中考数学-圆的切线证明方法

专题-------圆的切线证明

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识围，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M,求证：DM 与⊙O 相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD ，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C. ∴OD ∥AC. ∵DM ⊥AC ， ∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切

证明二：连结OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900

∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900.

即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线

例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300

，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是⊙O 的切线

D

C

证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300

. ∴∠BOC=∠A+∠1=600

. 又∵OC=OB ，

∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD.

∴DC 是⊙O 的切线.

例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2

=OD ·OP.

求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结OC

∵OA 2

=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，

OC

OP

OD OC

. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900

. ∴PC 是⊙O 的切线.

二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点

.

求证：AC 与⊙D 相切.

证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足. ∵AB 是⊙D 的切线， ∴DE ⊥AB. ∵D F ⊥AC ， ∴∠DEB=∠DFC=900

. ∵AB=AC ，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD ，

∴△BDE ≌△CDF （AAS ） ∴DF=DE. ∴F 在⊙D 上. ∴AC 是⊙D 的切线

证明二：连结DE ，AD ，作DF ⊥AC ，F 是垂足. ∵AB 与⊙D 相切， ∴DE ⊥AB. ∵AB=AC ，BD=CD ， ∴∠1=∠2.

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF.

∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.

练习：（公共点明确，连半径，证垂直；公共点不明，做垂直，证半径）

1．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。

(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；

(2)求CF:CE 的值。

A B

D

E

F G O

(第1题图)

2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，

OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若35AC AB =，求

AF

DF

的值。

3．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；

（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．

4．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；

(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．

B C E

B

A O F

D