2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题25题汇总

2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 1 页 共 17 页 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 1、（2014年门头沟一模）25．概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小

值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（3，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点． （1） 根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）

① 当m=23，n=1时，如图13-1，线段BC与线段OA的理想距离是 ； ② 当m=23，n=2时，如图13-2，线段BC与线段OA的理想距离为 ； ③ 当m=23，若线段BC与线段OA的理想距离为3,则n的取值范围是 . （2）如图13-3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为 (说明理由) （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？

备用图 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 2 页 共 17 页

2、（2014年丰台一模）25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxc与x轴交于点A（-2,0）和点B，与y轴交于点C（0,23），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移

动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒. （1）求该抛物线的解析式； （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由. （3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

备用图 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 3 页 共 17 页 y

xy

xAB

CN

备用图N

C

BA

OO

3、（2014年平谷一模）25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c (b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限． (1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值； (2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q． ①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标； ②取BC的中点N，连接NP，BQ．当PQNP＋BQ取最大值时，点Q的坐标为________. 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 4 页 共 17 页

4、（2014年顺义一模）25．设pq，都是实数，且pq．我们规定：满足不等式pxq≤≤的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为pq，．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当pxq≤≤时，有pyq≤≤，我们就称此函数是闭区间pq，上的“闭函数”．

（1）反比例函数2014yx是闭区间12014，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数0ykxbk是闭区间mn，上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数c，d满足cd，且2d，当二次函数2122yxx是闭区间cd，上的“闭函数”时，求cd，的值． 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 5 页 共 17 页

5、（2014年石景山一模）25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”Sah. 例如：三点坐标分别为)2,1(A，)1,3(B，)2,2(C，则“水平底”5a，“铅垂高”4h，“矩面积”20Sah． （1）已知点)2,1(A，)1,3(B，),0(tP． ①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标； ②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

（2）已知点)0,4(E，)2,0(F，)4,(mmM，)16,(nnN，其中0m，0n. ①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围； ②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围． 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 6 页 共 17 页

6、（2014年海淀一模）25． 对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（bak，kab）（其中k为常数，且0k），则称点P为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+42，214），即P（3，6）． （1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P的坐标为____________

；

②若点P的“k属派生点” P的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；

（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点，且△OPP为等腰直角三角形，则k的值

为____________；

（3）如图, 点Q的坐标为（0，43），点A在函数43yx（0x）的图象上，且点A是点B的“3属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标． 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 7 页 共 17 页

7、（2014年西城一模）25. 定义1：在ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC的“有向面积”。“有向面积”用S表示，例如图1中，ABCABCSS

，图2中，ABCABCSS。

定义2：在平面内任取一个ABC和点P（点P不在ABC的三边所在直线上），称有序数组（PBCS，PCAS，PABS）为点P关于ABC的“面积坐标”，记作()PBCPCAPABPSSS，，，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，=60ABC，则3ABCS，点D关于ABC的“面积坐标”()DBCDCADABDSSS，，为(333)D，，。在图3中，我们知道ABCDBCDABDCASSSS，利用“有向面积”，我们也可以

把上式表示为：ABCDBCDABDCASSSS。 应用新知：（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则ABCS ，点D关于ABC的“面积坐标”是 ；

探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy中，点(02)A，，(10)B，.

①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于ABO的“面积坐标”为()Pmnk，，，试探究mnk与ABOS之间有怎样的数量关系，并说明理由； ②若点()Pxy，是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于ABO的“面积坐标”（用xy，表示）； 解决问题：（3）在（2）的条件下，点(10)C，，(01)D，，点Q在抛物线224yxx上，求当QABQCDSS

的值最小时，点Q的横坐标。

A B C 图1 A B C 图2 图3 A B C D B C D A 2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 8 页 共 17 页 8、（2014年通州一模）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，60COA，二次函数khxay2)(的图象经过点A、B、C.动点P和点Q同时从

点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动.点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，

设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y. （1）求二次函数khxay2)(的表达式； （2）当120DQP时，直接写出．．．．点P的坐标； （3）在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由.

备用图 y

xQDCABO

P

yxQDCABO

P2014年北京市各城区中考一模数学——代数与几何综合题汇总 第 9 页 共 17 页

9、（2014年东城一模）25.在平面直角坐标系xOy中，直线112yx分别与x轴，y轴交于过点A，B，点C是第一象限内的一点，且AB=AC，AB⊥AC，抛物线212yxbxc经过A，C两点，与x轴的另一交点为D. （1）求此抛物线的解析式； （2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.