沪科版八年级上13.2命题与证明专题训练及答案

13.2 命题与证明

专题一 三角形中的计算与证明题

1.已知△ABC 的高为AD ，∠BAD =70º，∠CAD =20º，求∠BAC 的度数。

2.如图，已知AB ∥DE ，试求证：∠A +∠ACD +∠D =3600

（你有

几种证法?）

3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法. 小明：在△ABC 中，延长BC 到D ，

∴∠ACD =∠A +∠B （三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又∵∠ACD +∠ACB =180°（平角定义），

∴∠A +∠B +∠ACB =180°（等式的性质）.

小虎：在△ABC 中，作CD ⊥AB （如图9），

∵CD ⊥AB （已知），

∴∠ADC =∠BDC =90°（直角定义）. ∴∠A +∠ACD =90°，∠B +∠BCD =90°（直角三角形两锐角互余）.

∴∠A +∠ACD +∠B +∠BCD =180°（等式的性质）.

∴∠A +∠B +∠ACB =180°.

请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.

专题二 证明中的探究题

4.（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C (填“＞”“＜”“=”)，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______.

（3）如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A ＝30°,则x ＋y ＝360°－（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为

A B C D

.

5.如图，已知AB CD ∥，探究1

23∠，∠，∠之间的关系，并写出证明过程．

【知识要点】

1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果……那么……”的形式,任何一个命题都有逆命题.

2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.

三角形三个外角的和等于360°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.

【温馨提示】

1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.

2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.

3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.

4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.

【方法技巧】

1.要会判断一个语句是否为命题，需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.

2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.

3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.

图① 图② 图③

参考答案

1.（1）当高AD 在△ABC 的内部时，因为∠BAD =70º，∠CAD =20º，所以∠BAC =∠BAD +∠CAD =70º+20º=90º;（2）当高AD 在△ABC 的外部时，因为∠BAD =70º，∠CAD =20º，所以∠BAC =∠BAD -∠CAD =70º-20º=50º.综合（1）、（2）可知∠BAC 的度数为90º或50º.

2.证法一：如图1，过点C 作CF ∥AB 。∵AB ∥CD （已知），∴CF ∥DE （两条直线都

和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A +∠1=1800 ∠D +∠2=1800（ 两

直线平行，同旁内角互补），∴∠A +∠1 +∠2+∠D =3600（等式性质），即∠A +∠ACD +∠D

=360

0 证法二：如图2，过点C 作CF ∥AB 。∵AB ∥CD （已知），∴CF ∥DE （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A =∠ACF ∠D =∠DCF （ 两直线平行，

内错角相等），∵∠ACD +∠ACF +∠DCF =3600（ 周角定义），∴∠A +∠ACD +∠D =360

0（ 等式性质）

3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.

另证：已知：如图10,△ABC ，求证：∠A +∠B +∠C =180°. 证明：过点A 作EF ∥BC ，

∴∠EAB =∠B ，∠FAC =∠C (两直线平行，内错角相等).

∵∠EAB +∠BAC +∠FAC =180°(平角定义)， ∴∠B +∠BAC +∠C =180°.

4.(1)∵∠1+∠2+∠A =180°, ∠A +∠B +∠C =180°(三角形内角和等于180°),

∴∠1+∠2=∠B +∠C (等式的性质);

(2) = 280°

(3)300° 60° ∠BDA ＋∠CEA =2∠A

5.132180+-=∠

∠∠． 证明：如图6，连接AC ．∵AB CD ∥（已知），

∴180BAC DCA +=∠∠（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵2EAC ECA =+∠∠∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴13BAC EAC DCA ECA =-=-∠∠∠，∠∠∠，

∴13180EAC ECA -+-=∠

∠∠∠， 也就是13()180EAC ECA +-+=∠∠∠∠，