2021-2022学年四川省凉山州九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年四川省凉山州九年级（上）期末数学试卷1.下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A. 正五边形B. 平行四边形C. 等边三角形D. 圆2.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A. x2−1x=1 B. (a2+1)x2−1=0C. ax2−x+2=0D. x2+x=x2−13.下列说法不正确的是( )A. 在装有红球、白球的盒子中摸出绿球是不可能事件B. 抛掷一枚硬币，落地时正面朝上是随机事件C. 13个人中至少有两个人出生的月份相同是必然事件D. 明天会下雨是必然事件4.已知x=−1是方程x2+mx−n=0的解，则m+n的值是( )A. 1B. −1C. 0D. 25.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，3.14，√3，17，1.010010001⋯随机抽取一张，则抽到的数是无理数的概率是( )A. 16B. 13C. 12D. 236.用半径为R，圆心角为n的扇形围成一个底面周长是2π、高是√3的圆锥，则R和n的值分别为( )A. √2，90°B. 2，360°C. √2，180°D. 2，180°7.抛物线y=−x2+bx+c向左平移2个单位长度再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=−x2+3x+2，则( )A. b=7，c=−6B. b=7，c=−10C. b=−1，c=6D. b=7，c=148.如图，△OAB中，OB=3，OA=1.将△OAB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△OCD.下列结论：①∠BOD=45°；②DC=OA；③BD，AC的垂直平分线相交于点O；④△AOC有一个角为67°；⑤AB在旋转过程中扫过的图形的面积是π；其中错误的结论有个．( )A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A(−1,p)，B(2,q)两点，则关于x的不等式ax2−mx≥n−c的解集是( )A. x≥2B. −1<x<2C. −1≤x≤2D. x≤−1或x≥210.已知a<−2，点(4−a,y1)、(a−1,y2)、(a−2,y3)都在二次函数y=ax2−4ax+c的图象上，则( )A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y311.⊙O的直径为2，点P到圆心的距离为d，且关于x的方程2x2+2√2x+3−d=0有实数根，则过点P可作⊙O的切线的条数有条．( )A. 0B. 1C. 2D. 1或212.以坐标原点O为圆心，作半径为6的圆．将直线y=−x上下平移m个单位，平移之后的直线与⊙O相切，则m的值为( )A. ±6√2B. 6C. ±12D. 6√213.若点A(−m,n−5)与点B(−1,−2m)关于原点对称，则−m n=______．14.同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．15.已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为______．16.若二次函数y=12ax2+ax+c(a≠0)的图象经过点(1,0)，则方程12ax2+ax+c=0(a≠0)的解为______．17.如图，将△ABC绕点D旋转180°得到△A′B′C′，若点A(−2,3)，点A′(0,−1)，则点D的坐标是______．18.解方程：(1)x2=1−2x；(2)(2x−1)2−(2x−1)=2．19.先化简再求值：(aa−2−4a+2)(a2−4)，其中(a2−2a−1)(a2−2a+4)=0．20.两条抛物线如果顶点相同，我们称这两条抛物线为同位抛物线．两条抛物线如果开口方向、开口大小均相同且顶点关于y轴对称，则这两条抛物线关于y轴对称．已知抛物线C1：y=x2−2x+3−2c，若抛物线C2：y=ax2+bx+c(a≠0)与C1是同位抛物线．(1)求a与c满足的关系式；(2)当抛物线C2经过点(2,4)时，求抛物线C2关于y轴对称的抛物线的解析式．21.某校开展禁毒防艾知识竞赛．政教处随机抽取九年级部分学生成绩进行统计．将统计结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．相关数据统计、整理如下：等级A级B级C级D级人数612a8(1)本次抽样测试的学生人数是______名，a=______；(2)扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是______；(3)该校九年级共有学生1000名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为______名；(4)某班有4名优秀的同学(其中一名男生三名女生)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求恰好选到两名女生的概率．22.如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．(1)求证：OD=1BC；2(2)求证：EM=EA．23.已知实数m、n满足m2−4=2m，n2=4+2n，则|m−n|=______．24.点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3.点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是______．25.某商场出售甲乙两种商品，出售甲种商品15件，乙种商品20件共获利390元，出售甲，乙两种商品各10件共获利220元．(1)求甲乙两种商品每件的利润；(2)商场调研甲种商品发现：若按现在售价出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售价每上涨2元，则每周少卖10件，商场要求每周甲商品的销量不低于80件．设甲种商品每件价格上涨x(元)，销售数量为y(件)．①写出y(件)与x(元)之间的函数关系式及自变量x的取值范围；②每件甲商品的利润为多少元时，每周可获得最大利润？最大的利润是多少元？26.如图，AB是⊙O的直径，DC⏜=DB⏜，过点D作EF⊥AC，与AC、AB的延长线分别交于点E、F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，DF=4.求DE的长．27.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过一次函数y=−x+3与x轴、y轴的交点A、B．(1)求抛物线的解析式；(2)当−1≤x≤2时，函数y=−x2+bx+c取最大值与最小值时，在抛物线上分别对应C、D 两点，在直线AB上取一点P，当PC+PD最小时，求P点的坐标及PC+PD的最小值；(3)在抛物线上找一点Q，当S△ABQ=S△ABO时，请直接写出点Q的坐标．28.如图，在△ABC中AB=AC，∠BAC=120°.△FDE中，∠DFE=60°，将△FDE的顶点F与△ABC的顶点A重合，边FD从AB边开始绕点A逆时针旋转，旋转过程中FD与直线BC的交点为N，FE与直线BC的交点为M．(1)点P在线段BC上，连接AP.如图(1)，△FDE在旋转过程中，当FD平分∠BAP时，求证：FE 平分∠CAP；(2)△FDE在旋转过程中，如图(2)，当∠BAN=45°时，探究线段BN，MN，MC之间的数量关系，并用你所学的知识证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、是一元二次方程，故此选项符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：B．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．3.【答案】D【解析】解：A.在装有红球、白球的盒子中摸出绿球是不可能事件，故A不符合题意；B.抛掷一枚硬币，落地时正面朝上是随机事件，故B不符合题意；C.13个人中至少有两个人出生的月份相同是必然事件，故C不符合题意；D.明天会下雨是随机事件，故D符合题意；故选：D．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：将x=−1代入方程式得1−m−n=0，解得m+n=1．故选：A．方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=−1代入方程就得到一个关于m、n的方程，就可以求出m+n的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5.【答案】C【解析】解：0，π，3.14，√3，17，1.010010001…中无理数有π，√3，1.010010001⋯共3个， ∴随机抽取一张，则抽到的数是无理数的概率是36=12，故选：C ．根据随机事件概率大小的求法，找准两点： ①符合条件的情况数目； ②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查的是概率公式，即随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，则2πr =2π，解得r =1， 所以R =√12+(√3)2=2， 因为2π×1=n×π×2180，所以n =180°． 故选：D ．设圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆的周长公式可求出r =1，再利用勾股定理计算出R =2，然后利用弧长公式得到2π×1=n×π×2180，则解方程得到n 的值．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】A【解析】解：∵y =−x 2+3x +2=−(x −32)2+94+2，即y =−(x −32)2+174，∴平移后所得抛物线的顶点坐标为(32,174). ∵抛物线y =−x 2+bx +c 向左平移2个单位长度再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y =−x 2+3x +2，∴平移前抛物线顶点坐标为(32+2,174+2)，即(72,254). ∴平移前抛物线的解析式为y =−(x −72)2+254=−x 2+7x −6．即y =−x 2+7x −6． ∴b =7，c =−6． 故选：A ．将所得抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标，再根据点的平移规律，向右平移横坐标加，向下平移减逆向求出原抛物线的顶点坐标，从而求出原抛物线解析式，再展开整理成一般形式，最后确定出b 、c 的值．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减；本题难点在于逆运用规律求出平移前抛物线顶点坐标．8.【答案】B【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△OCD，∴∠BOD=∠AOC=45°，CD=AB，OD=OB，OA=OC，故①正确，②错误；∵OD=OB，OA=OC，∴BD，AC的垂直平分线相交于点O，故③正确；∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∵∠AOC=45°，∴∠ACO=∠OAC=12(180°−45°)=67.5°，故④错误，∵∠BOD=∠AOC=45°，∴AB在旋转过程中扫过的图形的面积=S扇形BOD −S扇形AOC=45⋅π×32360−45⋅π×12360=π，故⑤正确，∴有②④共2个错误，故选：B．根据旋转的性质得到∠BOD=∠AOC=45°，CD=AB，OD=OB，OA=OC，故①正确，②错误；根据线段垂直平分线的性质得到BD，AC的垂直平分线相交于点O，故③正确；根据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠OAC=12(180°−45°)=67.5°，故④错误，由扇形的面积公式得到AB在旋转过程中扫过的图形的面积=S扇形BOD −S扇形AOC=45⋅π×32360−45⋅π×12360=π，故⑤正确．本题考查了扇形的面积的计算，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：观察函数图象可知：当−1<x<2时，抛物线y=ax2+c的图像在直线y=mx+n 的图像上方，∴关于x的不等式ax2−mx≥n−c的解集是−1≤x≤2．故选：C．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：二次函数y=ax2−4ax+c的图象的对称轴为直线x=2，∴点(4−a,y1)关于直线x=2的对称点为(a,y1)，∵a<−2，∴抛物线的开口向下，a−2<a−1<a<2，∴y3<y2<y1．故选：C．根据二次函数的解析式得到抛物线对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断函数值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵关于x的方程2x2+2√2x+3−d=0有实数根，∴Δ=(2√2)2−4×2×(3−d)≥0，解得d≥2，即OP≥2，∵⊙O的半径为1，∴点P在⊙O外．∴过点P可作⊙O的切线的条数有两条．故选：C．先根据判别式的意义得到Δ=(2√2)2−4×2×(3−d)≥0，解得d≥2，则OP≥2，所以OP>r，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系．也考查了根的判别式．12.【答案】D【解析】解：如图，若平移之后的直线与⊙O相切于点A，连接OA，∵直线y=−x与坐标轴的夹角为45°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OB=√62+62=6√2，同理OD=6√2，∴m=6√2．故选：D．由切线的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．本题考查了切线的性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：点A(−m,n−5)与点B(−1,−2m)关于原点对称，得−m=−(−1)=1，n−5=−(−2m)=2m，∴m=−1，n=3．∴−m n=−(−1)3=1，故答案为：1．根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．14.【答案】14【解析】【分析】此题主要考查了列表法与树状图法求概率．画树状图展示共有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，∴恰好均为正面向上的概率是14，故答案为：14．15.【答案】103【解析】解：设等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴AD为BC边上的中线，即BD=DC，在直角△ABD中，AB=13，BD=5，∴AD=√AB2−BD2=12，则S△ABC=12×10×12=60．∵S△ABC=12(13+13+10)r，∴内切圆的半径r=103．故答案为：103．设等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD为BC边上的高，根据等腰三角形的性质即可得D 为BC中点，即BD=DC=5，求得高AD，进而求得△ABC的面积，即可求得内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等腰三角形三线合一的性质，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键．16.【答案】x1=−3，x2=1【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−a2×12a=−1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，所以方程12ax 2+ax +c =0的解为x 1=−3，x 2=1．故答案为：x 1=−3，x 2=1．先确定抛物线的对称轴为直线x =−1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−3,0)，从而根据抛物线与x 轴的交点问题得到方程12ax 2+ax +c =0的解．本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0)图象与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．17.【答案】(−1,1)【解析】解：设D(m,n)，∵AD =DA′，A(−2,3)，点A′(0,−1)， ∴m =−2+02=−1，n =3−12=1，∴D(−1,1)，故答案为：(−1,1)．设D(m,n)，利用中点坐标公式，构建方程求解即可．本题考查中心对称，坐标与图形变化—旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】解：(1)整理，得：x 2+2x −1=0，∴a =1，b =2，c =−1，则Δ=22−4×1×(−1)=8>0， ∴x =−b±√b 2−4ac2a=−2±2√22=−1±√2，∴x 1=−1+√2，x 2=−1−√2； (2)∵(2x −1)2−(2x −1)=2， ∴(2x −1)2−(2x −1)−2=0，则(2x −1−2)(2x −1+1)=0，即2x(2x −3)=0， ∴x =0或2x −3=0， 解得x 1=0，x 2=1.5．【解析】(1)整理成一般式，再利用公式法求解即可； (2)先移项，再利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19.【答案】解：(aa−2−4a+2)(a 2−4)=(a a −2−4a +2)(a +2)(a −2) =a(a +2)−4(a −2) =a 2+2a −4a +8=a 2−2a +8，在(a 2−2a −1)(a 2−2a +4)=0中，∵方程a 2−2a +4=0无实根，∴a 2−2a +4≠0， ∴a 2−2a −1=0， ∴a 2−2a =1，当a 2−2a =1时，原式=a 2−2a +8=1+8=9． 【解析】先根据乘法分配律进行计算，再算乘法，合并同类项，由于a 2−2a +4≠0，求出a 2−2a =1，最后代入求出答案即可．本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20.【答案】解：(1)∵y =x 2−2x +3−2c =(x −1)2+2−2c ，∴抛物线C 1：y =x 2−2x +3−2c 的顶点为(1,2−2c)，∵抛物线C 1：y =x 2−2x +3−2c 与抛物线C 2：y =ax 2+bx +c(a ≠0)是同位抛物线， ∴{−b2a =14ac−b 24a =2−2c，消去b ，整理变形可得：−a +3c =2， ∴a 与c 满足的关系式是：−a +3c =2； (2)由(1)知b =−2a ，c =13a +23，∴抛物线C 2为y =ax 2−2ax +13a +23， ∵抛物线C 2经过点(2,4)， ∴4a −4a +13a +23=4，解得a =10，∴抛物线C 2为y =10x 2−20x +4=10(x −1)2−6， ∴抛物线C 2顶点是(1,−6)，∴抛物线C 2关于y 轴对称的抛物线的顶点是(−1,−6)，∴抛物线C 2关于y 轴对称的抛物线的解析式为y =10(x +1)2−6=10x 2+20x +4．【解析】(1)由抛物线C 1：y =x 2−2x +3−2c 的顶点是(1,2−2c)和抛物线C 1：y =x 2−2x +3−2c 与抛物线C 2：y =ax 2+bx +c(a ≠0)是同位抛物线，可得{−b2a =14ac−b 24a =2−2c ，消去b 即可得答案；(2)由b =−2a ，c =13a +23，得抛物线C 2为y =ax 2−2ax +13a +23，又抛物线C 2经过点(2,4)，即有4a −4a +13a +23=4，解得a =10，故抛物线C 2为y =10x 2−20x +4=10(x −1)2−6，即得抛物线C 2关于y 轴对称的抛物线的顶点是(−1,−6)，故抛物线C 2关于y 轴对称的抛物线的解析式为y =10(x +1)2−6=10x 2+20x +4．本题考查二次函数图象及性质，涉及二次函数图象上点坐标特征、对称变换等，解题的关键是根据已知得到a 与b 、a 与c 的关系式．21.【答案】解：(1)40；14；(2)54°；(3)150；(4)画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，∴恰好选到两名女生的概率为612=12．【解析】解：(1)本次抽样测试的学生人数是：8÷20%=40(名)，则a=40−6−12−8=14，故答案为：40；14；(2)扇形统计图中表示A级的扇形的圆心角的度数是360°×640=54°，故答案为：54°；(3)估计优秀的人数为：1000×640=150(名)，故答案为：150；(4)见答案．(1)根据D级的人数和所占的百分求出抽样调查的总人数，即可解决问题；(2)由360°乘以A级的人数所占的比例即可；(3)由该校九年级共有学生人数乘以优秀的人数所占的比例即可；(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．此题考查了树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】(1)证明：∵点M是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∴CE⏜=AE⏜，∵OE是⊙O的半径，∴CD=DA=12AC，又∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12BC；(2)证明：连接AM，∵M是△ABC的内心，∴∠BAM=∠CAM，∠ABE=∠CBE，∵∠EMA=∠ABE+∠BAM，∠EAM=∠CAE+∠CAM，∠CBE=∠CAE，∴∠EMA=∠CBE+∠CAM=∠CAE+∠CAM=∠EAM．∴EM=EA．【解析】(1)由三角形内心的性质得出∠ABE=∠CBE，由圆周角定理得出CE⏜=AE⏜，证出CD=DA，由三角形中位线定理可得出结论；(2)连接AM，证出∠EMA=∠EAM.由等腰三角形的判定可得出结论．本题考查三角形的内切圆与内心，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．23.【答案】0或2√5【解析】解：∵实数m、n满足m2−4=2m，n2=4+2n，∴m=n或m，n为一元二次方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根．当m=n时，|m−n|=0；当m，n为一元二次方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根时，m+n=2，mn=−4，∴|m−n|=√(m−n)2=√(m+n)2−4mn=√22−4×(−4)=2√5．故答案为：0或2√5．根据题意可得出m=n或m，n为一元二次方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根，当m=n时，|m−n|=0；当m，n为一元二次方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根时，利用根与系数的关系可得出m+n=2，mn=−4，再将其代入|m−n|=√(m+n)2−4mn中即可求出结论．综上，此题得解．本题考查了根与系数的关系以及绝对值，分m=n或m，n为一元二次方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根两种情况，求出|m−n|的值是解题的关键．24.【答案】√13【解析】解：∵∠POA=90°，∴PA=√OA2+OP2=√4+OP2，当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，∴PA的最小值为：√4+32=√13，故答案为：√13．根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．本题考查的是垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长是解题的关键．25.【答案】解：(1)设甲种商品每件的利润为m 元，乙种商品每件的利润为n 元，根据题意得：{15m +20n =39010m +10n =220，解得{m =10n =12，答：甲种商品每件的利润为10元，乙种商品每件的利润为12元； (2)①根据题意得：y =100−x2×10=−5x +100，∵每周甲商品的销量不低于80件， ∴−5x +100≥80， 解得x ≤4，∴y(件)与x(元)之间的函数关系式为y =−5x +100(0≤x ≤4)； ②设甲商品的总利润为w 元，根据题意得：w =(x +10)(−5x +100)=−5x 2+50x +1000=−5(x −5)2+1125， ∵−5<0，0≤x ≤4在对称轴直线x =5左侧， ∴w 随x 的增大而增大，∴x =4时，w 最大，最大值为−5×(4−5)2+1125=1120， 此时x +10=14，答：每件甲商品的利润为14元时，每周可获得最大利润，最大的利润是1120元．【解析】(1)设甲种商品每件的利润为m 元，乙种商品每件的利润为n 元，可得{15m +20n =39010m +10n =220，即可解得答案；(2)①根据题意得y =−5x +100，由每周甲商品的销量不低于80件，可得x ≤4，即可得答案； ②设甲商品的总利润为w 元，可得w =(x +10)(−5x +100)=−5(x −5)2+1125，由二次函数性质可得答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程组和函数关系式，掌握二次函数的性质．26.【答案】解：(1)证明：连接OD ，连接BC 交OD 于点G ，∵DC⏜=DB ⏜，OD 是⊙O 的半径， ∴OD ⊥BC ，CG =BG =12BC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA =90°， ∴AC ⊥BC ， ∴AE//OD ， ∵EF ⊥AC ， ∴OD ⊥EF ，∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵DF =4，OD =3，OD ⊥EF ， ∴OF =√DF 2+OD 2=√42+32=5， 由(1)可知：BC//EF ， ∴∠ABC =∠F ，∴cos∠ABC =cosF ， ∴BC AB =DF OF ， ∴BC6=45， ∴BC =245， ∴CG =12BC =125，∵∠ACB =∠E =∠CGD =90°， ∴四边形CEDG 是矩形， ∴DE =CG =125．【解析】(1)连接OD ，连接BC 交OD 于点G ，由圆周角定理及平行线的性质证出OD ⊥EF ，由切线的判定可得出结论；(2)由勾股定理求出OF =5，证出cos∠ABC =cosF ，可求出BC 的长，证出四边形CEDG 是矩形，则可得出答案．本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质和判定以及锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的判定是解题的关键．27.【答案】解：(1)函数y =−x +3，当y =0时，则−x +3=0，解得x =3，当x =0时，y =3， ∴A(3,0)，B(0,3)，∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过点A(3,0)、B(0,3)， ∴{−9+3b +c =0c =3，解得{b =2c =3，∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3． (2)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴该抛物线的对称轴是直线x =1，顶点坐标为(1,4)， ∵−1≤x ≤2，∴当x =1时，y 最大=4；当x =−1时，y 最小=0， ∴C(1,4)，D(−1,0)，如图1，连接CD 交AB 于点P ， ∵PC +PD =CD ，∴此时PC +PD 的值最小， ∵CD =√(1+1)2+42=2√5， ∴PC +PD 的最小值是2√5；设直线CD 的解析式为y =mx +n (m ≠0)，则{−m +n =0m +n =4，解得{m =2n =2，∴直线CD 的解析式为y =2x +2， 由{y =2x +2y =−x +3得{x =13y =83， ∴P(13,83).(3)Q(3−√212,√21−32)或Q(3+√212,−3−√212). 【解析】解：(1)见答案； (2)见答案；(3)如图2，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交直线AB 于点E ，作QG ⊥AB 于点G ， 设Q(x,−x 2+2x +3)，则E(x,−x +3)，∴QE =|−x 2+2x +3−(−x +3)|=|−x 2+3x|， ∵OA =OB =3，∠AOB =90°，∴AB =√OA 2+OB 2=√32+32=3√2，∠OAB =∠OBA =45°，∵QF//OB ，∴∠GEQ =∠OBA =45°， ∵∠QGE =90°，∴∠GQE =∠GEQ =45°， ∴GQ =GE ，∴QE 2=GQ 2+GE 2=2GQ 2， ∴GQ =√22QE =√22|−x 2+3x|，∴S △ABQ =12AB ×GQ =12×3√2×√22|−x 2+3x|=|−32x 2+92x|， ∵S △ABQ =S △ABO ，且S △ABO =12×3×3=92， ∴|−32x 2+92x|=92，∴−32x 2+92x =92或−32x 2+92x =−92，由−32x 2+92x =92得x 2−3x +3=0，此方程没有实数根； 由−32x 2+92x =−92得x 2−3x −3=0，解得x 1=3−√212，x 2=3+√212， ∴Q(3−√212,√21−32)或Q(3+√212,−3−√212).(1)先根据直线y =−x +3与x 轴、y 轴交于点A 、B ，求出点A 、B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入y =−x 2+bx +c ，列方程组求出b 、c 的值即可；(2)先将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴及顶点坐标，进而求出点C 、D 的坐标，连接CD 交AB 于点P ，根据“两点之间，线段最短”可知此时PC +PD 的值最小，求出CD 的长即为PC +PD 的最小值；求出直线CD 的解析式并且与直线AB 的解析式组成方程组，解方程组求出点P 的坐标即可；(3)过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交直线AB 于点E ，作QG ⊥AB 于点G ，由OA =OB =3，∠AOB =90°可以证明△GEQ 和△OAB 都是等腰直角三角形，则GQ =√22QE ，设点Q 的横坐标为x ，用含x 的代数式分别表示点Q 、点E 的坐标以及QE 的长，进而用含x 的代数式表示S △ABQ ，再根据S △ABQ =S △ABO 列方程求出x 的值及点Q 的坐标即可．此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、勾股定理、线段和的最小值问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题难度较大，属于考试压轴题．28.【答案】解：(1)证明：∵FD 平分∠BAP ，∴∠PFN =∠BFN ，∵∠BAC =120°，∠DFE =60°，∴∠CFE +∠BFN =60°，∠PFN +∠PFM =60°， ∴∠CFM =∠PFM ， ∴FE 平分∠CAP ；(2)BN 2=CE 2+MN 2，理由如下：如图，将△ACM 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ABH ，连接NH ，∴△ACM≌△ABH ，∴AH =AM ，CM =BH ，∠ACB =∠ABH ，∠MAH =120°， ∴∠HAN =∠MAH −∠MAN =120°−60°=60°， ∴∠MAN =∠HAN =60°， 在△ANM 和△ANH 中，{AM =AH∠MAN =∠HAN AN =AN, ∴△ANM≌△ANH(SAS)，∴MN=HN，∠MNA=∠HNA，∵∠CAB=120°，AC=AB，(180°−120°)=30°=∠ABH，∴∠ABC=∠ACB=12∴∠NBH=30°+30°=60°，∵∠ANM=∠BAN+∠ABC=45°+30°=75°，∴∠ANM=∠ANH=75°，∴∠BNH=180°−75°−75°=30°，∴∠BHN=180°−∠BNH−∠NBH=90°，∴BN2=BH2+NH2，∴BN2=CM2+MN2．【解析】(1)由角平分线的性质可得∠PFN=∠BFN，由角的数量关系可得∠CFM=∠PFM，可得FE 平分∠CAP；(2)由旋转的性质可得AH=AM，CM=BH，∠ACB=∠ABC，∠MAH=120°，由“SAS”可证△ANM≌△ANH，可得MN=HN，∠MNA=∠HNA，通过证明∠BHN=90°，可得结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。