水文时间序列逐步回归随机组合预测模型及其应用
水库中长期水文预报模型研究(Ⅱ)
水库中长期水文预报模型研究(Ⅱ)杨晓红【摘要】中长期水文预报模型库是水库中长期水文预报系统的核心.本研究面向预报对象,利用多要素预报法探索外界各种因素对水文预报对象的影响,分析预报对象与影响因子的相互联系及其变化的物理成因,利用数理统计方法建立了3个基于径流及其影响因子的成因统计关系的预报模型,分别为投影寻踪回归、时间序列—马尔可夫分析、非线性动力系统学以及神经网络模型,这些模型为有效进行水文对象的中长期预报提供了坚实的基础.【期刊名称】《甘肃科技》【年(卷),期】2011(027)018【总页数】4页(P67-69,119)【关键词】水文预报模型;水文预报对象【作者】杨晓红【作者单位】西安测绘信息技术总站,西安陕西710054【正文语种】中文【中图分类】P338水库长期水文预报系统建设必须符合国家有关信息技术和软件工程的设计规范和要求和国际通用标准，并且兼容水文气象部门的有关技术规范。
在预报方法上，则需要面向预报对象，以国内水文预报行业常用的成熟方法和国际上新研发出来的新方法相结合，从而达到最佳的预报效果，本文对投影寻踪回归、时间序列—马尔可夫分析、非线性动力系统学以及神经网络及小波分析模型进行详细介绍。
1)预测对象:选定的预报对象。
2)预测时效:月、季、年。
3)资料需求:与预报对象相对应的时间长度的水文气象特征量。
投影寻踪回归(简称pp回归)技术的实质是将高维数据通过线性组合方法转换为低维数据，在低维上对数据结构进行分析，以达到便于统计的目的。
PP回归模型采取一系列岭函数的“和”来逼近回归函数。
即式中:Gm(Z)表示第m个岭函数;为岭函数的自变量，它是P维随机变量x在方向上的投影;M为岭函数的个数。
pp回归是运用1984年Friedman教授编制的SMART［1］多重平滑回归计算软件。
SMART模型具有如下形式:式中及岭函数值Gm是模型的参数，模型中线性组合的项数为待定参数。
模型的核心采用分层分组迭代交替优化的方法最终估计出岭函数的项次Mu，岭函数Gm(Z)以及函数 ajm，bim。
统计建模-回归分析
多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量，$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中，OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验， 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断，检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验，判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测，并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法，拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标，选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系，为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系，预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系， 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
基于PSO的SVM—ARIMA大坝安全监控模型
基于PSO的SVM—ARIMA大坝安全监控模型作者：黄梦婧杨海浪来源：《人民黄河》2018年第08期摘要：大坝监控过程中，大坝变形的实测值是一个非线性且非平稳的时间序列，支持向量机（SVM）适用于解决小样本、非线性问题，在SVM算法的基础上建立了改进的大坝变形监控模型，利用差分自回归移动平均模型（ARIMA）解决非平稳时间序列问题的优势，对SVM 模型的残差进行处理，并采用粒子群算法（PSO）优化支持向量机（SVM）中的核函数。
实例分析表明，优化后的组合模型预测结果可靠，且精度较SVM模型有所提高。
关键词：支持向量机；粒子群算法；差分自回归移动平均模型；大坝变形；安全监控中图分类号：TV698.1文献标志码：Adoi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.08.035为了更加准确地了解和掌握大坝的安全状况，对大坝进行安全监控是非常重要的手段之一。
能否有效地进行大坝变形安全监控，对保证大坝的安全运行、保障国家以及人民群众的生命财产安全具有重大意义。
目前，采用神经网络、逐步回归分析、灰色理论等方法建立的大坝变形安全监控模型应用广泛。
这些模型在大坝安全监控中表现出一定的优势，其中神经网络具有较强的非线性逼近能力3，灰色模型所需原始信息量小、计算简单，但是也具有一定的局限性，比如神经网络模型可能出现收敛速度较慢、拟合过度、泛化能力不足等问题，逐步回归模型对样本数据的数量要求较高，因此该模型的计算量大、外推的难度大、拟合精度不理想。
为了深入探究大坝变形数据所反映的信息，本文提出使用支持向量机（ Support Vector Ma-chines，SVM）进行建模。
支持向量机是一种较新的方法，对于样本数量小、拟合效果不理想等问题有较强的改善作用，对于非线性的样本序列预测效果较好。
在SVM预测模型中，选择合适的核函数是SVM模型的难点，直接影响模型预测的效果，因此利用粒子群算法（ Particle Swarm Optimization，PSO）快速全局优化的优势简化选择核函数的过程，在提高SVM模型预测精度的同时避免繁琐的试算过程。
分位数回归在时间序列中的应用
分位数回归在时间序列中的应用盛选义;彭良玉【摘要】文章利用分位数回归和时间序列相结合的方法对澳大利亚月度红酒销售量数据进行建模和预测,得出的模型能很好地描述出月份对于红酒销量变化范围的影响.当自变量时间对因变量红酒销量的分布产生不同的影响时,相对于最小二乘回归系数得到单一结果来说,利用分位数回归得到的时间序列模型能更好地利用数据里的信息,得到比较全面的预测结果.%Taking advantage of the application of quantile regression in time series,we predict the future red wine sales of Australia.Models getted can give a good discription of affection of month to paring to single result from the Least-square method,quantile regression can make full use of the data and give more comprehensive results.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(010)003【总页数】5页(P25-29)【关键词】季节差分;分位数回归;自回归移动平均模型;区间估计;模型诊断【作者】盛选义;彭良玉【作者单位】天津大学理学院,天津300072;天津大学理学院,天津300072【正文语种】中文【中图分类】O213.9为了弥补均值回归在回归分析中的缺陷，1978年，Koenker和Bassett［1］首次提出了分位数回归的概念，随后分位数回归逐步发展，理论方面越来越完善，详尽的理论在文献［2］中都有介绍.Barnes和 W.Hughes［3］利用分位数回归对跨部门公债市场的回报率进行了分析；Deaton对于分位数回归在需求分析方面做了介绍，并分析了巴基斯坦的Engel曲线［4］；Ma和Pohlman运用了分位数回归来评估共同基金超级市场的日销售情况，2009年Firpo，Fortin和Lemieux ［5］研究了无条件的分位数回归.分位数回归在时间序列中的研究也在逐步发展.1983年Bloomfield和Steiger［6］研究了用中位数回归法估计时间序列的自回归模型参数，1991年 Weiss［7］，1989年 Knight［8］，1995年 Koul和 Saleh［9］，1994年Koul和Mukherjee［10］，1997年 Hassan和 Koenker［11］以及1999年 Hallin和Jureckova［12］都研究过线性分位数自回归模型.2005年Koenker和Xiao［13］又研究了线性分位数自回归模型的系数，把系数拓展成与同一变量相关的单调函数.2010年Marcus，Matthew和Carlos研究了时间序列横截面数据的分位数回归.分位数回归法在时间序列中各种模型的研究还有很多，其应用在国际上是非常广泛的，但是在国内近几年才开始对分位数回归进行研究，分位数回归的应用也有一定的局限性.本文针对澳大利亚月度红酒销售量数据，用分位数回归和时间序列相结合的方法对数据进行建模和预测从而能得到相对满意的结果.对平稳的时间序列建模，最常用的模型是自回归移动模型ARMA模型：在实际应用中，模型的识别比较重要，一个比较简单直观的模型识别方法是可以利用时间序列模型ACF，PACF的性质判别模型，具体见表1.其他识别方法如Akaike给出的信息准则法，Gray，Kelley和McIntire引入的R－和S－阵列方法和Beguin，Gourieroux和Monfort提出的隅角法，各有其优缺点，这里就不赘述了.对时间序列模型中参数φ1，φ2，…，φp，θ1，θ2，…，θq 的估计称为参数估计.参数估计的方法有很多种，主要有矩方法、极大似然方法、最小二乘方法和分位数回归法.1.2.1 分位数回归法对于 ARMA（p，q）序列：1.2.2 模型的检验和优化模型的诊断检验有两类问题：1）模型的显著性检验：模型的显著检验主要就是看它提取的信息是否充分.所以模型的显著性检验就是基于残差序列分析的.如果残差序列是白噪声序列，则选取的模型通过显著性检验，如果不是，则说明此模型还不够有效，需选择其他模型.2）参数的显著性检验：就是检验模型中的每一个参数是否显著为0，目的是为了使模型更精确更精简.如果某个参数不显著，则将此变量删除，从而得到一个精简的拟合模型.有时我们得到的通过模型显著性的模型不止一个，其他模型选择的方法就被提出，常用的是信息准则法，其中有AIC准则，SBC准则等，这些准则的提出可以有效地弥补我们依据自相关图和偏自相关图定阶的主观性，以帮助我们寻找最优的拟合模型.分位数回归采用使加权残差绝对值之和达到最小的方法估计参数，其优点主要体现在以下几个方面：1）分位数回归对时间序列模型的随机误差项无要求，与最小二乘法相比适应性强，能使得分位数回归具有很强的适应性.2）分位数回归的参数估计值不受异常点的影响，使得建立的时间序列模型具有较强的稳健性.3）分位数回归对不同的分位点，都能估计出相应的参数值，这使得数据中的大部分的信息都能被提取出来.本文采用的数据来自1980年到1990年澳大利亚红酒月度销量（单位：L），依据原有数据建立起未来数月的销售量预测的预测模型，能够对以后的销量进行预测，以便于生产商和销售商制定出合适的生产和销售方案，以达到资源的合理配置和利用.这里所有的计算都是通过R软件计算的.根据已有的数据，画出红酒月度销量的时间序列图见图1-a，可以看出该原始数据序列不是平稳的数据序列，存在一个明显递增的趋势，因此在建模前我们先要对数据预处理以使其稳定.从红酒月度销量的时间序列图中还可以看出序列呈现一个季节效应，因此先对原数据标准化后，再用周期差分进行处理，处理后结果如图1-a，通过检验我们发现经过周期为12个月度的一阶差分以后的平稳性检验的p值为0.038 483，拒绝原假设，则认为经过此处理后序列是平稳的.模型的识别，采用简单直观的方法即利用时间序列ACF，PACF性质的判别模型类型.对差分处理后的平稳数列，它们的样本自相关系数和偏自相关系数图，分别见图1-c，图1-d.然后根据得到自相关系数和偏自相关系数表现出来的性质，选择适当阶数的模型拟合序列.观测我们所得到的样本自相关系数和偏自相关系数图的特征，可以认为ACF一阶截尾，PACF一阶拖尾；也可以认为ACF拖尾，PACF一阶截尾；或者ACF，PACF都一阶截尾，所以我们只能采取别的模型识别方法，采用信息准则法，对应的模型为 MA（1），AR（1），ARMA（1，1）分别计算各模型的 AIC值分别为AIC＝136.87，AIC＝135.45，AIC＝137.45.选取AIC值最小的时间序列类型AR（1）即为我们的模型.y t ＝β0＋β1 y t－1＋εt.下面用分位数回归法对模型的系数β0，β1 进行估计.这里选择五个不同的分位点τ＝0.1，0.3，0.5，0.7，0.9估计模型系数.估计结果如表2.模型的拟合图如图2，图中由下到上的散点依次是τ＝0.1，0.5，0.9所对应的拟合值.下面对模型的残差进行检验，如果残差是白噪声序列，则说明这个模型是合适的，用Ljung－Box检验法检验残差是否为白噪声序列，结果如表3.表中的p值都比较大，不能拒绝原假设，说明这些残差序列都是白噪声，因此这个模型是显著有效的.接着我们对模型的参数进行显著性检验，对通过模型残差检验的5个模型的参数检验，检验结果如下表4所示.取检验水平α＝0.05，得到检验的拒绝域为｜t｜≥t1－α／2（T－m），而t0.975（119）＝1.980 1，则各分位点模型的参数都显著不为0，因此上述各分位点的模型都可作为我们的拟合模型.利用分位数回归的方法，对于同一个模型，可以得到很多组系数的估计值，这里对模型AR（1）取了5个不同的分位点τ＝0.1，0.3，0.5，0.7，0.9.从表4中可以看出，高分位数点0.7，0.9对应的拟合值普遍比较高，相对低的分位点0.1，0.3所对应的拟合值比较低.比如，对于经济情况较好的年份，我们可以采取高分位点的估计值进行预测，相反，我们就可以采取低分位点的估计值进行预测，对于经济情况一般的年份我们可以采取0.5分位点的估计值作为预测值.时间序列分析从大量按时间顺序排列的数据出发，建立一个能很好地描述数据的模型.时间序列在商业、经济、金融等各个领域的应用越来越广泛，常见的时间序列模型参数估计方法也有很多种，本文将分位数回归方法应用在时间序列模型的参数估计中，由于分位数回归有着很多其他方法不具备的优点，如对模型的误差项不做具体要求，对异常值不敏感，能够比较完整地提取拟合数据集中的信息，这使得用分位数回归求出的时间序列模型能够做出比较准确且全面的预测.本文得到的模型为AR（1）：y t＝β0＋β1 y t－1＋εt可知，反映的是前一个月红酒销量对当月红酒销量的影响.参数β1估计值呈现递增趋势，随着分位点的增加，前一个月的销量所起的作用越来越大.商家可以根据当年经济状况的好坏和葡萄的产量选择合适的分位点预测值对未来几个月的销量进行预测，从而制定出合适的生产和销售方案.由此可见，用分位数回归法对澳大利亚月度红酒销量进行建模和分析，可以更加详细地提取出潜藏在数据里面的信息.它不仅能够比较准确地计算出模型的整体趋势，而且还可以针对不同情况，得到不同分位点下的估计值，为预测未来的销售量和做出正确的战略决策提供充分的理论依据，这是其他方法所不能比拟的.【相关文献】［1］Koenker R，Bassett G.Regreesion quantiles［J］.Econometrica，1978，46（1）：33-50［2］Roger，Koenker.Quantile regreesion［M］.New York：Cambridge University Press，2005［3］Barnes M，Hughes W.A quantile regression analysis of the cross section of stock market returns［M］.Boston：Papers，Federal Reserve Bank of Boston，2002［4］Deaton A.The analysis of household surveys：a microeconometric approach to development policy［D］.Baltimore：Johns Hopkins University Press，1997［5］Firpo S，Fortin N M，Lemieux T.Unconditional quantile regression［J］.Econnometrica，2009，77，953-973［6］Bloomfield P，Steiger W S.Least Absolute Deviations Theory［J］.Boston：Birkhauser，1983［7］Weiss A A.Esimating nonlinear dynamic modes using least absolute error estimation ［J］.Econnometric Theory，1991，7：46-68［8］Knight K.Limit theory for autoregressive-parameter estimate in an infinite-variance random walk［J］.Canadian Journal of statistics，1989，17：261-278［9］Koul H，Saleh A.Autoregression quantiles and related reank score processes ［J］.Annals of Statistics，1995，23：670-689［10］Koul H，Mukherjee K.Regression quantiles and related processes under long range dependent errors［J］.Journal of Multivariate Analysis，1994，51：318-337［11］Hassan M，Koenker R.Robust rank tests of the unit root hypothesis［J］.Econometric，1997，65：133-161［12］Hallin M，Jureckova J.Optimal tests for autoregressive models based on autoregression rand scores［J］.Annals of statistics，1999，27：1 385-1 414 ［13］Koenker R，Zhao Q.Conditional quantile estimation and interence for ARCH models［J］.Econometric Theory，1996（12）：793-813［14］王黎明，王连，杨楠.应用时间序列分析［M］.上海：复旦大学出版社，2009。
业务预测方法
业务预测方法随着企业竞争的日益激烈，业务预测对于企业的发展至关重要。
准确的业务预测可以帮助企业制定合理的经营策略，提前解决潜在问题，降低经营风险，提高竞争力。
本文将介绍一些常用的业务预测方法，以帮助企业做出更准确的预测。
一、时间序列分析方法时间序列分析是一种根据数据的时间顺序推断未来发展趋势的方法。
它基于历史数据来识别和分析时间序列中的趋势、周期性和季节性等规律，从而预测未来的业务发展。
时间序列分析方法通常包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
移动平均法是一种简单而广泛使用的时间序列分析方法。
该方法通过计算一定时间段内的平均值来平滑数据，然后根据平滑后的数据拟合出趋势线，从而进行预测。
指数平滑法是一种根据过去数据的加权平均值来预测未来的方法。
该方法常用于对季节性变动较大的数据进行预测，通过调整加权因子来平衡过去数据对预测结果的影响。
ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的统计模型，它结合了自回归、滑动平均和差分运算，能够更准确地捕捉时间序列中的趋势和周期性。
ARIMA模型通常通过对历史数据进行拟合，得到最优模型参数，然后使用该模型进行未来预测。
二、回归分析方法回归分析是一种通过建立变量之间的数学关系来预测业务发展的方法。
回归分析方法通常包括线性回归和非线性回归两种。
线性回归是一种基于线性关系假设的回归分析方法。
通过拟合得到的线性模型，可以对未来的业务发展进行预测。
线性回归模型可以通过最小二乘法进行求解，得到最优的模型参数。
非线性回归是一种基于非线性关系假设的回归分析方法。
与线性回归不同，非线性回归模型可以更准确地描述复杂的业务发展规律。
非线性回归模型的求解通常采用迭代优化算法，通过逐步调整模型参数来最小化误差。
三、机器学习方法随着人工智能技术的发展，机器学习方法在业务预测中的应用越来越广泛。
机器学习方法可以通过对大量历史数据的学习，建立复杂的数学模型，从而实现对未来业务的预测。
常用的机器学习方法包括决策树、支持向量机、神经网络和随机森林等。
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型（ARIMA）是一种经典的时间序列分析方法，被广泛应用于经济、金融、气象等领域。
本文将介绍ARIMA 模型的基本原理、建模方法和应用案例，并探讨其优缺点及未来发展方向。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和差分模型（I）三部分组成的，其基本原理可以用以下公式表示：ARIMA(p,d,q) = AR(p) + I(d) + MA(q)其中，p表示自回归模型的阶数，d表示差分模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数。
ARIMA模型的基本思想是将时间序列分解为趋势、季节性和随机性三个部分，并通过建立这三个部分之间的关系来预测未来数据。
具体来说，ARIMA模型的建立过程可以分为以下几步：1. 数据预处理：对时间序列进行平稳性检验，确定需要进行差分的阶数d，使得序列的均值和方差不随时间变化。
2. 模型选择：根据自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图形分析，选择合适的自回归模型AR(p)和移动平均模型MA(q)。
3. 参数估计：采用极大似然估计或最小二乘法等方法，估计模型的参数。
4. 模型检验：对模型进行残差分析，检验其是否符合假设条件，如残差序列是否为白噪声。
5. 预测应用：利用已建立的模型对未来时间序列进行预测，评估预测效果。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法主要包括两种：自顶向下（top-down）和自底向上（bottom-up）。
自顶向下方法是先确定ARIMA模型的大致形式，再通过参数估计和模型检验来细化模型。
这种方法适用于已有一定经验和知识的专家，能够快速建立合适的模型，但容易忽略数据的特殊性。
自底向上方法是从数据出发，逐步建立ARIMA模型。
这种方法需要对数据进行详细的分析和处理，能够更好地反映数据的特征，但需要大量的计算和时间。
在实际应用中，ARIMA模型的建立方法需要根据具体情况进行选择，综合考虑建模目的、数据特征、时间和计算资源等因素。
ARMA模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut 【1】
记 Bk 为 k 步滞后算子，即 Bk X t X tk ，则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
令 (B) 11B 2B2 pBp，模型可简写为
(B) X t ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 (B)
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t
均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
2 q
2,
qkq 2 ,
0,
Dut 2 是白噪声序列的方差
k 0 1 k q
计量地理学
计量地理学计量地理学：又称数量地理学或统计地理学或理论地理学，是用数学方法和计算机技术研究地理现象及地理要素的科学，是应用地理学的分支，是数学与地理学相交叉的学科。
“计量革命”：指20世纪50年代末开始的以数学方法在地理学中的应用为内涵的计量运动。
计算地理学：以向量或并行处理器为基础的超级计算机为工具，对“整个”、“大容量”资料所表征的地理问题实施高性能计算，探索构筑新的地理学理论应用模型。
空间数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件及地理过程产生、存在和发展的地理位置、区域范围及空间联系。
属性数据：用于描述地理实体、地理要素、地理现象、地理事件、地理过程的有关属性特征。
中位数：将各个数据从小到大排列，居于中间那个位置的数就是中位数。
众数：众数就是出现频数最多的那个数。
从一个侧面反映了地理数据的一般水平。
方差：从平均概况衡量一组地理数据与平均值的离散程度。
基尼系数：就是通过两组数据的对比分析，纵、横坐标均以累计百分比表示，从而做出罗伦次曲线，然后再计算得出的集中化指数。
锡尔系数：用于对经济发展、收入分配等均衡（不均衡）状况，进行定量化的描述。
变异系数：它表示了地理数据的相对变化（波动）程度。
偏度系数：它测度了地理数据分布的不对称性情况，刻画了以平均值为中心的偏向情况。
峰度系数：它测度了地理数据在均值附近的集中程度。
集中化指数：是一个描述地理数据分布的集中化程度的指数。
统计分组：所谓统计分组就是根据研究目的，按照一定的分组标志将地理数据分成若干组。
多样化指数：研究一个国家、地区或城市综合发展的评定指标。
定性数据：表示地理现象或要素只有性质上的差异，而没有数量上的变化。
罗伦次曲线：20世纪初，意大利统计学家罗伦次，首先使用累计频率曲线研究工业化的集中化程度。
后来，这种曲线就被称之为罗伦次曲线。
间隔尺度数据：这种数据是以连续的量来表示地理要素，根据地理要素的不同性质，它采用不同的度量单位作为标准。
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水文时间序列逐步回归随机组合预测模型及其应用
随机组合预测技术是指将多个时间序列加入一个复杂的混合模型中，使用组合权重来拟合多个时间序列，从而得到一个总体的拟合模型，并可以外推出未来更多的信息。
随机组合预测方法也被称之为随机注入式组合预测技术，它是指在给定的基础模型上，将不同类型的时间序列进行组合叠加，使得预测准确度更高。
近年来，不少研究者研究了水文时间序列逐步回归随机组合预测模型，例如Grace和Pouliot（2020），这种模型可以用于预测水文活动，以确定未来水文活动的发展情况。
首先，水文时间序列逐步回归随机组合预测模型（SAR-RCP）将使用多项式多重回归技术和对数函数配合，以分析未来水文活动。
然后，使用随机抗差算法和组合算法，以评估未来的洪水情况。
此外，使用相关性评估算法，以确定时间序列之间的相关性，并使用组合算法确定未来水文活动的变化趋势。
最后，使用Bootstrap算法，从而提高模型的稳定性，并根据不同的组合组合重新构建模型，进一步提高模型的预测准确性。
水文时间序列逐步回归随机组合预测模型可以应用于水文工程，它可以用于精确分析河流流量情况，确定淹没区域的位置，为工程建设提供重要的水文参数，根据未来水文变化趋势，及时调整防洪排水规划，以保证水文灾害的有效抗洪。
而且，它还可以用于研究节水灌溉，优化内河航道条件，制定洪水管理规划，以及评估水文资源开发性。
随着科技的不断进步，随机组合预测技术也越来越全面，可以为水文学研究提供支持。