沪科版八年级上册命题与证明
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的重点内容，本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行进一步的深入学习。
本节课的主要内容是让学生了解证明的方法和步骤，学会如何正确地进行数学证明。
教材通过具体的例子引导学生理解证明的过程，并通过练习让学生掌握证明的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了命题与定理的基本概念，对命题和定理有了初步的理解。
但是，学生在证明方面还缺乏系统的训练，证明的方法和步骤还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解证明的过程，并通过大量的练习让学生掌握证明的方法。
三. 教学目标1.让学生理解证明的概念和方法，掌握证明的基本步骤。
2.培养学生进行数学证明的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.通过数学证明的学习，培养学生的耐心和细致，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生理解证明的概念和方法，掌握证明的基本步骤。
2.教学难点：如何引导学生理解证明的过程，如何让学生掌握证明的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生理解证明的过程。
2.使用小组合作学习的方法，让学生在合作中学习，提高学生的学习效果。
3.通过大量的练习，让学生在实践中掌握证明的方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备相关的教学工具，如黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾命题与定理的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，呈现本节课的主要内容，让学生了解本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师通过具体的例子，引导学生理解证明的过程，让学生掌握证明的基本步骤。
4.巩固（10分钟）教师布置一些练习题，让学生在练习中巩固所学的内容，提高学生的证明能力。
5.拓展（10分钟）教师通过一些综合性的练习题，让学生在练习中提高自己的逻辑思维能力，提高学生的学习兴趣。
沪科版数学八年级上册教案-13.2 第1-2课时 命题、证明
13.2命题与证明第1课时命题教学目标【知识与能力】了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。
会区分命题的条件和结论。
【过程与方法】对于命题的结构，可让学生先自行观察或相互讨论，得出结论．关于找出命题的题设和结论，特别是对那些题设和结论不明显的命题，是一个难点，解决这一难点的方法是让学生适当多做些练习，对本问题不能要求学生本节课就必须掌握，在今后的教学中逐步练习．对于真命题要注意强调“结论一定成立”中“一定”的含义是无一例外，总是正确的，而假命题就不能保证总是正确的；教学时最好要结合一些具体的例子，对照起来讲解。
【情感态度价值观】初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
教学重难点【教学重点】找出命题的条件（题设）和结论。
【教学难点】命题概念的理解。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。
根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。
1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。
二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。
像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。
教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。
用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。
例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。
有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节课的主要内容是让学生理解命题的概念，掌握证明的方法和技巧。
教材通过引入生活中的实例，让学生体会命题的意义，进而引导学生学习证明的基本方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对数学概念有一定的理解。
但是，对于证明这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对证明方法的不理解，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解命题的概念，能正确写出题设和结论。
2.让学生掌握证明的方法和技巧，能运用所学的证明方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题的概念，证明的方法和技巧。
2.难点：证明方法的灵活运用，对复杂命题的证明。
五. 教学方法1.采用实例导入法，通过生活中的实例引导学生理解命题的意义。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索证明的方法。
3.采用分组合作法，让学生在合作中交流和分享证明的方法和经验。
4.采用讲解法，教师对重点和难点进行讲解和解答。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入和讲解。
2.准备一些证明题目，用于巩固和拓展。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“如果一个人是男生，那么他一定有喉结”，让学生理解命题的概念，引导学生写出题设和结论。
2.呈现（10分钟）呈现一些简单的命题，如“勾股定理”和“平行线的性质”，让学生尝试证明。
教师在旁边指导，解答学生的疑问。
3.操练（10分钟）学生分组合作，每组选择一个命题进行证明。
教师巡回指导，检查学生的证明过程，纠正错误。
4.巩固（10分钟）教师选取一些学生的证明题目，进行讲解和分析，让学生理解和掌握证明的方法和技巧。
沪科版数学八年级上册1命题的证明课件
推论1：三角形的一个外角等于与 它不相邻 的两个内角的和。 推论2：三角形的一个外角大于与 它不相邻的任何一个内角。
当堂训练
求下列各图中∠1的度数。
120°
60°
35°
1
1
1
110°
2
50°
45°
已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角
A 求证： ∠1+∠2+∠3=360°
2
1
B C
B
C
D
能证明这
个结论吗
证明： △ABC中
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三 角形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角 定义）
A
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换 ）
想一想
B
C
D 还有其它的做法吗
？
推论1：三角形的一个外角等于与 它不相邻 的两个内角的和。
你选谁
A
？
B
C
D
∠ACD ＞ ∠A (<、>)； ∠ACD ＞ ∠B (<、>)
2、预学下一节内容。
谢谢
命题的证明
前面我们已经学习了三角形的
内角，现在老师给出一个三角形
，请同学们 找出它的内角是什么
？
A
B
C
合作探究
三角形的外角：
A
三角形的一边与另
一边的延长线组成的角
，叫做三角形的外角．
B
C
D
请同学们思考：外角有哪些特点？
1、顶点是三角形的一个顶点 2、一边是三角形一条边 3、另一边是三角形某条边的延长线
A
B
CE
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了四则运算、方程求解、几何图形的性质等基础知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解证明过程，以及如何运用已知定理证明未知定理。
教材通过具体的例子让学生理解命题与证明的基本概念，并培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经具备了一定的数学基础，对几何图形的性质和方程求解等有一定的了解。
但是，对于命题与证明这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，逐步理解命题与证明的概念。
同时，八年级的学生逻辑思维能力较强，对于新的知识有较强的求知欲，通过引导，可以激发学生学习本节内容的兴趣。
三. 教学目标1.了解命题与证明的概念，理解定理的含义。
2.学会阅读和理解证明过程，培养逻辑思维能力。
3.能够运用已知定理证明未知定理，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题与证明的概念，定理的含义。
2.难点：如何阅读和理解证明过程，运用已知定理证明未知定理。
五. 教学方法1.引导法：通过具体的例子引导学生理解命题与证明的概念。
2.讲解法：讲解定理的含义，解释证明过程。
3.实践法：让学生通过实际操作，运用已知定理证明未知定理。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示具体的例子和证明过程。
2.练习题：准备一些相关的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考什么是命题，什么是证明。
例如，给出一个命题：“所有的直角三角形都是等腰三角形”，让学生思考这个命题是否正确，如何进行证明。
2.呈现（10分钟）讲解命题与证明的概念，解释定理的含义。
通过PPT展示相关的例子和证明过程，让学生理解命题与证明的基本概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个定理，尝试用自己的语言进行解释，并尝试证明。
沪科版度八年级数学上册1.1命题与证明课件
(1)你喜欢数学吗? (2)作线段AB=CD. ⑶清新的空气； ⑷不许讲话。
将命题“如果p，那么q”中的条件与结 论互换，便得到了一个新命题“如果q ，那么p ”我们把这样的两个命题称为互 逆命题其中一个叫做原命题，另一个就 叫做原命题的逆命题。
下列各语句中,哪些是命题,哪些不是命题?是 命题的,请你先将它改写为“如果p，那么q”的情 势,再指出命题的条件和结论，并说出它的逆命题。
1.相等的两个角是锐角. 2.画一条线段的垂直平分线. 3.两条直线相交,只有一个交点.
4.延长线段AB到C,使AC=2AB
5.同一个角的两个余角相等. 6.两直线平行,同位角相等.
7.当a=b时,有a2=b2. 8.当a2=b2时,有a=b.
1.下列命题的条件是什么?结论是什么? (1)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (2)如果a>b,b>c,那么a=c; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等; (4)菱形的四条边都相等; (5)全等三角形的面积相等.
2.上述的命题中,哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道 它们是不正确的?与同伴交流.
正确的命题叫做真命题；
错误的命题叫做假命题.
判断下列命题是真命题还是假命题：
1.相等的两个角是锐角. 假命题 3.两条直线相交,只有一个交点.真命题 5.同一个角的两个余角相等. 真命题 6.两直线平行,同位角相等.真命题
7.当a=b时,有a2=b2. 真命题 8.当a2=b2时,有a=b.假命题
一个锐角与一个钝角的和等于180° 假命题
因为30°是锐角,120°是钝角, 而 30°+120°= 150°≠180 °,所以“一个锐角与一个钝角的和等于 180°”是假命题．
沪科版八年级数学课件：1命题与证明
（1）如果a=b，则a2=b2。（2）等角的余角相等。（3）同位角相等，两直线平行。
如果a2=b2 ，则 a=b。
如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。
两直线平行，同位角相等。
思考：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
什么叫做命题：
对某一事物作出正确（真）或者错误（假）判断的语句叫做命题。（也可以说：判断一件事情的语句叫做命题）
判断对错：
即，只要是判断的句子都是命题
命题有真有假
正确的命题叫做真命题
错误的命题叫做假命题
｛
｛
命题的类型
（1）你的作业做完了吗？（2）欢迎前来参观！（3）以点O为圆心，3cm长为半径画弧
判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“× 表示。
3）不相等的两个角不是对顶角（ ）
5）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
×
×
√
√
√
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
命题的结构：任何一个数学命题都是由 两部分组成的. 是 ， 是由 ， 这种命题常可写成 的情势,“如果”后面的部分是题设,“那么”后面的部分是结论.
问题:(1)上述四个语句是命题吗?(2)它们的题设,结论分别是什么?(3)(1)和(2),(3)和(4)之间,你发现了什么?
把一个命题的题设和结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命 题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
第一个命题的题设是第二个命题的结论
题设和结论
题设
已知事项
结论
已知事项推出的事项
“如果 …那么…”
沪科版度八年级数学上册13.命题与证明课件
作业：请同学们回去想想证明三角形 内角和为180°的证明方法，越多越 好！看谁想的方法最多！
课堂练习
证明：直角三角形两个锐角互余。 已知：如图，△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°,(三角形的 内角和定理)
∴ ∠A＋∠B=180°-∠C. 又∵ ∠C=90°, ∴ ∠A＋∠B=180°- 90°= 90°.
• 如果一个三角形中一个角为90°， 根据三 角形内角和定理，另两个角的和应为90°, 于是得
• 推论1 直角三角形的两锐角互余.
在这里,我们通过三角形内角 和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由基本事实或定理直 接推出的真命题,叫做推论.
• 推论2 有两个角互余的三角形是直角 三角形.
课堂练习
四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.
已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
你试过了吗？.
但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在 黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来 再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论 证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
分析：可延长BC到D，过点C作射线 CE∥AB，得∠1、∠2，
一、复习“三角形内角和定理”
三角形的三个内角之和等于180゜。 即：在△ABC中，
有A+∠B+∠C=180゜ A
B
C
二、论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等 于180°呢？？
前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放 在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成 了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜， 就可说明 ∠A+∠B+∠C=180゜了
八年级数学上册13.2命题与证明教案(新版)沪科版
13．2 命题与证明第1课时命题1．了解命题的含义．2．对命题的概念有正确的理解．3．会区分命题的条件和结论．重点找出命题的条件(题设)和结论．难点命题概念的理解．一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．同旁内角相等，两直线平行；4．直角都相等．二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果,,那么,,”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果,,那么,,”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”应用迁移、巩固提高1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,,那么,,”的形式，并分别指出命题的题设和结论．学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果,,那么,,”的形式，并说出它们的条件和结论．(1)对顶角相等；(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．说出上题的逆命题，并讨论．三、运用新知，深化理解例1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果,,那么,,”的形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果,,那么,,”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果,,那么,,”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．四、课堂练习，巩固提高1．教材P77练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题；命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果,,那么,,”的形式；命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可）；逆命题：原命题为“如果p，那么q”，逆命题则为“如果q，那么p”．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84习题13.2第1～3题．第2课时证明(一)1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．重点证明的含义和表述格式．难点按规定格式表述证明的过程．一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由．分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．教师对具体的说理过程予以详细的板书．小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．【归纳总结】证明几何命题的表述格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程．三、运用新知，深化理解例1 如图，下列推理中正确的有( )①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠２不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．例2 完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B.证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P78～79练习及P80练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义．(2)真命题证明的步骤和格式．(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84～85习题13.2第5～8题．第3课时证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．重点根据具体的证明过程，填写推理的理由．难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法； 2.折叠法； 3.剪拼法．)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．2．总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善．3．小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．(2)求证：对顶角相等．4．证明：直角三角形的两个锐角互余．(请学生画图口答即可．)推论1：直角三角形两锐角互余．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠３分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．例2 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠１与∠２与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC，∠2＝12DCA，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P81～82练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．第4课时三角形的外角1．了解三角形的外角．2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．二、合作交流，探究新知探究问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出问题．教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．三、运用新知，深化理解教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．例1 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．例2 如图，求证：(1)∠BDC>∠A；(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠１是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．∴∠1>∠3.∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．即：∠BDC>∠BAC.(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．则∠BDC是△CDE的一个外角．∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．【教学说明】让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．四、课堂练习，巩固提高1．教材P83练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P85习题13.2第9题．。
沪科版八年级数学上册第13章教学课件：13.2 命题与证明第2课时 证明(共21张PPT)
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其他命 题的正确性
典例精析
证明：内错角相等，两直线平行.
例1 如图，直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2，
求证：a∥b.
证明：∵∠1=∠2（已知），
c
∠1=∠3（对顶角相等），
3
a
1
∴∠2=∠3（等量代换），
2
b
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
你还能找出几种证法？
13.2 命题与证明
第2课时 证明
学习目标
1.理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概 念;（重点）
2. 了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几 何知识证明一些简单的几何问题;（难点）
3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探 索精神，培养学习数学的兴趣．（难点）
导入新课
观察与思考
程叫证明
一些条件
+
推理
证实其他 命
基本事实或公理
题的正确
性
经过证明的真 命题叫定理
费马 欧拉
大数学家也有失误
当n=0，1，2，3，4时，
22n 1= 3，5，17，257，65 537 都是质数
对于所有自然
数n，22n 1的值
都是质数.
当n=5时，22n 1= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有 效方法.
这个故事告诉我们： 1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的 结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用 方法.
二 证明与推理
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对某件事作出正确或不正确判断的语句（或式子）
叫做命题
判断语句是正确的命题，我们称之为真命题 判断语句是错误的命题，我们称之为假命题
如果一个语句没有对某一事件正确与否作出 任何判断，那么它就不是命题
例如： （1）你的怎作业做完了吗？ （2）欢迎前来参观！ （3）以O为圆心，3cm长为半径画图
每个命题都有逆命题。
例1、写出下列命题的逆命题： (1)如果a2=b2,那么|a|=|b| (2)如果a=b,那么a2=b2 (3)直角都相等 (4)对顶角相等 (5)如果a>1,b>1,那么a+b>2
(6)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两 个锐角互余。 (7)等边三角形的每个角都等于60º。 (8)全等三角形的对应角相等。
题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另 一个叫做原命题的逆命题。
施官职中 应 加 胜
思考：原命题是真命题，那么它的逆命 题也是真命题吗？
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假。
（1）如果a=b，则a2=b2。 （2）等角的余角相等。 （3）同位角相等，两直线平行。
（1）如果a2=b2 ，则 a=b。 假
判断下列语句哪些是判断句?
(1)福州市是福建省的省会。（是） (2)3+7<11 。 （是） (3)有公共顶点的角是对顶角。（是） (4)北京欢迎你！（不是） (5)上海在海上。（是） (6)你的作业做完了吗？（不是）
施官职中 应 加 胜
命题可看做由题设（条件）和结论两部分 组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推 出的事项。
因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题 ，但不一定有逆定理。
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要 判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可
。 反例：符合命题条件，但不符合 命题结论的例子。
例如：相等的两个角是对顶角。
1 2
施官职中 应 加 胜
课堂小结
1、命题：判断正确或错误的句子叫命题。
施官职中 应 加 胜
将下列命题改写成”如果”、
“那么”的形式，然后指出它们 的题设是什么?结论是什么?
(1)同位角相等.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
题设
结论
(2)形状和大小相同的两个三角形面积相等.
如果两个三角形的形状和大小相同，
题设
那么这两个三角形面积相等。
结论 施官职中 应 加 胜
观察交流
(9)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端 点的距离相等。
上述9个命题是否是真命题？
但真命题的逆命题未必是正确的，如(2)(3)(4) (5)(8)的逆命题就是假命题。
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题 。
例如：“如果∠1与∠2是对顶角，那么 ∠1=∠2”是证明题。它的逆命题是什么呢？你能说出 来吗？它是证明题吗？该如何证明它是甲命题呢？
通常举出符合命题条件，但不符合命题结论的例
反例 子，像这样的例子我们称之为
。要说明一个
命题是假命题只要举出一个反例就可以了
判断下列语句是不是命题？如果是命题 并请判断真假.
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（×） 2）两条直线相交，有且只有一个交点（√ ）真 3）不相等的两个角不是对顶角（√ 真） 4）一个平角的度数是180度（√ ）真 5）南京是中国的首都（ √ ）假 6）取线段AB的中点C；（× ） 7）画两条相等的线段（ × ）
（2）如果两个角的余角相等，
那么这两个角也相等。
真
（3）两直线平行，同位角相等。真
施官职中 应 加 胜
正确的命题即真命题叫做定理，因此每个定理 都有逆命题。
但定理的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相 等 ”的逆命题是假命题。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理。
沪科版八年级上册命题 与证明
2020/9/22
前面，我们研究三角形的性质时，通过折叠，剪 拼和度量得到三角形的内角和是180°
2
3
1
（1）在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角 ，只是接近于180°的某个值
（2）度量三个角，然后相加有的接近179°，有 的接近181°，不是很准确的得到180°
如何回答上面的问题呢?
要判断数学命题的真假，需要作出必要的逻辑推理 学习几何需要三个方面：①观察②实验③推理，推理 是一种思维活动，人们在思维活动中，常要对事物的情 况作出判断，判断是要通过语言来表达的
（1）北京是中华人民共和国的首都 ✔
（2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2 ✔ （3）1+1＜2 ✘
（4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的 倍数，那么这个数能被3整除 ✔
(1)两直线平行,同旁内角互补. (2)同旁内角互补,两直线平行. (3)对顶角相等 (4)相等的两个角是对顶角.
问题: (1)上述四个语句是命题吗? (2)它们的题设,结论分别是什么? (3)(1)和(2),(3)和(4)之间,你发现了什么?
把一个命题的题设和结论互换，便可以 得到一个新的命题，我们称这样的两个命
用“如果（若）”开始的部分是命题题设（条件） 用“那么（则）”开始的部分是命题的题断（结论）
以“如果。。。那么。。。”为关联词的命题一般 形式是“如果P，那么Q”或者“若P则Q”其中P是这 个命题的条件，Q是这个命题的结论。
如将命题“如果p,那么q"中的条件与结论互换 ，得到一个新命题，”如果q,那么p"我们把这样 的两个每天叫做互逆命题，其中一个叫原命题， 另一个就叫原命题的逆命题
两直线平行，同位角相等。
如果两直线平行，那么同位角相等。
题设（条件）
结论
命题的形式：“如果......那么.....”
或者“若...，则...” 施官职中 应 加 胜
4、说出下列命题的题设和结论 (1)两直线平行，内错角相等。 (2)内错角相等，两直线平行。 (3)全等三角形的对应边相等 (4)三边对应相等的两个三角形全等。 (5)角平分线上的点到角两边的距离相等 (6)到角两边距离相等的点在角的平分线上。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题 。
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常 可写成“如果、、、那么、、、”的形式
2、判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反 例；
而判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出 发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真 命题）