线性代数第三章练习题
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11、假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r<n，那么在 A 的 n 个行向量中（ A ） 。 （A）必有 r 个行向量线性无关； （B）任意 r 个行向量都线性无关；
é1ù ê0ú ê ú ê M ú, ê0 ú ê ú ë- n û
é 0 ù é0ù ê 1 ú ê0ú ê ú ê ú ê M ú, L ê M ú ê 0 ú ê1 ú ê ú ê ú ë- n + 1û ë - 2û
9、 设 A 为 m ´ n 矩阵， 齐次方程组 Ax = 0 仅有零解的充要条件是 （ A （A） A 的列向量线性无关； （C） A 的行向量线性无关； 10、已知 b1 , (B) A 的列向量线性相关； (D) A 的行向量线性相关. ）
b 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同解， a 1 , a 2 是 对应齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系， k1 , k 2 为任意常数，则方程组 Ax = b 的通解必是（ B ） 。 b1 - b 2 b + b2 （A） k1a 1 + k 2 (a 1 + a 2 ) + ； （B） k1a 1 + k 2 (a 1 - a 2 ) + 1 ； 2 2 b - b2 b + b2 （C） k1a 1 + k 2 ( b1 + b 2 ) + 1 ； （D） k1a 1 + k 2 ( b1 - b 2 ) + 1 。 2 2
（A）至少有一个向量； （B）没有一个向量； （C）至多有一个向量； （D）任何一个向量都. 5、设 A 是 4 阶方阵，且 A ＝0 ，则 A 中（C ） (A) 必有一列元素全为零 （B）必有两列元素成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合 6、 设向量 a 1 , a 2 , a 3 线性无关， a 2 ,a 3 ,a 4 线性相关， 则正确的结论是 （ A ） 。 （A） a 必可由 a 2 , a 3 线性表示； （B） a （D） a
所以，当 l = -2 时, β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示. （ 2 ） β 可 由 α1 , α2 , α3 唯 一 线 性 表 示 Û Ax = β 有 唯 一 解
x = k (1, -2,1, 0 ) + (1,1,1,1)
T
T
kÎR
。
三、计算题
1
Û R ( A) = R ( B ) = 3 Û 2 - l - l 2 ¹ 0 且 Û l ¹ -2且l ¹ 1
2
4
可由 a
4
不能由 a 2 , a 3 线性表示；
ì x1 - 3x 2 = 2 7、方程 í 的通解为 î x 3 = -2
é3ù é 2 ù ú ê ú X = kê ê1ú + ê 0 ú , k Î R ê ë0 ú û ê ë - 2ú û æ - 2ö ç ÷ p1 = ç 1 ÷ , ç 0 ÷ è ø
α1 , α2 , α3 , α5 - α4 的秩为
4
.
2、设向量
, a 3 , a 4 线性表示。 7、设向量组 α1，α2，α3 线性无关，向量 β1 可由 α1，α2，α3 线性表示，而向 量 β2 不能由 α1，α2，α3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（ A ）
（C）a 1 , a 3 , a 4 必线性相关；
B 的各行的线性组合，组合系数是 A 的第 i 行各元素； A 的各行的线性组合，组合系数是 B 的第 i 行各元素； B 的各列的线性组合，组合系数是 A 的第 i 行各元素； B 的各行的线性组合，组合系数是 A 的第 i 列各元素．
B ） 。
T T T
k1a1 + k 2a 2 + L + k ma m ¹ 0 ，则 a1 , a 2 , L , a m 线性无关； （C）若 a 1 , a 2 , L , a m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1 , k 2 , L , k m ， 都有 k1a 1 + k 2a 2 + L + k ma m = 0 ； （D）若 0a 1 + 0a 2 + L + 0a m = 0 ，则 a 1 , a 2 , L , a m 线性无关。
（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组； （D）任何一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出。 12、 设 a 1 , a 2 , L , a m 均为 n 维列向量， 那么， 下列结论正确的是 （ B ） 。 （A）若 k1a 1 + k 2a 2 + L + k ma m = 0 ，则 a 1 , a 2 , L , a m 线性无关； （ B ） 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k 2 , L , k m ， 都 有
1、已知向量 α1 = (1,1,1) , α2 = (1, 2, 4) , α3 = (1, 3,9) 及 β = (1,1,3)T ，试用
T T T
α1 , α2 , α3 线性表示 b .
解：设 β = x1α1 + x2 α2 + x3α3 ，即
2、 设 A = ( a ij ) ， B = (bij ) 是两个 n 阶方阵， 则 AB 的第 i 行是 （
。
问 l 取何值时 （1） β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示？ （2） β 可由 α1 , α2 , α3 线 性表示，且表示式唯一？并求出这个表达式. 。 解：设有数 x1 , x2 , x3 使
8、方程 x1 + 2 x 2 + 0 x3 = 0 的基础解系为
（A） α1，α2，α3，kβ1＋β2 线性无关 （C） α1，α2，α3，β1＋kβ2 线性无关
T T T
abc ¹ 0
.
4、如向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，向量组 a1 + a2 , a2 + a3 , a3 + a1 线性无关.
æ1 ç B = ç1 ç1 è æ1 r1 - r2 ç : 0 r2 - r3 ç r3 / 2 ç è0
1 1 1ö æ 1 1 ÷ r2 - r1 ç 2 3 1÷ : ç 0 1 r3 - r1 ç 4 9 3÷ ø è0 3 0 -1 1 ö æ1 ÷ r3 -3r2 ç 1 0 -2 ÷ : ç 0 ç0 0 1 1÷ ø è
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
3、下列向量组中线性无关的向量组是（
（A） (1 , 2) , (2 , 7) , (-4 , 5) ； （B） (1 , 1 , 3 , 1) T , (4 , 1 , - 3 , 2) T , (1 , 0 , - 1 , 2) T ； （C） (1 , 3 , 5) , (1 , 1 , 0) , (-1 , 1 , 5) ； （D） (1 , 1 , 2 , 2 , 1)T , (0 , 2 , 1 , 5 , -1)T , (2 , 0 , 3 , -1 , 3)T , (1 , 1 , 0 , 4 , -1)T 。 4、 如向量组 a1 ,L , am 线性相关， 则向量组中 （ A ） 可由其余向量线性表示。
8、设有向量组 α1＝(1, 0, 3, 1, 2)， α3＝(3, 0, 7, 14)， α4＝( 1, - 2, 2, 0)与 - 1, 2, 4)， α2＝(
9、齐次线性方程组 nx1 + ( n - 1) x2 + L + 2 xn -1 + xn = 0 的一个基础解系为
α5＝( 2, 1, 5, 10)，则向量组的极大线性无关组是（B） （A）α1，α2，α3 (B) α1，α2，α4 (C) α1，α2，α5 (D) α1，α2，α4，α5
（B） α1，α2，α3，kβ1＋β2 线性相关 （D） α1，α2，α3，β1＋kβ2 线性相关
æ0ö ç ÷ p2 = ç 0 ÷ ç1 ÷ è ø
β = x1α1 + x2 α2 + x3α3
设其系数矩阵 A = (α1 , α2 , α3 ) ，增广矩阵 B = (α1 , α2 , α3 , β ) ，对 B 作 初等变换
（1） β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示 Û Ax = β 无解 Û R ( A) < R ( B )
2 ì ï2 - l - l = 0 Ûí Û l = -2 2 3 ï î1 + l - l - l ¹ 0
10 、 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组
Ax = b 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3 ， 且
解 得 方 程 组 得 解 x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1 ， 线 性 表 示 式 为
β = 2α1 - 2α2 + α3 .
æl2 ö æ1ö æ1ö æl ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ α1 = ç 1 ÷ , α2 = ç l ÷ , α3 = ç 1 ÷ , β = ç l ÷ çl ÷ ç1÷ ç1÷ ç1÷ è ø è ø è ø è ø
二、填空题 1、 R (α1 , α 2 , α3 , α 4 ) = 4 ，则向量组 α1, α2 , α3 是线性___无关____。 2、 对任意实数 a,b,c ，α1 = (1,1, a,1) , α2 = (1, 1, b, 0) , α3 = (1,0, c, 0) 都是线性无关。 3、设有向量组 α1＝(a, 0, c), α2＝(b, c, 0), α3＝(0, a, b) 线性无关，则 a，b，c 必须满足关系式
æ 1ö æ1ö æ 1ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x1 ç1÷ + x2 ç 2 ÷ + x3 ç 3 ÷ = ç 1 ÷ ç 1÷ ç 4÷ ç 9 ÷ ç 3÷ è ø è ø è ø è ø
1 1ö æ1 1 1 1ö ÷ r3 -3r2 ç ÷ 2 0÷ : ç0 1 2 0÷ ç0 0 2 2÷ 8 2÷ ø è ø 0 0 2ö ÷ 1 0 -2 ÷ 0 1 1÷ ø
第四章 向量组的线性相关性
一、选择题 1、设 A 是 m ´ n 矩阵， B 是 n ´ m 矩阵，则( B ) （A）当 m > n 时，必有 AB ¹ 0 （C）当 m < n 时，必有 AB ¹ 0 （A） （B） （C） （D） （B）当 m > n 时，必有 AB ＝0 （D）当 m < n 时，必有 AB ＝0 A ） 。
。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
æ 1 1 l l2 ö æ1 1 ö l l2 ö æ1 1 l l2 ç ÷ ç ç ÷ 2÷ 2 B = ç 1 l 1 l ÷ : ç 0 l -1 1 - l l - l ÷ : ç 0 l -1 1 - l l -l ÷ ç l 1 1 1 ÷ ç 0 1- l 1- l 2 1- l3 ÷ ç 0 0 2 - l - l 2 1+ l - l 2 - l3 ÷ è ø è ø è ø
所以当 l ¹ -2且l ¹ 1 时 β 可由 α1 , α2 , α3 唯一线性表示.
（1）向量组的秩=r(A)=3，向量组线性相关； （2）向量组的一个极大线性无关组为 a 1 , a 2 , a 3 ； （3） a 4 =
求解方程组 Ax = β ，即
ì x1 + x2 + l x3 = l 2 ï í(l - 1) x2 + (1 - l ) x3 = l (1 - l ) ï 2 2 3 î(2 - l - l ) x3 = 1 + l - l - l
1
æ 1 2 - 2ö æaö ç ÷ ç ÷ 5、 设 A = ç 2 1 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，若 Aa 与 a 线性相关，则 a ＝ -1 。 ç3 0 4 ÷ ç1÷ è ø è ø
6、设向量组 α1 , α2 , α3 , α4 的秩为 3，向量组 α1 , α2 , α3 , α5 的秩为 4，则向量组
h 1 = (1 , 2 , 3 , 4 ) T , h 2 = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T 为其两个解，则 Ax = b 的通解为
x=
k (1,1,1,1)T + (1,2,3,4)T
。
11、设矩阵 A = ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) ，其中 a 2 , a3 , a4 线性无关， a1 = 2a2 - a3 ， 向量 b = a1 + a 2 + a3 + a 4 ，则方程 Ax = b 的通解为
é1ù ê0ú ê ú ê M ú, ê0 ú ê ú ë- n û
é 0 ù é0ù ê 1 ú ê0ú ê ú ê ú ê M ú, L ê M ú ê 0 ú ê1 ú ê ú ê ú ë- n + 1û ë - 2û
9、 设 A 为 m ´ n 矩阵， 齐次方程组 Ax = 0 仅有零解的充要条件是 （ A （A） A 的列向量线性无关； （C） A 的行向量线性无关； 10、已知 b1 , (B) A 的列向量线性相关； (D) A 的行向量线性相关. ）
b 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同解， a 1 , a 2 是 对应齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系， k1 , k 2 为任意常数，则方程组 Ax = b 的通解必是（ B ） 。 b1 - b 2 b + b2 （A） k1a 1 + k 2 (a 1 + a 2 ) + ； （B） k1a 1 + k 2 (a 1 - a 2 ) + 1 ； 2 2 b - b2 b + b2 （C） k1a 1 + k 2 ( b1 + b 2 ) + 1 ； （D） k1a 1 + k 2 ( b1 - b 2 ) + 1 。 2 2
（A）至少有一个向量； （B）没有一个向量； （C）至多有一个向量； （D）任何一个向量都. 5、设 A 是 4 阶方阵，且 A ＝0 ，则 A 中（C ） (A) 必有一列元素全为零 （B）必有两列元素成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合 6、 设向量 a 1 , a 2 , a 3 线性无关， a 2 ,a 3 ,a 4 线性相关， 则正确的结论是 （ A ） 。 （A） a 必可由 a 2 , a 3 线性表示； （B） a （D） a
所以，当 l = -2 时, β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示. （ 2 ） β 可 由 α1 , α2 , α3 唯 一 线 性 表 示 Û Ax = β 有 唯 一 解
x = k (1, -2,1, 0 ) + (1,1,1,1)
T
T
kÎR
。
三、计算题
1
Û R ( A) = R ( B ) = 3 Û 2 - l - l 2 ¹ 0 且 Û l ¹ -2且l ¹ 1
2
4
可由 a
4
不能由 a 2 , a 3 线性表示；
ì x1 - 3x 2 = 2 7、方程 í 的通解为 î x 3 = -2
é3ù é 2 ù ú ê ú X = kê ê1ú + ê 0 ú , k Î R ê ë0 ú û ê ë - 2ú û æ - 2ö ç ÷ p1 = ç 1 ÷ , ç 0 ÷ è ø
α1 , α2 , α3 , α5 - α4 的秩为
4
.
2、设向量
, a 3 , a 4 线性表示。 7、设向量组 α1，α2，α3 线性无关，向量 β1 可由 α1，α2，α3 线性表示，而向 量 β2 不能由 α1，α2，α3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（ A ）
（C）a 1 , a 3 , a 4 必线性相关；
B 的各行的线性组合，组合系数是 A 的第 i 行各元素； A 的各行的线性组合，组合系数是 B 的第 i 行各元素； B 的各列的线性组合，组合系数是 A 的第 i 行各元素； B 的各行的线性组合，组合系数是 A 的第 i 列各元素．
B ） 。
T T T
k1a1 + k 2a 2 + L + k ma m ¹ 0 ，则 a1 , a 2 , L , a m 线性无关； （C）若 a 1 , a 2 , L , a m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1 , k 2 , L , k m ， 都有 k1a 1 + k 2a 2 + L + k ma m = 0 ； （D）若 0a 1 + 0a 2 + L + 0a m = 0 ，则 a 1 , a 2 , L , a m 线性无关。
（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组； （D）任何一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出。 12、 设 a 1 , a 2 , L , a m 均为 n 维列向量， 那么， 下列结论正确的是 （ B ） 。 （A）若 k1a 1 + k 2a 2 + L + k ma m = 0 ，则 a 1 , a 2 , L , a m 线性无关； （ B ） 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k 2 , L , k m ， 都 有
1、已知向量 α1 = (1,1,1) , α2 = (1, 2, 4) , α3 = (1, 3,9) 及 β = (1,1,3)T ，试用
T T T
α1 , α2 , α3 线性表示 b .
解：设 β = x1α1 + x2 α2 + x3α3 ，即
2、 设 A = ( a ij ) ， B = (bij ) 是两个 n 阶方阵， 则 AB 的第 i 行是 （
。
问 l 取何值时 （1） β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示？ （2） β 可由 α1 , α2 , α3 线 性表示，且表示式唯一？并求出这个表达式. 。 解：设有数 x1 , x2 , x3 使
8、方程 x1 + 2 x 2 + 0 x3 = 0 的基础解系为
（A） α1，α2，α3，kβ1＋β2 线性无关 （C） α1，α2，α3，β1＋kβ2 线性无关
T T T
abc ¹ 0
.
4、如向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，向量组 a1 + a2 , a2 + a3 , a3 + a1 线性无关.
æ1 ç B = ç1 ç1 è æ1 r1 - r2 ç : 0 r2 - r3 ç r3 / 2 ç è0
1 1 1ö æ 1 1 ÷ r2 - r1 ç 2 3 1÷ : ç 0 1 r3 - r1 ç 4 9 3÷ ø è0 3 0 -1 1 ö æ1 ÷ r3 -3r2 ç 1 0 -2 ÷ : ç 0 ç0 0 1 1÷ ø è
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
3、下列向量组中线性无关的向量组是（
（A） (1 , 2) , (2 , 7) , (-4 , 5) ； （B） (1 , 1 , 3 , 1) T , (4 , 1 , - 3 , 2) T , (1 , 0 , - 1 , 2) T ； （C） (1 , 3 , 5) , (1 , 1 , 0) , (-1 , 1 , 5) ； （D） (1 , 1 , 2 , 2 , 1)T , (0 , 2 , 1 , 5 , -1)T , (2 , 0 , 3 , -1 , 3)T , (1 , 1 , 0 , 4 , -1)T 。 4、 如向量组 a1 ,L , am 线性相关， 则向量组中 （ A ） 可由其余向量线性表示。
8、设有向量组 α1＝(1, 0, 3, 1, 2)， α3＝(3, 0, 7, 14)， α4＝( 1, - 2, 2, 0)与 - 1, 2, 4)， α2＝(
9、齐次线性方程组 nx1 + ( n - 1) x2 + L + 2 xn -1 + xn = 0 的一个基础解系为
α5＝( 2, 1, 5, 10)，则向量组的极大线性无关组是（B） （A）α1，α2，α3 (B) α1，α2，α4 (C) α1，α2，α5 (D) α1，α2，α4，α5
（B） α1，α2，α3，kβ1＋β2 线性相关 （D） α1，α2，α3，β1＋kβ2 线性相关
æ0ö ç ÷ p2 = ç 0 ÷ ç1 ÷ è ø
β = x1α1 + x2 α2 + x3α3
设其系数矩阵 A = (α1 , α2 , α3 ) ，增广矩阵 B = (α1 , α2 , α3 , β ) ，对 B 作 初等变换
（1） β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示 Û Ax = β 无解 Û R ( A) < R ( B )
2 ì ï2 - l - l = 0 Ûí Û l = -2 2 3 ï î1 + l - l - l ¹ 0
10 、 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组
Ax = b 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3 ， 且
解 得 方 程 组 得 解 x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1 ， 线 性 表 示 式 为
β = 2α1 - 2α2 + α3 .
æl2 ö æ1ö æ1ö æl ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ α1 = ç 1 ÷ , α2 = ç l ÷ , α3 = ç 1 ÷ , β = ç l ÷ çl ÷ ç1÷ ç1÷ ç1÷ è ø è ø è ø è ø
二、填空题 1、 R (α1 , α 2 , α3 , α 4 ) = 4 ，则向量组 α1, α2 , α3 是线性___无关____。 2、 对任意实数 a,b,c ，α1 = (1,1, a,1) , α2 = (1, 1, b, 0) , α3 = (1,0, c, 0) 都是线性无关。 3、设有向量组 α1＝(a, 0, c), α2＝(b, c, 0), α3＝(0, a, b) 线性无关，则 a，b，c 必须满足关系式
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第四章 向量组的线性相关性
一、选择题 1、设 A 是 m ´ n 矩阵， B 是 n ´ m 矩阵，则( B ) （A）当 m > n 时，必有 AB ¹ 0 （C）当 m < n 时，必有 AB ¹ 0 （A） （B） （C） （D） （B）当 m > n 时，必有 AB ＝0 （D）当 m < n 时，必有 AB ＝0 A ） 。
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
æ 1 1 l l2 ö æ1 1 ö l l2 ö æ1 1 l l2 ç ÷ ç ç ÷ 2÷ 2 B = ç 1 l 1 l ÷ : ç 0 l -1 1 - l l - l ÷ : ç 0 l -1 1 - l l -l ÷ ç l 1 1 1 ÷ ç 0 1- l 1- l 2 1- l3 ÷ ç 0 0 2 - l - l 2 1+ l - l 2 - l3 ÷ è ø è ø è ø
所以当 l ¹ -2且l ¹ 1 时 β 可由 α1 , α2 , α3 唯一线性表示.
（1）向量组的秩=r(A)=3，向量组线性相关； （2）向量组的一个极大线性无关组为 a 1 , a 2 , a 3 ； （3） a 4 =
求解方程组 Ax = β ，即
ì x1 + x2 + l x3 = l 2 ï í(l - 1) x2 + (1 - l ) x3 = l (1 - l ) ï 2 2 3 î(2 - l - l ) x3 = 1 + l - l - l
1
æ 1 2 - 2ö æaö ç ÷ ç ÷ 5、 设 A = ç 2 1 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，若 Aa 与 a 线性相关，则 a ＝ -1 。 ç3 0 4 ÷ ç1÷ è ø è ø
6、设向量组 α1 , α2 , α3 , α4 的秩为 3，向量组 α1 , α2 , α3 , α5 的秩为 4，则向量组
h 1 = (1 , 2 , 3 , 4 ) T , h 2 = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T 为其两个解，则 Ax = b 的通解为
x=
k (1,1,1,1)T + (1,2,3,4)T
。
11、设矩阵 A = ( a1 , a 2 , a3 , a 4 ) ，其中 a 2 , a3 , a4 线性无关， a1 = 2a2 - a3 ， 向量 b = a1 + a 2 + a3 + a 4 ，则方程 Ax = b 的通解为