统一考试英语一试题及答案免费下载/file/f67e166e272010年全国硕士研究生入学统一考试英语二试题及答案免费下载考研政治真题下载：1991年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f6118468f91992年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f6716459421993年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f681acc5571994年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6f9087df41994年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f651ac14401995年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6cf50899f1995年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f648c325831996年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6a6c144701996年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f631ef9de91997年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6138886521997年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f67d6c87fe1998年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f63c1f611f1998年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f69e7be62b1999年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6eea5129f1999年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f6809113772000年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6ef06aace2000年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f671223f302001年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载2001年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f6f114601b2002年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（理科）免费下载/file/f6915280772002年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案（文科）免费下载/file/f6e1ac8cea2003年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f66667304e2004年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f661baec682005年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f6cd6c1f492006年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f66cb7ed252007年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f66b4a311d2008年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f68d0206262009年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载/file/f6b586d1cf2010年全国硕士研究生入学统一考试政治试题及答案免费下载考研计算机真题下载：/file/f6d5291e25#2009年统考专业计算机科学与技术_试题及参考答案免费下载/file/f6b4aec92c#2010年考研计算机学科专业基础综合考试_试题及答案解析免费下载考研金融真题下载：/file/f61a6dd69c#2002年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f67479d5cb#2003年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f6b6bba7bf#2004年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载2005年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f6b0083056#2006年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f6659f1c89#2007年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f6868bfbf3#2008年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载/file/f62c5dbc64#2009年金融学研究生招生联考“金融学基础”试题及答案免费下载。
1987-2008年考研数学真题解析及复习思路(数学一)
率等于
． 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为
．
２
１９８７ 年真题
（３） 已知连续型随机变量 Ｘ 的概率密度函数为 ｆ（ ｘ） ＝ １ ｅ －ｘ２＋２ｘ－１ ，则 Ｘ 的数学期望为 π
方差为
．
，Ｘ 的
十一、（本题满分 ６ 分）
设随机变量 Ｘ，Ｙ 相互独立，其概率密度函数分别为
{ { ｆＸ（ｘ） ＝
九、（本题满分 ８ 分）
问 ａ，ｂ 为何值时，线性方程组
ìïｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｘ３ ＋ ｘ４ ＝ ０，
íïｘ２ ＋ ２ｘ３ ＋ ２ｘ４ ＝ １，
îïï３－ｘ１ｘ２＋＋２
（ａ ｘ２
－ ＋
３）ｘ３ － ｘ３ ＋ ａｘ４
２
ｘ４ ＝
＝ －１
ｂ，
有唯一解，无解，有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解．
十、填空题（本题共 ３ 小题，每小题 ２ 分，满分 ６ 分）
（２） 设 ｆ（ｘ） 为已知连续函数，Ｉ ＝ ｔ ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中 ｔ ＞ ０，ｓ ＞ ０，则 Ｉ 的值 ０
（Ａ） 依赖于 ｓ 和 ｔ．
（Ｂ） 依赖于 ｓ，ｔ，ｘ．
１
历年考研数学真题解析及复习思路（ 数学一）
（Ｃ） 依赖于 ｔ 和 ｘ，不依赖于 ｓ．
（Ｄ） 依赖于 ｓ，不依赖于 ｔ．
（３） 设ｌｉｍ ｘ→ａ
（２）（本题满分 ８ 分）【同数学 Ⅰ 第二题】
三、（本题满分 ７ 分） 设 ｚ ＝ ｆ（ ｕ，ｘ，ｙ） ，ｕ ＝ ｘｅｙ，其中 ｆ 具有二阶连续偏导数，求���������ｘ���２������ｚｙ．
四、（ 本题满分 ８ 分） 【 同数学 Ⅰ 第四题】 五、（ 本题满分 １２ 分） 【 同数学 Ⅰ 第五题】
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1987年 • 第1页 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答 数 学（试卷Ⅰ） 一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程） (1) 与两直线 112xytzt 及 121121xyz 都平行，且过原点的平面方程是
50xy (2) 当x1/ln2；时，函数2xyx取得极小值. (3) 由lnyx与两直线(1)yex及0y围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设L为取正向的圆周922yx，则曲线积分dyxxdxyxyL)4()22(2的值是18
.
(5) 已知三维线性空间的一组基底 )1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321，则向量 ＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )
二、（本题满分8分） 求正的常数a与b，使式1sin1lim0220dtta
t
xbxx
x成立.
解：假若1b，则根据洛必达法则有 22
220
0011limlim()01sincosxxxtxdtbxxbxatax
，与题设矛盾，于是1b
.
此时222212220
00021112limlim()lim()sin1cosxxxxtxxdtbxxxxaataxax
，
即21a，因此4a. 三、（本题满分7分） (1) 设函数,fg连续可微，(,),()ufxxyvgxxy，求 ,.uvxx
解：1212()uxxyfffyfxxx；()(1)vxxygygxx. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1987年 • 第2页 (2) 设矩阵A和B满足2ABAB，其中A301110014，求矩阵B. 解：因2ABAB，故2ABBA，即(2)AEBA， 故1(2)BAEA522432223. 四、（本题满分8分） 求微分方程26(9)1yyay的通解.其中常数0a. 解：由特征方程3222(9)0rrar，知其特征根根为12,30,3rrai. 故对应齐次方程的通解为33123cossinxxyCCexCex，其中123,,CCC为任意常数. 设原方程的特解为*()yxAx，代入原方程可得A219a.
因此，原方程的通解为*33123()cossinxxyxyyCCexCex219ax. 五、选择题（每小题3分，满分12分） (1) 设常数0k，则级数21)1(nnknn （C） (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k的值有关. (2) 设)(xf为已知连续函数，tsdxtxftI0)(，0,0st，则I的值 （D） (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t
(3) 设1)()()(lim2axafxfax，则在点xa处 (B)
(A) ()fx导数存在,0)(af (B) ()fx取得极大值 (C) ()fx取得极小值 (D) ()fx的导数不存在.
(4) 设A为n阶方阵, 且0aA, 而*A是A的伴随矩阵，则*A= (C) (A) a (B) a/1 (C) 1na (D) na 六、（本题满分10分） 求幂级数1121nnnxn的收敛域，并求其和函数.
解：记112nnnuxn，有1112limlim(1)22nnnnnnnnxuxnunx， 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1987年 • 第3页 令12x，知原级数在开区间(2,2)内每一点都收敛. 又当2x时，原级数=111111(2)2(1)2nnnnnnn，故由莱布尼兹判别法知其收敛； 而当2x时，原级数=11111122(1)2nnnnnnn，显然发散，故幂级数的收敛域为)2,2[. 又记111111()()()22nnnnnxSxxxxSxnn，其中111()()2nnxSxn， 有1111()()21/2nnxSxx，于是102()2ln()1/22xdxSxxx， 因此幂级数的和函数为2()2ln2Sxxx，[2,2)x. 七、（本题满分10分） 计算曲面积分2(81)2(1)4SIxydydzydzdxyzdxdy，
其中s是曲线 )31(01yxyz 绕Y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y轴 正向的夹角恒大于/2． 解：S的方程为221yxz，记1S：223,()yxz，知1SS为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为，则由高斯公式，有
12(81)2(1)4SSIxydydzydzdxyzdxdy12(81)2(1)4Sxydydzydzdxyzdxdy
12102(1)0Sdvydydz
=3212(13)yzxDDdydzdxdzdx
31(1)16234ydy.
八、（本题满分10分） 设函数)(xf在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x，函数的值都在开区间(0,1) 内，且1)(xf.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使()fxx． 证：令()()htftt，知()ht在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0()1fx，于是 有(0)(0)00,(1)(1)10hfhf. 故由零点定理，在(0,1)内有x，使()fxx. 假若)(xf在开区间(0,1)内有两个不同的点1x和2x，使得11()fxx，22()fxx， 不妨设12xx，则易见)(xf在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1987年 • 第4页 (0,1)，使得2121()()()fxfxfxx，即()1f.此与1)(xf矛盾！故在(0,1)内使
()fxx的x只能有一个.
九、（本题满分8分）
问,ab为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解. 解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得
11110111100122101221()013200101321100010AAbababaa
○1 当1a时，系数行列式2(1)0Aa，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解；
○2 当1a，且1b时，()3,()2rArA，()()rArA，故原方程组无解；
○3 当1a，且1b时，()()24rArA，故原方程组有无穷的解. 此时显然有
11110101110122101221()00000000000000000000AAb
可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)TTTxcc，其中12,cc为任意常数.
十、填空题（每小题2分，满分6分） (1) 在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率
为np)1(1；而事件A至多发生一次的概率为1)1]()1(1[nppn.
(2) 三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个
球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 1987年 • 第5页 (3) 已知连续随机变量X的密度为1221)(xxexf，则X的数学期望为 1 ；X的方差为 1/2 . 十一、（本题满分6分） 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为
它其0101)(xxfX
；000)(yyeyfyY，求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数()zfz.
解：由题设，(,)XY的联合密度为01,0(,)()()0yXYexyfxyfxfy其 它， 故Z的分布函数2()()(2)(,)zxyzFzPZzPXYzfxydxdy， ○1 当0z时，2()00zxyzFzdxdy，此时()00zfz；
○2 当02z时，200001()22zyzzzyyyzzFzdyedxedyyedy，此时
011()()(1)22zyzzzfzFzedye；
○3 当2z时，121220001()(1)1(1)2zxyxzzzFzdxedyedxee，此时
21()()(1)2zzzfzFzee
综上所述，Z=2X+Y的概率密度函数为()zfz1221200(1)02(1)2zzzezeez