2020年版挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 上海市中考第24题
例2 苏州市中考第29题
例3 黄冈市中考第25题
例4 义乌市中考第24题
例5 临沂市中考第26题
例6 苏州市中考第29题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 上海市虹口区中考模拟第25题
例2 扬州市中考第27题
例3 临沂市中考第26题
例4 湖州市中考第24题
例5 盐城市中考第28题
例6 南通市中考第27题
例7 江西省中考第25题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 山西省中考第26题
例2 广州市中考第24题
例3 杭州市中考第22题
例4 浙江省中考第23题
例5 北京市中考第24题
例6 嘉兴市中考第24题
例7 河南省中考第23题
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 上海市松江区中考模拟第24题
例2 福州市中考第21题
例3 烟台市中考第26题
例4 上海市中考第24题
例5 江西省中考第24题
例6 山西省中考第26题
例7 江西省中考第24题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 上海市松江中考模拟第24题
例2 衢州市中考第24题
例4 义乌市中考第24题
例5 杭州市中考第24题
例7 广州市中考第25题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 苏州市中考第29题
例2 菏泽市中考第21题
例3 河南省中考第23题
例4 南通市中考第28题
例5 广州市中考第25题
例6 扬州市中考第28题
例7 兰州市中考第29题
1.7 因动点产生的相切问题
例1 上海市杨浦区中考模拟第25题
例2 河北省中考第25题
例3 无锡市中考第28题
1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 天津市中考第25题
例2 滨州市中考第24题
例3 山西省中考第26题
第二部分图形运动中的函数关系问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 宁波市中考第26题
例2 上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 连云港市中考第26题
例4 上海市中考第25题
2.2 由面积公式产生的函数关系问题
例1 菏泽市中考第21题
例2 广东省中考第22题
例3 河北省中考第26题
例4 淮安市中考第28题
例5 山西省中考第26题
例6 重庆市中考第26题
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 南京市中考第26题
例2 南昌市中考第25题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 上海市黄浦区中考模拟第24题
例2 江西省中考第24题
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．
2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．
满分解答
（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．
因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得
3
3
a =
． 图2 所以抛物线的表达式为23323
(2)333
y x x x x =-=-．
（2）由2232333
(1)3333
y x x x =-=--
， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3
tan 3BOM ∠=
． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1,3)-、B (2,0)、M 3
(1,)3
-
，
得
3
tan
3
ABO
∠=，23
AB=，
23
3
OM=．
所以∠ABO＝30°，3
OA
OM
=．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当3
BA OA
BC OM
==时，
23
2
33
BA
BC===．此时C(4,0)．
②如图4，当3
BC OA
BA OM
==时，33236
BC BA
==⨯=．此时C(8,0)．图3 图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
图5
例2 苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444
b
y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,
4
b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．
所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115
2428
b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．
解得165x =．所以点P 的坐标为(1616
,55
)．
图2 图3
（3）由2111
(1)(1)()4444
b y x b x x x b =
-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14
b
b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．
②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA
=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA
CO OA =
，即14
b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．
如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？
如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．。