北师大版-数学-八年级上册-2.7 二次根式 作业
北师大版八年级数学上册二次根式练习题
2.7 二次根式第1课时 二次根式及其化简1.若-1<x <0,则22)1(+-x x 等于A.2x +1B.1C.-1-2xD.1-2x2.下列等式成立的是A.2)2(2-=- B.4x =x 2C.b -122++b b =-1D.36x x =3.若1)3()2(22=-+-a a ,则a 的取值范围是A.2≤a ≤3B.a ≥3或a ≤2C.a ≤2D.a ≥34.化简a +2)1(a -等于A.2a -1B.1C.1或-1D.2a -1或15.计算22)21()12(a a -+-的值是A.2-4a 或4a -2B.0C.2-4aD.4a -26.当3323+-=+x x x x 时，x 的取值范围是A.x ≤0B.x ≤-3C.x ≥-3D.-3≤x ≤07.当2m +7<0时，16914422++++-m m m m 化简为 A.-5m B.m C.-m -2 D.5m8.当a >0时，化简3ax -的结果是A.x axB.-x ax -C.x ax -D.-x ax9.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简2222a b ab a -+-的结果为A.-bB.2a -bC.b -2aD.b10.计算22)53()52(-+-等于A.5-25B.1C.25-5D.25-111.下列二次根式中,是同类二次根式的是A.b c a bca 3与B.23b a 与abC.a 2与34aD.b a 与23b a 2.7 二次根式第1课时 二次根式及其化简1.化简12=____.2.2)23(-= .3.|)1(1|,22a a +--<化简时当得 . 4.若三角形的三边a ､b ､c 满足a 2-4a +4+3-b =0,则笫三边c 的取值范围是_____________. 5.判断题(1)若2a =a ,则a 一定是正数.( ) (2)若2a =-a ,则a 一定是负数.( )(3)2)14.3(π-=π-3.14.( )(4)∵(-5)2=52,∴5)5(,55,5)5(2222-=-∴==-又.( )(5).57)75()75(2-=--=- ( )(6)当a >1时，|a -1|+221a a +-=2a -2.( )(7)若x =1,则2x -22)2(244--=+-x x x x =2x -(x -2)=x +2=1+2=3.( )(8)若2)(xy =-xy ≠0,则x 、y 异号.( ) (9)m <1时，(m -1)2)1(1-m =1.( )(10)122++x x =x +1.( ) (11)22)3(3-+=0.( ) (12)当m >3时，269m m +--m =-3.( )6.如果等式2x =-x 成立，则x 的取值范围是________. 7.当x _______时，221x x +-=x -1.8.若2)2(+-x =x +2,则x __________.9.若m <0,则|m |+______332=+m m .10.当)169()2(,22122+--<<x x x x 时=________.11.若x 与它的绝对值之和为零，则_________2=x . 12.当a _________时，|2a -3a |=-4a .13.化简2π)310(-=________.14.若a <0,则化简4)1(2+-a a 的结果为________.15.化简)5()5(2m m --的结果是________.16.当a _______时，2122-=aa . 17.若a <-3时，则|2-2)1(a +|等于________.2.7 二次根式 第2课时 二次根式的运算1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）A 、±1B 、0C 、1D 、0和12、在316x 、32-、5.0-、xa 、325中，最简二次根式的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 3、下列运算正确的是（ ） A 、()ππ-=-332 B 、()12211-=-- C 、()0230=- D 、()6208322352-=-4、下列等式或说法中正确的个数是（ ）①b a b a -=-22； ②a -2的一个有理化因式是a -2；③59432712=+=+； ④3333=+； ⑤54954152=+。
北师版八年级上册数学第2章 实数 二次根式的混合运算
2．(2019·滨州)计算：－12－2－| 3－2|＋ 32÷ 118＝_2_＋__4__3__.
3．(2018·泰州)下列运算正确的是( D )
A. 2＋ 3＝ 5 B. 18＝2 3
C. 2· 3＝ 5
D. 2÷ 12＝2
4．(2019·重庆)估计 5＋ 2× 10的值应在( B ) A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间
【点拨】 5＋ 2× 10＝ 5＋2 5＝3 5. 因为 3 5＝ 45，36＜45＜49，所以 6＜ 45＜7.
5．(中考·聊城)计算5
15－2
45÷(－
5)的结果为(
A
)
A．5 B．－5 C．7 D．－7
【点拨】原式＝( 5－6 5)÷(－ 5)＝(－5 5)÷(－ 5)＝5.
6．计算：
(1)(2019·泰州) 8－
8．(2019·孝感)下列计算正确的是( A )
A．x7÷x5＝x2
B．(xy2)2＝xy4
C．x2·x5＝x10
D．( a＋ b)( a－ b)＝b－a
9．已知 a＝2 2＋3，b＝2 2－3 则：(1)a＋b＝4 2； (2)a－b＝___6_____；(3)ab＝___－__1___； (4)a2＋b2＝___3_4____；(5)a2－2ab＋b2＝___3_6____．
解：原式＝9－7＋2 2－2＋(2－ 3)[(2＋ 3)(2－ 3)]2 021 ＝2 2＋2－ 3.
12．已知 a＝ 51－2，b＝ 51＋2，求 a2＋b2＋7的值．
解：由已知得 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，所以 a＋b＝2 5，ab＝1. 所以原式＝ （a＋b）2－2ab＋7＝ （2 5）2－2＋7＝5.
北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
北师大版八年级数学上册《2.7二次根式(第1、2课时)》课件
2 5;
2
3 12；
3 2
xy
1 ; x
4
288
1 . 72
2 5 2 5 10；
3 12 36 6；
(2) 3 12
1 1 2 xy 2 y； 3 2 xy x x
的式子叫做
例1 当x是怎样的实数时， 义？
x2
在实数范围内有意
解：由
x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？ x ?
2
3
x为任意实数
x为大于或等于零的实数
练
习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？ 解：设其宽为2x，长为3x，则有
把
a a 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
例5 化简：
1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3 3 3 解： ； 1 100 10 100
25 y 5 y 25 y . 2 2 2 9x 3x 9x
2 3 2 a 2、 、 19 a
等，你发现有何特点？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
被开方数4ab含 4，a，b这样的因 数或因式，其中4 可以开方后移到根 号外，它是开得 尽的因数
练习
1.计算：
1
解: (1)
6 5 2 30 2；
3
北师大版八年级数学上册：2.7.2《二次根式的乘除与加减》
图 Z4－1
解析：根据规律找出每个半圆的半径，第 n 个半圆的直径 为 2n－1. 1 1 则第 4 个半圆的面积：第 3 个半圆面积＝2π(2×16)2∶
1 1 2 π( × 8) ＝4. 2 2 1 1 第 n 个半圆的面积为2π(2×2n－1)2＝π22n－5.
答案：4 π22n－5
规律方法：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部分 发生了变化，是按照什么规律变化的．
择或解答．
数字或代数式的猜想 例 1：(2012 年广东珠海)观察下列等式： 12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组 成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等 式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称 等式”：
2.(2014上海)计算的结果是( A. C.2 B. D.3
轻松尝试应用轻 松尝试应用轻松 尝试应用轻松尝 试应用 1 2 3 4 5
1.计算的结果是(
A.2 B.4
)
C.8 D.16
关闭
2 × 8 用轻 松尝试应用轻松 尝试应用轻松尝 试应用 1 2 3 4 5
几何图形中的猜想
例 2：(2012 年广东广州)如图 Z4－1，在标有刻度的直线 l
上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；
以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径画
半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4 个
半圆……按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的________倍，第 n 个半圆的面积为__________(结 果保留π)．
2022学年八年级数学上册 2.7 二次根式(1)导学案(新版)北师大版
二次根式课题 2.7 二次根式〔1〕 活动安排 例2 化简：〔1〕50；〔2〕72；〔3〕31；〔1〕你怎么发现50含有开得尽方的因数的？你怎么判断714是最简二次根式的？ 〔2〕将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会或步骤，与同伴交流〔步骤〕。
达标小测：化简：(1)32；(2)72；(3)712；(4)5.1；(5)51新知拓展：如图，方格纸中每个小格的边长为1，画一条长为20的线段。
总结升华：1、本节课知识上你有哪些收获？2、在学法和解题方法上你有什么经验与大家分享？3、本节课是否还有疑惑？达标反应：1、化简： (1)489⨯； (2)716⨯； (3)2512； (4)27；(5)18； (6)133； (7)509(8)21。
2、一个直角三角形的斜边长为15cm ，一条直角边长为10cm ，求另一条直角边长。
3、如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释228=吗？学习目标 1、理解二次根式和最简二次根式的概念. 2、掌握二次根式的性质． 3、能用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式探究任务三：独学3分钟 组学2分钟 抽展〔展台展示〕2分钟评价归纳2分钟新知拓展：独立探索3分钟；小组交流、板展〔展台展示〕3分钟；讲评总结2分钟总结升华 3分钟 达标反应 活动安排 探究任务一：明晰二次根式的概念 请同学们围绕以下问题进行新知探索： 问题：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+〔其中b=24,c=25〕，上述式子有什么共同特征？归纳小结：〔1〕都含有 运算，并且被开方数都是 。
〔2〕一般地，式子)0(≥a a 叫做 。
a 叫做 ．强调条件：0≥a 〔3〕对于 二次根式概念的理解应注意哪些方面？〔从写法，被开方数的形式要求等〕 达标小测：以下哪些式子是二次根式，哪些不是二次根式？ （1）6 〔2〕18- 〔3〕12+x 〔4〕38- 〔5〕122++x x 〔6〕2)12(--x 〔7〕x 〔8〕x 21+〔x<-21) 探究任务二：探究性质〔特殊到一般〕问题1：94⨯＝ ，94⨯＝ ； 94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ．问题2：用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题3：〔1〕观察上面的结果你可得出什么结论？试用自己的语言复述。
北师大版八年级上册 2.7.3 二次根式(共21张PPT)
(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一 个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“ 多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结 合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完
全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形
式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同
(பைடு நூலகம் 0,b 0, c 0, d 0).
（3）（ a b）（ a b）型，即
（ a b）（ a b） ( a )2 ( b )2 a b
(a 0,b 0)，运用平方差公式.
（4）（ a b）2型，即（ a b）2 a 2 ab b
(a 0,b 0)，运用完全平方公式.
第二章 实 数
2.7.3 二次根式
温故知新
(1)说一说什么是最简二次根式？
(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?
(3)上节课课后作业:已知 2 1.414， 3 1.732，
6 2.449，
你是怎样解决的?
3 计. 算
2
最简二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简 二次根式
类二次根式的和或差,或有理式.
随堂练习
1、计算：
（1）( 80 90) 5
（2） 24 3 6 2 3
（3）( a3b 3ab ab3 ) ( ab) （a>0,b>0）（4）(2 6 5 2)( 2 6 5 2)
2.计算
(1)
x 1 ;(2)
2x 2
0.125a5b6c7
;(3)
解：（1） 28 4
1 -（ 7 2
2）
八年级上册-初中数学北师大【新课标】2.7.2二次根式 课件(共26张PPT)
课堂练习
3.设 =
，
+
= − ，则a = b(填“>”“ < ”或“= ”）.
4.三角形的三边长分别为 , ， ，则这个三角形的
周长为__________
+
.
课堂练习
5.计算:
(1) 5 8-2 27 18;
解：(1) − +
(3) ( + ) = ( ) + + = + + = +
(4)
+
(5)
−
(6)
+
=
− = ( ) − = − =
× = × −
+
× = − = − =
新知讲解
例4 计算：
(1) ×
(4)( + )( − )
(2) × −
(5)( −
)
×
(3)( + )
(6)
+
新知讲解
解：(1) × =3× × × =6
(2) × − = × − = − = − =
2.两个基本性质：
= ∙ ( ≥ ， ≥ )
=
( ≥ ， > )
情景导入
下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，
请根据不同的已知条件，分别表示出它的面积.
(1)当长为2m，宽为3n,则面积S=6mn;
2.7二次根式的四则运算及混合运算 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
பைடு நூலகம்
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归纳总结
考
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
+
+ − = − .
=
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；
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式乘除法的应用
重 ■题型
难
3 的长方体，它的高为
例
现有一个体积为
120
cm
题
型
）
突 2 cm，长为 3 cm，则这个长方体的宽为 （
整式的形式.
第三课时 二次根式的混合运算
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：
（1） ×( + ) ；
（2） −
+ ÷ .
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第三课时 二次根式的混合运算
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［解题思路］（1）类比单项式乘多项式；（2）既可按
考
点
清 二次根式混合运算的顺序计算，也可将除法转化为乘法后，
型
突
破
第二课时 二次根式的四则运算
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2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：2.7二次根式
㊀ 分析:利用 ａｂ ＝
ａ ������ ｂ ( ａ ȡ０ꎬ ｂ ȡ０ ) 和
( ａȡ０ꎬｂ > ０ ) 可以把二次根式化简ꎬ 被开方数较大的时 带分数化简时先要化为假分数. ㊀ 解:( １) 原式 ＝ ６ ２ ꎻ( ２) 原式 ＝ ２０ꎻ( ３) 原式 ＝ 归纳:
８ ４ｂ ２ ꎻ( ４) 原式 ＝ . ７ ３ａ
４. (１) 已知 ｙ ＝ (２) 已知
ｘ－２ ＋
１８ｎ 是整数ꎬ则最小正整数 ｎ ＝ ㊀ ２㊀ .
９. 化简下列各式: (１)
８.ｘ 是怎样的数时ꎬ下列各式有意义? (１) ｘ ２ ＋ １ ꎻ (３) (５) －ｘ ꎻ ( ｘ － １) (２ － ｘ) ꎻ (２) (４) (６)
三. 解答题
棱长为㊀
２ ㊀ ｄｍ.
２. 下列各式中属于最简二次根式的是 ３. 化简: (１) (３) Ａ. ｘ ２ ＋ １ Ｂ. ｘ ２ ｙ ５ １２
３ 且 ｘʂ －１ꎻ( ３) ｘ ＝ ３ꎻ( ４) ｘɤ２ 且 ｘʂ１. ２
数ꎻ②分母不能为 ０ꎻ③０ 次方或负指数的底数不能为 ０ꎻ
二次根式的化简 ʌ 例 ３ɔ 化简下列各式: ㊀ (１) ㊀ (３) ７２ ꎻ １ １５ ꎻ ４９ (２) (４) ( － １６) ˑ ( － ２５) ꎻ １６ｂ ４ ９ａ ２ . ａ ａ ＝ ｂ ｂ
２
号内为非 负 数 的 根 式 即 可ꎬ 从 而㊀ 判定一个代数式是否是二次根式ꎬ 只需比对定义ꎬ 抓 住两个要点:一是二次根号ꎻ二是被开方数非负. 确定字母取值范围 ʌ 例 ２ɔ 填空: ㊀ (１) 当 ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ꎻ
３ － ｘ 在实数范围内有意义时ꎬ ｘ 的取值范围为
知识目标 思维目标 重㊁难点
ｂ
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2.7二次根式
1.化简的结果是（）
A.－4 B.4 C.±4 D.无意义
2.下列平方根中, 已经简化的是（）
A. B. C. D.
3.比较大小：32；58。
4.下列各式中，无意义的是（）
A. B. C. D.
5.一个正方形的面积为288，则它的边长为。
6.的算术平方根是______.
7.如果=2,那么(x+3)2=______.
8.的相反数是______，－的倒数是______.
9.化简下列各式：
（1）；（2）；（3）。
10.化简下列各式：
（1）；（2）；（ 3）；（4）。
11.一个直角三角形的斜边长为14cm,一条直角边长为10cm,求另一条直角边的长。
12.化简
4
)2(
3
1
20
22
121
232
2333)3(2)3(310
25
3x
2
)3(
2
3
4916
971.5
1
5
72
1252
27
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32722718
499716253
25121335097
12
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参考答案
四、课堂检测
1.B
2.C
3.＞，＜
4.A
5.12√2
6.
7.16
8.-3，−2√33
9.（1）28，（2）3√7，（3）
10.（1）√55，（2）6√2，（3）2√155，（4）√69
11.4√6
12.2. 32=4√272=6√227=3√318=3√2
499=21 716=4√7253
=5√3
2512=2√35133=√3913509=3√2107
12
=
2√21
7