2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
1.5定积分的概念(高中数学人教A版选修2-2)
D．f(0)
i－ 1 i 解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间 n ，n 上的值可用该区
间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点 的函数值近似代替． 答案：C
3n －2n 3．linm ＝________. 2 →∞ n
分析：按照“分割→近似代替→求和→取极限”的步骤 进行．
解析：(1)分割．
3 1,2，…，n)的长度为Δx＝ n .分别过各分点作x轴的垂线，把原
3i－1 3i 如上图，将区间[0,3]n等分，则每个区间 (i＝ ， n n
曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替． 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．则当n
(4)取极限． S＝lim S n→∞ n ＝lim n→∞
1 1 1 1 － 1 － 1 － － 9 ＋ 9 ＋ 9 n 2n n
＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形面积为S＝9.
i－ 1
上，随着n的增大，f(x)的 值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
解析：函数f(x)＝x2在区间
i ， n n
i－1 i 2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间 n ，n
上的值可以用下
列哪个值近似代替(
)
2 B．f
3n2－2n 2 3 － 解析： linm ＝ lim ＝3. 2 →∞ n→∞ n n 答案：3
2
求解曲边梯形的面积是用“以直代曲”和逼近的思想方 法；其步骤为：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
导数及其应用
高中数学人教A版选修2-2第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念课件
[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点
b
(1)当 f(x)≥0 时，af(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与 曲线 y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算af(x)dx 时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边 梯形的三条直边 x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从
而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S
而得到定积分的值：
b
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx＝S；当 f(x)<0 时，af(x)dx＝－S.
2．定积分的性质
b
(1)akf(x)dx＝
b
k a
f(x)dx(k 为常数)．
b
b
b
(2)a[f1(x)± f2(x)]dx＝
②
(2x2－x＋1)dx＝
2x2dx－
xdx＋
1dx，
0
0
0
0
因为已知0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，
又由定积分的几何意义知：
e
1dx
等于直线
x＝0，x＝e，y＝0，y＝1
所围成的图形的
0
e
面积，所以01dx＝1×e＝e， 故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.
0
即02xdx＝12×22＝2.
2
2
∴原式＝ 4－x－22dx－ xdx＝π－2.
0
0
当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何 意义求定积分，但要注意定积分的符号．
[活学活用]
3
计算 ( 9－x2－x3)dx的值． －3
高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念精练人教A版选修2_2
1.5.3 定积分的概念A 级：基础巩固练一、选择题1．定积分⎠⎛01x d x 的值是( )A ．1 B.12 C.13 D ．0答案 B解析 即计算由直线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的三角形的面积． 2．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g(x )d x ＝－3，则⎠⎛ab [2f (x )＋g(x )]d x ＝( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案 C解析 ⎠⎛a b [2f (x )＋g(x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab g(x )d x ＝2×1－3＝－1.3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2 C ．s 1>s 2 D ．s 1<s 2 答案 C解析 因为当0<x <1时，x >x 2，所以⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x ，故选C .4．曲线y ＝cosx (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2 C ．3π D．2π答案 D解析如图，求曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的封闭图形的面积，可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π所围成的矩形的面积．故选D.答案 A答案 B二、填空题7．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g(x )d x ＝2，则⎠⎛ab [f (x )＋g(x )]d x ＝________.答案 5解析 因为⎠⎛a b [f (x )＋g(x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab g(x )d x ＝3＋2＝5.8．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．9．若⎠⎛abf (x )d x ＝6，则lim n →∞∑ni ＝1f (ξi )b －an＝________. 答案 6解析 由定积分的定义⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )可得．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
高中数学人教A版选修2-2课件：1-5-3 定积分的概念
������ (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ������(������t)·Δx,而
n →∞i=1
������ a
������(x)dx 只是这种极限的一种记号.
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a
3 2
2 1
������d������ = .
1-������ 2 d������表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半 1-������ 2 d������ =
π . 2
1 π 圆的面积,其值为 , 所以 -1 2
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二
①
②
③
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
1.5.3 定积分的概念
-1-
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第一章
三角函数
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函 数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
高中数学选修2-2第1章1.5.3定积分的概念课件人教A版
������ (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ������(������t)·Δx,而
n →∞i=1
������ a
������(x)dx 只是这种极限的一种记号.
-7-
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题型一 题型二
知识梳理
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典例透析
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算 1 (3x + 2)dx 的值. 分析:将区间[1,2]等分为 n 个小区间,利用函数在每个小区间上 的左端点值求出 Sn,其极限即为所求. 解:令 f(x)=3x+2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n 个小区间
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
������ g(x)dx na
解析:利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 例如
1
xdx = 2 ,
1 0
1
1 0
x2dx = 3 ,
1
1
1 0
x3dx = 4.
-6-
1
但 0 x3dx ≠ 答案:C
xdx · 0 x2dx, 故选C.
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典例透析
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函 数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
-3-
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典例透析
数学人教A版选修2-2自我小测：1.5 定积分的概念(第2课时)
自我小测1．下列结论中成立的个数是( ) ①10⎰x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n i 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．如图所示，阴影部分的面积为( )A ．b a ⎰f (x )d xB ．b a ⎰g (x )d x C ．b a⎰[f (x )－g (x )]d x D ．b a⎰[g (x )－f (x )]d x3．由定积分的几何意义可得53⎰2x d x ＝( )A ．6B ．16C ．25D ．34 4．下列等式成立的是( ) A ．10⎰x d x ＝2 B ．10⎰(－x )d x ＝12C ．11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d x D ．11-⎰2d x ＝05．定积分10⎰x d x 与10⎰x d x 的大小关系是( )A ．10⎰x d x ＜10⎰x d x B ．10⎰x d x ＞10⎰x d x⎰x d x≥10⎰x d x D．无法确定C．1⎰(－2 016)d x＝__________.6．计算201520147．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为__________．⎰x2d x＝13，21⎰x2d x＝73，则20⎰(x2＋1)d x＝__________.8．已知1⎰1－x2d x.9．利用定积分的几何意义求10．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程．参考答案1．解析：由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C ． 答案：C2．解析：由题图可知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )＞g (x )，所以阴影部分的面积S ＝b a⎰f (x )d x－b a⎰g (x )d x ＝b a⎰[f (x )－g (x )]d x .答案：C 3．解析：53⎰2x d x 的值表示由直线y ＝2x ，x ＝3，x ＝5，y ＝0所围成图形的面积S ＝12×(6＋10)×2＝16.答案：B 4．解析：∵10⎰x d x ＝12，10⎰(－x )d x ＝－12，11-⎰2d x ＝4，∴A ，B ，D 不正确．∵函数y ＝|x |为偶函数，∴11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d x ，∴C 正确．答案：C5．解析：由定积分的几何意义结合下图可知10⎰x d x ＜10⎰x d x .答案：A6．解析：∵根据定积分的几何意义，20152014⎰2 016d x 表示直线x ＝2 014，x ＝2 015，y ＝0，y ＝2 016围成的矩形面积，∴20152014⎰ 2 016d x ＝2 016. ∴20152014⎰(－2 016)d x ＝20152014-⎰2 016d x ＝－2 016.答案：－2 0167．解析：阴影部分由直线x ＝－4，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 22围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为24-⎰x 22d x . 答案：24-⎰x 22d x 8．解析：由定积分的性质，可得2⎰(x 2＋1)d x ＝20⎰x 2d x ＋20⎰1d x ，而由已知，有2⎰x 2d x＝10⎰x 2d x ＋21⎰x 2d x ＝13＋73＝83，又由定积分的几何意义知20⎰1d x ＝1×2＝2，故2⎰(x 2＋1)d x＝83＋2＝143. 答案：1439．解：由y x 2+y 2=1(y ≥0)的图象为如图所示的半圆，由定积分的几何意义知x ⎰等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形=212π12ππ11sin =232334⨯⨯-⨯⨯-， S 矩形=|AB |·|BC|=122，∴ππ==34234x -++⎰.10．解：由题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s ＝600⎰v (t )d t＝200⎰32t d t ＋4020⎰(50－t )d t ＋6040⎰10d t＝300＋400＋200＝900(米)．。
人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处 将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平 面区域的面积用积分表示为________．
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
高中数学选修2-2 1.5.3 定积分的概念
n
为
S
lim n
i1
f (xi )x
Oa
xi xi xi+1
b
x
x
例2: 求小车变速直线运动的路程。
设小车沿直线作变速运动，速度为 v =v (t), 假定v (t)是 t
的连续函数，求小车在时间区间 a,b 内运动所走的距离 s 。
V(t)
A
B
例2: 求小车变速直线运动的路程.
(1) 分割
(1)分割
将区间[0,1]分成n个相等的小区间。 直线 x i (i 1,2,..., n 1)把曲边三角形分成n个小曲边梯形。
n
S s1 s2 ... s i ... s n1 s n
(2)近似 第 i个小曲边梯形面积:
Si
1 n
i n
2
i
1,2,, n
(3)求和 小矩形面积的总和：
n
S s1 s2 ... s i ... s n1 s n
(2)近似代替 第 i个小曲边梯形面积:
si
1 n
(i
1)2 n
(i 1,2, ... , n)
y
(3)求和 小矩形面积的总和：
yx2
S n
1 n
0
1 n
1 n
2
1 n
n 12
n
1 [12 22 n 12 ]
(3)取极限
1
1
1
2
4 n
O
1x3dx lim S lim 1 (1 1)2 1
0
n n
4 n
n
4
y x3
S
x
1
作业布置：
课本P50 习题1.5A组 预习课本 P46~P48
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．关于定积分m＝02－13dx，下列说法正确的是( )
A．被积函数为y＝－13x
B．被积函数为y＝－13
C．被积函数为y＝－13x＋C
D．被积函数为y＝－13x3
【解析】 被积函数为y＝－13.
【答案】 B
2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分06f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则-6 6f(x)dx＝( )
A．0 B．16
C．12 D．8
【解析】 偶函数图象关于y轴对称，故-6 6f(x)dx＝206f(x)dx＝16.故选B.
【答案】 B
3．设f(x)＝ x2，x≥0，2x，x<0，则-11f(x)dx的值是( )
A. -11x2dx
B. -112xdx
C. -1 0x2dx＋012xdx
D. -1 02xdx＋01x2dx
【解析】 被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由
定积分的性质知选D.
【答案】 D
4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝ab[f(x)－g(x)]dx求出的是( ) 【导学号：
60030035】
【解析】 定积分S＝ab[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面
积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图
象上方．
【答案】 D
5．定积分abf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·长春高二检测)定积分13(－3)dx＝__________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分
1
3
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．所以13(－3)dx
＝－(2×3)＝－6.
【答案】 －6
7．定积分-12－1|x|dx＝__________.
【解析】 如图，-12|x|dx＝12＋2＝52.
【答案】 52
8．曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为12xdx－121xdx＝12x－1xdx.
【答案】 12x－1xdx
三、解答题
9．(2016·济南高二检测)已知01x3dx＝14，12x3dx＝154，12x2dx＝73，24x2dx＝563，求：
(1)023x3dx；(2)146x2dx；(3)12(3x2－2x3)dx.
【解】 (1)023x3dx＝302x3dx
＝301x3dx＋12x3dx
＝314＋154＝12.
(2)146x2dx＝614x2dx
＝612x2dx＋24x2dx＝673＋563＝126.
(3)12(3x2－2x3)dx＝312x2dx－212x3dx＝3×73－2×154＝－12.
10．利用定积分的几何意义，求-1111－x2dx的值．
【解】 y＝1－x2(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根
据定积分的几何意义，知-111－x2dx表示由曲线y＝1－x2与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围
成的平面图形的面积，
所以-111－x2dx＝S半圆＝
1
2
π.
[能力提升]
1．(2016·黄冈高二检
测)设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝01(x2－x)dx
B．S＝01(x－x2)dx
C．S＝01(y2－y)dy
D．S＝01(y－y)dy
【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝01(x－x2)dx，
选B.
【答案】 B
2．已知和式S＝
1p＋2p＋3p＋…＋np
np＋1
(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( ) 【导学号：
60030036】
A.011xdx B.01xpdx
C.011xpdx D.01xnpdx
【解析】 S＝1n 1np＋2np＋3np＋…＋
nnp＝i＝1n
i
n
p
·1n，
∴limn→∞i＝1n inp·1n＝01xpdx.
【答案】 B
3．(2016·深圳高二检测)定积分2 0162 0172 017 dx＝________________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝2 016，x＝2 017与y＝2 017，y
＝0所围成矩形的面积，所以2 0162 0172 017dx＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.
【答案】 2 017
4．已知函数f(x)＝错误!求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
【解】 由定积分的几何意义知－22x3dx＝0，
2
π
2xdx＝错误!＝π2－4，
π
2π
cos xdx＝0.
由定积分的性质得
－22πf(x)dx＝－22x3dx＋2π2xdx＋
π
2π
cos xdx＝π2－4