2018年中考数学挑战压轴题

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2018年中考数学压轴题之圆题例题

广东中考数学专题训练（二）：几何综合题（圆题）例题训练1．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，BC 为⊙O 直径，BC =4．点D 在⊙O 上，连接OA 、CD 和BD ，AC 与BD 交于点E ，并作AF ⊥BC 交BD 于点G ，点G 为BE 中点，连接OG ．（1）求证：OA ∥CD ；（2）若∠DBC =2∠DBA ，求BD 的长；（3）求证：FG =2DE ．2．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径，AB =4．⊙O 切线CD 交BA 延长线于点D ，∠ACB 平分线交⊙O 于点E ，并以DC为边向下作∠DCF =∠CAB 交⊙O 于点F ，连接AF ．（1）求证：∠DCF =∠D +∠B ；（2）若AF =32，AD =52，求线段AC 的长；（3）若CEAB ⊥CF ．3．如图，⊙O为 ABC外接圆，BC为⊙O直径．作AD=AC，连接AD、CD和BD，AB与CD交于点E，过点B作⊙O 切线，并作点E作EF⊥DC交切线于点G．（1）求证：∠DAC=∠G+90°；（2）求证：CF=GF；（3）若EFBD=23，求证：AE=DE．4．如图，⊙O 为 ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径．连接CO ，并作AD ∥CO 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 切线DE 交CO 延长线于点E ，连接BE ，作AF ⊥CO 交BC 于点G ，交BE 于点H ，连接OG ．（1）若CF =2，OF =3，求AC 的长；（2）求证：BE 是⊙O 的切线；（3）若2AF AH DE =23，求证：OG ⊥AB ．---精心整理，希望对您有所帮助。

2018中考数学压轴题专题训练几何综合题(圆题)

2018中考数学压轴题专题训练几何综合题（圆题）例题训练1．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，BC 为⊙O 直径，BC =4．点D 在⊙O 上，连接OA 、CD 和BD ，AC 与BD 交于点E ，并作AF ⊥BC 交BD 于点G ，点G 为BE 中点，连接OG ．（1）求证：OA ∥CD ；（2）若∠DBC =2∠DBA ，求BD 的长；（3）求证：FG =2DE ．2．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径，AB =4．⊙O 切线CD 交BA 延长线于点D ，∠ACB 平分线交⊙O 于点E ，并以DC为边向下作∠DCF =∠CAB 交⊙O 于点F ，连接AF ．（1）求证：∠DCF =∠D +∠B ；（2）若AF =32，AD =52，求线段AC 的长；（3）若CE，求证：AB ⊥CF ．3．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，BC 为⊙O 直径．作AD =AC ，连接AD 、CD 和BD ，AB 与CD 交于点E ，过点B 作⊙O切线，并作点E 作EF ⊥DC 交切线于点G ．（1）求证：∠DAC =∠G +90°；（2）求证：CF =GF ；（3）若EF BD =23，求证：AE =DE ．4．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径．连接CO ，并作AD ∥CO 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 切线DE 交CO 延长线于点E ，连接BE ，作AF ⊥CO 交BC 于点G ，交BE 于点H ，连接OG ．（1）若CF =2，OF =3，求AC 的长；（2）求证：BE 是⊙O 的切线；（3）若2AF AH DE =23，求证：OG ⊥AB ．2018中考数学专题训练：几何综合题（圆题）例题解析答案：1．（1）难度中等，关键是推出∠DBA=∠ACB ；（2）难度中等，关键是推出∠DBC=45°；（3）难度大，OA 与BD 交于点H ，关键是利用OG 为∆BEC 中位线推出GH=2DE ，再利用全等三角形推出FG=GH ．【考点：圆的性质（垂径定理）、三角函数、三角形中位线、全等三角形】2．（1）难度中等，关键是推出∠DCA=∠B ；（2）难度中等，关键是推出∠F=∠B ，从而得出∆AFC ∽∆ACD ；（3）难度大，关键是通过作下角平分线的常规辅助线得到全等三角形，通过转化边长和∠ACE=45°的条件推出AB=4解出AC=2，推出30°．【考点：圆的性质、三角函数、相似三角形、全等三角形、角平分线的性质】3．（1）难度低，关键是推出∠G=∠DCB ；（2）难度中等，关键是推出BF=EF ，再推出三角形全等；（3）难度较大，利用平行截割推出2BF=FC ，再利用第（2）问结论转换边长推出∠G=30°，进而推出∠ADC=∠BAD=30°．【考点：圆的性质（切线）、三角函数、全等三角形、平行截割、等腰三角形】4．（1）难度中等，关键是推出∆AFC ∽∆ACB ；（2）难度中等，关键是利用AD ∥CO 得到∆DOE ≌∆BOE ；（3）难度大，关键是推出∆AFO ∽∆ABH ，进而推出AF •AH=2OB 2，进一步推出，推出∠AOC=60°，利用∆ACG ≌∆AOG 得出OG ⊥AB ．【考点：圆的性质（切线）、相似三角形、全等三角形、三角函数】解析：主要的命题特点与例题对应：1．改编自常考图形．【题1（1），题2（1），题4（2）】2．利用数量关系求出特殊角．【题1（2），题2（3），题3（3），题4（3）】。

11-新观察2018年中考数学模拟——压轴卷(压轴题)

新观察2018年中考数学模拟——压轴卷23．（本题10分）如图，△ABC 中，∠C =90°.（1）如图1，点E 在AC 上，ED ⊥AB ，垂足为D ，若AB =10，BC =6，AE =5，求AD ；（2）如图2，若点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB ，垂足为D ，MN ∥AB 分别交AE 、BE于M 、N ，且BC=MN ，∠cos ABC=35，AD=8，求AM 的长；（3）如图3，若将△ABC 绕A 点逆时针旋转一个锐角△AEF ，连FC 交BE 于M ，若43CF BM =，求∠tan ABC .解：(1)AD =4.(2)∵MN ∥AB ，∴MN EM BC ED AB AE AB AE=== ∴EM=ED ，∴EM=6，∴AM=4(3)∠BCM =∠EFM .过B 点作BH ⊥FM ，过E 点作EK ⊥FM ，易证△HBC ≌△EFK ，EM =BM ，∴△ABE ∽△CAF ，6342BE AB CF AC ===，tan ∠ABC =.24．（本题12分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为y 轴，与x 轴交于A 、B 两点（A 点在右）与y 轴交于C 点，C (0，1)，A (2，0).（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一动点，PE ⊥x 轴于点M ，点E 在线段PM 的延长线上，EA ⊥OP于点F ，问△AEM 的周长与OM 的比是否为确定的值，并证明你的结论.（3）如图2，将（1）中抛物线向下平移1个单位，C (0，－2)，M 、N 分别在x 轴上，点P为△CMN 的外心，MN =CM ，求P 点的横坐标.解：(1)2114y x =-+. 图2图3 图1 图1图2(2) )设P (m ，2114m -+)，OP 2=m 2+(14-m 2+1)2=(14m 2+1)2，∴OP =14m 2+1. ∴OP +OM +PM =14m 2+1+m +14m 2－1=12m 2+m =12m (m +2). 又∵△POM ∽△AEM ， ∴2111(2)422m m m OPM EAM m EAM -+==-△周长△周长△周长，∴△EAM 周长=2m ，∴2EAM C OM=△. (3)设P (m ，214m -)，则2222411(2)4416PC m m m =+-+=+，过P 点作PH ⊥MN 于点H ，则MN =2MH =4=，M (m +2，0)，CM =m 2+4m +8=16，∴2m =-±.。

2018中考数学专题复习压轴题训练题含部分答案2

为了冲刺中考数学140分，我拼了！27．如图1，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N（如图2），当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似？28.如图，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．24．解：(1)m=4………………………………2分 (2):B(-2,0)C(4,0)E(0,2)1(42)*262BCE S ∆=+=………… …………5分（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO =．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．…………………8分（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m +-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．………………10分图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF =，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m +．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m 为2+12分24.。

【数学】2018年最新中考数学压轴精选15题(2) 四边形动点和证明类(Word版含答案解析)

2018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类1.（2018·荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P 、Q 的坐标分别是、P(x 1,y 1)，则P 、Q 这两点间的距离为如，，则Q(x 2,y 2)|PQ|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.P(1,2)Q(3,4)|．PQ|=(1-3)2+(2-4)2=22对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．.解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，点A y =kx +12关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴．到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是______；(1)若动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达式；(2)C(x,y)问题拓展：若中的动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，分别过E 、F (3)(2)y =kx +12作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，求证：是外接圆的切线；①EF △AMN ②1AE +1AF 为定值．2.（2018·常州）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，(1)连接求证：．CF.∠AFE=∠CFD如图2，在中，，P为MN的中点．(2)Rt△GMN∠M=90∘用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得保留作图痕迹，不要求写①∠GQM=∠PQN(作法；)在的条件下，如果，那么Q是GN的中点吗？为什么？②①∠G=60∘3.（2018·十堰）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位(1)置关系，并直接写出结论；如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明(2)(1)你的结论；将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，(3)AB=13CE，请画出图形，并直接写出MF的长．=5△ABC∠BAC=90∘AB=AC AD⊥BC4.（2018·阜新）如图，在中，，，于点D．如图1，点E，F在AB，AC上，且求证：；(1)∠EDF=90∘.BE=AF点M，N分别在直线AD，AC上，且．(2)∠BMN=90∘如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：；①AB+AN=2AM当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段AM的长．②∠AMN=30∘AB=25.（2018·乐山）已知中，，点D、E分别在BC、AC边上，连结Rt△ABC∠ACB=90∘BE、AD交于点P，设，，k为常数，试探究的度数：AC=kBD CD=kAE∠APE如图1，若，则的度数为______；(1)k=1∠APE如图2，若，试问中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求(2)k=3(1)∠APE出的度数．如图3，若，且D、E分别在CB、CA的延长线上，中的结论是否成立，请(3)k=3(2)说明理由．6.（2018·大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：△ABC∠ACB=90∘∠BAC=2∠DCB AC=AD 如图1，中，，点D在AB上，且，求证：．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：∠CAB方法1：如图2，作AE平分，与CD相交于点E．∠DCF=∠DCB方法2：如图3，作，与AB相交于点F．根据阅读材料，任选一种方法，证明．(1)AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，中，点D在AB上，点E在BC上，且，点F在BD (2)△ABC∠BDE=2∠ABC∠AFE=∠BAC∠DGF=∠BDE上，且，延长DC、FE，相交于点G，且．在图中找出与相等的角，并加以证明；①∠DEF若，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．②AB=kDF7.（2018·攀枝花）如图，在中，，，动点P 从A 点出△ABC AB =7.5AC =9S △ABC =814.发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正、Q 、M 按逆时针排序，以QC 为边在AC 上方作△PQM(P )正，设点P 运动时间为t 秒．△QCN 求的值；(1)cosA 当与的面积满足时，求t 的值；(2)△PQM △QCN S △PQM =95S △QCN 当t 为何值时，的某个顶点点除外落在的边上．(3)△PQM (Q )△QCN△ABC CA=CB0∘<∠ACB≤90∘.8.（2018·沈阳）已知：是等腰三角形，，点M在边AC上，点N在边BC上点M、点N不与所在线段端点重合，，连接AN，()BN=AM BM，射线，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且．AG//BC AE=DE 如图，当时(1)∠ACB=90∘求证：≌；①△BCM△ACN求的度数；②∠BDE当，其它多件不变时，的度数是______用含的代数式表示(2)∠ACB=α∠BDE(α)若是等边三角形，，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线(3)△ABC AB=33BC交于点F，请直接写出线段CF的长．9.（2018·北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作．d(M,N)已知点，，．A(-2,6)B(-2,-2)C(6,-2)求点O，；(1)d(△ABC)记函数的图象为图形若，直接写出k的取值(2)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)G.d(G,△ABC)=1范围；的圆心为，半径为若，直接写出t的取值范围．(3)⊙T T(t,0) 1.d(⊙T,△ABC)=110.（2018·衡阳）如图，在中，，，动点P从点C出发Rt△ABC∠C=90∘AC=BC=4cm以的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运1cm/s2cm/s动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．t(s)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(1)是否存在某一时刻t，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；(2)△APQ若不存在，请说明理由；以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t(3)的函数关系式．11.（2018·常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作于H，设直线DH交AC于N．DH⊥AE如图1，当M在线段BO上时，求证：；(1)MO=NO如图2，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：；(2)EN//BD BM=AB在图3，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：．(3)NE⊥EC AN2=NC⋅AC12.（2018·菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图1，.△ABC△ACD.AB=2cm 将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到和并且量得，．AC=4cm操作发现：将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到(1)△ACD∠α∠α=∠BAC△AC'D AC'如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是______．ACEC'创新小组将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D(2)△ACD△AC'D CC'三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG、，得到四边形，发现它是正方形，FG=AF C'G ACGC'请你证明这个结论．实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着BD方向平(3)△ABC移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，BC'连接，试求的值．CC'tan∠C'CH13.（2018·南充）如图，矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AC=2AB，使点B的对应点落在AC上，交AD于点E，在上取点F，使AB'C'D'．求证：．(1)AE=C'E求的度数．(2)已知，求BF的长．(3)AB=214.（2018·黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，∠C=120∘OA=8.点B，C在第一象限，，边长点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边以每秒2个单位长AB-BC-CO的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB 于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N 两点同时停止运动．当时，求线段PQ的长；(1)t=2求t为何值时，点P与N重合；(2)设的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．(3)△APN15.（2018·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上不与点B ，C 重合，连结()AG ，作于点E ，于点F ，设．DE ⊥AG BF ⊥AG BG BC =k 求证：．(1)AE =BF 连结BE ，DF ，设，求证：．(2)∠EDF =α∠EBF =β.tan α=ktan β设线段AG 与对角线BD 交于点H ，和四边形CDHG 的面积分别为和，(3)△AHD S 1S 2求的最大值．S 2S 12018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类答案和解析【答案】1.x 2+(y -12)2=12. 证明：如图1中，(1)垂直平分线段BC ，∵EK ，∴FC =FB ，∴∠CFD =∠BFD ，∵∠BFD =∠AFE ．∴∠AFE =∠CFD 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M结论：Q 是GN 的中点．②理由：设交GN 于K ．PP'，，∵∠G =60∘∠GMN =90∘，∴∠N =30∘，∵PK ⊥KN ，∴PK =KP'=12PN ，∴PP'=PN =PM ，∴∠P'=∠PMP'，∵∠NPK =∠P'+∠PMP'=60∘∴∠PMP'=30∘，∴∠N=∠QMN=30∘∠G=∠GMQ=60∘，，∴QM=QN QM=QG，，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．3. 解：结论：，．(1)DM⊥EM DM=EM理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，∴DH=DE，∵∠EDH=90∘，∴DM⊥EM DM=ME，．如图2中，结论不变，．(2).DM⊥EM DM=EM理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90∘AD=CD，，∴AD//EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF∠AMH=∠FME，，∴△AMH△FME≌，∴MH=ME AH=EF=EC，，，∴DH =DE ，∵∠EDH =90∘，．∴DM ⊥EM DM =ME 如图3中，作于R ．(3)MR ⊥DE在中，，Rt △CDE DE =132-52=12，，∵DM =NE DM ⊥ME ，，，∴MR =⊥DE MR =12DE =6DR =RE =6在中，Rt △FMR FM =MR 2+FR 2=62+112=157如图4中，作于R ．MR ⊥DE在中，，Rt △MRF FM =12+62=37故满足条件的MF 的值为或．371574. 解：，，(1)∵∠BAC =90∘AB =AC ，∴∠B =∠C =45∘，∵AD ⊥BC ，，∴BD =CD ∠BAD =∠CAD =45∘，，∴∠CAD =∠B AD =BD ，∵∠EDF =∠ADC =90∘，∴∠BDE =∠ADF ≌，∴△BDE △ADF(ASA)；∴DE =DF如图1，过点M 作，交AB 的延长线于点P ，(2)①MP ⊥AM ，∴∠AMP =90∘，∵∠PAM =45∘，∴∠P =∠PAM =45∘，∴AM =PM ，∵∠BMN =∠AMP =90∘，∴∠BMP =∠AMN ，∵∠DAC =∠P =45∘≌，∴△AMN △PMB(ASA)，∴AN =PB ，∴AP =AB +BP =AB +AN 在中，，，Rt △AMP ∠AMP =90∘AM =MP ，∴AP =2AM ；∴AB +AN =2AM 在中，，②Rt △ABD AD =BD =22AB =2，，∵∠BMN =90∘∠AMN =30∘，∴∠BMD =90∘-30∘=60∘在中，，Rt △BDM DM =BD tan ∠BMD =63． ∴AM =AD -DM =2-635. 45∘6. 解：方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点E ．(1)∠CAB，，∵∠CAE =∠DAE ∠CAB =2∠DCB ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠CDB +∠ACD =90∘，∴∠CAE +∠ACD =90∘，∴∠AEC =90∘，，∵AE =AE ∠AEC =∠AED =90∘≌，∴△AEC △AED ．∴AC =AD 方法二：如图3中，作，与AB 相交于点F ．∠DCF =∠DCB，，∵∠DCF =∠DCB ∠A =2∠DCB ，∴∠A =∠BCF ，∵∠BCF +∠ACF =90∘，∴∠A +∠ACF =90∘，∴∠AFC =90∘，，∵∠ACF +∠BCF =90∘∠BCF +∠B =90∘，∴∠ACF =∠B ，∵∠ADC =∠DCB +∠B =∠DCF +∠ACF =∠ACD ．∴AC =AD 如图4中，结论：．(2)①∠DEF =∠FDG理由：在中，，△DEF ∵∠DEF +∠EFD +∠EDF =180∘在中，，△DFG ∵∠GFD +∠G +∠FDG =180∘，，∵∠EFD =∠GFD ∠G =∠EDF ．∴∠DEF =∠FDG 结论：．②BD =k ⋅DE 理由：如图4中，如图延长AC 到K ，使得．∠CBK =∠ABC ，，∵∠ABK =2∠ABC ∠EDF =2∠ABC ，∴∠EDF =∠ABK ，∵∠DFE =∠A ∽，∴△DFE △BAK ，∴DF AB =DE BK =1k ，∴BK =k ⋅DE ，∴∠AKB =∠DEF =∠FDG ，，∵BC =BC ∠CBD =∠CBK≌，∴△BCD △BCK ，∴BD =BK∴BD =k ⋅DE 7. 解：如图1中，作于E ．(1)BE ⊥AC，∵S △ABC =12⋅AC ⋅BE =814，∴BE =92在中，，Rt △ABE AE =AB 2-BE 2=6．∴coaA =AE AB =67.5=45如图2中，作于H ．(2)PH ⊥AC，，，，∵PA =5t PH =3t AH =4t HQ =AC -AH -CQ =9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t)2，∵S △PQM =95S △QCN ，∴34⋅PQ 2=95×34⋅CQ 2，∴9t 2+(9-9t)2=95×(5t)2整理得：，5t 2-18t +9=0解得舍弃或．t =3()35当时，满足．∴t =35S △PQM =95S △QCN 如图3中，当点M 落在QN 上时，作于H ．(3)①PH ⊥AC易知：，PM//AC ，∴∠MPQ =∠PQH =60∘，∴PH =3HQ ，∴3t =3(9-9t)．∴t =27-3326如图4中，当点M 在CQ 上时，作于H ．②PH ⊥AC同法可得，PH =3QH ，∴3t =3(9t -9)，∴t =27+3326综上所述，当或时，的某个顶点点除外落在的边上．t =27-3326s 27+3326s △PQM (Q )△QCN 8. 或α180∘-α9. 解：如图所示，点O 到的距离的最小值为2，(1)△ABC点O ，；∴d(△ABC)=1经过原点，在范围内，函数图象为线段，(2)y =kx(k ≠0)-1≤x ≤1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(1,-1)k =-1d(G,△ABC)=1当经过时，，此时；y =kx(-1≤x ≤1,k ≠0)(-1,-1)k =1d(G,△ABC)=1，∴-1≤k ≤1，∵k ≠0且；∴-1≤k ≤1k ≠0与的位置关系分三种情况：(3)⊙T △ABC 当在的左侧时，由知此时；①⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1t =-4当在内部时，②⊙T △ABC 当点T 与原点重合时，，知此时；d(⊙T,△ABC)=1t =0当点T 位于位置时，由知，T 3d(⊙T,△ABC)=1T 3M =2、，∵AB =BC =8∠ABC =90∘，∴∠C =∠T 3DM =45∘则，T3D =T 3M cos45∘=222=22，∴t =4-22故此时；0≤t ≤4-22当在右边时，由知，③⊙T △ABC d(⊙T,△ABC)=1T 4N =2，∵∠T 4DC =∠C =45∘，∴T 4D =T 4Ncos45∘=222=22；∴t =4+22综上，或或．t =-40≤t ≤4-22t =4+2210. 解：如图1中，连接BP ．(1)在中，，，Rt △ACB ∵AC =BC =4∠C =90∘点B 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AB =42∵，∴BP =BQ ，，∵AQ =2t CP =t ，，∴BQ =42-2t PB 2=42+t 2，∴(42-2t)2=16+t 2解得或舍弃，t =12-8212+82()时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．∴t =12-82s 如图2中，当时，易知是等腰直角三角形，．(2)①PQ =QA △APQ ∠AQP =90∘则有，PA =2AQ ，∴4-t =2⋅2t 解得．t =43如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．②AP =PQ △APQ ∠APQ =90∘则有：，AQ =2AP ，∴2t =2(4-t)解得，t =2综上所述：或2s 时，是以PQ 为腰的等腰三角形．t =43s △APQ 如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +．QF =AE +EC =AC =4． ∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)11. 解：正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，(1)∵，，∴OD =OA ∠AOM =∠DON =90∘，∴∠OND +∠ODN =90∘，∵∠ANH =∠OND ，∴∠ANH +∠ODN =90∘，∵DH ⊥AE ，∴∠DHM =90∘，∴∠ANH +∠OAM =90∘，∴∠ODN =∠OAM ≌，∴△DON △AOM ；∴OM =ON连接MN ，(2)，∵EN//BD ，，∴∠ENC =∠DOC =90∘∠NEC =∠BDC =45∘=∠ACD ，同的方法得，，∴EN =CN (1)OM =ON ，∵OD =OD ，∴DM =CN =EN ，∵EN//DM 四边形DENM 是平行四边形，∴，∵DN ⊥AE ▱DENM 是菱形，∴，∴DE =EN ，∴∠EDN =∠END ，∵EN//BD ，∴∠END =∠BDN ，∴∠EDN =∠BDN ，∵∠BDC =45∘，∴∠BDN =22.5∘，∵∠AHD =90∘，∴∠AMB =∠DME =90∘-∠BDN =67.5∘，∵∠ABM =45∘，∴∠BAM =67.5∘=∠AMB ；∴BM =AB 设(3)CE =a(a >0)，∵EN ⊥CD ，∴∠CEN =90∘，∵∠ACD =45∘，∴∠CNE =45∘=∠ACD ，∴EN =CE =a ，∴CN =2a 设，DE =b(b >0)，∴AD =CD =DE +CE =a +b 根据勾股定理得，，AC =2AD =2(a +b)同的方法得，，(1)∠OAM =∠ODN ，∵∠OAD =∠ODC =45∘，，∴∠EDN =∠DAE ∵∠DEN =∠ADE =90∘∽，∴△DEN △ADE ，∴DE AD =EN DE，∴b a +b =a b 已舍去不符合题意的∴a =5-12b()，，∴CN =2a =10-22b AC =2(a +b)=10+22b ，∴AN =AC -CN =2b ，∴AN 2=2b 2AC ⋅CN =10+22b ⋅10-22b =2b 2．∴AN 2=AC ⋅CN 12. 菱形13. 证明：在中，，(1)∵Rt △ABC AC =2AB ，，∴∠ACB =∠AC'B'=30∘∠BAC =60∘由旋转可得：，，AB'=AB ∠B'AC =∠BAC =60∘，∴∠EAC'=∠AC'B'=30∘；∴AE =C'E 解：由得到为等边三角形，(2)(1)△ABB'，∴∠AB'B =60∘；∴∠FBB'=150∘解：由，得到，，(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘过B 作，BH ⊥BF 在中，，即，Rt △BB'H BH =2×6+24=6+22则．BF =2BH =6+214. 解：当时，，(1)t =2OM =2在中，，Rt △OPM ∠POM =60∘，∴PM =OM ⋅tan60∘=23在中，，Rt △OMQ ∠QOM =30∘，∴QM =OM ⋅tan30∘=233．∴PQ =CN -QM =23-233=433由题意：，(2)8+(t -4)+2t =24解得．t =203当时，(3)①0<x <4S =12⋅2t ⋅43=43t.当时，②4≤x <203S =12×[8-(t -4)-(2t -8)]×43=403-63t.当时．③203≤x <8.S =12×[(t -4)+(2t -8)-8]×43=63t -403当时，④8≤x ≤12S =S 菱形ABCO -S △AON -S △ABP =323-12⋅(24-2t)⋅43-12⋅[8-(t -4)]⋅43．=63t -40315. 解：四边形ABCD 是正方形，(1)∵，，∴AD =AB ∠BAD =90∘，∴∠BAG +∠DAG =90∘，，∵DE ⊥AG BF ⊥AG ，∴∠AED =∠BFA =90∘，∴∠ADE +∠DAG =90∘，∴∠BAG =∠DAE ≌，∴△ADE △BAF(AAS)，∴AE =BF 由知，，(2)(1)∠BAG =∠EDA ，∵∠ABG =∠DEA ∽，∴△ABG △DEA ，∴AB DE =BG AE ∴AE DE =BG AB =BGBC =k在中，，Rt △DEF EF =DE ⋅tan α在中，，Rt △BEF EF =BF ⋅tan β，∴DE ⋅tan α=BF ⋅tan β；∴tan α=BF DE ⋅tan β=AEDE ⋅tan β=ktan β如图，(3)四边形ABCD 是正方形，∵，，∴BC//AD AD =BC ，∵BGBC =k ，∴BGAD =k ，∵AD//BC ∽，∴△ADH △GBH ，∴S 1S △BHG =S △ADH S △BHG =(AD BG )2=1k 2，∴S 1=1k 2⋅S △BHG设的边BG 上的高为h ，的边AD 上的高为，△BHG △ADH ，，∵S △BHG =12BG ⋅h ，，∴S △BHG S△BCD =12BG ⋅h 12BC ⋅h'=k 2，∴S △BHG S 2=k 21-k 2，∴S 2=1-k 2k 2⋅S △BHG ．∴S 1S 2=1-k 2【解析】1. 解：设到点A 的距离等于线段AB 长度的点D 坐标为，(1)(x,y)，∴AD 2=x 2+(y -12)2直线交y 轴于点A ，∵y =kx +12，∴A(0,12)点A 关于x 轴的对称点为点B ，∵，∴B(0,-12)，∴AB =1点D 到点A 的距离等于线段AB 长度，∵，∴x 2+(y -12)2=1故答案为：；x 2+(y -12)2=1过点B 作直线l 平行于x 轴，(2)∵直线l 的解析式为，∴y =-12，，∵C(x,y)A(0,12)，点C 到直线l 的距离为：，∴AC 2=x 2+(y -12)2(y +12)动点满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∵C(x,y)，∴x 2+(y -12)2=(y +12)2动点C 轨迹的函数表达式，∴y =12x 2如图，(3)①设点点，E(m,a)F(n,b)动点C 的轨迹与直线交于E 、F 两点，∵y =kx +12，∴{y =12x 2y =kx +12，∴x 2-2kx -1=0，，∴m +n =2k mn =-1过E 、F 作直线l 的垂线，垂足分别是M 、N ，∵，，∴M(m,-12)N(n,-12)，∵A(0,12)，∴AM 2+AN 2=m 2+1+n 2+1=m 2+n 2+2=(m +n)2-2mn +2=4k 2+4，MN 2=(m -n)2=(m +n)2-4mn =4k 2+4，∴AM 2+AN 2=MN 2是直角三角形，MN 为斜边，∴△AMN 取MN 的中点Q ，点Q 是的外接圆的圆心，∴△AMN ，∴Q(k,-12)，∵A(0,12)直线AQ 的解析式为，∴y =-1k x +12直线EF 的解析式为，∵y =kx +12，∴AQ ⊥EF 是外接圆的切线；∴EF △AMN 证明：点点在直线上，②∵E(m,a)F(n,b)y =kx +12，，∴a =mk +12b =nk +12，NF ，EF 是的外接圆的切线，∵ME △AMN ，，∴AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1，∴1AE +1AF =1mk +1+1nk +1=(m +n)k +2mnk 2+(m +n)k +1=2k 2+2-k 2+2k ⋅k +1=2(k 2+1)k 2+1=2即：为定值，定值为2．1AE +1AF 利用两点间的距离公式即可得出结论；(1)利用两点间的距离公式即可得出结论；(2)先确定出，，再确定出，，进而判断出是直角(3)①m +n =2k mn =-1M(m,-12)N(n,-12)△AMN 三角形，再求出直线AQ 的解析式为，即可得出结论；y =-1k x +12先确定出，，再求出，，②a =mk +12b =nk +12AE =ME =a +12=mk +1AF =NF =b +12=nk +1即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出，m +n =2k mn =-1是解本题是关键．2. 只要证明即可解决问题；(1)FC =FB 作点P 关于GN 的对称点，连接交GN 于Q ，连接PQ ，点Q 即为所求．(2)①P'P'M 结论：Q 是GN 的中点想办法证明，，可得②.∠N =∠QMN =30∘∠G =∠GMQ =60∘QM =，；QN QM =QG 本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，-解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3. 结论：，只要证明≌，推出，，(1)DM ⊥EM DM =EM.△AMH △FME MH =ME AH =EF =EC 推出，因为，可得，；DH =DE ∠EDH =90∘DM ⊥EM DM =ME 结论不变，证明方法类似；(2)分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；(3)本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．4. 先判断出，进而得出，再判断出，进而(1)∠BAD =∠CAD =45∘∠CAD =∠B ∠BDE =∠ADF 判断出≌，即可得出结论；△BDE △ADF 先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断(2)①AM =PM ∠BMP =∠AMN △AMN △PMB 出，再判断出，即可得出结论；AP =AB +AN AP =2AM 先求出BD ，再求出，最后用三角函数求出DM ，即可得出结论．②∠BMD =60∘此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．△BDE △ADF (1)(2)5. 解：如图1，过点A 作，过点B 作相交于(1)AF//CB BF//AD F ，连接EF ，，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD，，∵AC =BD CD =AE ，∴AF =AC ，∵∠FAC =∠C =90∘≌，∴△FAE △ACD ，，∴EF =AD =BF ∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EHD ，∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘，∵EF =BF ，∴∠FBE =45∘，∴∠APE =45∘故答案为：．45∘中结论不成立，理由如下：(2)(1)如图2，过点A 作，过点B 作相交于F ，连接EF ，AF//CB BF//AD ，，∴∠FBE =∠APE ∠FAC =∠C =90∘四边形ADBF 是平行四边形，，，∴BD =AF BF =AD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵BD =AF ，∴AC AF =CDAE =3，∵∠FAC =∠C =90∘∽，∴△FAE △ACD ，，∴AC AF =ADEF =BFEF =3∠FEA =∠ADC ，∵∠ADC +∠CAD =90∘，，∴∠FEA +∠CAD =90∘=∠EMD ∵AD//BF ，∴∠EFB =90∘在中，，Rt △EFB tan ∠FBE =EF BF =33，∴∠FBE =30∘，∴∠APE =30∘中结论成立，如图3，作，，EH ，DH 相(3)(2)EH//CD DH//BE 交于H ，连接AH ，，，四边形EBDH 是平行四边形，∴∠APE =∠ADH ∠HEC =∠C =90∘，，∴BE =DH EH =BD ，，∵AC =3BD CD =3AE ，∴AC BD =CDAE =3，∵∠HEA =∠C =90∘∽，∴△ACD △HEA ，，∴AD AH =AC EH =3∠ADC =∠HAE ，∵∠CAD +∠ADC =90∘，∴∠HAE +∠CAD =90∘，∴∠HAD =90∘在中，，Rt △DAH tan ∠ADH =AHAD =3，∴∠ADH =30∘．∴∠APE =30∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出≌(1)BD =AF BF =AD △FAE △，得出，再判断出，即可得出结论；ACD EF =AD =BF ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(2)BD =AF BF =AD △FAE △，再判断出，即可得出结论；ACD ∠EFB =90∘先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出，，进而判断出∽(3)BD =AF BF =AD △ACD △，再判断出，即可得出结论；HEA ∠EFB =90∘此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6. 方法一：如图2中，作AE 平分，与CD 相交于点想办法证明≌(1)∠CAB E.△AEC △AED 即可；方法二：如图3中，作，与AB 相交于点想办法证明即可；∠DCF =∠DCB F.∠ACD =∠ADC 如图4中，结论：理由三角形内角和定理证明即可；(2)①∠DEF =∠FDG.结论：如图4中，如图延长AC 到K ，使得首先证明∽②BD =k ⋅DE.∠CBK =∠ABC.△DFE ，推出，推出，再证明≌，可得；△BAK DF AB =DE BK =1k BK =k ⋅DE △BCD △BCK BD =BK 本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形.解决问题，属于中考压轴题．7. 如图1中，作于利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即(1)BE ⊥AC E.可解决问题；如图2中，作于利用构建方程即可解决问题；(2)PH ⊥AC H.S △PQM =95S △QCN 分两种情形如图3中，当点M 落在QN 上时，作于如图4中，当点M 在(3)①PH ⊥AC H.②CQ 上时，作于分别构建方程求解即可；PH ⊥AC H.本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8. 证明：如图1中，(1)①，，∵CA =CB BN =AM 即，∴CB ‒BN =CA ‒AM CN =CM ≌．∵∠ACN =∠BCM ∴△BCM△ACN 解：如图1中，②≌，∵△BCM △ACN ，∴∠MBC =∠NAC ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∵AG//BC ，，∴∠GAC =∠ACB =90∘∠ADB =∠DBC ，∴∠ADB =∠NAC ，∴∠ADB +∠EDA =∠NAC +∠EAD ，∵∠ADB +∠EDA =180∘-90∘=90∘．∴∠BDE =90∘解：如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，(2)易证：，，∠CBM =∠ADB =∠CAN ∠ACB =∠CAD ，∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ，∴∠CAN +∠CAD =∠BDE +∠ADB ．∴∠BDE =∠ACB =α如图3中，当点E 在NA 的延长线上时，易证：，∠1+∠2=∠CAN +∠DAC ，∵∠2=∠ADM =∠CBD =∠CAN ，∴∠1=∠CAD =∠ACB =α．∴∠BDE =180∘-α综上所述，或．∠BDE =α180∘-α故答案为或．α180∘-α解：如图4中，当时，作于K ．(3)BN =13BC =3AK ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM CM =12，，易证是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，≌∴AD =332AC =33△ADC △AKN △，DCF ．∴CF =NK =BK -BN =332-3=32如图5中，当时，作于K ，于H ．CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC，∵AD//BC ，∴AD BC =AM MC =2，易证是直角三角形，∴AD =63△ACD 由∽，可得，△ACK △CDH CH =3AK =932由≌，可得，△AKN △DHF KN =FH =32．∴CF =CH -FH =43综上所述，CF 的长为或．3243根据SAS 证明即可；(1)①想办法证明即可；②∠ADE +∠ADB =90∘分两种情形讨论求解即可，如图2中，当点E 在AN 的延长线上时，如图3中，当(2)①②点E 在NA 的延长线上时，分两种情形求解即可，如图4中，当时，作于解直角三角形(3)①BN =13BC =3AK ⊥BC K.即可如图5中，当时，作于K ，于H ．.②CN =13BC =3AK ⊥BC DH ⊥BC 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．9. 根据点A 、B 、C 三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得；(1)△ABC 由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和(2)y =kx -1≤x ≤1(1,-1)时k 的值即可得；(-1,-1)分在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．(3)⊙T △ABC 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．10. 连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出，由此构建方程即可解(1)BP =BQ 决问题；分两种情形分别构建方程求解即可；(2)如图4中，连接QC ，作于E ，作于则，，可得(3)QE ⊥AC QF ⊥BC F.QE =AE QF =EC QE +根据，计算即可；QF =AE +EC =AC =4.S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11. 先判断出，，再利用同角的余角相等判断出，(1)OD =OA ∠AOM =∠DON ∠ODN =∠OAM 判断出≌即可得出结论；△DON △AOM 先判断出四边形DENM 是菱形，进而判断出，即可判断出，(2)∠BDN =22.5∘∠AMB =67.5∘即可得出结论；设，进而表示出，，设，进而表示，根据勾股(3)CE =a EN =CE =a CN =2a DE =b AD =a +b 定理得，，AC =2(a +b)同的方法得，，得出，进而判断出∽，得出(1)∠OAM =∠ODN ∠EDN =∠DAE △DEN △ADE ，进而得出，即可表示出，，，DE AD =EN DE a =5-12b CN =10-22b AC =10+22b AN =AC -CN =2b 即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解(2)△DEN△ADE(3)的关键，判断出∽是解的关键．12. 解：在如图1中，(1)∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B=∠D=90∘AB//CD，，∴∠ACD=∠BAC，在如图2中，由旋转知，，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，故答案为：菱形；在图1中，四边形ABCD是矩形，(2)∵∴AB//CD，∴∠CAD=∠ACB∠B=90∘，，∴∠BAC+∠ACB=90∘在图3中，由旋转知，，，，∵点D，A，B在同一条直线上，，由旋转知，，∵点F是的中点，，，∵AF=FG，∴四边形是平行四边形，，∴▱是菱形，，菱形是正方形；∴在中，，，(3)Rt △ABC AB =2AC =4，，，BD =BC =23sin ∠ACB =AB AC =12，∴∠ACB =30∘由结合平移知，，(2)在中，，Rt △BCH ∠ACB =30∘，∴BH =BC ⋅sin30∘=3，在中，，Rt △ABH AH =12AB =1，∴CH =AC -AH =4-1=3在中，．tan ∠C'CH =C'H CH =4-33先判断出，进而判断出，进而判断出，(1)∠ACD =∠BAC 即可的结论；先判断出，再判断出，，进而判断出四边形是(2)平行四边形，即可得出结论；先判断出，进而求出BH ，AH ，即可求出CH ，，即可得出结论．(3)∠ACB =30∘此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出是解本题的关键．13. 在直角三角形ABC 中，由，得到，再由折叠的性质得到一对(1)AC =2AB ∠ACB =30∘角相等，利用等角对等边即可得证；由得到为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为，即可求出(2)(1)△ABB'60∘所求角度数；由，得到，，过B 作，在直角三角形中，利(3)AB =2B'B =B'F =2∠B'BF =15∘BH ⊥BF BB'H 用锐角三角函数定义求出BH 的长，由即可求出BF 的长．BF =2BH 此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．14. 解直角三角形求出PM ，QM 即可解决问题；(1)根据点P 、N 的路程之和，构建方程即可解决问题，；(2)=24分三种情形考虑问题即可解决问题；(3)本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15. 利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结(1)∠BAG =∠DAE △ADE △BAF 论；先判断出∽，进而得出，再根据锐角三角函数即可得出结论；(2)△ABG △DEA AE AD =k 先判断出，再判断出，即可得出结论．(3)S 1=1k 2⋅S △BHG S 2=1-k2k 2⋅S △BHG 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出是解本题的关键．S 2=1-k2k 2⋅S △BHG。

2018年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx ﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C 作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD 的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

2018年南充中考压轴题文字稿

自选题目．（2018•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．1.命题背景（1）近几年，在平面直角坐标系中求抛物线的解析式的问题频频出现，其已成为中考命题的高频热点。

（2）这类问题涉及知识面广，往往将三角形面积与函数、方程等知识进行综合运用，同时还考查学生在探索过程中能否将化归与转化、数形结合、分类讨论等思想方法进行灵活运用，难度较高。

（3）此题将教材中几类基本问题组合串联成一道综合题，再引申拓展，在抛物线中讨论正方形是否存在，这样的题型设计既在学生的能力范围内，又不失新意，体现了题目的灵活性和综合性。

2.命题意图此题知识覆盖面广，条件隐蔽，解法多样，渗透了一定的数学思想方法，能很好地考查不同水平学术的数学能力，题目虽然有一定难度，但是是有价值的难度。

（1）基本知识：一次函数、二次函数解析式、图形与坐标、三角形的面积、勾股定理、正方形的判定等。

（2）基本能力：阅读能力、推理能力、计算能力、几何直观等。

（3）基本思想方法：函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、建模思想、分类讨论思想等。

（4）基本活动经验：通过数学活动增强蓄势克服困难的意志与信心，体会数学活动的探索性和创造性，同时感受合理数学推理的必要性。

3.教学评价（1）审题与分析这是一道二次函数探究题，共分为三道小题，由易到难，步步深入，环环紧扣，综合性强，难度设置有梯度，赋予动态的背景，解法灵活多样，符合《义务教育数学课程标准（2016年版）》（以下简称《标准（2016年版）》）的要求。

第（1）小题已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，很容易联想到使用待定系数法求解抛物线的解析式。

2018年中考数学3题压轴解答题限时训练 4

如答图X3-4-1，过点B′作B′E⊥y轴于点E.
∵PB′∥y轴，P (2，4)，
∴点B′的横坐标为2，即B′E=2.
又∵△AOB≌△A′PB′，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB′的面积+平行
四边形AOPA′的面积=BO×B′E+AO×A′D
=3×2+4×4=22.
24. (9分) 已知：如图X3-4-2，AB为⊙O的直径，C为
又∵A′C∥y轴，P (2，4)，
∴点C的横坐标为2+4=6.
当x=6时，y=
，即C (6，
).
设直线PC的解析式为y=kx+b，把P (2，4)，C (6， )代入,
得
解得
∴直线PC的表达式为
(3)由平移可得A′P∥AO.又∵A′C∥y轴，P (2，4)，
∴点A′的纵坐标为4，即A′D=4.
2018年广东中考3题压轴解答题
限时训练（4）
23. (9分) (2017江西) 如图X3-4-1，直线y=k1x(x≥0)与
双曲线y= (x＞0)相交于点P(2，4). 已知点A (4，0)，
B (0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点 O移动到点P，得到△A′PB′. 过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C. (1)求k1与k2的值； (2)求直线PC的表达式；
∴tan∠ADE=tan∠ABE=
25. (9分)已知：如图X3-4-3①，在矩形ABCD中，
AB=5，AD=203，AE⊥BD，垂足为点E，点F是点E关
于AB的对称点，连接AF，BF.
（1）AE的长为______ 3 ； 4 ，BE的长为______
（2）如图X3-4-3②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个

2018年中考数学3题压轴解答题限时训练 6

∵
，∴∠ACE=∠AGE.
∵AG∥BC，∴∠AGE=∠EBC.
又∵∠EBC=∠DEC，∴∠DEC=∠ACE.
∴DE∥AC. ∴
∵AG∥BC，∴
又∵GH=4，∴HB=8.
∴BE=BH-HE=8-2=6.
25. (9分)(2017赤峰)如图X3-6-3，△OPA和△OQB分
别是以OP，OQ为直角边的等腰直角三角形，点C,D,E 分别是OA,OB,AB的中点.
(1)当∠AOB=90°时，如图X3-6-3①，连接PE，QE，
直接写出EP与EQ的大小关系； (2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时，如图X3-6-3②，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明； (3)仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长 PC,QD交于点G，使△ABG为等边三角形，如图X3-6-
D，E为上一点，∠DEC=∠EBC，延长BE交AC于
点F，交⊙O于点G.
(1)如图X3-6-2①，求证：∠BFC=90°；
(2)如图X3-6-2②，连接AG，当AG∥BC时，求证： AG=DC；
(3)如图X3-6-2③，在 (2) 的条件下，连接AD交EG于点
H，当FH∶HE=1∶2，且AF= 时，求BE的长.
∴△EPC≌△QED(SAS). ∴EP=EQ.
(3)如答图X3-6-3，连接GO.
∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都
是等腰直角三角形，
∴GQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线.
∴GB=GO=GA.
∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO.
设∠GOB=x，∠GOA=y，
∴x+x+y+y+60°=360°.