高一数学必修3概率公式总结以及例题

§3. 概率  事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不

可能事件( impossible event )

随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为nmAP

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有10AP ② 0,1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 BPAPBAPBA:,则有互斥和

古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是

n1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为

n

m

AP

几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为

的侧度的侧度D

d

AP （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，

线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事

件 ，事件A的对立事件 记为：A

独立事件的概率：BPAPAABP , B , 则为相互独立的事件事件若， 若n21n2121A...AA...AAAP , , ... , , PPPAAAn则为两两独立的事件 颜老师说明：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个

互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件BA,是互斥事件，则有BPAPBAP ⑦ 一般地，如果 nAAA,...,,21 两两互斥，则有

nnAPAPAPAAAP......2121 ⑧ APAP1 ⑨ 在

本教材中nAAA...21 指的是nAAA,...,,21 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

例题选讲： 例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？ 【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A 意义为“选取2个球都是其它颜色球” 1514 151 - 1AP - 1 AP 151 2)56(1

AP 

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有15256种情况，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有1423424 所以1514AP 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分

别为：5364 , 5462 , 5264， 则有 15145364 5462 5264AP

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 1514 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A， 意义为“选取3个球都是白球”

54 51 - 1AP - 1 AP 51425364

123)456(123234AP 3634



C

C

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有2012345636C种情况，设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有16234241224C， 所以 542016AP

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54 . 解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A的情况如下：

红 白 白 51435462

1红2白 白 白 红 51425364 白 红 白 51435264 红 红 白 151445162 2红1白 红 白 红 151415462 白 红 红 151415264 所以 541513513AP 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 54 . 变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率： （1）第1次抽到的是次品 （2）抽到的2次中，正品、次品各一次 解：设事件A为“第1次抽到的是次品”， 事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

则 3162AP ，94664224BP（或者9462646462BP）

答：第1次抽到的是次品的概率为31 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为94 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？ 【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少1人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”

（1）1035633 1035363261313PPPAPAP或者

（2）51 5152632623PPBPBP或者 则 545111BPBP 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 103，少1人抽到选择题的概率为 54 . 变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球

略解: 536 534352425325CAPAP或者 变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？

略解:  946642662464626264AP 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？