高斯积分
高斯一个积分不等式的推广和应用
高斯积分不等式是一个有广泛应用的数学定理，由拉格朗日在1734年发现。
它宣告了以下关于正态分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤
f(x)F(x) 其中Φ(x)是拉格朗日函数，为0.5erf(x/2)。
高斯积分不等式的推广和应用 1、Hoeffding不等式。
Hoeffding不等式是高斯积分不等式的一般化，它宣布了以下关于服从指数分布的随机变量X的概率分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤ f(x)F(x) 其中Φ(x)是哈夫丁函数，为erf(a*x+b)。
2、Chebyshev不等式。
Chebyshev不等式是高斯积分不等式的一般化，它宣告了以下关于任意分布的随机变量X的概率分布函数f(x)和它的积分F(x)之间的关系：Φ(x) ≤ f(x)F(x) 其中Φ(x)是切比雪夫不等式函数，为erf[a*(x-b)]。
3、
应用于估计理论。
利用高斯积分不等式可以得出一个最优的统计估计量，即最小均方误差估计量。
4、应用于信号处理。
高斯积分不等式可以用来研究信号处理中的图像处理、语音识别等问题，以提高系统的性能。
高斯分布积分
高斯分布积分高斯分布积分是一种重要的数学运算，它可以用来计算多维空间中一些曲面下基函数的近似值。
它的重要性在于可以用它来计算一些曲面的面积，也可以用来计算某些运动轨迹下的位置，以及一些抽象的概念。
高斯积分的历史源远流长，其最早可以追溯到18世纪拉格朗日，他将高斯积分首次应用到圆柱对称变换中，这对后来的研究有很大的影响。
高斯积分有三种不同的应用方式：第一种是定积分，也就是求函数的积分；第二种是自变量，也就是求待定参数的函数的极值；第三种是积分变量，也就是求函数的积分变量。
高斯分布积分的计算一般用到的工具有拉格朗日定理、拉格朗日多项式和埃尔米特多项式。
拉格朗日定理是一个关于多项式函数的定理，它指出，一定范围之内，任意复杂函数都可以用某种合适的多项式来近似。
拉格朗日多项式可以用来提供这种多项式表达式，而埃尔米特多项式可以用来提供多项式函数的比较准确的解。
由于高斯积分涉及到求解多项式函数，所以它的计算量非常大。
一些现代的计算机软件也能够提供这项计算的支持，例如Mathematica，MatLab，Maple等。
它们都提供一些特殊的高斯积分函数，只要输入指定的参数，就可以自动计算出相应的结果。
此外，还有许多高斯积分的几何解法，它们可以运用于求解一些复杂的几何形状中的面积。
例如，可以用蒙特卡洛模拟积分法来求解多边形的面积；可以利用几何解法来求解椭圆面积；可以利用连续变换来求解多维空间中的面积，等等。
总的来说，高斯分布积分是一种重要的数学应用，它可以帮助我们估计出一些复杂的曲面的面积，以及某些抽象的概念。
它有着悠久的历史，并且被广泛应用于现代计算机上，以及几何解法上，可以有效地求解复杂的几何形状中的面积。
重积分的高斯积分和狄利克雷积分
重积分的高斯积分和狄利克雷积分重积分是微积分中的重要分支之一，它可以用来求解在三维空间中的体积、质量、重心、转动惯量等问题。
而其中的高斯积分和狄利克雷积分是重积分中比较常见的两种类型。
在本文中，我们将详细讨论这两种积分的定义、性质以及应用。
一、高斯积分高斯积分也称为三重积分，它是一种在三维空间中对于标量或矢量场的积分。
它的表达式为：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$其中，$\Omega$是积分区域，$dV$表示三维空间中的体积元素，$f(x,y,z)$是被积函数。
高斯积分在物理学、工程学以及数学分析等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解电场、磁场等问题；在工程学中，它可以用来求解流体动力学、结构力学等问题。
在数学分析中，它则可以用来求解曲面积分、体积积分等。
由于高斯积分的计算比较复杂，常常需要利用公式或特殊性质进行简化。
以下是一些常用的高斯积分公式：1.球面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{ 2\pi}f(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)r^2\sin\thetad\phi d\theta dr$其中，$R$是球的半径。
2.柱面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{a}^{b}\int_{0}^{2\pi}\int_{h(x, y)}^{g(x,y)}f(x,y,z)rdzd\theta dr$其中，$a$和$b$表示柱体的上下底面，$h(x,y)$和$g(x,y)$分别表示左右侧面的方程，$r=\sqrt{x^2+y^2}$是柱体的半径。
二、狄利克雷积分狄利克雷积分是一种对于无限积分的形式变换。
它的定义为：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\pi e^{-a}f(i a)+\pi e^{a}f(-i a)$其中，$a$是常数，$f(x)$是定义在实数轴上有界的连续函数。
gauss型积分公式
gauss型积分公式
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。
在误差函数的定义中它也出现。
虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。
高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。
它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。
高斯积分的几何意义就是：
g是从点A所能看到曲线L的角的度量。
设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则
(r,n) = (x,n) - (x,r)
所以：
cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)
=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|
代入高斯积分：
g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|2) + (x-e)cos(x,n)/(|r|2)) ds
化成第二型曲线积分：
g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|2) dx - (x-e)/(|r|2) dy)
±表示法线n的两个方向。
此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。
常用高斯积分公式
常用高斯积分公式高斯积分公式在数学领域中可是个相当重要的“宝贝”！咱先来说说高斯积分公式到底是啥。
简单来讲，高斯积分公式就是用来计算一些复杂积分的神奇工具。
比如说，对于形如∫e^(-x^2)dx 这样的积分，用普通方法可能会让你头疼不已，但高斯积分公式就能轻松搞定。
还记得我当年读书的时候，有一次做数学作业，遇到了一个特别复杂的积分题。
我盯着那道题，抓耳挠腮了半天，感觉头发都要被我薅掉了一大把。
各种常规方法都试了个遍，可就是算不出来。
就在我几乎要放弃的时候，突然想到了老师讲过的高斯积分公式。
我赶紧把相关的知识点在脑海里过了一遍，然后小心翼翼地按照公式一步一步地推导计算。
那过程可真是紧张又刺激，每一步我都提心吊胆，生怕出错。
当我终于算出答案的时候，那种成就感简直爆棚！就好像在黑暗中摸索了好久，突然看到了一束亮光。
在数学的世界里，高斯积分公式就像是一把万能钥匙，能打开很多看似紧闭的知识大门。
它在概率论、数理统计、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
比如说在概率论中，计算正态分布的概率密度函数的积分时，高斯积分公式就能大显身手。
正态分布在我们的生活中可是无处不在的，像学生的考试成绩分布、人的身高体重分布等等，很多都近似于正态分布。
在物理学中，求解一些电场、磁场相关的积分问题时，高斯积分公式也能发挥重要作用。
想象一下，科学家们在研究微观粒子的运动时，通过高斯积分公式就能更准确地描述和预测粒子的行为，这多厉害呀！再说说高斯积分公式的推导过程。
这可不是一件轻松的事儿，需要用到不少高深的数学知识和巧妙的方法。
但正是因为它的推导不容易，才更显得它的珍贵和神奇。
对于咱们学习数学的人来说，掌握高斯积分公式不仅能帮助我们解决难题，还能让我们感受到数学的魅力和力量。
总之，高斯积分公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，去运用，就能发现它的妙处，让它成为我们探索数学世界的有力武器！就像我当年攻克那道难题一样，只要不放弃，高斯积分公式总会给我们带来惊喜。
一维、二维、三维高斯积分点和权重
一维、二维、三维高斯积分点和权重
一维高斯积分是一种数值积分方法，用于计算一维函数的定积分。
高斯积分点和权重是该方法的关键组成部分。
高斯积分点是在积分区间上选择的特定点，而权重是与这些点相关联的系数。
在一维高斯积分中，我们通常选择一组称为“Legendre多项式”的正交函数作为基函数。
这些函数在积分区间内具有正交性质，并且可以在其中选择积分点和权重，以获得更高的积分精度。
二维高斯积分是一种用于计算二维函数的定积分的数值积分方法。
在二维高斯积分中，我们使用二维的正交多项式作为基函数，并选择一组合适的积分点和权重。
三维高斯积分是一种用于计算三维函数的定积分的数值积分方法。
类似地，我们使用三维的正交多项式作为基函数，并选择一组合适的积分点和权重。
这些积分点和权重的选取是根据特定的规则和算法进行的，以确保在给定的积分区间上获得良好的数值结果。
高斯积分在数值积分中得到广泛应用，特别是在计算复杂函数的积分时，可以提供较高的精度和效率。
数值积分中的高斯积分-教案
数值积分中的高斯积分-教案一、引言1.1数值积分的重要性1.1.1数值积分在工程和科学计算中的应用1.1.2数值积分相较于解析积分的优势1.1.3高斯积分在数值积分中的地位1.1.4引入高斯积分的背景和意义1.2高斯积分的基本概念1.2.1高斯积分的定义1.2.2高斯积分的数学表达1.2.3高斯积分与高斯求积公式的关系1.2.4高斯积分在数值分析中的重要性1.3教学目标和结构安排1.3.1教学目标1.3.2教学内容的结构安排1.3.3教学方法和策略1.3.4教学评估方式二、知识点讲解2.1高斯积分的理论基础2.1.1高斯积分的数学原理2.1.2高斯积分的误差分析2.1.3高斯积分的收敛性2.1.4高斯积分与勒让德多项式的关系2.2高斯积分的算法实现2.2.1高斯积分的算法步骤2.2.2高斯积分的编程实现2.2.3高斯积分的算法优化2.2.4高斯积分在数值计算软件中的应用2.3高斯积分的应用实例2.3.1高斯积分在物理学中的应用2.3.2高斯积分在金融数学中的应用2.3.3高斯积分在工程问题中的应用2.3.4高斯积分在机器学习中的应用三、教学内容3.1高斯积分的基本方法3.1.1高斯积分的节点选择3.1.2高斯积分的权重计算3.1.3高斯积分的数值实现3.1.4高斯积分的误差控制3.2高斯积分的高级技巧3.2.1高斯积分的多维扩展3.2.2高斯积分的适应性调整3.2.3高斯积分的并行计算3.2.4高斯积分的优化算法3.3高斯积分的教学实践3.3.1高斯积分的教学案例分析3.3.2高斯积分的教学活动设计3.3.3高斯积分的教学资源推荐3.3.4高斯积分的教学效果评估四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解高斯积分的基本概念和原理4.1.2掌握高斯积分的计算方法和步骤4.1.3学会使用高斯积分解决实际问题4.1.4能够分析和评估高斯积分的误差和收敛性4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数值计算能力4.2.2提高学生的数学建模和问题解决能力4.2.3增强学生的编程和软件应用能力4.2.4培养学生的团队协作和沟通能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学的兴趣和热情4.3.2增强学生对数学应用的认识和重视4.3.3培养学生的创新思维和科学精神4.3.4培养学生的责任感和合作精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯积分的数学原理和理论推导5.1.2高斯积分的算法实现和编程技巧5.1.3高斯积分的应用领域和实际问题解决5.2教学重点5.2.1高斯积分的基本概念和计算方法5.2.2高斯积分的误差分析和收敛性评估5.2.3高斯积分的实际应用和案例分析5.3教学难点与重点的关系5.3.1教学难点是教学重点的基础和前提5.3.2教学重点是教学难点的发展和延伸5.3.3教学难点与重点相互依存，相互促进六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1讲义和教材6.1.2多媒体设备和投影仪6.1.3数学软件和编程环境6.1.4实验设备和工具6.2学具准备6.2.1笔记本和计算器6.2.2数学软件和编程环境6.2.3实验设备和工具6.2.4学习资源和参考资料6.3教具与学具的应用6.3.1教具的应用在教学过程中的作用6.3.2学具的应用在学习过程中的作用6.3.3教具与学具的结合使用的效果6.3.4教具与学具的选择和调整的原则七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入高斯积分的背景和意义7.1.2引导学生回顾数值积分的相关知识7.1.3提出教学目标和要求7.1.4激发学生的兴趣和好奇心7.2教学内容讲解7.2.1讲解高斯积分的基本概念和原理7.2.2讲解高斯积分的计算方法和步骤7.2.3讲解高斯积分的误差分析和收敛性评估7.2.4讲解高斯积分的实际应用和案例分析7.3教学活动与练习7.3.1安排学生进行高斯积分的计算练习7.3.2组织学生进行高斯积分的应用案例分析7.3.3开展小组讨论和合作学习活动7.3.4提供反馈和指导，帮助学生解决问题7.4.2对学生学习情况的评估和反馈7.4.3对教学方法和策略的反思和改进八、板书设计8.1高斯积分的基本概念和原理8.1.1高斯积分的定义和数学表达8.1.2高斯积分的节点选择和权重计算8.1.3高斯积分的数值实现和误差控制8.1.4高斯积分的收敛性和误差分析8.2高斯积分的计算方法和步骤8.2.1高斯积分的算法步骤和编程实现8.2.2高斯积分的多维扩展和适应性调整8.2.3高斯积分的并行计算和优化算法8.2.4高斯积分的实际应用和案例分析8.3高斯积分的教学实践和案例分析8.3.1高斯积分的教学案例分析8.3.2高斯积分的教学活动设计8.3.3高斯积分的教学资源推荐8.3.4高斯积分的教学效果评估九、作业设计9.1基础练习题9.1.1高斯积分的基本概念和原理的练习题9.1.2高斯积分的计算方法和步骤的练习题9.1.3高斯积分的误差分析和收敛性评估的练习题9.1.4高斯积分的实际应用和案例分析的练习题9.2综合应用题9.2.1高斯积分在物理学中的应用题9.2.2高斯积分在金融数学中的应用题9.2.3高斯积分在工程问题中的应用题9.2.4高斯积分在机器学习中的应用题9.3探究拓展题9.3.1高斯积分的高级技巧和优化算法的探究题9.3.2高斯积分的教学实践和案例分析的探究题9.3.3高斯积分的研究论文和学术文章的阅读题9.3.4高斯积分的实验设计和数据处理的探究题十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学内容的难易程度和学生的接受情况10.1.2教学方法和策略的有效性和改进空间10.1.3教学目标的实现程度和学生的反馈意见10.1.4教学效果的评价和改进方向10.2拓展延伸10.2.1高斯积分的高级技巧和研究方向的介绍10.2.2高斯积分在其他领域的应用案例的分享10.2.3高斯积分的实验设计和数据处理的指导10.2.4高斯积分的相关研究论文和学术文章的推荐重点关注环节的补充和说明：1.教学内容的讲解：应注重高斯积分的基本概念和原理的讲解，确保学生能够理解并掌握高斯积分的定义、数学表达、节点选择、权重计算等关键知识点。
高斯积分点[整理版]
单元节点和积分点有什么区别学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。
1、节点在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。
而节点值是在节点处的对应物理量。
以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}Si=1/4(1-x)(1-y)Sj=1/4(1+x)(1-y)Sm=1/4(1+x)(1+y)Sn=1/4(1-x)(1+y)(单元的形函数我们可以从手册中查到)从而我们知道了温度在单元内的分布。
2、积分节点我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。
采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。
这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。
因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。
这只是为了减少误差。
因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适（原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分）高斯积分的话，积分点不在节点上牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式个人理解：1.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。
体积分 高斯积分
体积分高斯积分体积分：体积分是数学中的一种重要的积分方式，主要用于求解物体的体积，是数学与物理学等领域中必不可少的基础知识。
在物理学中，经常需要计算固体物体、液体或气体的体积，这时候就会用到体积分去求解。
在数学中，体积分是一种基础的积分方法之一，与面积分、弧长积分一起构成多重积分。
体积分的本质是将三维空间中的一个区域分割为无数个微元，将微元体积分别求解，然后对所有微元的体积进行相加求得所需体积。
通常，体积分的求解需要先确定三维空间中的区域，然后设定积分边界，最终进行积分计算。
下面是一些体积分的典型应用：1.计算立方体的体积立方体是一种很简单的立体图形，其体积可以通过体积分的方式很容易地求解出来。
假设立方体的边长为a，则其体积为a^3，可表示为三重积分：V = ∭R dV = ∫0a ∫0a ∫0a dzdydx = a^3其中R为立方体的空间区域，dV为微元体积。
2.计算矩形面片的体积假设有一块矩形面片，长为a，宽为b，厚度为h，则其体积为abh，可以表示为三重积分：V = ∭R dV = ∫0h ∫0b ∫0a dzdydx = abh其中R为矩形面片的空间区域，dV为微元体积。
3.计算半球体的体积假设有一半径为R的半球体，则其体积为(2/3)πR^3，可以表示为三重积分：V = ∭R dV = ∫0R ∫0π/2 ∫0 2π r^2sinθ dφdθdr =(2/3)πR^3其中R为半径，θ为极角，φ为方位角，dV为微元体积。
高斯积分：高斯积分是数学中的一种特殊积分方式，在多个领域中都有广泛应用，如电磁学、量子力学、热力学等。
高斯积分的本质是一种曲面积分，用于计算曲面上对某一物理量的限制。
对于一个曲面S，其上的某一物理量f(x,y,z)的限制可以用高斯积分I来表示，公式为：I = ∫∫S f(x,y,z) dS其中S为曲面区域，dS为微元曲面积。
下面是一些高斯积分的典型应用：1.电场强度的计算在电磁学中，高斯定理是一个非常重要的定理，可以用于计算电场强度。
四面体单元高斯积分点
四面体单元高斯积分点
四面体单元高斯积分点是一种用于数值计算的方法，主要用于解决复杂几何形状和物理问题。
这种方法的基本思想是将复杂的几何形状划分为许多小的四面体单元，然后在每个单元上进行高斯积分，以得到整个区域的积分结果。
四面体单元高斯积分点的优点是精度高，计算速度快，可以处理复杂的几何形状和物理问题。
它的主要缺点是需要大量的计算资源，对于大规模的计算任务，可能需要高性能的计算机。
在实际应用中，四面体单元高斯积分点被广泛应用于流体动力学、结构力学、电磁学等领域。
例如，在流体动力学中，它可以用于模拟液体的流动和热传导；在结构力学中，它可以用于分析结构的应力和应变；在电磁学中，它可以用于计算电磁场的分布和电磁波的传播。
四面体单元高斯积分点是一种强大的数值计算工具，它可以帮助科学家和工程师解决许多复杂的问题。
然而，由于其计算量大，需要大量的计算资源，因此在实际应用中需要合理地选择和使用。
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n
1 2
xk(n)
0 -0.5773503 +0.5773503
Ak(n)
2 1 1 5/9=0.5555556 5/9=0.5555556 8/9=0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.6521452 0.3478548 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.4786287
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有 左=
b
a
( x ) g ( x )dx o
右=
A g( x
k 1 k
n
k
)=0
左右,故不成立等式,定理得证. 定义: 使求积公式
1
-1
f ( x) wi f ( xi )
高斯积分
• 在进行有限元分析时，一般需要大量的数 值积分，通常都是通过坐标变换把被积函 数全部化为局部坐标的函数。经过这样的 变换，计算将会变得简单。 • 若被积函数不是多项式函数，比如采用等 参单元就是这样，此时就需要求助于数值 积分，在有限元分析中，经常采用的就是 高斯数值积分。
• 对于积分区间[a,b]，通过变换
i 0
n
• 其中 wi为权函数
求积公式 超2n-1次。
A1 + A2
1
-1
f ( x) wi f ( xi )
i 0
n
的代数精度最高不
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
+ …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 A1 + x2 A2+ ……
1 f " ( ) 3 1 f ( 4 ) ( ) 135
Rn
Gauss- Legendre 点 及 系 数 表
3
4
5
-0.7745967 +0.7745967 0 -0.8611363 -0.3399810 +0.3399810 +0.8611363 -0.9061799 -0.5384693 0 +0.5384693
1Leabharlann f ( x) 1 x2
1
dx
A
k 1
n
k
f ( xk )
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
Tn(x)=cos(narccos(x))
( 2k 1) xk cos 2n , Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
0
e f ( x )dx Ak f ( xk )
1 1 1 ( 5) ( 5) IA A2 A5 ( 5) ( 5) ( 5) 3 t1 3 t2 3 t5
( 5) 1
0.69314719
积分精确值为 I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
x k 1
n
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e x f ( x )dx Ak f ( xk )
k 1
2
n
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. [ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
1 f ( 6 ) ( ) 15750
f (8) ( ) 3472875
f ( ) 1237732650
(10)
例题：利用高斯求积公式计算
［解］令x=1/2 (1+t), 则 1 dx I 0 1 x
1
0
dx 1 x
dt 1 3 t
1
用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5
ab ba x 2 2
• 可化为区间[-1,1] 所求积分则化为：
ba ab ba f ( x) f( )d 2 1 2 2
1
b
a
• 不失一般性，取a=-1，b=1，讨论区间[-1,1]上的 积分即可，则有
1
-1
f ( x) wi f ( xi )
i 0
n
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
f ( 2 n ) ( ) b 2 Rn ( x) wn ( x)dx (2n)! a
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的. • Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数 Ak都有表可以查询.
Gauss - Legendre 求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
其中高斯点为Legendre多项式的零点
Ln(x)=
1 d n ( x 2 1) n n 2 n! dx n
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 为[-1,1]。