2012-2013届高一年级奥赛辅导一
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一年级)-高一数学试卷与试题
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.
参考答案：
[16分]
10.
已知正实数 参考答案：
11.
参考答案：
的最小值．[20分]
[20分]
1. 已知集合 参考答案： 1
．[8分]
2.
已知正项等比数列 参考答案：
3.
[8分]
参考答案：
[8分]
4.
已知
．
[8分]
参考答案：
5.
已知数列 则a1= ．[8分] 参考答案： 5
6. 在△ 参考答案：
7.
, = ．[8分]
参考 -5
的值为 ．[8分]
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高一年级）
试卷总分：120 答题时间：120分钟
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评 卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
高一奥赛试题及答案
高一奥赛试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，集合B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B=（）。
A. {1,2}B. {2}C. {1}D. 空集答案：B3. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，则向量a与向量b的数量积为（）。
A. 1B. 2C. 7D. 8答案：C4. 已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|，求f(2)的值为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B5. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）。
A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a>0，b>0，若双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x，则b/a的值为（）。
A. 1/2B. 2C. √2D. √3答案：B7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值为（）。
A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A8. 已知抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标为（）。
A. (1,0)B. (1,1)C. (-1,0)D. (-1,1)答案：B9. 已知直线l的方程为y=2x+3，求直线l关于x轴对称的直线方程为（）。
A. y=-2x-3B. y=-2x+3C. y=2x-3D. y=2x+3答案：A10. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x-27，求f'(x)的值为（）。
A. 3x^2+6x-9B. 3x^2+6x+9C. 3x^2-6x-9D. 3x^2-6x+9答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的对称轴方程为_______。
答案：x=312. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b4的值为_______。
高一数学竞赛辅导练习题3
高一数学竞赛辅导练习题3环县一中高一数学竞赛辅导练习题(3) 一、选择题,(设则( ) SxyxyTxyxy,,,,,{(,)|0},{(,)|0,0},A B C D STS,STT,STS,STS,1fx(),,(若的定义域为A，的定义域为B，那么( ) gxfxfx()(1)(),，,xA B ,, , , ABR,AB,AB,,3. 区间所得的象集区间为，若区间的长度比区间[,0]:2mfxxm在映射,，[,]ab[,]ab的长度大,，则,( ) [0,]mm, , , 10 , 2.5 , ,2-1-x4.给出下列几个函数:?y= 3x-5 , ? y=-x ,? y=-(x) ,? y= log(-x), ? y=(0.5) 2其中在区间上递减的函数个数是( ) (,0),,A. 0B. 1C.2D.35.已知集合M={2010，3，25}，则M的所有子集的个数是( )A(5 B(6 C(7 D(8 6(函数( ) yxx,，,(2)(6)A(有最小值，没有最大值， B(有最大值，没有最小值，C(有最小值，也有最大值， D(没有最小值，夜没有最大值， 7.以a,b,c顺次表示方程 x+logx=2 , x+logx =2 , x+logx=1的根，则它们的大小关系232 是abc,,bac,,cab,,cba,, A( B( C( D(32x，x1,xy,log(a,0且a,1);8. 下列4个函数中:?y=3x,1，? ?y,， a1，xx，111y,x(，)(a,0且a,1).? 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ) ,x2a,1 A(? B(?? C(?? D(??1a,f(log),9(函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x?[0，2]时，f(x)是减函数，设b= 82f(7.5)，c= f(,5)，则a、b、c的大小关系是( )abc,,acb,,bac,,cab,, A( B( C( D(1133,,,12222A,B,xx，xx，10. 已知，，，则的值分别为( ) AB,xx，,3,5,25,25,5 A(， B(，255525 C(， D(，二、填空题:11. 边长为2的正三角形的面积是_________.12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为对角线AD上一点，N为对角线BD 上1111111的一点，则线段MN的长度的最小值是xy，2yx,113.若2(2),并且，则 x+y= _______________. 93,yxx,，,3的最大值是_____________ ; 14.函数x15.函数的定义域是___________ y,2log()xx,21f(x),f()16. 设二次函数f(x)，对x?R有=25，其图象与x轴交于两点，且这两点的横2坐标的立方和为19，则f(x)的解析式为2f(x),ax，2ax，117(已知二次函数在区间[,3，2]上的最大值为4，则a的值为218(a > 0，当时，函数的最小值是,1，最大值是1. 求f(x),,x,ax，bx,[,1,1]使函数取得最大值和最小值时相应的x的值.2219(已知在区间[0，1]上的最大值是,5，求a的值. f(x),,4x，4ax,4a,a 练习(2)答案:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C C A A B B C D113{|},{|}xxxx,,11.; 12.; 13.;14.b+3;15. 1:2:3 ; 16.略;(1,),(,3)，,,,,22217. a,,(4,1)。
高一竞赛(牛顿定律)辅导资料
高一年级物理竞赛辅导讲义（牛顿运动定律）1、（2010全国卷1）15．如右图，轻弹簧上端与一质量为m 的木块1相连，下端与另一质量为M 的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。
现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为1a 、2a 。
重力加速度大小为g 。
则有A ．1a g =，2a g =B ．10a =，2a g =C ．10a =，2m M a g M +=D ．1a g =，2m Ma g M+= 2、（09年宁夏卷）20.如图所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦。
现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为A.物块先向左运动，再向右运动B.物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动C.木板向右运动，速度逐渐变小，直到做匀速运动D.木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零3、（09年安徽卷）22．（14分）在2008年北京残奥会开幕式上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神。
为了探究上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用，可将过程简化。
一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图所示。
设运动员的质量为65kg ，吊椅的质量为15kg ，不计定滑轮与绳子间的摩擦。
重力加速度取210m/s g =。
当运动员与吊椅一起正以加速度21m/s a =上升时，试求： （1）运动员竖直向下拉绳的力； （2）运动员对吊椅的压力。
4、如图所示，水平传送带A 、B 两端相距S ＝3.5m ，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。
工件滑上A 端瞬时速度V A ＝4 m/s,达到B 端的瞬时速度设为v B 。
(1)若传送带不动，v B 多大？(2)若传送带以速度v(匀速）逆时针转动，v B 多大？ (3)若传送带以速度v(匀速）顺时针转动，v B 多大？5、（09年上海物理）22．（12分）如图A ．，质量m ＝1kg 的物体沿倾角θ＝37︒的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图B ．所示。
江西省上饶中学2012-2013学年高一第十一周周练数学试题(奥赛班,无答案).pdf
一，选择题（每题5分，共60分） １、已知集合M=｛xx=, ∈Z｝，N=｛xx=, k∈Z｝，则 （ ） A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集 C． M=N D．集合M与集合N之间没有包含关系 ２．函数的实数解落在的区间是( ) A． B． C． D． ３．在这三个函数中，当时， 使恒成立的函数的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 ４．若是方程的解，是 的解，则的值为（ ） A． B． C． D．,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ） A． B． C． D．不能确定 ６．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． ７．若,则( ) A． B． C． D． ８．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，，( )A．，， ，， 的图象与x轴有公共点，则m的范围是 （ ） A．m≤－1B．－1≤m<0C．m≥1D．0<m≤1 10，已知0<x1，则a的取值范围是（ ） A,或B,或 C, D,或 12，方程的根的情况是 （ ） A．仅有一根B．有两个正根C．有一正根和一个负根D．有两个负根 二，填空题（每题5分，共20分） 1３．若函数的零点个数为，则______。
1４．函数是幂函数，且在上是减函数，则______. 1５．若函数的值域为，则的范围为__________。
16．下列几个命题其中正确的有 ①方程有一个正实根，一个负实根，则.②函数是偶函数，但不是奇函数.③函数的值域是，则函数的值域为.④ 设函数定义域为，则函数与的图象关于轴对称.⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则值不可能是1.cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积． （２）已知一个扇形的周长是6cm,问当该扇形的中心角为多少时，它的面积最大？ 18，已知且，求函数的最大值和最小值． 19．已知且，求使方程有解时的的取值范围。
高一数学竞赛辅导材料(二)
学习必备 欢迎下载高一数学竞赛辅导材料（)30 f （x ）满足f （a - x ）二f （a -x ），则此函数的图象（A ）关于直线y = 0对称 ）关于直线y = a 对称C ）关于直线x 二0对称）关于直线x = a 对称A ）关于直线y = 0对称 ）关于直线y = 1对称C ）关于直线x = 0对称 ）关于直线x = 1对称C ) [-1,0) (1,&函数 f (x) = . 1 - x 2 ( . x 2 4x 4 -2)是 、选择题1 •已知 f (x) = «A ) 10 x —2 (x^10) ，则f (5)的值是 J[f(x+6)](X£10)B ) 11C ) 12D )13 2 •若 g(x) =1 _2x , 1 _ x 2 f[g(x)]2 (x=0)，则 x f （丄）的值为 2 4 •设函数y 二f （x ）定义在 R 上, 则函数y = f （1 • x ）与函数y = f （1 一 x ）的图象（ 5 .函数y = f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（a,b ） 单调递增，则下面关系式中 (7 .已知y = f （x ）是偶函数，且在 正确的是A ) ab 0B ) ab > 0C ) ab：： 0 D ) 6 •函数f （x ）的图象如右图所示，则函数 f （x ）的图象是）是增函数的区间是（[0, ■：-）上是减函数，则f （1153 •设定义在R 上的函数yA ) [0, A ）奇函数B ）偶函数C ）既是奇函数又是偶函数D ）非奇非偶函学习必备 欢迎下载3、填空题: 1 .函数f (x) =2 的值域是 __________________________ x — 4x +5x 2 _x +1 2 .函数f (x) 2的值域是 _________________________________ x +x +1 3•函数f (x-m) =x 2 -2x • 3，若函数f(x)在(-：：,3］上是减函数，则实数3 24.函数f (x) =x +bx +cx 是奇函数，它的图象与 x 轴交于A ( x 1，0)、BC ( X 3, 0)三点，若 X i X 2 + X 1 ____________________________________ X 3+X 3 X 2 =「2，则 b c =三、已知函数y = x 2 -2x • 3, x • ［0, a ］的值域是［2, 3］，试求a 的取值范围;四、已知偶函数 f(x)在(-：：,0］上单调递增，求函数 f(x-2x 2)的递减区间;m 的取值范围(X 2 ,0)、五、已知f(X)=x? —4bx+2b+30 , xwR 时f(x) > 0 恒成立，求g(b) =(b+3)[1+|b —1]的值域；六、已知二次函数y = f(x)的二次项系数为负，对任意的x R恒有f (3-x) = f (3 • x)，试问2 2当f (2 • 2x - x )与f (2 - x - 2x )满足什么关系时，才有- 3 ：：： x ：：： 0 ？七、设f(x)是定义在R •上的增函数，且f (°) = f (x) - f (y) y(1)求证:f (1) =0，f (xy) = f(x) f(y)1(2)若f (2) =1，解不等式f (x) - f (——)< 2x—3八、设函数f (x)定义在R上，当x 0时，f(x) .1，且对任意实数a,b・R，有f (a b)二 f (a) f (b)(1)求证:f (x)恒为正数; (2)求证：f (x)在R上为增函数;。
高一数学竞赛辅导训练(7)
高一数学竞赛辅导训练（7）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
1．对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,以下不等式准确的是 ( ▲ ) A 、()tan cos tan θθ> B 、()tan tan tan θθ> C 、()cos tan cos θθ< D ．()cos tan cos θθ>2．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <C ．35k <<D ．335k k <<<或3．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅ 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 4．已知R a ∈,则函数1()421(0)xx f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )A ．22a +B ．21a - C ．⎩⎨⎧->--≤+)1(1)1(222a a a a D ．⎩⎨⎧->+-≤-)1(22)1(12a a a a 5．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),(2sin(),1),6a Ab A π==+则a b ⋅的取值范围是( ▲ ) A ．15[,]22- B ．15(,]22- C ．5[2,]2D ． 5(2,]26.已知函数),cos 2(sin )(,)(23x x x g x x x f -⋅=+=则)(),(x g x f 的图像的交点个数为( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个7．定义1231nkn k xx x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则891891(1cos 2)sin 2k k k k ==-︒︒∏∏的值为 ( ▲ )A ．1-B ．1C ．89-D ．89 8．若函数()f x 满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题： ①函数()f x 能够为一次函数；②函数()f x 的最小正周期一定为6； ③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ωϕ∈、且0ω≠，则当且仅当2()3k k Z πωπ=+∈时，函数()cos()f x x ωϕ=+满足已知条件.其中错误的选项是．．．．．．( ▲ )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④3 2 1 88 3 0 7 6 8 0(13题图)9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x << 二、填空题：本大题共7小题，每题7分，共49分。
2013金钥匙竞赛辅导
如图所示是两个正方形X，Y，要求在 它们的上面画出一个新的正方形，其 面积是这两个正方形面积之和，并说 出理由
一笔画
下列图形是一笔画。一笔画要求笔不离纸，一笔连着画下来；而 且任何一段线都不能重复。 一笔画问题，是大数学家欧拉在1736 年研究解决的。他的理论 中有这样几条原理： 为了便于介绍原理，我们把图中偶数条线相交的各点，叫做“偶 数点”，有奇数条线相交的各点，叫做“奇数点”。如图中各交 点都是偶数点，这种图形都能一笔画下来。而且不论从那一点起 笔都可以。图中交点有奇数点，如果出现一对（两个）奇数点， 这种图形也可以一笔画成，但是，必须从某一个奇数点起笔，在 另一个奇数点收笔。如果奇数点不止一对，这种图形就不能一笔 画出来。好，你先看看下面的一笔画能一笔画出来吗？然后你还 可以根据上面说的原理，自己设计一笔画。
三条直线交叉状
请你画两根直线把左面的 图形分成六块。
四个碗，碗口向上，每次翻三个，至少 要翻几次，才能使它们的碗口全部向下？ 如果只有三只碗，每次翻两个，要翻多 少次才能全部翻过来？
四只碗翻四次可以全部翻过来，如果 是三只碗，每次翻两只，永远也不可 能全翻过来。奇数只碗，不可能全翻 过来；偶数只碗，总可以翻过来。
报纸注意的内容
• • • • • • • • • 金钥匙训练营（必会，初中高中都要） 头版最新科技 发明史话 走进世博（重点） 科技零距离（重点） 每周一问 点击3+X 身边的科学 科学问答
注意事项
• • • • 预赛时间： 复赛时间： 地点： 需带工具：笔、尺、计算器以及准考证
动手动脑题
一张饼，切三刀，分成七块， 不能将饼叠起或卷起。
2013金钥匙竞赛辅导
竞赛内容
• 最新的科学知识、科技成果、身边的科学、创新思维 能力训练动手实践等。以科普综合知识为基础，突出 动手实践能力、自主创新思维能力的培养；考察选手 们的观察能力、思维能力和综合知识的灵活运用能力。 • 本次互动内容60%可参考2012年9月~2013年11月 《青少年科技报》”金钥匙训练营“栏目及 网站上的相关内容。 • 其余40%为其他内容，自然常识、数学、物理、化学、 生物、地理等学科有关的科技知识，科普英语、动手 动脑、科学小文章等。
2012年全国高中数学联赛郑州市预赛高一试题及答案(1)
2012年全国高中数学联赛郑州市预赛试卷及答案高中一年级（2012年5月13日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分140分．一、填空题：本题满分30分，每小题5分.本题要求直接把结果写在横线上．1.设集合{1,3,5},{2,4,6}.A B ==若集合{|,,},C s s a b a A b B ==+∈∈在集合C 的元素个数为 .解：5.2.与圆22(2)1x y -+=相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有 . 过原点有2条；斜率为-1的也有2条，共4条.3.已知221a b +=，c a b <+ 恒成立，则c 的取值范围是. (,-∞4.设125()()(),236xxxt =++则关于x 的方程(1)(2)(3)0t t t ---=的所有实数解的和为 .解：4.125()()()()236x x x f x =++是单调减函数，当0,1,3x =时其值分别为3,2,1，其和为4.5.当,x y 满足条件||||1x y +≤时，变量2z x y =-+的范围是 . [1,3]6.方程2220x x a a ---=的根为（,a a αβ）（1,2,2012a =）. 则2012112222012201211111111()a aaαβαβαβαβ=+=++++++∑的值为 .解：方程2220x x a a ---=的根应满足22,,a a a a a a αβαβ+=⋅=--则201220122012211111211()2()1a a a a a a a a a αβ===+=-=--++∑∑∑140242(1).20132013=--=- 二、选择题：在每小题给出的四个答案中只有一个是正确的，请把正确的结果选出来填在题后的小括号里.7.若两个正数的算术平均数为 ） A ．3 B ．4C ．5D ．68. 函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：a ≤≤2（ 2. 解析：23log ()y x ax a =--- 在（,1-∞所以2y x ax a =--∞在（-，0.,,.a ax a ≤≤对称轴为=可知，即2（22(0,f a a ≥≤≤≤得 2.所以 ，2（ 2.9.函数()y f x =的定义域为（0,+∞），且满足21()2()30,f x xf x x-+=则()y f x =的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：C. 由21()2()30,f x xf x x-+=得2113()2()0,f f x x x x-+= 所以22211() 3.f x x x x x x=+=++≥ 10.一个盒子里有3个黑球和4个白球，现从盒子里随即每次取出1个球，取出后不在放回，每个球被取出的可能性相等，直到某种颜色的球全部被取出，则最后取出的是黑球的概率是（ ） A ．35 B ．47 C ．12 D ．37解：B.11.已知函数222,3;1024,3,x x x y x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若y k =成立的x 的值恰有3个，则k 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 解：A.结合图像易得.12.设,a b 是两个相互垂直的单位向量，已知OP OQ OR r k ===a,b,a + b.若PQR ∆为等边三角形，则k ,r 的取值为（ ）解：C.A ．12k r -±==B ．1122k r -±±==C ．12k r ±==D ．1122k r ±-±==三、（本题满分20分）在一条直线上依次排列3点A,B,C , 且6,24,AB AC D ==为直线外一点，且,DA AB ⊥当BDC ∠取最大值时，求AD 的值.解：设,(90)BDC θθ∠=<BDC ∆的外接圆的半径为R , 则sin ,2BCRθ=当R 变小时，θ变大，(此处可以利用平面几何的知识去证明，从略) 所以当AD 与圆相切与D 点时，θ最大， 此时2212,AD AB AC =⋅=所以12.AD = （用三角函数同样给分）四、（本题满分20分）正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为1，在侧面对角线1A D 上取一点M ，1CD 取点N ，11//MN A ACC 面，求这样的MN 的最小值.解：作11,MM AD NN DC ⊥⊥,易得11//,M N AC 设11,DM DN x ==则11,1,MM x NN x ==-作1,MH NN ⊥则1112,,NH x M N =-=所以222211)(12)6(),33MN x x =+-=-+当13x =时，MN 五、（本题满分20分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在郑州市高中学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【解】（１）总体平均数为()156789107.5.6+++++= （２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共１５个基本结果。
高一年竞赛辅导集合[整理]
集 合例1（哈尔滨高中数学竞赛 1988）设G={a+b 2|a 2－2b 2|=1, a ∈Z ，b ∈Z}, 已知x ∈G, y ∈G, 求证: （1）xy ∈G, （2）x1∈G. 例2 (武汉市高一数学邀请赛,1992) 设S={22n m mn +|m, n ∈N}, 求证: 如果x, y ∈S,那么一定存在z ∈S , 使得x ＜z ＜y. 例 3 (圣彼得堡市数学选拔考试,1992) 任意选择一个自然数作为a 0, 再任意选取a 1∈{a 0+54, a 0+77}, 如此下去, 即当选定a k 后, 再选a k+1∈{a k +54, a k +77}. 证明: 在所得的数列a 0, a 1, a 2, ……中, 必定有某两项的未两位数相同.例4 (武汉市高一数学邀请赛,1992) 试证明: 集合{1, 2, 3, ……, 1991, 1994}中存在一个由1593年元素组成的子集, 集中设有一个元素是另一个的4倍.例5 (安徽省集训队测验题, 1986) 设S 1、S 2、S 3为非空整数集, 且对1, 2, 3的任何一个排列i, j, k, 若x ∈S i , y ∈Sj, 则x －y ∈S k , xy ∈S k .(1) 证明: S 1, S 2, S 3中至少有两个相等;(2) 试问S 1, S 2, S 3中是否可能有两个无公共元素? 如果有, 请举例说明, 如果没有请说明理由.例 6 (威斯康星数学科学与工程天赋探索1984-1985) 给定某集合U, 对每一个子集X ⊆U, 其补集是所有不在X 中的U 的元素之集合, 设P 为这样的集合, 即其元素为U 的某些子集, 且对每一子集A ⊆P, 设S A 表示下面一批集合的交集:所有A 中的集合和不在A 中而在P 中的那些集合的补集.证明: U 的每一个元素属于集合S A 中的一个且仅属于一个.例7(芜湖市数学竞赛, 1981) 设有集合A={x|x 2－[x]=2}, B={x||x|＜2＝, 求A ∩B, A ∪B. 例8 (北京市高一数学竞赛, 1993) 集M={x|x=2n -2k , 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x 1901|≤x ≤2000且x ∈N}则集合M ∩P 中所有元素的和等于 . 例9 (哈尔滨市高中数学竞赛, 1985)设x, y 是正无理数, 且满足yx 11+=1,设 A={[nx]|n ∈Z +}, B={[ny], n ∈Z +}, 其中记号[a]表示实数a 的整数部分, 例如[32]=4, 求证(1) A ∩B=φ (2) A ∪B=Z +练 习 题A 组1. (第一届 “希望杯”数学邀请赛 1989) 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质:(1)P 中元素有正数, 有负数;(2) P 中元素有奇数, 有偶数;(3) －1∉P;(4) 若x, y∈P, 则x+y∈P.对于这个集合P, 可以断定( )A. 0∈P, 2∉PB.0∉P, 2∈PC. 0∈P, 2∈PD. 0∉P, 2∉P2. (第16届哈尔滨高中数学竞赛, 1993) A⊆B, A⊆C, 且B={0, 1, 2, 3, 4}, C={0, 2, 4, 8}, 则集合A的子集最多是( )A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个3. (北京市高一数学竞赛试题, 1991) M、N是两个集合, 则M⊂N是指( )A. M中不包含任一元素B. M和N有相同的元素C. 所有M的元素都是N的元素D. 所有N的元素都是M的元素4. (第四届“希望杯”数学邀请赛, 1993) 设集合M={y|x－y2=1, x, y∈R} N={y|x－y=1, x,y∈R}, 则M∩N是( )A. { (x, y) | (1, 0)}B. {(x,y) | (2, 1)}C. {(x, y) | (1, 0), (2, 1)}D. R5. (武汉市高一数学竞赛, 1991) 已知集合P={p|p=x2－7x+12, x∈z}, Q={q|q=y2+2y+12, y ∈z}, 则P与Q的关系是( )A. P=QB. P⊂QC. P⊃QD. 以上均不可能成立6. (第十届“希望杯”数学邀请赛,1999) 已知集合{0, －1, 2a}={a－1, －|a|, a+1}, 则实数a的值等于.7. (第十一届“希望杯”数学邀请赛, 2000) 已知集合M满足{2, 5}⊆M⊂{1, 2, 3, 4, 5}, 则不同的M的个数是.8. (武汉市高一数学通讯赛, 1986) 设P={三角形}, Q={等腰三角形}, S={等边三角形}, 则P∪Q= ; P∩S= ; Q∩T= ;S∩T= .9. (第四届东北三省数学邀请赛) 设A和B是两个集合, 又设集合X满足A∩X=B∩X=A∩B, A∪B∪X=A∪B, 则X= .10. (第五届“希望杯”高一, 1994) 方程x2－2x+p=0 的解集为A, 方程x3+qx2+rx=0(r≠0)的解集为B, A∪B={0, －1, 3}, A∩B={3} , 则r＝.11. (四川省高中数学联赛, 1991) 试在整数集合{1, 2, ……3000}中, 选出1999个整数构成它的一个子集合A, 使得x∈A, 则2x∉A.12. (匈牙利数学竞赛, 1967) 某整数集合A既含有正整数, 也含有负整数, 而且如果a 和b是它的元素, 那么2a和a+b也是它的元素, 证明: 集合A包含它的任意两个元素之差.13. (第1届美国数学邀请赛,1983) 对于{1, 2,……n}和它的每个非空子集, 我们定义交替和如下:把子集中的数按从小到大的顺序排列, 然后从最大数开始交替加减各数(例如{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9－6+4－2+1=6, {5}的交替和是5)对于n=7, 求所有这些交替和的总和.练 习 题B 组1. (第一届全国部分省市初中数学通讯赛, 1985)如果对数集A 中的任意两个数a, b, 其和a+b, 差a －b 、积ab 都在数集A 内, 则称数集A 为数环, 下面六个数集 :①Z={全体整数} ② N={全体自然数} ③Q={全体有理数}④R={全体实数} ⑤M={全体形如n+m 2的数, 其中n, m 是整数}⑥ P= {全体形如nm 2的数, 其中n, m 是整数} 是数环的有 A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 E 、1个2. (全国高中数学联赛, 1989)集合 M = {u | u = 12m ＋8n ＋4l , 其中m, n, l ∈Z}, N = {u | u = 20p ＋16q ＋12r, 其中p, q, r ∈Z}的关系为 ( )A. M=NB. M ⊆N, N ⊆MC. M ⊂ND. M ⊃N3. (河北省高中数学竞赛1999)设M = {a | a = 2x ·3y ·5z , x, y, z 均为非负整数}的子集为N = {b | b ∈M, 1≤b ≤10}, 则N 的子集中包含1和10的集合有 ( )A. 10个B. 64个C. 128个D. 256个4. (全国高中数学联赛, 1995)设 M = {1, 2, 3, … 1955}, A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时, 15x ∉A, 则A 中元素的个数最多是 .5. (第九届“希望杯”数学邀请赛, 1998)定义一个数集的和就是集合中所有元素的和, 设S 是由一些不大于15的自然数组成的数集, 假设S 是任意两个不相交 (交集为空集) 的子集有不同的和, 则具有这种性质S 的和的最大值是______________.6. (广西高中数学竞赛, 1999)设集合A = {0, 1, 2, …9}, {B 1, B 2, …B k }是A 的一族非空子集构成的集合, 且当i ≠j 时, B i ∩B j 至多有两个元素, 则k 的最大值是_____________.7. (第27届IMO, 1986)设正整数d 不等于2, 5, 13, 证明在集合{2, 5, 13, d}中可以找到两个不同元素, a, b, 使ab －1不是平方数.8. (日本数学奥林匹克预选赛, 1994)已知集合A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}满是下列条件①②的子集S 有多少个① S 的元素有5个;② S 中任意两个元素和的个位数字恰好是0到9这十个数字.9. (第12届IMO, 1971 )找出具有下列性质的所有正整数n, 使集合{n, n＋1, n＋2, n＋3, n＋4, n＋5}可以划分成两个无公共元素的非空子集, 一个子集所有元素的积与另一个子集所有元素的积相等.。
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全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛
一、简介
1、国家（Chinese Physics Olympiad 简称CPhO）
①1984年以前，中学物理竞赛经常举行，但被冠以各种名称，无论是组织，还是考纲、知识
体系都谈不上规范。
② 1984年开始第一届CPhO，此后每学年举办一届。
③初赛：每年九月第一个星期天考试。全国命题，各市、县组考，市统一阅卷，选前30名（左
右）参加（全省）复赛。
复赛：九月下旬考试。全省命题，各省组织。理论考试前20名参加试验考试，取理论、试验
考试总分前10名者参加省集训队。集训队成员经短期培训后推荐3~7名参加（全国）决赛。
决赛：全国统一组织。按成绩挑选15~25名参加国家集训队，到有关大学强化训练，最后从
中选拔5名优秀队员参加IPhO 。
④满分140分。除初赛外，均含理论和试验两部分（试验满分60分）。
二、内容提要
力学
1、运动学
参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分
解。
匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。
刚体的平动和绕定轴的转动。
2、牛顿运动定律
力学中常见的几种力、牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。摩擦力。弹性力。
胡克定律。
万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和
人造卫星的运动。
3、物体的平衡
共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。
4、动量
冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。
5、机械能
功和功率。动能和动能定理。