中考数学-圆的切线证明方法
专题-------圆的切线证明
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识围，证
明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，
只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，
难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
D
C
证明：连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
∵OB=BD，
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
例3 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
OCOPODOC.
又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB，
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是
⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的
半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
D
求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
练习：（
公共点明确，连半径，证垂直；公共点不明，做垂直，证半径）
1．(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D
，
交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。
(1)求证：直线EF是⊙O
的切线；
(2)求CF:CE
的值。
A
B D C E
F
G
O
(第1题图)
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，
OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若35ACAB，求AFDF的值。
3．如图，RtABC△中，90ABC°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是O⊙的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．
4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
(1) 求证：直线PB与⊙O相切；
(2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
F
E
D
C
B A
O
C
E
B
A
O
F
D
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
内蒙古鄂尔多斯康巴什新区中考数学一轮复习 圆的切线的的有关计算与证明(无答案)
圆的切线有关证明与计算【考情分析】圆的切线的有关计算与证明题一般出在第21或22题位置，分值在9分左右，难度中等偏上，所考查的知识点相对稳定，从题目本身来看，一般都采取很标准的两问式。
第一问考查切线的判定和性质，第二问求角度或线段长度。
【解题要领方法透视】【基础题强化】1.（2016湖北黄石，）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于B A ,），CD AD ⊥. （1）若BC =3，5=AB ，求AC 的值；（2）若AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.DAOC第1题图图13OFEDCBA2、(2016四川乐山）如图13，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若32EB =,且3sin 5CFD ∠=,求⊙O 的半径与线段AE 的长.【典例精析】例1.（2015鄂尔多斯市） 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，且∠B=2∠A ，M 是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC.（1）求证：CF是⊙O的切线.（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长.例2.（2015福建省福州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，tan B= 12.半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到»DE.(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积.【课堂检测】1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直经作⊙O 交BC 与D 点，过点D 作⊙O 的切线EF ，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F.(1)求证:FE ⊥AB.(2)当AE=6，AF=10时，示BE 的长.2．（2016浙江衢州）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线．（2）若CD ＝23OP ＝1， 求线段BF 的长．DOFC B E3.（2016四川广安）如图，以△ABC的边BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E．点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sin B专题复习——圆的切线有关证明与计算 限时作业1．（2014年吉林省 23，8分）如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交⊙O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC 的面积.2、（2016青海西宁）如图11，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CBD CDA ∠=∠．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，6=BC ，32=BD AD ．求BE 的长．3.（2014甘肃省陇南市，27，10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．4. (2014青海)如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC.(1)求证：AP是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积.3.（2015四川省巴中市，30，10分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．4.（2015浙江省丽水市，21，8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．5、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作圆.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)如果tan∠CAO=13，求cosB的值.AB CDEFOA。
中考数学(陕西地区)总复习 考点跟踪突破 与圆切线性质
与圆切线性质有关的证明及计算二十三(针对陕西中考第23题)1．(2015·青海)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交⊙O 于点D .(1)求证：AM ＝AC ；(2)若AC ＝3，求MC 的长．解：(1)连接OA ，∵AM 是⊙O 的切线，∴∠OAM ＝90°，∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝30°，∴∠AOM ＝60°，∴∠M ＝30°，∴∠OCA ＝∠M ，∴AM ＝AC (2)作AG ⊥CM 于点G ，∵∠OCA ＝30°，AC ＝3，∴AG ＝32，由勾股定理得，CG ＝332，则MC ＝2CG ＝332．(2016·漳州)如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于点D ，连接AC ，B C .(1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若AD ＝2，AC ＝6，求AB 的长．解：(1)相切，连接OC ，∵C 为BE ︵的中点，∴∠1＝∠2，∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠ACO ，∴∠2＝∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切 (2)易得△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝ACAB，∴AB ＝33．(导学号 30042279)(2015·菏泽)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F.(1)求证：∠ABC ＝2∠CAF ；(2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE 的长．解：(1)连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠ABD ＝90°，∵AF 是⊙O 的切线，∴∠FAB ＝90°，即∠DAB ＋∠CAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠ABD ，∵BA ＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝2∠ABD ，∴∠ABC ＝2∠CAF (2)连接AE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，设CE ＝x ，∵CE ∶EB ＝1∶4，∴EB ＝4x ，BA ＝BC ＝5x ，AE ＝3x ，在Rt △ACE 中，AC 2＝CE 2＋AE 2，即(210)2＝x 2＋(3x )2，∴x ＝2，∴CE ＝24．(导学号 30042280)(2016·聊城)如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，点E 为OB 的中点，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，点F 恰好落在AB ︵的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G ，连接OF.(1)求证：OF ＝12BG ；(2)若AB ＝4，求DC 的长．解：(1)∵以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，点F 恰好落在AB ︵的中点，∴AF ︵＝BF ︵，∴∠AOF ＝∠BOF ，∵∠ABC ＝∠ABG ＝90°，∴∠AOF ＝∠ABG ，∴FO ∥BG ，∵AO ＝BO ，∴FO 是△ABG 的中位线，∴FO ＝12BG(2)在△FOE 和△CBE 中，⎩⎨⎧∠FOE ＝∠CBE ，EO ＝EB ，∠OEF ＝∠BEC ，∴△FOE ≌△CBE (ASA )，∴BC ＝FO＝12AB ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝25，连接DB ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝∠ABC ，∵∠BCD ＝∠ACB ，∴△BCD ∽△ACB ，∴BC AC ＝CD BC ，∴225＝DC2，25解得：DC＝5。
中考数学专题复习：与圆切线有关的线段计算
判定
等边△ 平行
中位线
角90°
课堂小结
说说你的收获！
课堂小测
在Rt△ABC中,∠ACB= 90°, D是AB边上的一点,以BD为直 径作⊙0交AC于点E,连接DE 并延长,与BC的延长线交于点 F,且BD=BF. (1)求证: AC与⊙O相切.
(2)若BC=6,AB=12,求⊙0的面积.
（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过 圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半 径，即“无交点，作垂直，证半径”．
运用技巧 类型一：“有交点，连半径，证垂直”． 1.如图AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O 交BC于D，DM⊥AC于M ． 求证：DM与⊙O相切．
【难点在于如何证明两线垂直】
运用技巧 类型二：“无交点，作垂直，证半径”． 2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC 上求任证一：点OB，与⊙—⊙D—D与—相O—切A—相．—切—于—点—E —． 垂直或直角三角形
构造思想——运用相似三角形对应边成比 例，或三角函数边角的关系、勾股定理等 找出隐藏的线段之间的数量关系，建立数 学模型，利用方程的思想，设出未知数表 示关键的线段，再运用线段之间的数量关 系建立方程来解决问题。
拓展提高
在等边△ABC中,以BC为直径的⊙0与
AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证:DE为⊙0的切线. (2)计算 CE .
(2) 若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.
【方法点拨】连接切点和圆心构造垂直 或直角三角形.
实战中考
变式训练:如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O 与PA相切于点C． （1）求证:直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的 半径为3,PC=4.求弦CE的长．
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
2019中考数学热点难点突破《切线的性质和判定》(解析版)
考纲要求:1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．.基础知识回顾:1.切线一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.（1）切线与圆只有一个公共点.2.切线（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.的性质（3）切线垂直于经过切点的半径.（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.3.切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.的判定（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用举例:招数一、利用切线进行证明和计算。
【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．【答案】(1)证明见解析；（2）10.【解析】（1）证明：，，，，，，；即直径的长是10．学科@网【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。
【例3】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，，，，，在中，，，，则为圆的切线；【例4】如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．解析：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BA C的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．招数三、切线的性质和判定的综合应用。
2020中考数学 冲刺专题：圆切线的相关证明与计算
2020中考数学冲刺专题：圆切线的相关证明与计算1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.第1题图(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．(1)证明：如解图，连接OD，∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，第1题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD ⊥PD .又∵OD 是⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线； (2)证明：∵PD ∥BC ， ∴∠P ＝∠ABC . 又∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠P ＝∠ADC .∵∠PBD ＋∠ABD ＝180°，∠ACD ＋∠ABD ＝180°， ∴∠PBD ＝∠ACD ， ∴△PBD ∽△DCA ；(3)解：∵△ABC 是直角三角形， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝100， ∴BC ＝10.∵OD 垂直平分BC ， ∴DB ＝DC .∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.∵在Rt △DBC 中，DB 2＋DC 2＝BC 2，即2DC 2＝BC 2＝100， ∴DC ＝DB ＝5 2. ∵△PBD ∽△DCA ， ∴PB DC ＝BD CA ，∴PB ＝DC ·BD CA ＝52·528＝254.2．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，连接OP交⊙O 于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB.第2题图(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若PC＝9，AB＝63，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，OP＝OP，第2题解图∴△APO≌△BPO(SSS)，∵P A切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠P AO＝90°，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∴OB ⊥BP ， 又∵点B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点B ；(2)解：∵OP ⊥AB ，OP 经过圆心O ， ∴BC ＝12AB ＝33， ∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC ＋∠OBC ＝∠OBC ＋∠BOC ＝90°， ∴∠PBC ＝∠BOC ， ∵∠PCB ＝∠BCO ＝90°， ∴△PBC ∽△BOC ， ∴BC OC ＝PC BC ，∴OC ＝BC ·BC PC ＝33×339＝3， ∴在Rt △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝6，tan ∠COB ＝BCOC ＝3，∴∠COB ＝60°，PB ＝OP ·sin60°＝63,∴S △OPB ＝12PB ·BO ＝183，S 扇形DOB ＝6036360 g ＝6π，∴S 阴影＝S △OPB －S 扇形DOB ＝183－6π.3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD=∠A，∵∠DEA＝∠CBA，第3题解图∴∠DEA+∠DOE＝∠CAB+∠CBA，∵∠ACB＝90°,∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO,BD DF BF==，BO OD BD∴BD=DF10∴OB=5.4．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.第4题图(1)试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； (2)求证：BD BE ＝CDBC ；(3)若BC ＝2AB ，求tan ∠CDF 的值． (1)解：∠CBD ＝∠CEB ，证明如下： ∵AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ， ∴∠CBD ＝90°－∠OBD ，又∵DE 过⊙O 的圆心，∴∠DBE ＝90°，OB ＝OD ， ∴∠CEB ＝90°－∠ODB ，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠CBD ＝∠CEB ；(2)证明：∵在△CBD 和△CEB 中， ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠C ＝∠C ， ∴△CBD ∽△CEB ，∴BD BE ＝CD BC ； (3)解：∵BC ＝2AB ，OB ＝12AB ， ∴在Rt △OBC 中，OC ＝32AB ，∴CD ＝OC －OD ＝AB ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，∵∠CDF ＝∠ADE ＝∠ABE ＝∠BED ，∴tan ∠CDF ＝tan ∠BED ＝BD BE ＝CD BC ＝AB 2AB ＝22.5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O 上，CE＝CA，AB和CE的延长线交于点F.(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF＝4，求BD的长．第5题图(1)证明：如解图，连接OE，OC，第5题解图∵OA＝OE，CE＝CA，OC共用，∴△OEC≌△OAC(SSS)，∴∠OEC＝∠A＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；(2)解：在Rt△OEF中，OE＝3，EF＝4，∴OF＝OE2＋EF2＝5，∴AF＝8，在Rt△ACF中，设AC＝x，则CF＝CE＋EF＝x＋4，∵AF2＋AC2＝CF2，∴82＋x2＝(x＋4)2，解得x ＝6，则AC ＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝6， ∴BC ＝62，如解图，连接AD ，则AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝3 2.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．第6题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；第6题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线．理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ， 在△DOE 与△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE ， ∴△DOE ≌△COE ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．7.如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F . (1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若BC ＝10，AB ＝16，求OF 的长．第7题图（1）证明：∵OC ⊥AB ，AB ∥CD ， ∴OC ⊥DC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接BO .设OB ＝x ，∵AB ＝16，OC ⊥AB ， ∴HA ＝BH ＝8， ∵BC ＝10，∴CH ＝6， ∴OH ＝x －6. 在Rt △BHO 中， ∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x －6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ， 在△CHB 和△FHA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBH ＝∠F AH ∠CHB ＝∠FHA BH ＝AH， ∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第7题解图8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF.第8题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第8题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE ； ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ，在△ACD 与△ABC 中，⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BAC ∠ADC ＝∠ACB， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。
九年级数学下册29.3切线的性质和判定 课件 (共18张PPT)
共同探究2： 如图，在⊙O中经过半径OA的外 端点A作直线l⊥OA,则
（1）圆心O到直线 l 的距离是多少？ （2）直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
l
A
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
由d=r
直线 l 是⊙O的切线．
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达：
r O
∵ OA是⊙O半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
l
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l O O l A A r A
r
r
l
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条 件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
E C
小结
例2与例3的证法有何不同?
D O A
E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
判断一条直线是圆的切线，你现在会有 多少种方法? 有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线 是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
想一想
〖例2〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
2025年中考数学总复习第二轮中档题突破专项训练九与圆的切线有关的证明与计算
在Rt△AEF中，sin∠CFD＝ ＝ ，AE＝6，
5
∴AF＝10，
∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF，
10−
∴ ＝ ，∴
＝ ，
10
6
15
15
解得r＝ ，∴AB＝AC＝2r＝ ，
4
2
15
3
∴EB＝AB－AE＝ －6＝ .
2
2
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4．(2024·凉州区模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径
在Rt△OAD中，AD＝ 3，AE＝1，AO＝AE＋OE＝1＋R，OD＝R，
∴( 3)2＋R2＝(1＋R)2，解得R＝1，
∴OD＝1，∴tan∠AOD＝ ＝
3，
∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，
由(1)知△OBD≌△OBC，
1
∴∠BOD＝∠BOC＝ ∠COD＝60°，
2
60∙1
∴∠DCA＝∠3.∴DC∥AE.
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(2)解：连接OE，BE.
∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE.又∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE＝60°，∠AOE＝120°.
，∴∠AOC＝∠COE＝60°.
∵＝
∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形．
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，DO＝2OC，
以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥
AB于点H，连接BE.
(1)求证：BC＝BH；
(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
2025版
尺规作图——过圆外一点作圆的切线方法归纳
尺规作图 过圆外一点作圆的切线方法归纳胡小华(江苏省南京市金陵中学河西分校㊀２１００３６)摘㊀要:尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型.本文阐述了用多种方法过圆外一点作圆的切线ꎬ对学生的数学知识㊁方法㊁经验和思维能力都有一定的要求.通过尺规作图既复习了基本作图知识ꎬ又对圆的性质㊁切线的性质㊁以及切线的判定等知识进行了复习.关键词:尺规作图ꎻ切线ꎻ切线的判定中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３１－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:胡小华ꎬ女ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型ꎬ学生需综合运用所学的知识ꎬ多角度思考问题.在初三第一轮复习时ꎬ我设计了这样一个问题 过圆外一点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ尺规作图ꎬ保留作图痕迹ꎬ并说明作图的依据ꎬ比一比谁的画法多 .学生作品展示图１方法一:利用直径所对的圆周角是直角.连接ＡＯꎬ以ＡＯ为直径作☉Ｂꎬ☉Ｂ与☉Ｏ相交于Ｄ㊁Ｅ两点ꎬ则ＡＤꎬＡＥ即为所求作的切线.理由:☉Ｂ中ȵＡＯ是直径ꎬʑøＡＤＯ＝９０ʎ即ＯＤʅＡＤ.ȵＡＤ经过半径ＯＤ的外端ꎬʑＡＤ与☉Ｏ相切.该方法是由切线想到垂直ꎬ构造直角的常用方法之一是利用直径所对的圆周角是直角这一定理.再由切线图２的判定方法:过半径外端ꎬ并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的作法即转化为主要考虑作半径的垂线的方法ꎬ联系初三刚学过的知识ꎬ我们首先想到的是直径所对的圆周角是直角这一定理ꎬ这一方法也就顺其自然而产生.方法二:利用 等腰三角形三线合一 的性质作垂直.以Ｏ为圆心ꎬＢＣ长为半径作弧ꎬ以Ａ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ两弧交于点ＤꎬＯＤ与☉Ｏ相交于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为☉Ｏ的切线.另一条切线也可以用同样的方法作出.理由:ȵＡＯ＝ＡＤꎬＯＤ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＥ为ＯＤ的中点.ʑＡＥʅＯＤꎬʑＡＥ与☉Ｏ相切.要作切线想到垂直ꎬ而利用等腰三角形三线合一的性质也是我们常见的构造垂直的方法之一.方法三:利用勾股定理的逆定理构造垂直.分析:先假设切线画出来了ꎬ则斜边长为ＡＯ长ꎬ一条直角边长为半径ｒꎬ根据勾股定理可以求出另一条直角边的长.图３作øＤＣＨ＝９０ʎꎬ在ＣＨ上截取半径ｒꎬ交ＣＨ于点Ｇꎬ以Ｇ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ交ＣＤ于点Ｆꎬ则ＣＦ长即为所求作的切线长.以Ａ为圆心ꎬＣＦ长为半径作弧交圆Ｏ于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为所求作的一条切线.理由:ȵøＣ＝９０ʎꎬ１３ʑＦＣ２＋ＣＧ２＝ＦＧ２.又ȵＡＯ＝ＦＧꎬＣＧ＝ＯＥꎬＦＣ＝ＡＥꎬʑＡＥ２＋ＯＥ２＝ＡＯ２.ʑＡＥʅＯＥꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.图４该作图方法是利用勾股定理的逆定理构造直角ꎬ想法比较独特ꎬ通过先构造直角找到三边关系ꎬ再利用三边关系构造直角ꎬ从而创造切线.学生的思维让人眼前一亮.方法四:利用相似作垂直证半径.延长ＡＯ到Ｄꎬ使得ＯＤ＝ＯＡ.以Ｄ为圆心ꎬ以☉Ｏ直径长为半径作弧ꎬ以Ｏ为圆心ꎬＯＡ长为半径作圆ꎬ交弧于点Ｆꎬ连接ＡＦ.过Ｏ点作ＯＥʅＡＦꎬ交ＡＦ于点Ｅꎬ则ＡＥ即为所求作的切线.证明:ȵＡＤ为直径ꎬʑøＡＦＤ＝９０ʎ.ȵＯＥʅＡＦꎬʑＯＥʊＤＦꎬ㊀㊀ʑәＡＯＥʐәＡＤＦꎬʑＯＥＤＦ＝ＡＯＡＤ＝１２ꎬʑＯＥ＝１２ＤＦ＝ｒ.又ȵＯＥʅＡＦꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.前三种方法均是连半径ꎬ作垂直ꎬ第四种方法是作垂直证半径ꎬ刚好复习了初中阶段的证明切线的两种方法ꎬ也是学生综合运用知识解决问题能力的一种体现.在复习期间这样一个开放性的问题激发了学生学习的热情和潜能ꎬ围绕数学问题展开的思维碰撞ꎬ无不是学生学习主动性㊁能动性和创造性的综合体现.在解决问题的过程中复习了初中阶段常见的构造垂直的几种重要方法ꎬ我不禁感叹 只要给学生一个舞台ꎬ他们必将还我一片精彩 !㊀㊀参考文献:[１]沈文选.中学数学思想方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ１９９９.[２]罗增儒.数学思想方法的教学[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２００４(７):２９－３０.[责任编辑:李克柏]以情促教㊀践行自主课堂浅议培养初中生数学情感的策略芮亚琴㊀任㊀庆(江苏省宜兴市桃溪中学㊀２１４２００)摘㊀要:数学情感就是学生在数学活动中对数学产生的求知欲及好奇心ꎬ它更多地倾向于数学兴趣ꎬ能对学生的学习产生积极的影响.注重学生数学情感的培养可以促进教学ꎬ是提高学生学习数学的自主性和主动性的必要条件.本文根据笔者多年的教学经验ꎬ结合教学实例ꎬ就如何培养学生的数学情感提出几点建议.关键词:数学情感ꎻ数学兴趣ꎻ主动学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３２－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:芮亚琴(１９８２.２－)ꎬ女ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.任庆(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀情感是人与生俱来的一种心理活动ꎬ是人们对客观事物是否符合个体需要而产生的态度体验.情感对教学质量有一定的影响ꎬ积极的情感能让学生主动㊁快乐地学习ꎬ养成良好的习惯ꎬ获得一定的成就ꎬ消极的情感则会影响学生的学习效果.当新课标对学生的情感态度目标提出培养要求时ꎬ 数学情感 便作为数学学科上的专有名词被提了出来.初中学生正处在身心快速发展的时期ꎬ在教学中强化情感对学生的学习主动性及自觉性都有着积极的作用.在初中数学教学中ꎬ如何培养学生的数学情感ꎬ对此ꎬ笔者有以下几点粗浅的看法ꎬ供同仁们参考.㊀㊀一㊁渗透情感意义ꎬ体会情感价值什么是数学情感?为何要渗透数学情感的教育?数学情感对数学学习而言有着怎样的意义?让学生明白这些问题的本质是培养学生数学情感的第一步.教师在进行教学时可以将上述问题渗透至教学中ꎬ让学生体会数学情感的价值.如笔者在初二开学的起始阶段ꎬ专门开设了一堂主２３。