18.1.1平行四边形的性质(1)(20200623113730)
18.1.1+平行四边形的性质+第1课时+课件-2020-2021学年人教版数学八年级下册
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
D
C
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A
B
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形的对边相等）
பைடு நூலகம்
124°
B
32cm C
自学提示： 自学内容：自学课本42页例1至43页练习上面的 内容，完成下列问题： 1、两条平行线之间的距离和点与点的距离、点 到直线的距离有何联系与区别？ 2、试着用其他方法证明例1 。 自学方法：认真看书，理解两条平行线之间的 距离，先自学，然后组内交流。
课堂小结
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
猜想： AB=DC， AD=BC ∠A=∠C，∠B=∠D
AB 边、角
数据
CD
AD BC ∠A
∠B
∠C
∠D
自主学习（小组合作完成下列问题）
三、用以前所学过的知识能否证明出自己的猜想？
已知：AD//BC， AB//CD 求证：ABCD， AD BC
DA BBC，D ABC CDA
D
C
A
B
思考：
∴∠A=∠C （平行四边形的对角相等）
∵ ∠A+∠C=200° ∴∠A= 100°
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)
∴∠B= 180 °－∠A= 180º－ 100°=80°
例2：
如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形 的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)
18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。
平行四边形的性质(1)
32cm
30cm
32cm
30cm
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD, AD=BC ∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36, ∴ AD=BC=10m
A
D
C
B
1
4
2
3
性质的证明：
方法一
已知：如图，在平行四边形 ABCD中， 求证: ∠A=∠C, ∠B=∠D
证明： ABCD中 ∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠A+ ∠D ＝180° ∠A+∠B＝180° ∴∠ D=∠ B, 同理：∠A + ∠D ＝180° ∠C +∠D ＝180° ∴∠A= ∠C
B
A
D
c
方法一 观察、度量
平行四边形除两组对边分别平行外,你还能得到对边有什么关系?用什么方法得到这个关系?
D
方法二 剪开、叠合
C
A
B
已知:四边形ABCD是平行四边形 求证:AD=BC, AB=CD
方法三 证明
点拨：先根据题目画图，再写“已知”与 “求证”，最后证明。
18.1.1平行四边形的性质 （1）
二、四边形的概念 1.定义： 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做四边形. 下列常见的四边形有哪些呢？
知识回顾
( 2 ) 、 四边形的边、角关系：
18.1.1平行四边形的性质[1].ppt
![18.1.1平行四边形的性质[1].ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/0c0909310066f5335a8121ea.png)
如图:线段AC、BD就是
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B
C
ABCD的对角线
合作交流 解读探究
A Ｄ 1、定义:
有两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。
２、记作:
B
ABCD
Ｃ
3、读作：平行四边形ABCD
四边形 4、两要素： 两组对边分别平行 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等） 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º － 52°=128 °
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变式练习：
A 如图： 在 ABCD中，∠A+∠C=200° 则：∠A= 100 ° ，∠B= 80 ° . D C B
H
性质3：平行四边形的对边相等。
性质4：平行四边形的对角相等。
F
G
思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢
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例 题 教 学 解:
在 ABCD中,已知∠A=52 ° ，求其 余三个角的度数。
A D 52°
∵四边形ABCD是平行四边形 且∠A=52°（已知)
B
C
解:
∵四边形ABCD是平行四边形 且∠A+∠C=200° ∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等） 又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行) ∴∠B= 180 °－∠A= 180º － 100°=80°
版权所有-
例题 教学
如图，已知 ABCD 中，AD=3,BD⊥AD, 且BD=4, 你能求出平行四边形的周长吗?
平行四边形的性质有哪些
平行四边形的性质有哪些平行四边形的性质有哪些呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“平行四边形的性质有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的性质(1)边的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对边平行(2)角的性质：平行四边形的对角相等(3)对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分(4)平行四边形是中心对称图形平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(注意： 必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
‚有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形)。
拓展阅读：特殊的平行四边形1.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，(即长方形)。
矩形还有以下性质：① 矩形的四个角都是直角。
② 矩形的对角线相等。
根据矩形的性质，得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理 :① 对角线相等的平行四边形是矩形。
② 有三个角是直角的四边形是矩形。
③ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形还有以下性质 :① 菱形的四条边都相等。
② 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
③ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理 :① 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
② 四条边相等的四边形是菱形。
③ 有一组临边相等的平行四边形是菱形。
3.正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
18.1.1平行四边形的性质(1)+
18.1.1平行四边形的性质（一） 编制： 目标：理解平行四边形的概念； 掌握平行四边形的性质及其推导，并能运用平行四边形的性质解决问题； 理解两条平行线间的距离，并知道两平行线间的距离处处相等。 重点：平行四边形的性质的推导及应用。 难点：平行四边形性质的灵活应用。 一．知识要点 1. 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形ABCD记作▱ABCD 2. 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补。 3. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等。 二．经典例题和变式 知识点1：平行四边形的概念 例1.如图，已知AB∥EG，BC∥EF，AC∥FG (1) 图中有几个平行四边形？将它们表示出来。 (2) 几个平行四边形的面积有什么关系？
【变式练习1】 1. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ） A. 12个 B. 9个 C. 7个 D. 5个 知识点2： 平行四边形边、角的性质 例2. （1）在▱ABCD中，∠A:∠B=2:3，求各个角的度数； （2）已知▱ABCD的周长是40cm，AB：BC=3：7，求各边的长.
【变式练习2】 1. 已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是______. 2.在▱ABCD中，已知AB、BC、CD三条边长分别为（x+2）cm，（x-5）cm，12cm，则这个平行四边形的周长为______. 知识点3 ：平行四边形性质的简单运用 例3. 已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF. 【变式练习3】 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若三角形ABF的周长为6，则▱ABCD 的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
18.1.1 平行四边形的性质共21张PPT含教学设计(2份打包)
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 平行四边形（第一课时）教学设计
教学目标 1. 理解平行四边形的概念。 2. 探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质。 3. 初步体会几何研究的一般思路与方法。
教学重点 平行四边形边、角的性质的探索。 教学难点 应用平行四边形边与角的性质进行有关的论证和计算。 教学过程 设计意图
［活动１］创设情景，引入新课 欣赏生活中的平行四边形 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，体会数学与生活的联系，并进一步明确平行四边形在数学中的地位 ［活动2］认识平行四边形的有关概念 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2.平行四边形相对的边称为对边, 平行四边形相对的角称为对角. 3平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线． 给出定义，说明定义的两方面的作用：既可作为性质，又可作为判定平行四边形的依据； 明确平行四边形的基本要素。 ［活动3］画一画 请同学们根据对平行四边形的初步认识，试着画出几个不同的平行四边形。 师指导画图并对所画出的图形进行分类。 通过画图，加深对定义的理解，提高动手能力，并明确平行四边形的几种类型。 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com ［活动4］探究平行四边形的性质 1. 仔细观察，大胆合理的猜想平行四边形边与角的性质； 2. 通过测量或图形变换验证以上猜想； 3. 证明猜想； 4. 归纳平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等； 5. 给出几何表示方法。 让学生经历“猜想—验证 —证明”的探究过程，体会几何研究的一般思路与方法。 在证明猜想的过程中，体会转化的数学思想。 ［活动5］例题赏析 例1.如图，在平行四边形ABCD中，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ边上的点，且AE=CF ，求证：ＤＥ＝ＢＦ． 例2 如图，直线a∥b，A，B为直线a上的任意两点，ＡＤ⊥ｂ，ＢＣ⊥ｂ，ＡＤ与ＢＣ相等吗？为什么？ 应用性质进行推理，体会得到证明思路的方法；